专题20 三角恒等变换高频考点精讲【10大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题20 三角恒等变换高频考点精讲 知识点1：两角和的正弦、余弦公式 1.两角和的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． 2.两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 【注意】注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． 知识点2：两角和、差的正切公式 1.两角和的正切公式 tan (α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α＋β)． 2.两角差的正切公式 tan (α－β) ＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β)． 【注意】 只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立． 知识点3：公式的变形应用 1．T(α＋β)的变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)； tan αtan β＝1－． 2．T(α－β)的变形 tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β)； tan αtan β＝－1． 知识点4：二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 【注意】倍角公式中的“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍，“α＋β”是“”的二倍等等． 知识点5：半角公式 sin ＝±； cos ＝±； tan ＝±； tan ； tan ． 【注意】半角公式中的“±”号由的终边所在象限决定． 知识点6：辅助角公式 a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定． 【注意】a sin x＋b cos x＝·cos (x－θ)也是常用的化简形式． [重要结论]　(1)公式的常用变式 tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； sin 2α＝； cos 2α＝． (2)降幂公式：sin2α＝； cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α． 考点一　利用两角和差公式求值 考点二　二倍角的简单应用 考点三　逆用公式化简求值 考点四　给值求值 考点五　给值求角 考点六　辅助角公式的应用 考点七　降幂公式的应用 考点八　半角公式与万能公式 考点九　利用三角恒等变换判断三角形的形状 考点十　利用三角恒等变换公式化简求值 考点一　利用两角和差公式求值 1．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知且，则_________，___________. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）化简求值： (1)； (2)； (3). 4．（26-27高三上·吉林·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 考点二　二倍角的简单应用 5．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·全国·课后作业）已知是第二象限角，且，则__________. 7．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点三　逆用公式化简求值 9．（26-27高三·全国·一轮复习）计算： ________． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 12．（25-26高一下·江西抚州·期中）______； 考点四　给值求值 13．（26-27高三上·河北石家庄·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知，，，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知 ，则 的值是（    ）． A． B． C． D． 考点五　给值求角 17．（2026高三上·全国·专题练习）若，且，则________． 18．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 19．（25-26高一下·江苏·期中）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 20．（25-26高一下·北京·期中）若，并且均为锐角，且，则________． 考点六　辅助角公式的应用 21．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知，则______． 22．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值． 23．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若，且，求的值． 24．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的值域． 考点七　降幂公式的应用 25．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·浙江宁波·二模）已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求使成立的的取值集合. 27．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）求值： (1)； (2)． 28．（25-26高三上·安徽浙江·阶段检测）若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A． B． C． D． 考点八　半角公式与万能公式 29．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知 ，且，则________. 30．（2026·陕西·三模）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 31．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 考点九　利用三角恒等变换判断三角形的形状 33．（26-27高一上·全国·课后作业）已知在中，，，则此三角形是______三角形． 34．（25-26高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 35．（25-26高一下·山东·阶段检测）在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 36．（25-26高一下·安徽宣城·期末）（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 考点十　利用三角恒等变换公式化简求值 37．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简求值：_______________ 38．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简：. 39．（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 40．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）化简：. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 三角恒等变换高频考点精讲 知识点1：两角和的正弦、余弦公式 1.两角和的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． 2.两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 【注意】注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． 知识点2：两角和、差的正切公式 1.两角和的正切公式 tan (α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α＋β)． 2.两角差的正切公式 tan (α－β) ＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β)． 【注意】 只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立． 知识点3：公式的变形应用 1．T(α＋β)的变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)； tan αtan β＝1－． 2．T(α－β)的变形 tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β)； tan αtan β＝－1． 知识点4：二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 【注意】倍角公式中的“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍，“α＋β”是“”的二倍等等． 知识点5：半角公式 sin ＝±； cos ＝±； tan ＝±； tan ； tan ． 【注意】半角公式中的“±”号由的终边所在象限决定． 知识点6：辅助角公式 a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定． 【注意】a sin x＋b cos x＝·cos (x－θ)也是常用的化简形式． [重要结论]　(1)公式的常用变式 tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； sin 2α＝； cos 2α＝． (2)降幂公式：sin2α＝； cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α． 考点一　利用两角和差公式求值 考点二　二倍角的简单应用 考点三　逆用公式化简求值 考点四　给值求值 考点五　给值求角 考点六　辅助角公式的应用 考点七　降幂公式的应用 考点八　半角公式与万能公式 考点九　利用三角恒等变换判断三角形的形状 考点十　利用三角恒等变换公式化简求值 考点一　利用两角和差公式求值 1．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由可求出的值，进而利用差角余弦公式求出的值. 【详解】， 当时， ， 当时， 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知且，则_________，___________. 【答案】 【详解】因为，所以； 且，则， 可得，即， 又因为为第一象限角，则，所以. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）化简求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用诱导公式将原式化为两角余弦和的展开形式，再利用余弦和公式变为； （2）将看作整体，逆用两角正弦和公式即可求解； （3）利用，，展开后化简即可求解. 【详解】（1）原式＝ （2） （3）因为，， 所以原式 4．（26-27高三上·吉林·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，结合两角差的正弦公式，可得答案. 【详解】因，则， 又，所以，则. 所以， 从而 . 考点二　二倍角的简单应用 5．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角公式结合同角三角函数关系可得答案. 【详解】 则，等式两边同时除以，可得： ，结合为锐角， 可得，从而. 6．（26-27高一上·全国·课后作业）已知是第二象限角，且，则__________. 【答案】 【分析】利用余弦二倍角公式将转化为，解一元二次方程得到；由是第二象限角求出，再求，最后用正切二倍角公式计算. 【详解】由，，得 ，整理得， 即，得， 因为在第二象限，所以，故， 所以， 则. 7．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以 . 8．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意两式平方相减可得，再利用二倍角公式化简计算可得. 【详解】因为，， 则，， 所以， 所以， 考点三　逆用公式化简求值 9．（26-27高三·全国·一轮复习）计算： ________． 【答案】＃＃ 【详解】原式 ． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角差的正切公式即可求解； （2）利用两角差的正切公式即可求解； （3）根据，再结合两角和的正切公式即可求解； 【详解】（1）. （2）由于，所以. （3）由于，所以， 因此. 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 12．（25-26高一下·江西抚州·期中）______； 【答案】/ 【分析】借助诱导公式与两角差的余弦公式计算即可得. 【详解】，， 故 . 考点四　给值求值 13．（26-27高三上·河北石家庄·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用两角差的余弦公式求解，再利用二倍角公式求出，最后利用诱导公式得到. 【详解】， ,，,， 又，， ， ， ， ， . 14．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正余弦的和差角公式化简可得与的值，再由正切函数的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，即， 由， 可得，即， 所以. 15．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知，，，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将条件等式平方，再结合两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】， ， 则， 则，得 因为，均为锐角，所以，则， 则 16．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知 ，则 的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和差的正弦公式和余弦公式化简计算即可. 【详解】因为，， 所以， 所以．， 所以， 所以． 考点五　给值求角 17．（2026高三上·全国·专题练习）若，且，则________． 【答案】 【分析】由半角公式、同角三角函数关系式及两角差的正切公式可得，再由角的范围及正切函数的性质可得角的值. 【详解】因为， 因为，所以，， 所以，且， 因为正切函数在上单调递增，所以，得． 因此. 18．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据二倍角公式及同角三角函数基本关系式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式得，再根据三角函数值确定角的范围，并结合两角差的正切公式可得所求角. 【详解】（1）由 ，解得. 又因为， 由 ，得， 故原式 . （2）因为，，由同角三角函数关系式得，. 由（1）分析知，，由两角差的正切公式得. 由且 ，得；由且，得， 所以，由不等式性质得，且， 因此. 19．（25-26高一下·江苏·期中）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解； （3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解． 【详解】（1）. （2）因为为锐角，所以， 由，设， 由得，（舍去负值）， 所以，则． （3）为锐角，则，所以， 又，所以，则， 由，又，所以， 所以， 则 ， 因为，所以， 所以． 20．（25-26高一下·北京·期中）若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】/ 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 考点六　辅助角公式的应用 21．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【分析】首先根据辅助角公式可得：，再根据余弦的二倍角公式进行求解即可. 【详解】已知， 得：， 则. 22．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值． 【答案】(1) (2)时，取得最大值；时，取得最小值； 【分析】（1）由，代入计算得，结合即可求解； （2）先求得，再结合正弦函数的性质求最值及相应的值即可． 【详解】（1）， ，解得， 又，则； （2） ， ， ， 则当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值． 23．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为． (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换把原式整理，根据正弦型函数的性质确定最小正周期，进而利用整体法求解单调区间. （2）代入条件得到对应角的正弦值，结合的范围，判断角所在的区间，再利用配角思想和余弦和角公式求解. 【详解】（1）由题意知， ， 所以函数的最小正周期 令，解得， 即函数的单调递减区间为． （2）由题意知，又， 所以， 又，所以， 所以 所以 . 24．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用二倍角公式降幂、辅助角公式，将原函数化为标准正弦型函数，再求周期； （2）求区间值域时，先由的范围推出整体角的取值范围，再结合正弦函数图像确定最值，进而得到函数值域. 【详解】（1）， 即， 所以的最小正周期 （2）当时，， 结合正弦函数的单调性： 当（即）时，取最大值； 当（即）时，取最小值， 因此 ，， 所以在上的值域为. 考点七　降幂公式的应用 25．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，结合可得出的最小值. 【详解】因为， 且点是函数的图象的一个对称中心， 所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 26．（2026·浙江宁波·二模）已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两角和、差的正弦公式、降幂公式及辅助角公式，可得的解析式，根据的最大值，即可得m值. （2）由（1）得的解析式，根据正弦型函数的性质，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ， 当时，有最大值， 所以，解得. （2）由（1）知，， 由，得，所以， 解得， 故满足条件的的取值集合为. 27．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 28．（25-26高三上·安徽浙江·阶段检测）若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式得，最后根据周期公式即可得到答案. 【详解】， 其周期，解得． 故选：A． 考点八　半角公式与万能公式 29．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知 ，且，则________. 【答案】 【详解】由题意可得，则， 由题意可得， 因为， 所以. 30．（2026·陕西·三模）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角函数值及角的范围可得角及所在象限，再由同角三角函数关系式及半角三角函数关系式可得. 【详解】已知，且，因此是第四象限角，即， 得，该区间是第二象限，因此. 由同角三角函数基本关系​，代入， 所以， 结合是第四象限角，，得. 由半角公式得， 因此. 31．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得，结合二倍角正切公式及万能公式求函数值. 【详解】由，则，故， 由. 32．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简 ，再比较它们所对应角度的正弦值大小. 【详解】已知 ，可得： 根据二倍角的正弦公式，对于 ，则有： ， 由半角公式，对于 ，这里 ，则有： ， 因为正弦函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 . 考点九　利用三角恒等变换判断三角形的形状 33．（26-27高一上·全国·课后作业）已知在中，，，则此三角形是______三角形． 【答案】等边 【分析】利用两角和正切公式求出，再由二倍角正弦公式求得，从而得解. 【详解】由， 得，即， 由，得，所以或． 由得，与有定义矛盾，所以只能． 所以是等边三角形． 故答案为：等边 34．（25-26高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 35．（25-26高一下·山东·阶段检测）在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 【答案】C 【分析】根据三角变换可得，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 故，故， 而，故即，故三角形为等腰三角形， 故选：C. 36．（25-26高一下·安徽宣城·期末）（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】BC 【分析】根据题意，结合两角和与差的正弦公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由 因为，且， 可得， 所以，可得或， 因为，所以或，所以为直角或等腰三角形. 故选：BC. 考点十　利用三角恒等变换公式化简求值 37．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简求值：_______________ 【答案】 【分析】切化弦结合三角恒等变换公式变形化简即可求解. 【详解】因为 ， 则， 所以. 38．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简：. 【答案】 【分析】应用二倍角正余弦公式及同角三角函数的关系化简函数式即可得. 【详解】原式 . 39．（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 40．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到的值，再平方求； （2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果. 【详解】（1）由二倍角公式：， 由余弦差角公式：. 由于原式分母不为0，故，则， 化简得，两边平方得 ， 解得. （2）将代入得 ， 则分子 ， 由降幂公式可知分母， 从而原式. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $