专题11 与圆有关的最值问题专项训练【8大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题11 与圆有关的最值问题高频考点精练 8大考点汇总 考点一　圆上的点到定点的距离最值 考点二　圆上的点到直线的距离最值 考点三　两圆上的动点的距离最值 考点四　过圆内定点的弦长最值 考点五　圆的切线长度最值问题 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 考点七　与向量有关的最值 考点八　与面积有关的最值 题型突破 考点一　圆上的点到定点的距离最值 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知动点满足，则的最大值为___________． 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点二　圆上的点到直线的距离最值 5．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三　两圆上的动点的距离最值 9．（25-26高三下·重庆北碚·阶段检测）（多选）已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 10．（2026·安徽亳州·模拟预测）已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________. 11．（25-26高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知，动圆与定圆：相外切，与：相内切，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 考点四　过圆内定点的弦长最值 13．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 14．（2026·山西晋城·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点五　圆的切线长度最值问题 17．（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 18．（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 19．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 20．（25-26高二上·陕西安康·阶段检测）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为________. 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 21．（25-26高三下·河北承德·阶段检测）（多选）已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 22．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 23．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 考点七　与向量有关的最值 25．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________． 26．（2026高二·全国·专题练习）已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）在中，，是所在平面内一点，且，若存在点，使，则最大值为____________． 28．（25-26高二上·广东广州·期中）直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为______． 考点八　与面积有关的最值 29．（2026高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点､间的距离为，动点与､距离之比为，当､､不共线时，面积的最大值是___________. 30．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 31．（25-26高二上·安徽安庆·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 与圆有关的最值问题高频考点精练 8大考点汇总 考点一　圆上的点到定点的距离最值 考点二　圆上的点到直线的距离最值 考点三　两圆上的动点的距离最值 考点四　过圆内定点的弦长最值 考点五　圆的切线长度最值问题 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 考点七　与向量有关的最值 考点八　与面积有关的最值 题型突破 考点一　圆上的点到定点的距离最值 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知动点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】画出点对应轨迹的图象，结合两点间的距离公式确定正确答案. 【详解】依题意，动点满足， 即：当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 由此画出点对应的轨迹如下图所示， 表示点与点两点间距离的平方， 最大值为. 故答案为：    2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点到圆心的距离，再利用圆的性质求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为. 故选：A 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算圆心到原点的距离，结合圆的半径，求出圆上点到原点距离的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 原点到圆心的距离：. 因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为. 故的取值范围是. 故选：A.    考点二　圆上的点到直线的距离最值 5．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画草图，发现和圆心在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将通过对称转化到异侧的，这样根据两点之间线段最短就可以得出，再利用圆的性质得出即可. 【详解】设关于直线的对称点，则 ，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 6．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，列式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为1， 说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， . 7．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 考点三　两圆上的动点的距离最值 9．（25-26高三下·重庆北碚·阶段检测）（多选）已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】选项A直接由两圆位置关系可判断；选项B可以把 的最大值转化为两圆心距离加上两半径即可得出；选项C，D过点直接作圆的切线，数形结合可得到最值. 【详解】对于选项 A：圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ； 两圆心间距离：， ， 因为 ，所以两圆外离，不相交；故A 错误； 对于选项 B：点 在 上，点 在 上，两圆外离， ，故B 正确； 对于选项 C：过点A作圆的切线（取靠近圆的一条）， 过点作切线的垂线垂足为，过点作垂线，垂足为， 此时的长即为点到直线距离的最小值. 易知，在中，，； 因为为圆的切线，所以易得； ， ， ，故C正确； 对于选项D:过点A分别作两圆的切线，切点分别为，，如下图所示： 由图易得，此时.故D正确. 故选：BCD 10．（2026·安徽亳州·模拟预测）已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________. 【答案】12 【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求的最大值. 【详解】设点，则， 整理为：， 设圆的圆心为，圆的圆心为，    如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即. 故答案为：12 11．（25-26高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题通过分析直线过定点及垂直关系确定交点轨迹，再结合圆与圆的位置关系求距离最大值. 【详解】整理，得，故过定点. 整理，得，故过定点. 因与垂直（因为），故的轨迹是以和为直径端点的圆. 圆心为两点中点：. 半径为两点距离的一半：. 即的轨迹方程为. 圆，其圆心，半径. 两圆心与的距离为. 的最大值为两圆心距离加上轨迹圆的半径和圆的半径， 即. 故选：C. 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知，动圆与定圆：相外切，与：相内切，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用两圆外切和内切的性质，可求出的轨迹为椭圆，结合椭圆的定义得,再用三角形两边之差小于第三边，求出即可得结果. 【详解】已知动圆与定圆：相外切，与：相内切， 可设动圆的半径为，有：，. 则， 所以的轨迹是以为焦点长轴长的椭圆. 得点的轨迹方程为. 又因为，则， 而是椭圆上一点， 则= 所以： 故选：B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程，以及两个圆的外切和内切的性质和三角形边长性质. 考点四　过圆内定点的弦长最值 13．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 【答案】(1) 或 (2) 最短长度为，此时的方程为 【分析】（1）由弦长可得直线到圆心距离，结合点到直线距离公式可得答案； （2）要使弦长最短，则圆心到直线距离最长，据此可确定直线斜率，可得答案. 【详解】（1）当时，点坐标为，圆圆心为，半径为. 已知弦长为，由弦长、半径、弦心距的关系得直线到圆心距离为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 两边平方得，解得，代入得直线方程为. 综上，直线的方程为或； （2）由弦长，直线到圆心距离，圆半径三者关系知： 为使弦长最短，应使最大.注意到， 当且仅当时取等号.则弦长最短时，. 则直线方程为：. 14．（2026·山西晋城·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的几何性质来判断最短弦长的位置关系. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为． 当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为， 所以直线的斜率为，故，解得． 15．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线所过的定点与圆的位置，结合圆的几何意义、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】 ，所以该直线恒过定点， 因为， 所以定点在该圆的内部， 圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时， 直线被圆截得的弦最小， 则有， 由， 所以，即， 化简为：. 因为圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为. 16．（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定点与圆心连线垂直于直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【详解】因为圆，圆心，半径， 直线过定点， 则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小， 故最小值为. 故选：D. 考点五　圆的切线长度最值问题 17．（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【分析】由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 18．（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理表示出切线长以及所求周长，根据几何关系可得当共线且按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可. 【详解】由题意，， 四边形周长为， 当共线且按此顺序排列时，， 则四边形周长最大值为16， 故选：B. 19．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，可得切线长，即可得四边形周长的最小值. 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离，    因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 故选：C. 20．（25-26高二上·陕西安康·阶段检测）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为________. 【答案】 【分析】由圆的切线长的计算得出当最短时，四边形的面积最小，此时的长度是圆心到直线的距离，进而求解. 【详解】由题意有：圆，半径为， 所以四边形的面积为：， 当最小时，四边形的面积最小， 又点到直线的距离为：， 所以， 所以四边形的面积最小值为， 故答案为：. 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 21．（25-26高三下·河北承德·阶段检测）（多选）已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】设，利用点到直线的距离可得，求解可判断A；设，，利用辅助角公式计算可判断B；表示点P到点的距离，求得圆心到的距离可求最值判断C；，求得到直线的距离，求得最小值判断D. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为1. 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得，所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则，， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为，故最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍. 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：AD. 22．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 23．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）最大值为，最小值为；（iii）最大值为9，最小值为1． 【分析】（1）由题意确定半径，由中点坐标公式求出圆心，进而可得圆的标准方程； （2）（i）把所求转化为圆上的点M与已知的点之间的距离，再数形结合求最大距离和最小距离即可； （ii）把所求转化为，再数形结合和利用点到直线的距离公式求出切线斜率的最值即可； （iii）将所求转化为过点M的直线的截距，再结合点到直线间距离求出截距即可； 【详解】（1）设圆心到直线的距离，半径，， 则圆的几何性质可得，， 当且仅当，即圆心是线段的中点时，半径的取得最小值， 此时圆C的面积最小. 所以，， 即圆C的标准方程为． （2）（i）因为表示圆上的点M与已知的点之间的距离． 圆C：， 如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值， 即，    与B重合时取得最大值即， 故最大值为，最小值为； （ii）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值， 如图所示．    可设，则C到其距离为，解得， 故最大值为，最小值为 （iii）设，如图所示，即过点M的直线的截距， 如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值． 圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1．    考点七　与向量有关的最值 25．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先利用垂径定理确定动点D的圆的轨迹方程及其取值，再通过向量分解将问题转化为求固定向量与旋转向量的数量积的最大值即可. 【详解】因为是圆的一条弦，且为的中点，所以，即， 则点始终在以为直径的圆上运动，设的中点为，， 该圆的半径，则该圆的方程为，即， 由于直线必须与单位圆交于两点，圆心到直线的距离即， 即，即，因为在圆上， 则，综上，， 由题意得，，其中， 则， 其中， ，其中， 因为在圆上，所以， 因此， 当与同向时，即，取最大值， 则， 当与同向时， 单位向量为， 此时，则， 以下验证， 因为，所以，则， 若，即，同时平方得，该不等式恒成立， 综上的最大值为. 26．（2026高二·全国·专题练习）已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过化简向量条件得出动点P的轨迹，再利用三点共线确定使线段最长时P的位置，最后在直角三角形中解出目标夹角的正切值即可. 【详解】设的中点为，以为原点建系，则有，， ，解得， 所以点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆， 易得等边的高，所以点在圆外， 要使的模取最大值，此时三点共线，由圆的图像性质易得此时， 则，与的夹角为， 在中，. 27．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）在中，，是所在平面内一点，且，若存在点，使，则最大值为____________． 【答案】 【分析】先根据判断出点的轨迹，再结合建立合适的坐标系，求出的最大值. 【详解】已知，变形可得，即. 根据向量共线定理可知，与共线，所以点在直线上. 以在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系. 设，，. 因为，根据两点间距离公式可得：， 两边同时平方展开并化简得：， 配方可得：， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为存在点，使，所以为点到直线的距离的最小值. 由点的轨迹可知，圆心到直线（轴）的距离为，圆的半径为，所以的最大值为圆的半径. 故答案为：. 28．（25-26高二上·广东广州·期中）直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据条件可知点P的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作，则为的中点，求得最小值即可. 【详解】直线,，因为，所以， 又的方程可化为，所以过定点， 的方程可化为，所以过定点， 所以点P的轨迹是以为直径的圆，去除，其方程为， 其圆心，半径，作，则为的中点， 根据勾股定理易求得， 如图所示，当在同一条直线上时最小， 又， ， 故的最小值为. 故答案为： 考点八　与面积有关的最值 29．（2026高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点､间的距离为，动点与､距离之比为，当､､不共线时，面积的最大值是___________. 【答案】 【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则、，设， ∵，∴， 两边平方并整理得：， 可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 要使的面积最大，只需点到（轴）的距离最大， 所以当点坐标为或时，面积的最大值是. 30．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，又圆心到直线的距离， 则，所以的最小值为，故A正确， 对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确， 对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即， 所以直线的方程为，又点在直线上运动， 当时，直线的斜率不存在，所以C错误， 对于D，由选项C知直线的方程为，且， 所以直线的方程为，即， 由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. 31．（25-26高二上·安徽安庆·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，圆心坐标为，半径. ∴，圆心到直线的距离为. 所以点到直线的最小距离为，最大距离为， 所以的面积的最小值为，最大值为. 所以的面积的取值范围为. 32．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $