5.7 三角函数的应用教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦三角函数的应用，核心是用y=A sin(ωx+φ)模型刻画周期现象。通过播放潮汐、摩天轮、弹簧振子短视频导入，唤醒学生对周期性的认知，衔接已学的三角函数定义、图象与性质，搭建知识综合应用的学习支架。 此资料亮点在于完整呈现数学建模过程，以弹簧振子、交变电流为跨学科情境，结合几何画板动态演示参数A、ω、φ的确定，培养数学建模素养与几何直观。多样化练习从基础到综合，助力学生掌握“观察—建模—求解”流程，提升数学思维与表达能力，也为教师提供可迁移的教学范式，高效突破重难点。

人教A版 5.7 三角函数的应用 必修第一册 教学设计-2026-2027学年 高一 数学 一、教学设计 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 教材版本 人教A版 必修第一册 第五章 5.7 三角函数的应用 1课时 新授课 授课对象 高一学生 课型 新授课 教学方法 情境探究法、启发讲授法 教学手段 多媒体 几何画板 投屏设备 黑板 学案 教材 直尺 二、教材分析 本节课是人教A版必修第一册第五章5.7《三角函数的应用》。在此之前，学生已经系统学习了三角函数的定义、图象与性质，掌握了函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律。本节内容是三角函数知识的综合应用与延伸，起着承上启下的作用。教材以弹簧振子和交变电流为背景，引导学生经历从实际数据中抽象出三角函数模型的全过程，体现了数学与物理学科的交叉融合。通过本节学习，学生能够深刻体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型，培养数学建模素养。 教材在处理上突出了建模的一般思路：观察周期性、收集数据作散点图、选择y=A sin(ωx+φ)类模型、由数据确定参数、用解析式解决问题。这一过程既是本节课的主线，也是学生后续面对实际问题时可迁移的方法论。 三、学情分析 高一学生在物理课中已接触过简谐运动、交变电流等基本概念，对周期性运动有直观感知。在数学上，学生已掌握正弦函数y=sin x的图象特征及y=A sin(ωx+φ)的图象变换，具备从图象中识别振幅、周期、初相的知识基础。 学生的困难在于：第一，将物理现象转化为数学语言的建模意识较弱，面对散点图时不知如何选择模型；第二，由初始条件确定初相φ时，需要解三角方程，学生容易忽略φ的多值性及合理取值；第三，对振幅、周期、频率等物理量与解析式中常数A、ω、φ的对应关系理解不够深刻，容易混淆。教学中需通过具体数据驱动，让学生在计算中自行发现并巩固这些对应关系。 四、课程标准及目标分析 课程标准要求：会用三角函数解决简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型。 素养目标： 1.（数学建模）能够从弹簧振子、交变电流等具有周期性的实际情境中，经历收集数据、作散点图、选择y=A sin(ωx+φ)模型并确定参数A、ω、φ的完整建模过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型。 2.（数学运算）理解振幅、周期、频率、相位、初相等物理量与解析式中常数的对应关系，能根据已知数据或图象准确求解参数并计算指定时刻的函数值，提升代数运算与数据分析能力。 五、教学重难点 教学重点：用三角函数模型刻画具有周期性的实际现象，由数据或图象确定y=A sin(ωx+φ)中的参数A、ω、φ。 教学难点：把实际问题抽象为三角函数模型的建模过程；振幅、周期、频率、相位、初相等概念与解析式中常数的对应关系；初相φ的确定。 六、网络多媒体教室 本节课安排在网络多媒体教室进行。教室内配备教师机、投影仪及学生用计算机。教师可利用几何画板动态演示散点图拟合正弦曲线的过程，帮助学生直观理解模型选择与参数确定。学生可通过投屏软件展示自己的建模思路与计算过程，便于全班交流讨论。 七、几何画板软件、投屏软件 几何画板用于现场绘制弹簧振子的散点图，并动态调节参数A、ω、φ，让学生观察曲线与数据点的吻合程度，直观感受参数变化的几何效果。投屏软件用于展示学生作业，支持教师及时点评学生在确定初相φ时的典型错误，实现课堂互动与精准反馈。 八、教学过程 （一）情境导入 教师活动 学生活动 设计意图 播放潮汐涨落、摩天轮转动、弹簧振子振动的短视频，提问：这些现象有什么共同特征？引导学生回忆三角函数的周期性。 观察视频，发现这些现象都具有周而复始、循环往复的特点，回忆正弦函数y=sin x的图象具有周期性。 从生活实例切入，唤醒周期性概念，为用三角函数描述周期现象做铺垫。 教师总结：现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。今天我们来学习三角函数的应用。 （二）探究新知——弹簧振子问题 师：问题1：上节课我们学习了y=A sin(ωx+φ)的图象与性质，现在来看一个物理实验。弹簧振子振动时，测得振子位移y（单位：mm）随时间t（单位：s）的数据表如下，你能从数据中读出哪些信息？ 生：观察数据表，发现位移y在−20到20之间变化，最大值是20，最小值是−20，说明振动的幅度为20 mm。 师：追问1：由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=A sin(ωt+φ)来刻画。你能根据数据确定参数A吗？ 生：振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A=20。 师：追问2：观察数据，振子从平衡位置出发再回到同侧最大位移处所需时间是多少？一个完整周期是多少？如何求ω？ 生：从数据表可看出振子振动的周期为0.6 s，即=0.6，解得ω=。 师：追问3：再由初始状态（t=0）振子的位移为−20，你能确定初相φ吗？ 生：将t=0，y=−20代入y=20sin(ωt+φ)，得sin φ=−1，可取φ=−。 教师板书推导过程：将A=20，ω=，φ=−代入，得振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin( t−)，t∈[0，+∞)。 教师追问：为什么φ可以取−？取可以吗？学生讨论后回答：sin φ=−1的解为φ=−+2kπ（k∈Z），取k=0时φ=−，取k=1时φ=，两者相差2π，对应的函数图象相同，通常取绝对值较小的φ。答案：可以取，但通常取φ=−。 （三）概念归纳——简谐运动 师：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为"简谐运动"。简谐运动可以用什么函数表示？ 学生思考后回答 引入物理概念，建立学科联系 生：在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0。 学生记录定义 掌握简谐运动的数学表达 师：A是什么含义？ 生：A是振幅，即做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。 理解振幅与A的对应 师：周期T与ω的关系是什么？ 生：周期T=，是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间。 理解周期与ω的对应 师：频率f如何计算？ 生：频率由公式f==给出，是单位时间内往复运动的次数。 理解频率与ω的对应 师：什么是相位和初相？ 生：ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相。 理解相位与初相概念 师：在弹簧振子问题中，振幅、周期、频率、初相各是多少？ 生：振幅A=20 mm，周期T=0.6 s，频率f= Hz，初相φ=−。 巩固概念对应关系 师：你能将它进行数学模型化吗？请总结建模步骤。 生：数学模型化：观察周期性→收集数据作散点图→选择y=A sin(ωx+φ)类模型→由数据确定参数A、ω、φ→用解析式解决问题。 培养学生归纳建模步骤 师：下面我们来看交变电流问题。实验测得交变电流i随时间t变化的图象如图所示，你能从图象中读出哪些信息？ 生：电流最大值为5 A，最小值为−5 A，周期为0.02 s。 从图象提取参数信息 师：追问1：已知条件中A是多少？ 生：A=5。 确定振幅 师：追问2：周期0.02 s，如何求ω？ 生：=0.02，解得ω=100π。 由周期求ω 师：追问3：图象过原点且在原点处上升，φ是多少？ 生：t=0时i=0且上升，得sin φ=0，取φ=0。 由初始条件确定初相 师：完整解析式是什么？ 生：i=5sin(100πt)，t∈[0，+∞)。 写出完整解析式 师：t=0.0075时电流值是多少？ 生：代入计算i=5sin(100π×0.0075)=5sin()=5×=。 用解析式解决问题 师：t=0.01时呢？ 生：i=5sin(100π×0.01)=5sin(π)=0。 验证零点时刻 师：对比两个例题，确定参数A、ω、φ的关键是什么？ 生：A由最大值确定，ω由周期确定，φ由初始状态确定。 提炼方法 师：初相φ的确定需要注意什么？ 生：需要代入初始条件解三角方程，注意φ的多值性，通常取绝对值较小的值。 突破难点 （四）巩固练习 师：请同学们完成以下练习。已知一简谐运动的位移y=A sin(ωx+φ)的振幅为3，周期为π，初相为，求解析式。 生：A=3，T=π所以=π得ω=2，φ=，解析式为y=3sin(2x+)。 直接套用概念确定参数 师：练习2。已知简谐运动y=4sin(3x+φ)的周期和振幅，并求当x=0时y=2且上升时的φ。 生：振幅A=4，周期T=。由4sin φ=2得sin φ=，又上升故φ=。 由初始条件确定初相 师：练习3。某摩天轮半径为50 m，匀速转动一周需10 min，游客在最低点登舱，求距地面高度h与时间t的函数关系。 生：A=50，T=10所以ω=，最低点登舱即t=0时h取最小值，φ=−，h=50sin( t−)+60。 综合应用建模 师：追问：为什么h要加60？ 生：因为平衡位置在轮心高度60 m处，需要加上轮心离地高度。 理解竖直平移 师：练习4。某交流电压u=220sin(100πt+)（单位：V），求电压的最大值、周期和频率。 生：最大值220 V，周期T== s，频率f=50 Hz。 由解析式反求物理量 师：练习5。t=0时电压值是多少？ 生：u=220sin()=220×=110 V。 求指定时刻函数值 师：练习6。潮汐问题：某港口水深h（m）与时间t（h）关系近似满足h=5sin( t−)+8，求高潮和低潮时刻的水深。 生：高潮：sin( t−)=1时h=13 m；低潮：sin( t−)=−1时h=3 m。 求最大值与最小值 师：练习7。求水深为10.5 m的时刻。 生：5sin( t−)+8=10.5，sin( t−)=，得 t−=或，解得t=4或t=8。 解三角方程求时刻 师：练习8。已知简谐运动y=A sin(ωx+φ)图象过点(0，0)且在x=0处上升，周期为4π，振幅为2，求解析式。 生：A=2，=4π得ω=，过原点上升φ=0，y=2sin(x)。 由图象特征确定参数 师：练习9。若上题改为在x=0处下降，φ是多少？ 生：过原点下降则φ=π，y=2sin(x+π)。 初相符号判定 师：练习10。求y=2sin(x+π)的频率。 生：T=4π，f==。 频率计算 师：练习11。某单摆运动满足θ=0.1sin(2πt)（弧度），求周期和振幅。 生：振幅A=0.1 rad，周期T==1 s。 识别参数 师：练习12。t=时角度θ是多少？ 生：θ=0.1sin(2π×)=0.1sin()=0.1 rad。 求指定时刻值 师：今天我们学习了三角函数的应用，请大家归纳建模的一般步骤。 生：观察周期性→收集数据作散点图→选择y=A sin(ωx+φ)模型→确定参数A、ω、φ→用解析式解决问题。 总结建模流程 （五）课堂小结 教师引导学生回顾本节课的核心内容：1. 具有周期性的现象可以用三角函数y=A sin(ωx+φ)来描述；2. 简谐运动中，A是振幅，周期T=，频率f==，ωx+φ为相位，φ为初相；3. 建模步骤为观察周期性→收集数据作散点图→选择模型→确定参数→解决问题。确定参数的关键是：A由最大值确定，ω由周期确定，φ由初始状态确定。 九、板书设计 课题：5.7 三角函数的应用 一、弹簧振子问题 y=A sin(ωt+φ) A=20，ω=，φ=− y=20sin( t−)，t∈[0，+∞) 二、简谐运动 y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)，A>0，ω>0 振幅A | 周期T= | 频率f= | 相位ωx+φ | 初相φ 三、建模步骤 观察周期性→收集数据作散点图→选择模型→确定参数→解决问题 十、教学反思 本节课以弹簧振子和交变电流两个物理情境为载体，引导学生完整经历了三角函数建模的全过程。从课堂表现来看，学生能够从数据表中提取振幅和周期信息，但在确定初相φ时仍有部分学生出现困难，特别是对sin φ=−1这类方程的多值性理解不够透彻。教学中通过追问"φ能否取"引发讨论，帮助学生认识到初相的多值性及合理取值原则，效果较好。 在巩固练习环节，摩天轮问题需要学生自行建立坐标系并考虑竖直平移，部分学生忽略了轮心高度这一常数项，说明从实际问题到数学模型的抽象能力仍需加强。后续教学应增加更多变式情境，让学生在多样化的建模实践中提升迁移能力。整体而言，几何画板的动态演示对理解参数变化起到了积极的辅助作用。 学科网（北京）股份有限公司 $