专题21 函数y=Asin(wx+φ)高频考点精讲【6大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题21 函数y=Asin(wx+)高频考点精讲 知识点1：A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 知识点2：函数y＝A sin (ωx＋φ) (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 (2)用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝A sin (ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 (3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 方法一(先平移后伸缩)　方法二(先伸缩后平移) 【注意】左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关． 知识点3：三角函数的应用 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 2．简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0． (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f ＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 【注意】如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin ，应先变成y＝sin ＝sin ． 考点一　由图象确定正(余)弦型函数解析式 考点二　由正(余)弦函数的性质确定解析式 考点三　识别正(余)弦型三角函数的图象 考点四　解析式特征 考点五　正(余)弦型函数图象的变换过程 考点六　求图象变化前(后)的解析式 考点七　三角函数的性质综合应用 考点八　三角函数实际应用问题 考点一　由图象确定正(余)弦型函数解析式 1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（多选）如图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 4．（2026·甘肃张掖·二模）（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．是的图象的一个对称中心 D．在上的值域为 考点二　由正(余)弦函数的性质确定解析式 5．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知函数，的图象的两个相邻对称中心的距离为，且，，则和的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（    ） A． B．0 C． D．1 考点三　识别正(余)弦型三角函数的图象 9．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·福建·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·全国·单元测试）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 考点四　解析式特征 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）正弦型函数的相位是_______. 14．（25-26高一下·上海·期中）函数的初始相位为______. 15．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的振幅、频率和初始相位. 16．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 考点五　正(余)弦型函数图象的变换过程 17．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（     ） 0 0 5 0 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 18．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知函数，，要得到的图象，可由的图象（    ） A．先将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 19．（26-27高二上·河南·阶段检测）函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 20．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ） A． B． C． D． 考点六　求图象变化前(后)的解析式 21．（26-27高三上·山西·阶段检测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 22．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 23．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________． 24．（26-27高三上·北京·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点七　三角函数的性质综合应用 25．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．的最小正周期为 B．直线 是 图象的一条对称轴 C．将 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关于原点对称 D．的图象关于点 对称 26．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 27．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（）的图像关于点对称． (1)求的值和在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 28．（25-26高一下·湖北·期中）（多选）将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（   ） A．函数的解析式为 B．函数的对称中心为 C．若，则x的取值范围为 D．若方程在内恰有两个根，则 考点八　三角函数实际应用问题 29．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数解析式为__________. 30．（2026高一·全国·专题练习）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．某地一摩天轮与地面的垂直高度（最高处与地面的距离）为208米，直径193米，入口在最底部．摩天轮逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是（ ） A．若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半 B．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度米）与时间（分钟）的函数解析式为 C．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米 D．游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米 31．（26-27高一上·全国·课后作业）已知某海滨浴场的海浪高度是时间，单位：时的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据. 经长期观测，可近似看成是函数. (1)根据上表数据，求函数的最小正周期、振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度等于或高于时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内时至时之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动. 32．（26-27高一上·全国·课堂例题）某港口水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作，下面是某日水深的数据. t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 函数y=Asin(wx+)高频考点精讲 知识点1：A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 知识点2：函数y＝A sin (ωx＋φ) (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 (2)用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝A sin (ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 (3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 方法一(先平移后伸缩)　方法二(先伸缩后平移) 【注意】左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关． 知识点3：三角函数的应用 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 2．简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0． (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f ＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 【注意】如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin ，应先变成y＝sin ＝sin ． 考点一　由图象确定正(余)弦型函数解析式 考点二　由正(余)弦函数的性质确定解析式 考点三　识别正(余)弦型三角函数的图象 考点四　解析式特征 考点五　正(余)弦型函数图象的变换过程 考点六　求图象变化前(后)的解析式 考点七　三角函数的性质综合应用 考点八　三角函数实际应用问题 考点一　由图象确定正(余)弦型函数解析式 1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（多选）如图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由图知函数的最小正周期，所以. 当时，， 由图知是函数的下降零点， 所以，所以. 所以； 当时，， 由图知是函数的上升零点，所以， 所以.所以. 综上所述，或者. 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数图象可知，，， 所以，即，所以， 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，此时不存在； 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，， 函数. 3．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由图中两个关于零点中心对称的点，先确定一个零点，再利用相邻零点间的距离求周期和；结合图象经过的点求与； （2）令，将自变量区间转化为角的区间，再根据余弦函数在相应区间上的单调性求值域．（3）令 ，先统计方程 在给定区间内的零点个数，再研究方程 的两个根分别应落在哪两个区间，最后利用两根之积为1求的范围． 【详解】（1）由图可知，图象经过点 和 ，这两点关于点 中心对称，所以 图中 与 是相邻两个零点，因此从而 在 处，图象由正变负，所以 解得 由 ，得 ． 又因为 ，所以解得 ． 故 （2）令 当时， 将该区间中的角同时加上，不改变余弦值，得到 在上，余弦函数由减小到；在上，余弦函数由增大到． 所以从而 故在上的值域为． （3）令 当时， 在该区间内，函数的图象如下． 将区间依次分成 在这四个区间上，依次单调递减、单调递增、单调递减、单调递增，端点函数值依次为 因此，方程的根数为： 当时，有4个不同的根； 当时，有3个不同的根； 当时，有2个不同的根； 当时，有2个不同的根；当时，有1个根． 函数的零点满足 令，则 满足 要使在给定区间上恰有7个零点，上述方程必须有两个不同的实根，其中一个根对应4个 ，另一个根对应3个 ． 因此，可设其中一个根为 ，且 由两根之积为1，另一个根为． 因为，所以它恰好落在 内，对应3个 ． 反之，任取，两个根与分别对应4个和3个，共得到7个零点． 由两根之和为，得 对勾函数在上单调递增，时，时， 故的取值范围为 4．（2026·甘肃张掖·二模）（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．是的图象的一个对称中心 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】首先根据函数图象求函数的解析式，判断AB，再根据正弦函数的性质，利用代入法，判断CD. 【详解】由图象可知，函数的2个周期为， 所以，得， 当时，，得，， 因为，所以，故A错误，B正确； ，，所以的一个对称中心是，故C正确； 当时，，的值域为，故D错误. 考点二　由正(余)弦函数的性质确定解析式 5．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知函数，的图象的两个相邻对称中心的距离为，且，，则和的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据条件分析出周期，并计算和求解. 【详解】由的图象的两个相邻对称中心的距离为，可知， 则，， ， ，即，因为，所以， 由，得，所以. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期，即可得，再利用可求出，结合函数对称性即可得解. 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得， 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 7．（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的最大值、最小正周期、过点，依次求得，从而确定正确答案. 【详解】由于的最大值为，所以. 由于的最小正周期，所以. 所以， 代入点，得， 由于，所以. 所以. 8．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用函数过已知点求解，再根据零点的最小距离求解，最后代入计算函数值. 【详解】因为 图象过点， 所以 ，所以， 因为，所以， 令 ，所以， 所以，或, 解得，或, 相邻零点的最小距离是， 由题意的任意两个零点，之间距离的最小值为， 所以，所以，所以， 所以. 考点三　识别正(余)弦型三角函数的图象 9．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及值域，即可由排除法判断求出． 【详解】设，易知，所以函数为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当，，故排除；当时，，排除，所以正确的是D． 故选：D． 10．（25-26高二下·福建·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在时的函数值的正负情况判断可得； 【详解】解：因为，所以函数的定义域为，，即函数为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D， 当时，，，所以，，故排除C； 故选：B 11．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，可得函数在处无定义，且关于原点对称，即可判断； 【详解】解：由图可知函数的定义域中不含，且函数图象关于原点对称， 与的定义域均为，不符合题意，故A、B错误； 对于C：，则，故C错误； 对于D：定义域为，且，符合题意； 故选：D 12．（25-26高一下·全国·单元测试）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的奇偶性和在上的符号，利用排除法可得正确的选项. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除AC； 因为当时，排除D. 故选：B. 考点四　解析式特征 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）正弦型函数的相位是_______. 【答案】 【分析】根据相位的定义进行求解. 【详解】由正弦型函数可知，相位为. 14．（25-26高一下·上海·期中）函数的初始相位为______. 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 15．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的振幅、频率和初始相位. 【答案】振幅为，频率为，初始相位为 【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【详解】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 16．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 【答案】 【分析】由振幅确定，最小正周期确定，初始相位确定. 【详解】因为函数（，）的振幅是3， 最小正周期是，初始相位是. 所以, ，. 即这个函数的表达式为 考点五　正(余)弦型函数图象的变换过程 17．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（     ） 0 0 5 0 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【详解】由，则. 由，可得. 又，所以. 所以将函数的图象向左平移，可得的图象. 18．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知函数，，要得到的图象，可由的图象（    ） A．先将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 【答案】BC 【分析】先将化简为余弦型辅助角形式，再根据三角函数图像的伸缩、平移变换规则，逐一对各选项的变换过程验证，判断是否得到的图像. 【详解】由题意可得：， 对A选项，横坐标伸长为原来的倍可得， 右移可得：，振幅为，与解析式不符，A错误， 对B选项，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得， 右移可得，B正确， 对C选项，向右平移可得，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得，C正确， 对D选项，向右平移得，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得，与解析式不符，D错误. 19．（26-27高二上·河南·阶段检测）函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】  因为， 根据图象平移规则，函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 20．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的变换即可得到的值． 【详解】由，， 因为， 则将的图象向左平移个单位，就可以得到的图象， 因为函数的最小正周期为， 则将其向左平移个单位，即相当于将其向右平移个单位即可得到的图象， 所以． 考点六　求图象变化前(后)的解析式 21．（26-27高三上·山西·阶段检测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为． 22．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象向右平移个单位，得的图象， 再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到的图象. 23．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到的解析式，再结合两函数的值域特征推导方程有实根时，的取值规律，任选符合条件的取值即可． 【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到， 再向上平移2个单位长度得， 的值域为，的值域为， 要使得，需使得， 由，得， 由，得， 所以，即， 所以， 化简得， 取，得． 24．（26-27高三上·北京·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到 函数图象的解析式为， 再将所得函数图象向右平移个单位得到函数图象的解析式为， 即． 考点七　三角函数的性质综合应用 25．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．的最小正周期为 B．直线 是 图象的一条对称轴 C．将 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关于原点对称 D．的图象关于点 对称 【答案】ABD 【分析】先用辅助角公式化简，再利用正弦型三角函数的性质逐项进行判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期为，正确； 对于B，令,得 ，故函数 图象的对称轴为直线， 所以直线 是 图象的一条对称轴，正确； 对于C，将 的图象向右平移 个单位长度后， 函数解析式转化为，不是奇函数，所得图象不关于原点对称，错误； 对于D，令,得 ，故函数 图象的对称中心为， 所以的图象关于点 对称，正确. 26．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【答案】AD 【分析】借助余弦函数图象的对称性，先求出对称轴，从而得到周期与相位，求出解析式，然后依次求函数值、区间值域及图象平移与偶函数即可. 【详解】对于A：因为轴，所以的一条对称轴为， 所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以， 是的零点，且在单调递减区间内，所以，所以， 因为，所以取，得，所以， 则，故B错误； 对于C：因为，当时，， 所以，所以，故C错误； 对于D：将的图象向左平移个单位长度后得到， 因为，所以是偶函数，故D正确. 27．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（）的图像关于点对称． (1)求的值和在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【分析】（1）由对称中心，结合范围得的值​；通过换元以及利用正弦函数的值域得在区间上的值域； （2）函数在 上单调递增，则整体角落在正弦的增区间内，列不等式组求解； （3）恒成立等价于​，先计算得​；应用换元法化简 ，得到的二次函数开口向下，分类讨论对称轴位置求最大值，解不等式得范围. 【详解】（1）由题意可知时， （）， 即 ，又，所以， 即， 当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减， 则此时，所以在区间上的值域为； （2）由上知，所以，显然，即， 当时，， 若要符合题意需， （）， 解不等式得，易知，则，此时． （3）因为对任意的，，都有，所以． 因为，所以，所以，所以， ， 令，则，．对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上． 28．（25-26高一下·湖北·期中）（多选）将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（   ） A．函数的解析式为 B．函数的对称中心为 C．若，则x的取值范围为 D．若方程在内恰有两个根，则 【答案】ACD 【分析】先通过图象变换得到，然后利用三角函数的性质，通过整体代入求函数的对称中心和不等式的解集，最后利用整体代换的思想将令，将转化为，得出答案. 【详解】左平移个单位长度 横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 向下平移个单位长度 所以，即，A项正确. 由得， 即函数的对称中心为，B项错误. 由，得，由三角函数的图象可得 ，所以x的取值范围为，C项正确. 令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则即在内恰有两个根， 所以，而，故， 故，D项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：在三角函数的解题中，我们经常使用整体代换的思想，令解决问题. 考点八　三角函数实际应用问题 29．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数解析式为__________. 【答案】 【详解】设点距离水面的高度与时间的函数关系式为， 水轮每分钟逆时针转动5圈，即周期, 所以角速度, 水轮的半径为1米， 所以点相对于圆心的垂直距离最大为1米，故振幅； 因为点 恰好从水中浮现，此时点距离水面的高度为， 又因为圆心距离水面米，所以，点 的初始纵坐标为， 由题意可知，点在第四象限，且， 为了满足点接下来向上运动（即逆时针旋转），初相， 所以. 30．（2026高一·全国·专题练习）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．某地一摩天轮与地面的垂直高度（最高处与地面的距离）为208米，直径193米，入口在最底部．摩天轮逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是（ ） A．若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半 B．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度米）与时间（分钟）的函数解析式为 C．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米 D．游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米 【答案】BD 【分析】由转速和转动时间的关系判断选项A；待定系数法求的函数解析式判断选项B；利用函数解析式求函数值判断选项C；辅助角公式化简高度差的表达式，结合三角函数知识求最大值判断选项D. 【详解】对于A，若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的2倍，故A错误； 设，， 对于B，则且，解得， 摩天轮转动的周期为30分钟，，则， 所以， 令，则有，解得， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，两人间隔5个座舱，乙与甲进入座舱的时间间隔为5分钟，所以两人距离地面的高度差， ， 当时，， 当或，即或25时，取得最大值96.5，故D正确. 31．（26-27高一上·全国·课后作业）已知某海滨浴场的海浪高度是时间，单位：时的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据. 经长期观测，可近似看成是函数. (1)根据上表数据，求函数的最小正周期、振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度等于或高于时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内时至时之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动. 【答案】(1)； (2)小时 【分析】（1）由表格读取周期，利用最大值、最小值求振幅等，得到函数解析式； （2）解三角不等式，再截取的区间，计算符合条件的时长. 【详解】（1）由表格，与浪高均为，可得最小正周期，所以， 由及得 解得：， 所以； （2）因为，所以，即， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以浴场从到对冲浪爱好者开放，有小时可进行运动. 32．（26-27高一上·全国·课堂例题）某港口水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作，下面是某日水深的数据. t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）． 【答案】(1) (2)16小时 【分析】（1）观察给定数据的规律并结合正弦函数的性质即可求出； （2）根据船舶安全进出港的水深条件，通过三角不等式求出时间的取值范围，进而得出在港内停留的最长时间. 【详解】（1）观察表格可知，函数在和时，的值相等，故函数的周期为，， 由数据可知，函数的最大值约为，最小值约为，根据振幅的计算公式可得，即， 故函数的近似表达式为； （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于米， ，， 根据正弦函数的性质可解得， 即． 在同一天内，取时，；取时，， 该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $