专题18 正弦、余弦函数的图象与性质高频考点精讲【12大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题18 正弦、余弦函数的图象与性质高频考点精讲 知识点1：正弦函数、余弦函数的周期 1．函数的周期性 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T )＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 【注意】(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期． 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． (3)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝． 知识点2：正弦函数、余弦函数的奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象关于原点对称 图象关于y轴对称 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 (1)对称中心为(kπ，0)(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ＋，k∈Z (1)对称中心为(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ，k∈Z 与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 知识点3：正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 在[＋2kπ，]上单调递增，在[＋2kπ，]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧 (1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上． 三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法 (1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值． (3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． 考点一　五点作图法画正弦、余弦函数图象 考点二　正弦、余弦函数的定义域 考点三　正弦、余弦函数的周期 考点四　正弦、余弦函数的奇偶性 考点五　正弦、余弦函数的对称性 考点六　正弦、余弦函数的单调性 考点七　正弦、余弦函数的值域与最值 考点八　由正弦、余弦函数图象解不等式 考点九　利用单调性比较大小 考点十　正弦、余弦函数的零点问题 考点十一　利用正弦、余弦函数求参数 考点十二　正弦、余弦函数性质的综合问题 考点一　五点作图法画正弦、余弦函数图象 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）用五点法作出函数，的图象. 【答案】 【详解】，， 列表如下： 描点作图如下： 2．（26-27高一上·全国·课后作业）利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表: x y 作图: 【答案】 0 x y 0 1 0 0 【分析】分别取等于，求出对应的的值，再通过描点得出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 【详解】先列表： 0 x y 0 1 0 0 再描点并画图， 3．（25-26高一下·上海静安·期中）用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 【答案】 【分析】令,取，列表描点，即得图象. 【详解】令,则，列表并描点作图，得 0 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0 4．（25-26高一下·全国·课后作业）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． (2) 找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到的图像，如图所示． (3) 找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． 【分析】（1）利用五点作图法作图； （2）利用五点作图法作图； （3）利用五点作图法作图. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 考点二　正弦、余弦函数的定义域 5．（25-26高一下·安徽淮北·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得,解不等式组即可求解． 【详解】根据题意得，, 解得, 解得. 故原函数的定义域为. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）函数 的定义域为 ______. 【答案】， 【详解】因为，即，， 同理，即，， 两者取交集，即，. 7．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为_______________________ 【答案】 【详解】要使函数有意义，得 ，即， 可得，故函数的定义域为 8．（25-26高一下·江西九江·阶段检测）函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式以及对数函数的定义域可得，整理可得，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】令，可得， 注意到，即，可得， 则，可得，整理可得， 解得或，， 所以函数的定义域为. 考点三　正弦、余弦函数的周期 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据周期函数的定义以及正弦函数的周期计算. 【详解】（1），即， 的周期是． （2）． ∴函数的周期是． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【详解】因， 则该函数的最小正周期为， 又因, 则函数为偶函数. 11．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】由题设，已知函数的最小正周期是. 12．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】利用偶函数定义可判断A正确，代入检验可知不是的最小正周期，故B不正确；对的正负进行分类讨论，可判断CD正确. 【详解】因为，的定义域为， 所以是偶函数，故A正确； 因为， 所以不是的最小正周期，故B不正确； 当时，，当时，， 所以的最大值为2，最小值为0，故C、D均正确． 故选：ACD． 考点四　正弦、余弦函数的奇偶性 13．（25-26高一下·北京·阶段检测）定义在上，且最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断四个函数的奇偶性和周期性. 【详解】四个选项中函数定义域均为全体实数，均满足题目要求，分别看每个选项： A选项，为奇函数，故不正确； B选项，，最小正周期为，故不正确； C选项，是将沿轴翻折，是偶函数，周期为，故正确； D选项，是将沿轴翻折，是偶函数，但周期为，故不正确. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 15．（26-27高三上·北京·开学考试）函数的图像关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】A 【详解】函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，关于轴对称． 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．是偶函数 B．最大值为2 C．最小值为-2 D．不是周期函数 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，代入整理，可判断A的正误；分段讨论，可得的解析式，作出图象，可判断B、C、D的正误. 【详解】因为， 所以是偶函数，故A正确； 当时，， 当时，， 因为是偶函数，图象关于轴对称，可得的图象如图所示： 由图象得的最大值为2，最小值为0，不是周期函数，故B，D正确，C错误. 考点五　正弦、余弦函数的对称性 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，求函数的对称轴和对称中心. 【答案】对称轴为，对称中心. 【详解】因为， 令，解得； 令，解得； 所以函数的对称轴为，对称中心. 18．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数（），． (1)求的值． (2)求函数的对称中心． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ， ，. （2）由得， 的对称中心是. （3）由得：， 解得：，的解集是. 19．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 20．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． 考点六　正弦、余弦函数的单调性 21．（26-27高二上·广东茂名·开学考试）已知是偶函数，在区间单调递增，则__________． 【答案】/ 【分析】根据为偶函数以及可得出的两个取值，然后利用诱导公式化简函数的解析式，结合余弦型函数的单调性检验即可得解. 【详解】由是偶函数，可得， 因为，所以或， 当时，， 若，则，此时函数在上单调递减，不符合题意； 当时，， 若，则，此时函数在上单调递增，符合题意. 综上所述，. 22．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则的单调递增区间为____. 【答案】 【详解】， 欲求函数的单调递增区间，只需求的单调递减区间. 由，得. 故函数的单调递增区间为. 23．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）函数的单调递增区间是______． 【答案】和. 【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案. 【详解】令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， 函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为和. 24．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）已知． (1)求的对称轴方程及单调递增区间； (2)若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将系数化正，再整体代换求解； （2）问题转化为与在有交点，由值域求解. 【详解】（1）由题设， 令，得， 所以函数对称轴方程为； 由，则单调增区间为的单调减区间， 令，则， 所以的单调增区间为； （2）方程在上有解，等价于与的图象有交点． 由，则，即， 所以，故m的取值范围为． 考点七　正弦、余弦函数的值域与最值 25．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)写出的最小正周期和图象的对称中心坐标； (2)求在的最小值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的周期公式及对称中心求解即可； （2）求出的范围，根据正弦函数的性质即可求解； （3）由题可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1） ，解得， 所以的最小正周期为，图象的对称中心坐标为 （2），，， 当时，取得最小值， 所以. （3）， 所以， . 26．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）若函数在与直线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分段，写出函数在每段的函数表达式，然后再画图，数形结合即可得到答案. 【详解】已知函数，， 当时，，此时；当时，，此时； 由正弦的图像可知，的图像如下图所示： 由于函数在与直线有四个交点，所以由图可知，，即， 因此，的取值范围为，故B正确. 27．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数的最小值为，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】令，再令，求出区间长度为，结合余弦函数的单调性和周期性，讨论当，，，时，的最大值，综合以上4种情况得出的最大值. 【详解】对任意，时，， 设左端点为，则右端点为，区间长度为．因为余弦函数的周期为， 所以只需考虑的情形．于是问题等价于： 求所有长度的区间上，的最小值的最大值，记为． 情况①：，此时，区间完全落在内，在此区间单调递减， 所以最小值在右端点取得，， 因为，所以，其最大值在该段为（当时）； 情况②：，此时，区间完全落在内，在此区间单调递增， 所以最小值在左端点取得，． 因为，所以，其最大值在该段也为（当时）； 情况③：，此时，，区间包含点，所以，显然不可能是最大值； 情况④：，此时区间跨过（等价于跨过0）， 设，则，且原区间可等价为． 在上，单调递减，最小值为； 在上，单调递增，最小值为． 又因为，所以． 因此，整个区间的最小值为， 由于和都在区间内，且余弦函数在上单调递减， 所以要使两者中较小的那个尽可能大，应使两者相等，即． 此时，故在该段内，的最大值为，对应的（在内）． 综上所述的最大值为. 28．（25-26高一下·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 考点八　由正弦、余弦函数图象解不等式 29．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数， (1)用五点法作出在一个周期上的图象； (2)根据函数图象，求不等式的解集. 【答案】(1)列表如下： 作出函数在一个周期上的图象如下图所示： (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象： （2）由可得，解之即可. 【详解】（1）略 （2）由可得，解得， 故不等式的解集为. 30．（25-26高一下·北京·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】先应用同角三角函数关系化简结合三角函数值域得出，最后应用正弦函数值域得出定义域. 【详解】函数满足， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数定义域为. 31．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，即， 所以，，解得，. 32．（25-26高一上·四川宜宾·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，把不等式转化为，结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 可得， 令，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 所以函数为偶函数. （2）解：由函数， 可得， 因为不等式，可得， 则满足，解得， 故该不等式解集为. 考点九　利用单调性比较大小 33．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)； (2)和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合诱导公式可得，，进而结合余弦函数的单调性判断即可； （2）结合诱导公式可得，进而结合正弦函数的单调性判断即可. 【详解】（1）∵， ， 而函数在上单调递减， ∴， 故有. （2）∵， 且函数在上单调递增， ∴， ∴，即. 34．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小. (1)与； (2) 与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式及正弦函数的单调性即可比较大小； （2）利用诱导公式及余弦函数的单调性即可比较大小. 【详解】（1）∵， ， 又函数在时是增函数， ∴， ∴. （2）∵ ， ， 又函数在上是减函数， . 35．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式和正弦函数的单调性比较与，再借助同角三角函数的商数关系比较与，即得三者的大小关系. 【详解】， 因函数在时单调递增， 由可得，即； 又因， 显然，则，即. 综上，. 36．（2026高三·全国·专题练习）下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】注意到，且， 因此． 考点十　正弦、余弦函数的零点问题 37．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）函数的零点个数是_________． 【答案】4 【分析】将函数零点转化为两函数和在同一坐标系下的交点个数，即可求得结果. 【详解】令，可得； 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图所示： 易知，当时，， 又因为为偶函数， 显然在轴左侧，因为，所以如上图所示在轴左侧两图象仅有一个交点， 在轴右侧，因为，因此在轴右侧两图象仅有三个交点， 因此两图象共有4个交点， 即函数的零点个数是4个. 38．（25-26高一下·河北张家口·期末）设函数（）在区间上恰有3个零点，则正整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的范围，再根据零点个数列出不等式，求解. 【详解】因为，，所以， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以正整数的取值范围为. 39．（2026高一·全国·专题练习）函数在内的零点之和为_____. 【答案】4 【分析】根据反比例函数和正弦型函数的对称性可知与均关于对称，作出两函数图象，采用数形结合的方式可确定交点个数，结合对称性可得结果. 【详解】令， 关于点对称，关于点对称； 令， 易知关于点对称； 在内的零点即为与的图象在内的交点的横坐标， 作出与图象如下图所示， 由图象可知：与在内共有个交点， 由对称性可知：交点横坐标之和为，即在内的零点之和为. 40．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，若，是方程的两个不相等的根，且满足的最小值为，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由得出x的表达式，结合的值最小为，可得，确定取最小值，即可求得答案. 【详解】由得或， 即或， 要使得的值最小为，需 ， 当且仅当时，等号成立，即有， 故选：D 考点十一　利用正弦、余弦函数求参数 41．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，若是函数的零点，为函数图像的一条对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】若是函数的零点，则；为函数图像的一条对称轴，则，再结合在上单调即可求得的取值范围. 【详解】若是函数的零点，则；为函数图像的一条对称轴，则，设函数的最小正周期为，那么 ， 令，则， 由于在上单调，则存在， 使得：, 又，故 ，又，故的最大值为. 42．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 【答案】 【详解】由函数是奇函数，得，而，则； 由函数是偶函数，得，而，则. 43．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称轴方程，由条件分析出整数的取值，再列出关于的不等式，求解即可. 【详解】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 44．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而结合余弦型函数的对称性易知在上单调，进而求出周期，即可求解. 【详解】因为恒成立，可知， 又点在上，可知， 而在区间上单调，由余弦型函数的对称性易知在上单调， 则，即. 45．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）若（）是奇函数，则_________． 【答案】 【详解】对于定义域为的函数， 若它是奇函数，则奇函数在处有定义时必有， 因此： ，由余弦函数零点性质得： ， 即， 结合约束条件，仅当时，满足范围， 代入验证得，确为奇函数. 46．（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解. 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 考点十二　正弦、余弦函数性质的综合问题 47．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．图象关于点对称 B．图象关于直线对称 C．若，则的最小值为 D．若，则或 【答案】BCD 【详解】选项A，将代入函数得， 因此图象不关于点对称，A错误； 选项B：是的最大值，因此图象关于直线对称，B正确； 选项C：的最小正周期， 说明是最大值点，说明是最小值点， 相邻最大值点和最小值点的水平距离最小为，即的最小值为，C正确； 选项D：由得或， 分别解得或，D正确. 48．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．图象的一条对称轴为直线 B．若，则的最小值是 C．在区间上单调递增 D．的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【分析】利用整体代入法求解对称轴判断A，利用换元法求解最小值判断B，利用整体代入法求解单调区间判断C，利用函数平移的性质判断D即可. 【详解】对于A，令，解得， 当时，，因此直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，则求在上的最小值即可， 由正弦函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 则的最小值为，故B错误， 对于C，令，解得， 当时，单调递增区间为，则在上单调递增，故C正确， 对于D，将的图像向下平移个单位，得到， 再向左平移个单位，得到，而，故D错误. 49．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知函数（）的图象过点和点. (1)求函数的解析式； (2)当时，求满足的的取值集合； (3)当时，方程恰好有两个不同的实数解、，求实数的取值范围，并求的值. 【答案】(1). (2). (3)，. 【分析】（1）代入点坐标，利用正弦的和角公式展开计算即可； （2）利用三角函数的单调性和值域求解； （3）将问题转化成两个图象的交点求解. 【详解】（1）将点和点代入解析式得：， 将①式化简得：， 将②式代入得：，则， 因为，所以，代入②式得：， 所以. （2），若，则， ，则或，解得： 即：满足的的取值集合为. （3）令，，所以， 恰好有两个不同的实数解、， 即直线和正弦函数在有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为、， 分别画出和在上的图象如下： 由三角函数的图象得点和点关于直线对称，则， 且，，， 所以 ，解得. 50．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)，最小正周期为. (2)和. (3)最大值为，最小值为． 【详解】（1），的最小正周期为. （2）（法一）设，因为，所以， 因为，的单调递减区间是和， 令，得， 令，得， 所以，的单调减区间是和. （法二），令， 解得， 因为. 所以，的单调减区间是和. （3）， 因为，则， 由的图像知， 则， 所以在区间上的最大值为，最小值为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 正弦、余弦函数的图象与性质高频考点精讲 知识点1：正弦函数、余弦函数的周期 1．函数的周期性 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T )＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 【注意】(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期． 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． (3)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝． 知识点2：正弦函数、余弦函数的奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象关于原点对称 图象关于y轴对称 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 (1)对称中心为(kπ，0)(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ＋，k∈Z (1)对称中心为(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ，k∈Z 与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 知识点3：正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 在[＋2kπ，]上单调递增，在[＋2kπ，]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧 (1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上． 三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法 (1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值． (3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． 考点一　五点作图法画正弦、余弦函数图象 考点二　正弦、余弦函数的定义域 考点三　正弦、余弦函数的周期 考点四　正弦、余弦函数的奇偶性 考点五　正弦、余弦函数的对称性 考点六　正弦、余弦函数的单调性 考点七　正弦、余弦函数的值域与最值 考点八　由正弦、余弦函数图象解不等式 考点九　利用单调性比较大小 考点十　正弦、余弦函数的零点问题 考点十一　利用正弦、余弦函数求参数 考点十二　正弦、余弦函数性质的综合问题 考点一　五点作图法画正弦、余弦函数图象 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）用五点法作出函数，的图象. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表: x y 作图: 3．（25-26高一下·上海静安·期中）用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 考点二　正弦、余弦函数的定义域 5．（25-26高一下·安徽淮北·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）函数 的定义域为 ______. 7．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为_______________________ 8．（25-26高一下·江西九江·阶段检测）函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 考点三　正弦、余弦函数的周期 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2)． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 11．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 12．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 考点四　正弦、余弦函数的奇偶性 13．（25-26高一下·北京·阶段检测）定义在上，且最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·北京·开学考试）函数的图像关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．是偶函数 B．最大值为2 C．最小值为-2 D．不是周期函数 考点五　正弦、余弦函数的对称性 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，求函数的对称轴和对称中心. 18．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数（），． (1)求的值． (2)求函数的对称中心． (3)求不等式的解集． 19．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 考点六　正弦、余弦函数的单调性 21．（26-27高二上·广东茂名·开学考试）已知是偶函数，在区间单调递增，则__________． 22．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则的单调递增区间为____. 23．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）函数的单调递增区间是______． 24．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）已知． (1)求的对称轴方程及单调递增区间； (2)若方程在上有解，求实数m的取值范围． 考点七　正弦、余弦函数的值域与最值 25．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)写出的最小正周期和图象的对称中心坐标； (2)求在的最小值； (3)若，求的值． 26．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）若函数在与直线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数的最小值为，则的最大值是_______． 28．（25-26高一下·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 考点八　由正弦、余弦函数图象解不等式 29．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数， (1)用五点法作出在一个周期上的图象； (2)根据函数图象，求不等式的解集. 30．（25-26高一下·北京·期中）函数的定义域为__________. 31．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·四川宜宾·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 考点九　利用单调性比较大小 33．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)； (2)和. 34．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小. (1)与； (2) 与. 35．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 36．（2026高三·全国·专题练习）下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点十　正弦、余弦函数的零点问题 37．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）函数的零点个数是_________． 38．（25-26高一下·河北张家口·期末）设函数（）在区间上恰有3个零点，则正整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 39．（2026高一·全国·专题练习）函数在内的零点之和为_____. 40．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，若，是方程的两个不相等的根，且满足的最小值为，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 考点十一　利用正弦、余弦函数求参数 41．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，若是函数的零点，为函数图像的一条对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 42．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 43．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 45．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）若（）是奇函数，则_________． 46．（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十二　正弦、余弦函数性质的综合问题 47．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．图象关于点对称 B．图象关于直线对称 C．若，则的最小值为 D．若，则或 48．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．图象的一条对称轴为直线 B．若，则的最小值是 C．在区间上单调递增 D．的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 49．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知函数（）的图象过点和点. (1)求函数的解析式； (2)当时，求满足的的取值集合； (3)当时，方程恰好有两个不同的实数解、，求实数的取值范围，并求的值. 50．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $