专题17 诱导公式高频考点精讲【8大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题17 诱导公式高频考点精讲 知识点1：诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 公式一： sin (α＋k·2π)＝sin α， cos (α＋k·2π)＝cos α， tan (α＋k·2π)＝tan α， 其中k∈Z． 知识点2：诱导公式二～四 1．公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α． 2．公式三 sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， tan (－α)＝－tan α． 3．公式四 sin (π－α)＝sin α， cos (π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α． 【注意】“函数名不变，符号看象限”． 知识点3：诱导公式五、六 1．公式五 sin ＝cos α， cos ＝sin α． 2．公式六 sin ＝cos α， cos ＝－sin α． 【注意】诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． 考点一　诱导公式一 考点二　诱导公式二、三、四 考点三　诱导公式五、六 考点四　利用诱导公式求值、化简 考点五　利用诱导公式证明等式 考点六　利用诱导公式求角 考点七　三角函数的定义与诱导公式的综合 考点八　三角形中的诱导公式问题 考点一　诱导公式一 1．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）_________． 【答案】/# 【分析】先用诱导公式，对化简，再进行求值即可. 【详解】由题意，. 2．（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）______ 【答案】 【详解】. 3．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）________． 【答案】 / 【详解】 4．（26-27高二·山东·学业考试模拟）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 考点二　诱导公式二、三、四 5．（26-27高三上·四川乐山·阶段检测）已知，，则______________. 【答案】 【分析】利用三角函数诱导公式化简已知条件得，结合同角三角函数的平方关系，及角的取值范围可得，再由诱导公式求解可得. 【详解】根据诱导公式，结合题设，可得. 由同角三角函数基本关系，且， 所以. 又根据诱导公式， 因此. 6．（2027高三·全国·专题练习）已知． (1)若，是第三象限角，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再通过已知条件求出，结合所在象限求出，代入求值； （2）利用诱导公式化简求值． 【详解】（1）． 因为，所以． 因为是第三象限角，所以． ． （2）． 7．（25-26高一下·上海·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，错误； B：，错误； C：，错误； D：，正确． 8．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简已知： ， 分子分母分别用诱导公式化简： ， ， ， ， 原式： ， 分子分母同除以：， 代入， . 考点三　诱导公式五、六 9．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）角的终边过点，由定义得； （2）原式． 10．（2027高三·全国·专题练习）已知是方程的根，是第三象限角，则______． 【答案】 【分析】由是第三象限角，可得，然后由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】方程的根为或2， 又是第三象限角，则，从而， 得，又， ，，. 则原式． 11．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知角α的终边经过点. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）因为角α的终边经过点，且， 所以，. （2）由题意可得：. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【详解】根据诱导公式即可求解. 原式 ． 考点四　利用诱导公式求值、化简 13．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【详解】因为，则， 所以. 14．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 15．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【详解】因为， 所以 16．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义依次求解即可； （2）根据诱导公式化简，再将（1）的结论代入计算即得. 【详解】（1）由点得，，. 则，，； （2）原式. 将代入，可得原式=. 考点五　利用诱导公式证明等式 17．（25-26高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】 左边右边， 所以． 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】略 18．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 19．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】 （1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】略 20．（25-26高一·全国·课后作业）求证：＝． 【答案】 左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题. 【详解】略 考点六　利用诱导公式求角 21．（2026·浙江·模拟预测）已知，则可能是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式代入计算可得； 【详解】解：对于A，当时，左边，右边，不符合题意； 对于B，当时，左式，右式，满足条件. 对于C，当时，左式，右式，不满足条件. 对于D，当时，左式，右式，不满足条件. 故选：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，属于基础题. 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知终边上一点的坐标为，则可能是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】根据得为第一象限角，再根据三角函数的定义计算得，则答案可得. 【详解】解：因为，所以为第一象限角，排除BD， 所以可能是. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，是基础题. 23．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 【答案】 （答案不唯一，只需满足，且即可） 【详解】由，得，且时满足题意； 令，可得. 此时，，满足题意. 24．（25-26高一上·北京东城·期末）已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为__________，__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】利用三角函数的诱导公式，得出，之间的关系，进行讨论，代入符合题意的角即可. 【详解】由诱导公式，可知， 因为，则，，或，， ，或， 即，或， 故想说明命题为假命题，只需举出满足的角即可， 即，， 又因为，则或时， 故，或，且满足， 如：，：，，，， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）. 考点七　三角函数的定义与诱导公式的综合 25．（26-27高三·全国·一轮复习）已知. (1)化简的表达式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）① 当为偶数，令， ， ② 当为奇数，令， ， 综上，无论取奇数还是偶数，. （2）由（1）得. 26．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式逐项化简再约分即可； （2）由计算得的值，结合 知 ，故结果取负数. 【详解】（1） . （2）因为 ，所以， 因此. 又，，即， 因此. 27．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 28．（25-26高一下·江西抚州·期中）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单位圆即可求解； （2）利用诱导公式先化简，再利用三角函数的定义即可求解； （3）由已知得，又，进而得，利用同角三角函数得，进而求解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得； （2）由（1）得，， 所以 ； （3）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为， 由， 所以. 考点八　三角形中的诱导公式问题 29．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角形内角和为及诱导公式即可逐项判断． 【详解】∵，∴，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确． 故选：ACD． 30．（26-27高一上·全国·课后作业）设是的三个内角，下列四个表达式：①②，③，④，其中始终表示常数的是（    ） A．① B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据三角形内角和及诱导公式化简可解. 【详解】，故①为常数； ，故②不是常数； ，故③为常数； ，故④不是常数. 故选：B. 31．（25-26高一上·江苏苏州·期末）已知的三个内角分别是，，. (1)求证：. (2)若. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1) 在中，， 所以 所以． (2)①② 【分析】（1）结合内角和公式，利用诱导公式化简，由此证明结论； （2）①由两边平方，结合平方关系求，利用诱导公式结合商的关系可得，由此可求结论；②结合角的范围可得，由此可求结论. 【详解】（1）略 （2）①因为，且， 所以， 所，从而. 所以. ②由，可知， 所以. 32．（25-26高一·全国·课后作业）已知、、为的三个内角，求证： 【答案】 在中，，则. 所以， ， 故原等式得证. 【分析】利用三角形的内角和定理可得出，再结合诱导公式可证得原等式成立. 【详解】略 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 诱导公式高频考点精讲 知识点1：诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 公式一： sin (α＋k·2π)＝sin α， cos (α＋k·2π)＝cos α， tan (α＋k·2π)＝tan α， 其中k∈Z． 知识点2：诱导公式二～四 1．公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α． 2．公式三 sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， tan (－α)＝－tan α． 3．公式四 sin (π－α)＝sin α， cos (π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α． 【注意】“函数名不变，符号看象限”． 知识点3：诱导公式五、六 1．公式五 sin ＝cos α， cos ＝sin α． 2．公式六 sin ＝cos α， cos ＝－sin α． 【注意】诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． 考点一　诱导公式一 考点二　诱导公式二、三、四 考点三　诱导公式五、六 考点四　利用诱导公式求值、化简 考点五　利用诱导公式证明等式 考点六　利用诱导公式求角 考点七　三角函数的定义与诱导公式的综合 考点八　三角形中的诱导公式问题 考点一　诱导公式一 1．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）_________． 2．（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）______ 3．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）________． 4．（26-27高二·山东·学业考试模拟）的值为（   ） A． B． C． D． 考点二　诱导公式二、三、四 5．（26-27高三上·四川乐山·阶段检测）已知，，则______________. 6．（2027高三·全国·专题练习）已知． (1)若，是第三象限角，求的值； (2)若，求的值． 7．（25-26高一下·上海·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 考点三　诱导公式五、六 9．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 10．（2027高三·全国·专题练习）已知是方程的根，是第三象限角，则______． 11．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知角α的终边经过点. (1)求和的值； (2)求的值. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简：． 考点四　利用诱导公式求值、化简 13．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知，则（    ） A． B．2 C．0 D． 14．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知，则________． 16．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 考点五　利用诱导公式证明等式 17．（25-26高一上·上海·课堂例题）证明：． 18．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）（1）求证：； （2）设，求证. 20．（25-26高一·全国·课后作业）求证：＝． 考点六　利用诱导公式求角 21．（2026·浙江·模拟预测）已知，则可能是（    ） A．0 B． C． D． 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知终边上一点的坐标为，则可能是（    ） A． B．3 C． D． 23．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 24．（25-26高一上·北京东城·期末）已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为__________，__________． 考点七　三角函数的定义与诱导公式的综合 25．（26-27高三·全国·一轮复习）已知. (1)化简的表达式； (2)求. 26．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 27．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 28．（25-26高一下·江西抚州·期中）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 考点八　三角形中的诱导公式问题 29．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 30．（26-27高一上·全国·课后作业）设是的三个内角，下列四个表达式：①②，③，④，其中始终表示常数的是（    ） A．① B．①③ C．②④ D．③④ 31．（25-26高一上·江苏苏州·期末）已知的三个内角分别是，，. (1)求证：. (2)若. ①求的值； ②求的值. 32．（25-26高一·全国·课后作业）已知、、为的三个内角，求证： 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $