圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题专项训练 圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题专项训练 考点目录 定点到圆上点的最值问题 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 考点一 定点到圆上点的最值问题 例1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程得曲线表示圆的左半部分，圆心、半径，结合表示该半圆上的点到点的距离，数形结合确定最值即可. 【详解】由，则，两边平方整理得， 所以曲线表示圆的左半部分，圆心、半径，如图， 其中，而表示该半圆上的点到点的距离， 由，故在圆外， 由图知，的最大值为，最小值为. 故选：B 例2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度. 【详解】 因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知. 故选：C. 例3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知为圆上一点，，则的最小值为______． 【答案】34 【分析】设出，利用两点间距离公式表示，结合点与圆的位置关系得到，进而求出最值即可. 【详解】如图，设点为坐标原点，圆心为，半径为，    则， 因为，所以原点在圆外，且， 则，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立． 故． 故答案为：34 例4．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用直接法求出点的轨迹方程，根据结论圆外一点与圆上的动点的最小距离为圆外的点到圆心的距离与该圆的半径的差，求的最小值即可. 【详解】设，则，， 因为， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的圆心为，半径为， 又点为上一动点， 所以， 当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式1．（25-26高二下·广西贵港·阶段检测）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将题干方程转化为圆的标准方程，则是圆上一点与所在直线的斜率，当直线越陡，斜率越大，即当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，由此可算出的最大值. 【详解】将满足的方程转化为，发现其是一个圆心在，半径为的圆， 而可看作是圆上一点与所在直线的斜率， 易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为， 则，由同角的三角函数关系可得，即斜率最大为， 所以的最大值为. 故选：D. 变式2．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设且，解出点的坐标，问题转化为，只需当、、三点共线时取得最小值即可求解. 【详解】设，，，则， 整理后， 与已知轨迹方程展开整理得：， 对照，得，解得，所以. 则当、、三点共线时取得最小值 故选：B. 变式3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知实数x，y满足方程，则的最大值为______，的取值范围是______． 【答案】 【分析】可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，表示该圆上的点与原点的连线的斜率，表示圆上的点到直线的距离，从而由直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 变式4．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）若点是圆上任意一点，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 考点二 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 例1．（25-26高三上·河南·阶段检测·多选）点是直线上的一个动点，是圆上的两个动点，则（    ） A．点A到直线的距离大于 B．点A到直线的距离小于 C．存在点，使得 D．若直线均与圆相切，则直线过定点 【答案】BD 【分析】由点到直线的距离公式结合圆的性质可判定A、B选项，由直线和圆的位置关系可判定C项，利用切线的性质可判定A、B两点的位置，利用相交弦方程可判定D项. 【详解】圆心到直线的距离 故点A到直线的距离的取值范围为 ∴点A到直线的距离小于，但不一定大于，故A错误，B正确； 如图，    当直线均与圆相切，且时，最大，此时， ，， 即不存在点，使得，C错误； 设点是以线段为直径的圆上的两点， 圆的方程为，即， 又在圆上， 直线的方程为，变形得， 当时，该直线方程恒成立，故过定点，D正确． 故选：BD． 例2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测·多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由圆的标准方程即可求解；对于B，设，代入圆的方程中，得关于的一元二次方程，根据方程有实数解，判别式大于等于0，可列出关于的不等式，即可求解；对于C，利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解；对于D，根据几何意义，将所求式子转化为向量与向量的夹角的余弦值的两倍，求出圆的过原点的两条切线方程，得到与向量的夹角的范围，进而求得式子的取值范围. 【详解】对于A，因为圆的方程为， 所以圆心为，半径为，故A正确； 对于B，设，则， 将其代入圆的方程中得：， 即， 因为有实数解，所以判别式， 即， 化简得：， 解得：， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，（）的几何意义是圆上点与原点连线的斜率， 设，则直线方程为，即， 直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离， 即，所以，解得或， 因此（）的取值范围是，故C错误. 对于D，式子的几何意义是： 向量与向量的夹角的余弦值的两倍， 过原点作圆的切线，设方程为， 圆心到切线的距离，解得， 所以两条切线方程为和，且两切线的倾斜角分别为， 射线介于这两条切线之间， 所以与向量的夹角，则， 所以，故D正确. 例3．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段的中点为，由 确定直线的方程，与直线的方程联立求出圆心坐标和半径，即可得圆的方程； （2）先判断已知直线与圆相离，再利用圆心到直线的距离即可求得的最小值. 【详解】（1）由题设，线段的中点为且， 因圆的圆心为，则，故， 则直线方程为，即， 联立，解得，即得，而， 所以圆的方程为.    （2）由（1）知：，则到的距离， 所以直线与圆相离，则. 例4．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）（1）已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值． （2）已知圆，为圆上任一点．求最大、最小值，求的最大、最小值． 【答案】（1） ；（2） 的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为． 【分析】（1）用换元法，设，代入，利用三角函数性质求得最值； （2）用换元法，设．分别代入和，用三角函数的性质求得最大值． 【详解】（1）法1：由圆的标准方程． 设． 则 （其中为锐角） 所以． 法2：圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径， 圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径． 所以． 所以 （2） 法1：由，设． 则， 令，得， ． 所以 即的最大值为，最小值为． ． 所以的最大值为，最小值为． 法2：设，则． 由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，    两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由得. 所以的最大值为，最小值为． 令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值． 由，得． 所以的最大值为，最小值为． 例5．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. (3)， 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点，列出不等式，求得的取值范围，即可求解； （2）把表示直线的斜率，设直线的方程为，结合直线与圆有公共点，列出不等式，即可求解； 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）由，转化为圆的圆心到原点的距离的平方，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为. （2）解：记点，则表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）解：设， 则等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 根据圆的性质，可得， . 变式1．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中·多选）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出曲线C的方程，利用两点之间线段最短以及点到直线的距离公式对各个选项逐个计算即可求解. 【详解】设点的坐标为，根据题意，，即， 所以， 整理得，即， 因此，曲线是以为圆心，为半径的圆，故A正确； 圆心到直线的距离为：， 则曲线上的点到直线的最小距离为，故B正确； 圆心到直线的距离为：， 若曲线上恰有三点到直线的距离为，则， 所以，即，解得或，因此，的取值不唯一，故C错误； 曲线的方程，， 因此， 因为，，所以， 因此，故D正确. 变式2．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测·多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 变式3．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)40；10. (2)． 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解； （2）解法一：设，代入利用三角恒等变换化简计算求解即可；解法二：根据的几何意义，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】（1）表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ， 即的最大值为40，最小值为10. （2）解法一：设， 则， ∴其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 变式4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）直线l过原点且与圆交于A，B两点． (1)过点作圆C的切线，求切线方程； (2)求弦AB的中点M到直线距离的最大值． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）讨论切线斜率的存在性，设出直线方程，结合圆心与切线距离等于半径列方程求参数，即可得切线方程； （2）由题设易知，设，并利用向量垂直的坐标表示列方程求出的轨迹，再应用点线距离求点M到直线距离的最大值. 【详解】（1）由题知，圆心，半径，且，故在圆外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即； 圆心到直线的距离，整理得，解得， 所以切线方程为或；    （2）设，圆心， 因为是弦的中点，所以，又直线l过原点O， 所以，， ，整理得， 所以的轨迹是圆心为，半径为的圆，则到直线的距离， 所以点M到直线的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题专项训练 圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题专项训练 考点目录 定点到圆上点的最值问题 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 考点一 定点到圆上点的最值问题 例1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 例3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知为圆上一点，，则的最小值为______． 例4．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________. 变式1．（25-26高二下·广西贵港·阶段检测）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知实数x，y满足方程，则的最大值为______，的取值范围是______． 变式4．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）若点是圆上任意一点，则的最大值是______． 考点二 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 例1．（25-26高三上·河南·阶段检测·多选）点是直线上的一个动点，是圆上的两个动点，则（    ） A．点A到直线的距离大于 B．点A到直线的距离小于 C．存在点，使得 D．若直线均与圆相切，则直线过定点 例2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测·多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 例3．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值. 例4．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）（1）已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值． （2）已知圆，为圆上任一点．求最大、最小值，求的最大、最小值． 例5．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 变式1．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中·多选）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 变式2．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测·多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 变式3．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 变式4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）直线l过原点且与圆交于A，B两点． (1)过点作圆C的切线，求切线方程； (2)求弦AB的中点M到直线距离的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $