专题07 函数单调性与最值高频考点讲义【8大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数单调性与最值核心知识点，从单调性定义（含单调区间、证明四步骤）出发，延伸至等价形式、常见函数单调性、性质，再衔接最值定义及与单调性的关系，构建从基础概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于八大考点覆盖全面，例题结合定义证明、参数求解等题型，通过定义法步骤培养数学思维（推理能力），复合函数问题提升抽象能力，助力学生用数学语言表达问题。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

专题07 函数单调性与最值高频考点精讲 知识点1：函数的单调性 (1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 【注意】定义中x1，x2有三个特征： ①x1，x2属于同一个区间； ②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替； ③有序性，通常规定x1<x2. 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)<f (b)⇔ ②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． 知识点2：单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点3：函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M ∃x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 【注意】函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标． 知识点4：函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b). (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 考点一　定义法判断或证明函数单调性 考点二　求函数单调区间 考点三　复合函数单调区间 考点四　根据函数的单调性求参数 考点五　根据函数的单调性解不等式 考点六　根据单调性求最值或值域 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 考点一　定义法判断或证明函数单调性 1．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)4 (2) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）由基本不等式，求出函数最小值； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. （2）略 3．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 4．（25-26高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【详解】略 考点二　求函数单调区间 5．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 7．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则的单调增区间为________；若则的值域为________． 【答案】 【分析】分，两种情况写出的解析式，利用二次函数的性质即可得出答案. 【详解】当时，，单调增区间为， 当时，，单调增区间为， 又因为是连续函数，所以的单调增区间为， 当时，； 当时，； 所以当时，的值域为； 故答案为：； 8．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，. (2) 【分析】（1）通过去绝对值，得到，画出函数图象即可求解； （2）通过去绝对值，，画出函数图象即可求解. 【详解】（1）因为， 画出函数图象如图所示， 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，. （2）， 函数的大致图象如图所示. 由图易知函数的单调递增区间是. 考点三　复合函数单调区间 9．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 10．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 11．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 12．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 考点四　根据函数的单调性求参数 13．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 14．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 15．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 16．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 17．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 18．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得m的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 由在上单调递增，可得， 所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 考点五　根据函数的单调性解不等式 19．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据函数的单调性解抽象函数不等式，由题意得，再解不等式组即可． 【详解】是定义在上的增函数, ，即，解得， 则的取值范围是． 故答案为：． 20．（2026·陕西汉中·一模）已知函数，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 21．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式写成分段函数形式，可知函数关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，即可将不等式转化为，解不等式即可. 【详解】由已知， 作出函数图象如图所示， 可知函数关于对称，且在上单调递减，在上单调递增， 则不等式可转化为， 解得或， 即不等式的解集为， 故选：C. 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数，，结合函数单调性定义可得该函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】令，， 则对任意的，且， 有， 由， 则当时，，， 则，故， 故函数在上单调递减， 对，有，则， 则， 故有，即，即， 解得或（舍去），故， 即该不等式的解集为． 故答案为： 23．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先以分段点 划分 的讨论区间，再在每个区间代入对应函数表达式化简不等式，求解后取交集得到各区间有效解，最后合并所有解即可得到 的取值范围. 【详解】当 即 时， ，函数表达式为 ， 则， 所以， 所以，即， 所以 . 当 即 时，，， 所以，， 即，解得 或 ， 结合 ，得 . 当 时，，函数表达式为 ，该函数单调递减， 所以，即， 所以，因为，所以此式恒成立，故 满足条件. 综上所述：或或，即或. 所以 的取值范围是 . 故选：B. 24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数则函数的最小值为_____；若函数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 0 【分析】根据分段函数图像易得最小值为0；分段解不等式即可. 【详解】作出的图象如图所示：    所以当时，函数取得最小值0． 当时，即，解得，又，所以； 当时，即， 即，解得，又，所以． 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点六　根据单调性求最值或值域 25．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 26．（25-26高一上·湖北武汉·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围，综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 所以存在最小值，满足题意； 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述，实数的取值范围为，则的最大值为. 故答案为：. 27．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设定义在上的函数，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】令，，分析的单调性，即可求得的最小值，即的最小值. 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 28．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 29．（25-26高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 【答案】B 【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围. 【详解】由题意得其图象如下图所示： 令得； 令得或1. 当，时，取得最大值4； 当，时，取得最小值1. 所以的最大值和最小值分别为4，1. 故选：B 30．（25-26高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 31．（25-26高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根， 即在上有根，求出，需满足，故. 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 32．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 33．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据已知得到，令，结合得，进而有且求参数范围. 【详解】由在上单调递减， 由题意，即，则， 所以，令， 所以，，则， 综上，，且， 所以. 故答案为： 34．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数， (1)若在R上有解，求实数的取值范围； (2)若在区间的最小值为3，求实数的取值； (3)若，是否存在实数，使得在区间上单调递减，且在上的值域为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在； 【分析】（1）根据一元二次不等式能成立问题结合判别式运算求解即可； （2）根据题意讨论函数的单调性，结合最值分析求解即可； （3）根据题意结合二次函数的单调性可得，再根据值域列式求解即可. 【详解】（1）因为在R上有解， 则，解得或， 所以实数的取值范围是. （2）因为在区间的最小值为3，且函数的图象开口向上，对称轴为， ①当时，在区间上单调递增， 则，解得； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，解得或（舍去）， 所以； ③当时，在区间上单调递减， 则，解得（舍去）； 综上所述：或. （3）若，则的图象开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递减，且在上值域为， 则，且， 可得，解得， 所以存在实数满足题意，. 35．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 36．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 37．（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 （答案不唯一，取均可） 【详解】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 38．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上无最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】当时，， 由在上无最小值，得时，的值域， 当时，，且， 结合函数的大致图象可知或，解得或， ∴，故实数的取值范围是. 39．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在上取得最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】现将整理为分段函数的形式，即，画出函数图象，根据图象判定的位置. 【详解】由题意，函数，得， 即，则可得到函数图象如下， 根据图象可得当时，令，则； 当时，，则，所以， 故选：C. 40．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解. 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 41．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 42．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 43．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为为假命题，则其否定为真命题，分离参数得在上恒成立，利用对勾函数的性质求最值即可. 【详解】因为为假命题，所以对恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 根据对勾函数的性质知，函数在区间[1，2]上单调递减，在区间[2，4]上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为， 所以. 故选：C 44．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 45．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）代入，解一元二次不等式即可得结果； （2）整理可得，分类讨论最高项系数的符号以及两根大小解不等式即可； （3）整理可得，换元结合基本不等式可得，根据存在性问题即可得结果. 【详解】（1）当时，， 即，解得， 所以的解集为. （2）由不等式， 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为，即， 此时方程的两根分别为， 当时，不等式即为，解得； 当时，不等式即为， 若，可得，解得或； 若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为； 若，可得，解得或； 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）因为，，即， 且，可得， 设，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为， 若存在，使得不等式成立， 可得，所以的取值范围是. 46．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，不等式的解集为，函数， (1)求函数的解析式； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系即可求解； （2）将问题转化为对，都有，令，，利用基本不等式求出的范围即可求解； （3）对，使得不等式成立，可利用二次函数图象与性质求出的最大值，讨论的范围，求出的范围即可求解. 【详解】（1）由于函数，不等式的解集为， 所以，解得：， 所以 （2）对，都有恒成立，即， 即对，都有， 令，， 由于当，，当且仅当时取等号，即时等号成立， 所以当时，， 则要使对，都有，则， 所以实数的取值范围 （3）对，使得不等式成立， 当时，，所以， 当时，在上单调递减，则， 则，解得：； 当时，在上恒成立，则满足， 当时，在上单调递增，则当时，， 则满足对，使得不等式成立 综上，实数的取值范围 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数单调性与最值高频考点精讲 知识点1：函数的单调性 (1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 【注意】定义中x1，x2有三个特征： ①x1，x2属于同一个区间； ②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替； ③有序性，通常规定x1<x2. 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)<f (b)⇔ ②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． 知识点2：单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点3：函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M ∃x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 【注意】函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标． 知识点4：函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b). (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 考点一　定义法判断或证明函数单调性 考点二　求函数单调区间 考点三　复合函数单调区间 考点四　根据函数的单调性求参数 考点五　根据函数的单调性解不等式 考点六　根据单调性求最值或值域 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 考点一　定义法判断或证明函数单调性 1．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 3．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 4．（25-26高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 考点二　求函数单调区间 5．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 7．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则的单调增区间为________；若则的值域为________． 8．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 考点三　复合函数单调区间 9．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 11．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 考点四　根据函数的单调性求参数 13．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 14．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 16．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五　根据函数的单调性解不等式 19．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 20．（2026·陕西汉中·一模）已知函数，则不等式的解集是_________． 21．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 23．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数则函数的最小值为_____；若函数满足，则的取值范围是_____． 考点六　根据单调性求最值或值域 25．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·湖北武汉·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为__________. 27．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设定义在上的函数，则的最小值是______． 28．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 29．（25-26高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 30．（25-26高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 31．（25-26高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______ 32．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 33．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 34．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数， (1)若在R上有解，求实数的取值范围； (2)若在区间的最小值为3，求实数的取值； (3)若，是否存在实数，使得在区间上单调递减，且在上的值域为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 35．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 36．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 37．（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 38．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上无最小值，求实数的取值范围. 39．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在上取得最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 41．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 42．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 43．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 45．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 46．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，不等式的解集为，函数， (1)求函数的解析式； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $