2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二上学期 第二章 直线和圆的方程 专项训练 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第二章 直线和圆的方程 2.5） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．全卷按六个考点编排，考点内题目由浅入深，建议先读考点归纳再动笔。 2．弦长、距离等结果化为最简根式，直线方程写成一般式并使x的系数为正。 3．解答题须写出所依据的位置关系条件与主要运算步骤。 内容速览　六考点36题（选17·填12·解7）｜解析版 14 页：速查表、答案、详解｜配图 6 幅 　考点归纳 1．比较圆心到直线的距离与半径、联立方程看判别式、含参数时的取值范围 2．弦长的计算、由弦长确定参数或直线、弦的中点与三角形面积 3．过圆上一点与圆外一点的切线、切线段的长、两切点所在直线 4．五种位置关系的判定、由位置关系求参数、公共弦所在直线与公共弦长 5．圆上的点到直线或定点距离的最值、过圆内定点的最短弦、到直线距离为定值的点的个数 6．含参数的直线过定点、雷达与台风等实际问题、光线反射与圆 　考点01　直线与圆的位置关系的判定 1．圆＋＝9的圆心为C，设点C到直线3x＋4y－17＝0的距离为d，则下列结论中正确的是(____)。 A．d＝，相交 B．d＝3，相切 C．d＝3，相交 D．d＝，相离 2．把直线3x＋y＋4＝0与圆＋－2x－6y＝0的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由它的判别式可以判断：直线与圆的公共点有________个。 3．已知圆＋－8x＋4y＋11＝0与直线x＋2y＋m＝0没有公共点，那么实数m的取值范围为(____)。 A．m<－9或m>9 B．－3<m<3 C．m<－15或m>15 D．m<－3或m>3 4．若直线y＝kx与圆＋－10x＋20＝0有公共点，则实数k的取值范围为________。 5．若直线y＝x＋m与曲线y＝有两个不同的公共点，则实数m的取值范围为(____)。 A．[3，3) B．(－3，3) C．[－3，3) D．[3，3] 6．已知圆C：＋＋2x－6y＋1＝0，直线l：4x－3y＋m＝0。 (1)把圆C的方程配方，指出圆心位置和半径大小； (2)分别求出直线l与圆C相交、相切、相离时实数m的取值范围； (3)取m＝3，这时直线l与圆C的两个交点相距多远？ 　考点02　直线被圆截得的弦 7．直线4x＋3y－16＝0与圆＋＝25相交于A，B两点，线段AB的长是(____)。 A．2 B．10 C．8 D．4 8．圆＋＋2x－8y＋8＝0的一条弦在直线x＋y－1＝0上，这条弦的长度为________。 9．如图，直线l：3x－4y－22＝0与圆C：＋－4x－2y－20＝0相交于A，B两点，M为AB的中点，则△ABC的面积为(____)。 A．6 B．15 C．12 D．24 10．直线x－y＋m＝0被圆＋＝10截得的弦长为2，则实数m的值为________。 11．直线x＋2y－10＝0与圆＋＝10相交所得弦的中点坐标为(____)。 A．(4，3) B．(，) C．(，) D．(3，4) 12．已知圆C：＋－4x＋2y－20＝0，点P(5，1)。 (1)求经过点P且被圆C截得的弦长为8的直线的方程； (2)求以点P为中点的弦所在直线的方程，并求这条弦的长。 　考点03　圆的切线 13．点P(4，3)在圆＋＝25上，经过点P的该圆的切线方程是(____)。 A．3x－4y＝0 B．3x＋4y－24＝0 C．4x＋3y－25＝0 D．4x－3y－7＝0 14．从点P(3，－1)向圆＋＋4x－2y－4＝0作一条切线，切点为A，则线段PA的长为________。 15．如图，过点P(3，5)作圆C：＋＝9的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为(____)。 A．15 B．6 C．3 D．12 16．已知直线kx－y＋3＝0与圆＋＝4相切，则k的值为________。 17．从圆外一点P(5，3)向圆＋＝9引切线，则经过点P的切线方程为(____)。 A．x＝5或7x－24y＋37＝0 B．7x－24y＋37＝0 C．x＝5或5x＋12y－61＝0 D．x＝5 18．如图，已知圆C：＋－2x－2y－2＝0，过点P(3，5)作圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点。 (1)求线段PA的长； (2)求直线AB的方程； (3)求A，B两点间的距离。 　考点04　圆与圆的位置关系 19．对于圆C1：＋＝4和圆C2：＋＝64，这两个圆的位置关系是(____)。 A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 20．若圆＋＝（r>0）与圆＋＝4内切，则r＝________。 21．如图，圆C1：＋＝25与圆C2：＋－14x－2y＋25＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的长为(____)。 A． B．5 C．3 D．10 22．圆＋－4x＋2y－11＝0与圆＋＋2x－4y－3＝0的公共弦所在直线的方程为________。 23．若圆＋＝16与圆＋－2ay＋－1＝0有公共点，则实数a的取值范围为(____)。 A．－5<a<－3或3<a<5 B．－5≤a≤5 C．－5≤a≤－3或3≤a≤5 D．3≤a≤5 24．已知圆C1：＋＝10，圆C2：＋－12x－12y＋38＝0。 (1)判断两圆的位置关系； (2)两圆的两个交点确定一条直线，写出它的方程，并算出两交点间的距离； (3)求经过两圆的交点、且圆心在直线x＋2y－9＝0上的圆的方程。 　考点05　与直线和圆有关的最值 25．点Q在圆＋＝4上运动，则点Q到直线3x－4y－5＝0的距离的最大值是(____)。 A．2 B．6 C．4 D．8 26．圆＋－4x＋6y＋4＝0上的点与直线x－y＋7＝0之间距离的最小值为________。 27．已知点P(1，5)，点Q在圆＋＝4上运动，则|PQ|的取值范围为(____)。 A．[3，7] B．[1，9] C．[0，7] D．[3，5] 28．如图，过点P(3，－1)的直线l与圆C：＋－2x＋4y－20＝0交于M，N两点，当|MN|最小时，|MN|＝________。 29．圆＋＝9上恰有三个点到直线x＋y＋m＝0的距离等于1，则实数m的值为(____)。 A．±4 B．2 C．±2 D．± 30．已知点P(x，y)在圆C：＋－4x＋2y＋1＝0上运动。 (1)当点P在圆上移动时，＋随之变化，分别求出它的最大值与最小值； (2)求x－2y的取值范围。 　考点06　综合应用 31．对任意实数k，直线kx－y＋2k＋3＝0与圆＋＝25总有公共点，原因是这条直线恒过圆内的一个定点，这个定点的坐标是(____)。 A．(2，－3) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－2，3) 32．某雷达站的监测范围是以雷达站为圆心、半径为13 km的圆形区域。以雷达站为原点建立平面直角坐标系（单位：km），一条笔直的公路所在直线的方程为5x＋12y－65＝0，那么这条公路位于监测范围内的路段长为________km。 33．已知圆C：＋＝9，直线l：(m＋2)x＋(m－1)y－4m－2＝0。当直线l被圆C截得的弦最短时，实数m的值为(____)。 A．－5 B．0 C．－1 D．4 34．如图，以城市M为原点，正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（单位：km）。台风中心现位于点A(－30，60)处，正以20 km/h的速度沿直线向点B(90，－30)移动，距台风中心50 km以内的地区都会受到影响。 (1)求台风中心移动路线AB所在直线的方程； (2)求城市M到台风移动路线的距离，并据此说明M会受到这次台风的影响； (3)从现在起经过多长时间M开始受影响？影响持续多长时间？ 35．若圆＋＝8上恰有两个点到原点的距离等于，则实数a的取值范围为________。 36．从点A(－1，2)发出的一束光线射到x轴上，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆C：＋－6x－10y＋33＝0相切。 (1)经x轴反射后，光线沿哪条直线传播？给出这条直线的一般式方程； (2)照到x轴之前，光线又在哪条直线上？同样给出一般式方程； (3)另有一束从点A发出的光线，经x轴反射后照到圆C上（不要求与圆C相切），求这束光线所走路程的最小值。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 7 8 答案 B 1 D －≤k≤ A C 2 题号 9 10 11 13 14 15 16 答案 C 1或－7 A B 2 D 0或－ 题号 17 19 20 21 22 23 25 答案 A B 7 B 3x－3y＋4＝0 C B 题号 26 27 28 29 31 32 33 答案 6－3 A 4 C D 24 A 题号 35 答案 －3<a<－1或1<a<3 　考点01　直线与圆的位置关系的判定 1．【答案】B 【解析】圆心C(2，－1)，半径r＝3。 d＝|3×2+4×(－1)－17|/＝3＝r，所以直线与圆相切。 所以选B。 A项是分母忘了开方，用25作除数，按此错法真算得d＝，相交；C项是把＝9当成半径去和d比较，按此错法真算得d＝3，相交；D项是把圆心坐标的符号看反，代入了(－2，1)，按此错法真算得d＝，相离。 2．【答案】1 【解析】由直线方程得y＝－3x－4，代入圆的方程并整理，得＋4x＋4＝0。 Δ＝－4×1×4＝0，Δ＝0，方程有两个相等实根，直线与圆相切。 所以答案为1。 3．【答案】D 【解析】配方得 ＋＝9，圆心 (4，－2)，半径r＝3。 没有公共点即相离，须d>r：|4+2×(－2)+m|/>3，即 |m|>3，解得m<－3或m>3。 故选D。 A项：把＝9当成半径，按此错法真算得m<－9或m>9；B项：把相离的条件写成了d<r，按此错法真算得－3<m<3；C项：分母忘了开方（除以5），按此错法真算得m<－15或m>15。 4．【答案】－≤k≤ 【解析】配方得 ＋＝5，圆心 (5，0)，半径 。 直线kx－y＝0与圆有公共点 ⇔ d≤r：|5k|/≤，两边平方得25≤5(+1)，即≤， 解得－≤k≤。 故填－≤k≤。 5．【答案】A 【解析】曲线y＝ 即＋＝9（y≥0），是以原点为圆心、3为半径的上半圆，端点为 (－3，0)，(3，0)。 直线y＝x＋m的斜率为1，m从小到大平移：过 (3，0) 时m＝－3，只有一个公共点；过 (－3，0) 时m＝3，此时有两个公共点； 与上半圆相切时 |m|/＝3且m>0，得m＝3，此时只有一个公共点。 所以有两个不同公共点时3≤m<3。 综上，应选A。 B项是把半圆当成整个圆，只用d<r即 |m|/<3，按此错法真算得(－3，3)；C项是把只有一个公共点的－3≤m<3也算了进去，按此错法真算得[－3，3)；D项是把相切的位置也当成两个公共点，按此错法真算得[3，3]。 6．【答案】（1）圆心(－1，3)，半径3；（2）相交：－2<m<28；相切：m＝－2或m＝28；相离：m<－2或m>28；（3）2 【解析】【解答】(1)配方得 ＋＝9，所以圆心C(－1，3)，半径r＝3。 (2)圆心到直线l的距离d＝|4×(－1)－3×3+m|/＝|m－13|/5。 相切：|m－13|/5＝3，得m＝－2或m＝28；相交：|m－13|/5<3，得－2<m<28；相离：|m－13|/5>3，得m<－2或m>28。 (3)m＝3时d＝|3－13|/5＝2<3，直线与圆相交，弦长＝2＝2＝2。 　考点02　直线被圆截得的弦 7．【答案】C 【解析】圆心 (－2，3)，半径r＝5，圆心到直线的距离d＝|4×(－2)+3×3－16|/＝3。 由垂径定理，|AB|＝2＝2＝8。 所以选C。 A项：把－写成了＋，按此错法真算得2；B项：忽略了圆心到直线的距离，把直径当成弦长，按此错法真算得10；D项：只算出了半弦长 ，按此错法真算得4。 8．【答案】2 【解析】配方得 ＋＝9，圆心 (－1，4)，半径3。 圆心到直线的距离d＝|(－1)+4－1|/＝，弦长＝2＝2＝2。 因此应填2。 9．【答案】C 【解析】配方得 ＋＝25，圆心C(2，1)，半径r＝5。 CM⊥AB，|CM|＝d＝|3×2－4×1－22|/＝4，|AM|＝＝＝3，|AB|＝6。 S△ABC＝×|AB|×|CM|＝×6×4＝12。 故选C。 A项是把半弦长 |AM| 当成了底边 |AB|，按此错法真算得6；B项是把半径当成了AB边上的高，按此错法真算得15；D项是忘了乘，按此错法真算得24。 10．【答案】1或－7 【解析】圆心 (3，0)，半径 。设圆心到直线的距离为d，半弦长为2÷2＝，由 ＋＝10得d＝2。 又d＝|3+m|/＝|m+3|/，所以 |m+3|＝4，解得m＝1或－7。 所以答案为1或－7。 11．【答案】A 【解析】弦的中点就是圆心C(3，1) 在直线上的射影，即过C且与直线垂直的直线与已知直线的交点。 已知直线的斜率为－，垂线斜率为2，垂线方程为y－1＝2(x－3)。 与x＋2y－10＝0联立，解得x＝4，y＝3，所以弦的中点为 (4，3)。 综上，应选A。 B项：垂线斜率错取为－2（只取了倒数没变号），按此错法真算得(，)；C项：垂线斜率错取为（只变了号没取倒数），按此错法真算得(，)；D项：联立解出后把横、纵坐标写反，按此错法真算得(3，4)。 12．【答案】（1）x＝5或5x＋12y－37＝0；（2）3x＋2y－17＝0，弦长4 【解析】【解答】配方得 ＋＝25，圆心C(2，－1)，半径r＝5；＋＝13<25，点P在圆内。 (1)弦长为8，则圆心到直线的距离d＝＝3。 当直线斜率不存在时，直线x＝5到圆心的距离为 |5－2|＝3，符合题意。 当斜率存在时，设直线y－1＝k(x－5)，即kx－y＋1－5k＝0，由 |2－3k|/＝3得 ＝9(+1)，解得k＝－，直线为5x＋12y－37＝0。 所以所求直线为x＝5或5x＋12y－37＝0。 (2)以P为中点的弦与CP垂直。kCP＝，所以弦所在直线的斜率为－，方程为y－1＝－(x－5)，即3x＋2y－17＝0。 此时圆心到弦的距离为 |CP|＝，弦长＝2＝4。 　考点03　圆的切线 13．【答案】B 【解析】圆心C(1，－1)。切线与半径CP垂直，kCP＝＝，所以切线的斜率为－。 由点斜式得y－3＝－(x－4)，即3x＋4y－24＝0。 所以选B。 A项是切线斜率只取了kCP的倒数，按此错法真算得3x－4y＝0；C项是把圆心在原点时的切线公式x0x＋y0y＝直接套用，按此错法真算得4x＋3y－25＝0；D项是切线斜率错取成了kCP，按此错法真算得4x－3y－7＝0。 14．【答案】2 【解析】配方得 ＋＝9，圆心C(－2，1)，半径3。 CA⊥PA，在Rt△PAC中，|PC|²＝＋＝29，|PA|＝＝＝2。 故填2。 15．【答案】D 【解析】圆心C(－1，2)，半径r＝3，|PC|²＝＋＝25。 CA⊥PA，|PA|＝＝＝4。 四边形PACB由两个全等的直角三角形PAC，PBC组成，面积＝2××|PA|×r＝4×3＝12。 故选D。 A项：把 |PC| 当成了切线段长，按此错法真算得15；B项：只算了一个直角三角形PAC的面积，按此错法真算得6；C项：切线段长算成了 ，按此错法真算得3。 16．【答案】0或－ 【解析】圆心 (3，1)，半径2。相切 ⇔ 圆心到直线的距离等于半径：|3k+2|/＝2。 两边平方得 ＝4(+1)，整理得5＋12k＝0，解得k＝0或－。 因此应填0或－。 17．【答案】A 【解析】圆心 (2，－1)，半径3，＋>9，点P在圆外，切线有两条。 斜率不存在时，直线x＝5到圆心的距离 |5－2|＝3＝r，是一条切线。 斜率存在时，设切线y－3＝k(x－5)，即kx－y＋3－5k＝0，由 |4－3k|/＝3解得k＝，切线为7x－24y＋37＝0。 所以切线方程为x＝5或7x－24y＋37＝0。 综上，应选A。 B项是漏掉了斜率不存在的那条切线，按此错法真算得7x－24y＋37＝0；C项是代入圆心时把纵坐标－1错写成1，解得k＝－，按此错法真算得x＝5或5x＋12y－61＝0；D项是只考虑了斜率不存在的情形，按此错法真算得x＝5。 18．【答案】（1）4；（2）x＋2y－5＝0；（3）|AB|＝ 【解析】【解答】(1)配方得 ＋＝4，圆心C(1，1)，半径r＝2。|PC|²＝＋＝20，|PA|＝＝4。 (2)|PA|＝|PB|＝4，所以A，B都在以P为圆心、4为半径的圆 ＋＝16上，展开为＋－6x－10y＋18＝0。 A，B又都在圆C上，是这两个圆的公共点，两圆方程相减：(+－2x－2y－2)－(+－6x－10y+18)＝0，得4x＋8y－20＝0，即直线AB的方程为x＋2y－5＝0。 (3)圆心C到直线AB的距离d＝|1+2×1－5|/＝，|AB|＝2＝2＝。 　考点04　圆与圆的位置关系 19．【答案】B 【解析】C1(0，0)，r1＝2；C2(6，8)，r2＝8。|C1C2|＝＝10。 r1＋r2＝10，|C1C2|＝r1＋r2，所以两圆外切。 所以选B。 A项：求圆心距时忘了开方，用 |C1C2|²＝100去和r1＋r2＝10比较，100>10，按此错法真算得外离；C项：把r2²＝64当成半径，|r1－r2|＝62>10，按此错法真算得内含；D项：把“圆心距等于两半径之和”记成了内切的条件，按此错法真算得内切。 20．【答案】7 【解析】两圆圆心分别为 (0，0)，(4，－3)，圆心距 ＝5，半径分别为r，2。 内切须 |r－2|＝5，得r＝7或r＝－3，又r>0，所以r＝7。 所以答案为7。 21．【答案】B 【解析】两圆方程相减，得公共弦AB所在直线的方程7x＋y－25＝0。 圆C1的圆心 (0，0) 到该直线的距离d＝|7×0+0－25|/＝，半径为5，所以 |AB|＝2＝2＝5。 故选B。 A项是只算出了半弦长，按此错法真算得；C项是求d时分母忘了开方（得d＝），按此错法真算得3；D项是两方程相减时把常数项也消成了0，误以为公共弦过圆心C1，弦长取成直径，按此错法真算得10。 22．【答案】3x－3y＋4＝0 【解析】两圆的圆心分别为 (2，－1)，(－1，2)，半径分别为4，2，圆心距3，满足 |r1－r2|<3<r1＋r2，两圆相交。 两方程相减得－6x＋6y－8＝0，化简得3x－3y＋4＝0。 故填3x－3y＋4＝0。 23．【答案】C 【解析】第二个圆即＋＝1，圆心 (0，a)，半径1；第一个圆圆心 (0，0)，半径4，圆心距为 |a|。 有公共点 ⇔ 相交或相切：4－1≤|a|≤4＋1，即3≤|a|≤5， 解得－5≤a≤－3或3≤a≤5。 综上，应选C。 A项：把相切的情形排除了，只取了相交，按此错法真算得－5<a<－3或3<a<5；B项：只考虑了 |a|≤r1＋r2，漏了内含时没有公共点，按此错法真算得－5≤a≤5；D项：把 |a| 当成a，漏了a<0的一段，按此错法真算得3≤a≤5。 24．【答案】（1）相交；（2）x＋y－4＝0，公共弦长2；（3）＋＝4 【解析】【解答】(1)C1(0，0)，r1＝；C2配方得 ＋＝34，C2(6，6)，r2＝。 |C1C2|＝＝6。r2－r1＝－<<6；＝＝44＋4>72＝|C1C2|²（因为4＝>＝28）。所以r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交。 (2)两方程相减得12x＋12y－48＝0，公共弦所在直线为x＋y－4＝0。与＋＝10联立，解得两交点A(1，3)，B(3，1)，|AB|＝2。 (3)所求圆的圆心到A，B距离相等，在AB的垂直平分线上；AB的垂直平分线就是连心线C1C2：x－y＝0。 联立x－y＝0与x＋2y－9＝0，得圆心 (3，3)，半径的平方为 ＋＝4，所求圆的方程为 ＋＝4。 　考点05　与直线和圆有关的最值 25．【答案】B 【解析】圆心 (－1，3)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝|3×(－1)－4×3－5|/＝4>r，直线与圆相离。 圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝4＋2＝6。 所以选B。 A项是把最大值记成了d－r，按此错法真算得2；C项是只求了圆心到直线的距离，没有加半径，按此错法真算得4；D项是把＝4当成半径加上去，按此错法真算得8。 26．【答案】6－3 【解析】配方得 ＋＝9，圆心 (2，－3)，半径3。 圆心到直线的距离d＝|2－(－3)+7|/＝6>3，直线与圆相离，所以最小值为d－r＝6－3。 因此应填6－3。 27．【答案】A 【解析】圆心C(－2，1)，半径r＝2，|PC|＝＝5>r，点P在圆外。 直线PC与圆的两个交点分别使 |PQ| 取最小值 |PC|－r＝3和最大值 |PC|＋r＝7，所以 |PQ| 的取值范围是 [3，7]。 故选A。 B项：把＝4当成半径，按此错法真算得[1，9]；C项：以为Q可以与P重合，最小值取了0，按此错法真算得[0，7]；D项：把最大值错当成 |PC|，按此错法真算得[3，5]。 28．【答案】4 【解析】配方得 ＋＝25，圆心C(1，－2)，半径5；|CP|²＝＋＝5<25，点P在圆内。 设圆心到直线l的距离为d，则 |MN|＝2，而d≤|CP|，当l⊥CP时d取最大值 |CP|，此时弦最短。 |MN| 的最小值为2＝4。 所以答案为4。 29．【答案】C 【解析】圆心 (1，－1)，半径3。与直线x＋y＋m＝0距离为1的点在两条与它平行、相距1的直线上。 恰有三个点，须远离圆心的那条平行线与圆相切、另一条与圆相交，即圆心到直线的距离d＝r－1＝2。 d＝|1－1+m|/＝|m|/＝2，解得m＝±2。 综上，应选C。 A项是把条件错记成d＝r＋1，按此错法真算得±4；B项是解绝对值方程时漏掉了负值，按此错法真算得2；D项是以为d＝1时恰有三个点，按此错法真算得±。 30．【答案】（1）最大值9＋4，最小值9－4；（2）[4－2，4＋2] 【解析】【解答】配方得 ＋＝4，圆心C(2，－1)，半径r＝2。 (1)＋＝|OP|² 是点P到原点距离的平方。|OC|＝＝>2，原点在圆外， 所以 |OP| 的最大值为 ＋2，最小值为 －2，＋的最大值为 ＝9＋4，最小值为 ＝9－4。 (2)设x－2y＝t，则直线x－2y－t＝0与圆有公共点，d≤r：|2－2×(－1)－t|/≤2，即 |t－4|≤2， 解得4－2≤t≤4＋2，所以x－2y的取值范围是 [4－2，4＋2]。 　考点06　综合应用 31．【答案】D 【解析】把方程按k整理：k(x+2)＋(3－y)＝0。令x＋2＝0且3－y＝0，得x＝－2，y＝3，所以直线恒过定点 (－2，3)。 ＋＝13<25，定点在圆内，所以直线与圆总有公共点。 所以选D。 A项：两个方程都把符号解反，按此错法真算得(2，－3)；B项：由x＋2＝0解成了x＝2，按此错法真算得(2，3)；C项：由3－y＝0解成了y＝－3，按此错法真算得(－2，－3)。 32．【答案】24 【解析】监测区域的边界是圆＋＝169。圆心到公路的距离d＝|5×0+12×0－65|/＝5<13，公路穿过监测区域。 位于监测范围内的路段就是公路被圆截得的弦，长为2＝24（km）。 故填24。 33．【答案】A 【解析】把l的方程按m整理：m(x+y－4)＋(2x－y－2)＝0，令x＋y－4＝0且2x－y－2＝0，得l恒过定点P(2，2)。 ＋＝5<9，P在圆内。弦最短时l⊥CP，kCP＝2，所以l的斜率为－。 由－＝－解得m＝－5。 故选A。 B项是把最短弦当成了最长弦（过圆心，斜率取kCP＝2），按此错法真算得0；C项是斜率只取了倒数，按此错法真算得－1；D项是斜率只变了号，取成－2，按此错法真算得4。 34．【答案】（1）3x＋4y－150＝0；（2）距离为30 km，小于50 km，会受影响；（3）1 h后开始受影响，持续4 h 【解析】【解答】(1)kAB＝＝－，直线AB的方程为y－60＝－(x+30)，即3x＋4y－150＝0。 (2)城市M受影响 ⇔ 台风中心进入圆＋＝内。M到直线AB的距离d＝|3×0+4×0－150|/＝30<50，所以M会受到影响。 (3)设直线AB与圆＋＝2500交于E，F（E离A较近），联立解得E(－14，48)，F(50，0)。 |AE|＝＝20，20÷20＝1（h），即1 h后M开始受影响； |EF|＝2＝80，80÷20＝4（h），影响持续4 h。 35．【答案】－3<a<－1或1<a<3 【解析】到原点距离为 的点在圆＋＝2上，问题转化为：两圆 ＋＝8与＋＝2恰有两个公共点，即两圆相交。 两圆半径分别为2，，圆心距为 ＝|a|。相交须2－<|a|<2＋，即 <|a|<3， 所以1<|a|<3，解得－3<a<－1或1<a<3。 因此应填－3<a<－1或1<a<3。 36．【答案】（1）12x－5y＋2＝0或4x－3y－2＝0；（2）12x＋5y＋2＝0或4x＋3y－2＝0；（3）－1 【解析】【解答】(1)配方得 ＋＝1，圆心C(3，5)，半径1。点A关于x轴的对称点为A′(－1，－2)，由反射的性质，反射光线所在直线经过A′。 直线x＝－1到圆心的距离为4≠1，不是切线；设反射光线所在直线为y＋2＝k(x+1)，即kx－y＋k－2＝0，由 |4k－7|/＝1得 ＝＋1，整理得15－56k＋48＝0，解得k＝或。 所以反射光线所在直线为12x－5y＋2＝0或4x－3y－2＝0。 (2)入射光线与反射光线关于x轴对称，斜率互为相反数，且入射光线过点A(－1，2)，所以入射光线所在直线为y－2＝－()(x+1) 或y－2＝－()(x+1)，即12x＋5y＋2＝0或4x＋3y－2＝0。 (3)设光线在x轴上的反射点为M，到达圆上的点Q，则 |AM|＋|MQ|＝|A′M|＋|MQ|≥|A′Q|≥|A′C|－r，当M，Q都在线段A′C上时等号成立。 |A′C|＝＝，所以最短路程为 －1。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第二章 直线和圆的方程 专项训练 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第二章 直线和圆的方程 2.5） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．全卷按六个考点编排，考点内题目由浅入深，建议先读考点归纳再动笔。 2．弦长、距离等结果化为最简根式，直线方程写成一般式并使x的系数为正。 3．解答题须写出所依据的位置关系条件与主要运算步骤。 内容速览　六考点36题（选17·填12·解7）｜解析版 14 页：速查表、答案、详解｜配图 6 幅 　考点归纳 1．比较圆心到直线的距离与半径、联立方程看判别式、含参数时的取值范围 2．弦长的计算、由弦长确定参数或直线、弦的中点与三角形面积 3．过圆上一点与圆外一点的切线、切线段的长、两切点所在直线 4．五种位置关系的判定、由位置关系求参数、公共弦所在直线与公共弦长 5．圆上的点到直线或定点距离的最值、过圆内定点的最短弦、到直线距离为定值的点的个数 6．含参数的直线过定点、雷达与台风等实际问题、光线反射与圆 　考点01　直线与圆的位置关系的判定 1．圆＋＝9的圆心为C，设点C到直线3x＋4y－17＝0的距离为d，则下列结论中正确的是(____)。 A．d＝，相交 B．d＝3，相切 C．d＝3，相交 D．d＝，相离 2．把直线3x＋y＋4＝0与圆＋－2x－6y＝0的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由它的判别式可以判断：直线与圆的公共点有________个。 3．已知圆＋－8x＋4y＋11＝0与直线x＋2y＋m＝0没有公共点，那么实数m的取值范围为(____)。 A．m<－9或m>9 B．－3<m<3 C．m<－15或m>15 D．m<－3或m>3 4．若直线y＝kx与圆＋－10x＋20＝0有公共点，则实数k的取值范围为________。 5．若直线y＝x＋m与曲线y＝有两个不同的公共点，则实数m的取值范围为(____)。 A．[3，3) B．(－3，3) C．[－3，3) D．[3，3] 6．已知圆C：＋＋2x－6y＋1＝0，直线l：4x－3y＋m＝0。 (1)把圆C的方程配方，指出圆心位置和半径大小； (2)分别求出直线l与圆C相交、相切、相离时实数m的取值范围； (3)取m＝3，这时直线l与圆C的两个交点相距多远？ 　考点02　直线被圆截得的弦 7．直线4x＋3y－16＝0与圆＋＝25相交于A，B两点，线段AB的长是(____)。 A．2 B．10 C．8 D．4 8．圆＋＋2x－8y＋8＝0的一条弦在直线x＋y－1＝0上，这条弦的长度为________。 9．如图，直线l：3x－4y－22＝0与圆C：＋－4x－2y－20＝0相交于A，B两点，M为AB的中点，则△ABC的面积为(____)。 A．6 B．15 C．12 D．24 10．直线x－y＋m＝0被圆＋＝10截得的弦长为2，则实数m的值为________。 11．直线x＋2y－10＝0与圆＋＝10相交所得弦的中点坐标为(____)。 A．(4，3) B．(，) C．(，) D．(3，4) 12．已知圆C：＋－4x＋2y－20＝0，点P(5，1)。 (1)求经过点P且被圆C截得的弦长为8的直线的方程； (2)求以点P为中点的弦所在直线的方程，并求这条弦的长。 　考点03　圆的切线 13．点P(4，3)在圆＋＝25上，经过点P的该圆的切线方程是(____)。 A．3x－4y＝0 B．3x＋4y－24＝0 C．4x＋3y－25＝0 D．4x－3y－7＝0 14．从点P(3，－1)向圆＋＋4x－2y－4＝0作一条切线，切点为A，则线段PA的长为________。 15．如图，过点P(3，5)作圆C：＋＝9的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为(____)。 A．15 B．6 C．3 D．12 16．已知直线kx－y＋3＝0与圆＋＝4相切，则k的值为________。 17．从圆外一点P(5，3)向圆＋＝9引切线，则经过点P的切线方程为(____)。 A．x＝5或7x－24y＋37＝0 B．7x－24y＋37＝0 C．x＝5或5x＋12y－61＝0 D．x＝5 18．如图，已知圆C：＋－2x－2y－2＝0，过点P(3，5)作圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点。 (1)求线段PA的长； (2)求直线AB的方程； (3)求A，B两点间的距离。 　考点04　圆与圆的位置关系 19．对于圆C1：＋＝4和圆C2：＋＝64，这两个圆的位置关系是(____)。 A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 20．若圆＋＝（r>0）与圆＋＝4内切，则r＝________。 21．如图，圆C1：＋＝25与圆C2：＋－14x－2y＋25＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的长为(____)。 A． B．5 C．3 D．10 22．圆＋－4x＋2y－11＝0与圆＋＋2x－4y－3＝0的公共弦所在直线的方程为________。 23．若圆＋＝16与圆＋－2ay＋－1＝0有公共点，则实数a的取值范围为(____)。 A．－5<a<－3或3<a<5 B．－5≤a≤5 C．－5≤a≤－3或3≤a≤5 D．3≤a≤5 24．已知圆C1：＋＝10，圆C2：＋－12x－12y＋38＝0。 (1)判断两圆的位置关系； (2)两圆的两个交点确定一条直线，写出它的方程，并算出两交点间的距离； (3)求经过两圆的交点、且圆心在直线x＋2y－9＝0上的圆的方程。 　考点05　与直线和圆有关的最值 25．点Q在圆＋＝4上运动，则点Q到直线3x－4y－5＝0的距离的最大值是(____)。 A．2 B．6 C．4 D．8 26．圆＋－4x＋6y＋4＝0上的点与直线x－y＋7＝0之间距离的最小值为________。 27．已知点P(1，5)，点Q在圆＋＝4上运动，则|PQ|的取值范围为(____)。 A．[3，7] B．[1，9] C．[0，7] D．[3，5] 28．如图，过点P(3，－1)的直线l与圆C：＋－2x＋4y－20＝0交于M，N两点，当|MN|最小时，|MN|＝________。 29．圆＋＝9上恰有三个点到直线x＋y＋m＝0的距离等于1，则实数m的值为(____)。 A．±4 B．2 C．±2 D．± 30．已知点P(x，y)在圆C：＋－4x＋2y＋1＝0上运动。 (1)当点P在圆上移动时，＋随之变化，分别求出它的最大值与最小值； (2)求x－2y的取值范围。 　考点06　综合应用 31．对任意实数k，直线kx－y＋2k＋3＝0与圆＋＝25总有公共点，原因是这条直线恒过圆内的一个定点，这个定点的坐标是(____)。 A．(2，－3) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－2，3) 32．某雷达站的监测范围是以雷达站为圆心、半径为13 km的圆形区域。以雷达站为原点建立平面直角坐标系（单位：km），一条笔直的公路所在直线的方程为5x＋12y－65＝0，那么这条公路位于监测范围内的路段长为________km。 33．已知圆C：＋＝9，直线l：(m＋2)x＋(m－1)y－4m－2＝0。当直线l被圆C截得的弦最短时，实数m的值为(____)。 A．－5 B．0 C．－1 D．4 34．如图，以城市M为原点，正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（单位：km）。台风中心现位于点A(－30，60)处，正以20 km/h的速度沿直线向点B(90，－30)移动，距台风中心50 km以内的地区都会受到影响。 (1)求台风中心移动路线AB所在直线的方程； (2)求城市M到台风移动路线的距离，并据此说明M会受到这次台风的影响； (3)从现在起经过多长时间M开始受影响？影响持续多长时间？ 35．若圆＋＝8上恰有两个点到原点的距离等于，则实数a的取值范围为________。 36．从点A(－1，2)发出的一束光线射到x轴上，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆C：＋－6x－10y＋33＝0相切。 (1)经x轴反射后，光线沿哪条直线传播？给出这条直线的一般式方程； (2)照到x轴之前，光线又在哪条直线上？同样给出一般式方程； (3)另有一束从点A发出的光线，经x轴反射后照到圆C上（不要求与圆C相切），求这束光线所走路程的最小值。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $