曹冲称象的故事（单元举一反三）（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

曹冲称象的故事（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 核心数学思想：等量代换 1. 基本定义 （1）如果两个量相等，那么其中一个量可以替换另一个量，而结果保持不变。 ① 在故事中：大象的质量 = 石头的总质量。 2. 思维本质 （1）转化思想：将“无法直接测量的大物体”转化为“可以直接测量的小物体”。 （2）不变性原理：船下沉的深度相同 排开水的体积相同 受到的浮力相同 承载的重量相同。 二、 操作过程中的数学逻辑 1. 第一阶段：确立标准（标记等量关系） （1）让大象上船，观察船身下沉的位置。 （2）在船舷水面处刻下记号。 ① 数学意义：确定一个固定的“重量基准线”。 ② 此时状态： 2. 第二阶段：实施代换（构建等式） （1）赶象下船，往船上装石头。 （2）直到船下沉到刚才刻画的记号处为止。 ① 数学意义：确保两次装载的总重量相等。 ② 此时状态： ③ 因为下沉深度相同，所以 ，进而推导出 。 3. 第三阶段：化整为零（累加求和） （1）将石头分批搬下船。 （2）分别称量每一批石头的重量。 （3）将所有石头的重量相加。 ① 计算公式： ② 数学方法：利用加法结合律，将大问题分解为多个可解决的小问题。 三、 关键概念辨析与易错点 1. “重量”与“数量”的区别 （1）代换的是质量（重量），而不是石头的块数。 ① 错误认知：认为用了多少块石头，大象就有多重。 ② 正确认知：必须称量石头的具体千克/斤数，再求和。 2. “整体”与“部分”的关系 （1）大象是一个不可分割的整体（在当时条件下）。 （2）石头是可分割的部分集合。 ① 数学启示：当整体难以直接处理时，可以通过研究其等效的部分集合来解决问题。 3. 误差控制意识 （1）刻痕的准确性直接影响结果。 （2）石头装船时需保持船体平衡，避免倾斜导致吃水深度读数偏差。 ① 这体现了数学测量中的精确性要求。 四、 生活中的等量代换应用延伸 1. 购物场景 （1）用一定金额的现金购买商品，或用等值的积分兑换礼品。 ① 核心：价值相等即可互换。 2. 单位换算 （1）1千米 = 1000米。 ① 核心：不同单位表示相同的长度量，可以互相代换进行计算。 3. 简易天平称重 （1）左盘放未知物体，右盘放已知砝码，平衡时即完成代换。 ① 核心：杠杆平衡原理下的质量等效。 提升练习 一、填空题 1．如果5个苹果大约重1千克，那么李阿姨买10个苹果大约重( )千克，8元正好可以买500克苹果，李阿姨需要付( )元。 2．超市里西红柿每500g卖3元，胡萝卜每500g卖8角，妈妈买1kg西红柿和2500g胡萝卜要( )元。 3．我们的生活离不开单位。亮亮的银行卡厚约1( )，他一步的长约4( )，他围着400( )的跑道跑5圈，约( )千米，他的体重约50( )，( )个亮亮的质量约1吨。 4．在括号里填上合适的单位。 小明跑50米大约用10( )；一袋大米重25( )；课桌高约7( )；哈尔滨到佳木斯的距离大约400( )。 5．在（    ）里填合适的单位名称。 小红是一名三年级学生，身高为140( )，体重为38( )，她的书包大约重3( )，她喜欢踢毽子，一个毽子大约重136( )。 6． (1)实验小学操场的跑道一圈长400米，灵灵跑了2圈，跑了( )米，她再跑( )米正好是1千米。 (2)阳阳是一名三年级的学生了，体检时需测量体重，观察上图，可知他的体重是( )千克。 7．在括号里填上合适的质量单位。 一袋盐重500( )；一个西瓜重4( )；小明的体重是32( )。 8．曹冲称象运用了( )的数学方法。如果1个菠萝的重量等于2个梨的重量，那么3个菠萝的重量等于( )个梨的重量。 二、选择题 9．小红在看一本故事书。她掂了一下这本书，又掂了一下一袋400克的盐，感觉这本书比这袋盐重一些，那么这本书大约重（    ）。 A．500克 B．5千克 C．500千克 D．300克 10．除了吨、千克、克这些质量单位，斤、两也是我国常用的质量单位。1千克＝2斤，1斤＝10两。下面四种商品的质量中，质量最大的是（    ）。 A．3斤鸡肉 B．8两扁豆 C．1千克苹果 D．1两茶叶 11．一匹马重450千克，一只羊重150千克，一头牛重300千克，最多（    ）能同时乘载重1吨的船过河。 A．三只动物 B．马和羊 C．马和牛 D．羊和牛 12．5厘米与5克相比，结果是（    ）。 A．5厘米比较长 B．5克比较重 C．完全相同 D．无法比较 13．下列质量单位中，计量较重物体常用的是（    ）。 A．克 B．千克 C．吨 D．毫克 三、判断题 14．1千克棉花比1000克铁轻。( ) 15．克、千克和吨单位不同，所以不能比较大小。( ) 16．两个物体的长度可以用千克作单位。( ) 17．3千克铁和3000克棉花的质量相等。( ) 18．一辆货车一次最多只可装10千克的货物。( ) 四、计算题 19．直接写得数。 60－14＝        240－80＝       13＋7×3＝       650克＋150克＝       35÷7＋2＝   48÷6＝        9÷1＝        500＋3000＝         3千克－500克＝       45＋18＝ 五、解答题 20．一辆货车载重3吨，要运一批重2800千克的建材，这辆货车能一次运完吗？ 21．水果店有梨540千克，苹果比梨多130千克，橘子比苹果少270千克，橘子有多少千克？ 22．超市运来3吨蔬菜，上午卖出1000千克，下午卖出700千克，还剩多少千克？ 23．粮食店进了1吨面粉，卖出480千克后，还剩多少千克？ 24．一共收获了32吨苹果，先运走了12吨，剩下的用载质量4000千克的卡车一次运完。需要几辆这样的卡车？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹冲称象的故事（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 核心数学思想：等量代换 1. 基本定义 （1）如果两个量相等，那么其中一个量可以替换另一个量，而结果保持不变。 ① 在故事中：大象的质量 = 石头的总质量。 2. 思维本质 （1）转化思想：将“无法直接测量的大物体”转化为“可以直接测量的小物体”。 （2）不变性原理：船下沉的深度相同 排开水的体积相同 受到的浮力相同 承载的重量相同。 二、 操作过程中的数学逻辑 1. 第一阶段：确立标准（标记等量关系） （1）让大象上船，观察船身下沉的位置。 （2）在船舷水面处刻下记号。 ① 数学意义：确定一个固定的“重量基准线”。 ② 此时状态： 2. 第二阶段：实施代换（构建等式） （1）赶象下船，往船上装石头。 （2）直到船下沉到刚才刻画的记号处为止。 ① 数学意义：确保两次装载的总重量相等。 ② 此时状态： ③ 因为下沉深度相同，所以 ，进而推导出 。 3. 第三阶段：化整为零（累加求和） （1）将石头分批搬下船。 （2）分别称量每一批石头的重量。 （3）将所有石头的重量相加。 ① 计算公式： ② 数学方法：利用加法结合律，将大问题分解为多个可解决的小问题。 三、 关键概念辨析与易错点 1. “重量”与“数量”的区别 （1）代换的是质量（重量），而不是石头的块数。 ① 错误认知：认为用了多少块石头，大象就有多重。 ② 正确认知：必须称量石头的具体千克/斤数，再求和。 2. “整体”与“部分”的关系 （1）大象是一个不可分割的整体（在当时条件下）。 （2）石头是可分割的部分集合。 ① 数学启示：当整体难以直接处理时，可以通过研究其等效的部分集合来解决问题。 3. 误差控制意识 （1）刻痕的准确性直接影响结果。 （2）石头装船时需保持船体平衡，避免倾斜导致吃水深度读数偏差。 ① 这体现了数学测量中的精确性要求。 四、 生活中的等量代换应用延伸 1. 购物场景 （1）用一定金额的现金购买商品，或用等值的积分兑换礼品。 ① 核心：价值相等即可互换。 2. 单位换算 （1）1千米 = 1000米。 ① 核心：不同单位表示相同的长度量，可以互相代换进行计算。 3. 简易天平称重 （1）左盘放未知物体，右盘放已知砝码，平衡时即完成代换。 ① 核心：杠杆平衡原理下的质量等效。 提升练习 一、填空题 1．如果5个苹果大约重1千克，那么李阿姨买10个苹果大约重( )千克，8元正好可以买500克苹果，李阿姨需要付( )元。 【答案】 2 32 【分析】首先根据5个苹果重1千克，计算出10个苹果是5个苹果的几倍，从而求出10个苹果的重量；然后将千克换算成克，求出2千克里面包含几个500克，最后根据500克苹果的价格计算出总钱数。 【详解】 （千克） 1千克＝1000克，2千克里有2个1千克，即2个1000克，是2000克，2千克＝2000克。 ，所以：2000里有4个500。即2000克是500克的4倍。 （元） 综上所述：如果5个苹果大约重1因此李阿姨买10个苹果大约重2千克，8元正好可以买500克苹果，李阿姨需要付32元。 2．超市里西红柿每500g卖3元，胡萝卜每500g卖8角，妈妈买1kg西红柿和2500g胡萝卜要( )元。 【答案】10 【分析】1kg等于2个500g，用西红柿的单价乘对应的500g份数，得到西红柿总花费。 2500g等于5个500g，那么用胡萝卜的单价乘对应的500g份数，得到胡萝卜总花费。 把两种商品的总花费相加，得到最终需要支付的金额，注意最后金额统一换算为元。 【详解】1kg＝1000g，1元＝10角，8角＝0.8元。 算西红柿总价：每500g西红柿3元，1000g里有2个500g，西红柿总价是3×2＝6元。 算胡萝卜总价：每500g胡萝卜8角，2500g里有5个500g，胡萝卜总价是8×5＝40角＝4元。 总花费为6＋4＝10元。 3．我们的生活离不开单位。亮亮的银行卡厚约1( )，他一步的长约4( )，他围着400( )的跑道跑5圈，约( )千米，他的体重约50( )，( )个亮亮的质量约1吨。 【答案】 毫米/mm 分米/dm 米/m 2 千克/kg 20 【分析】常用的长度单位有毫米、厘米、分米、米、千米，1分钱硬币的厚度大约为1毫米，大拇指宽度约1厘米，成年人手掌的宽度大约1分米，生活中小学生张开双臂的距离大约1米，两圈半标准跑道的长度大约是1千米。 克、千克、吨是常用的重量单位，克是较小的重量单位，通常用于计量较轻物品。例如：一枚2分硬币约重1克，一包薯片约重100克；千克是基本重量单位，用于计量一般物品。例如：一袋大米约重5千克，一个小学生体重约30千克。吨是较大的重量单位，用于计量很重的物品。例如：一辆卡车的载重量约5吨，一头大象约重4吨。1千米＝1000米，1吨＝1000千克。据此解答。 【详解】银行卡比较薄，1毫米是合适的厚度单位； 一步的长度通常不会太长，4分米比较符合实际； 一圈跑道是400米，跑5圈就是5个400米为2000米，因为1000米＝1千米，所以2000米＝2千米； 人的体重通常用千克作单位，50千克是比较合理的； 因为1吨＝1000千克，所以亮亮的体重约50千克，20个50千克是1000千克，也就是1吨； 所以，我们的生活离不开单位。亮亮的银行卡厚约1毫米；他一步的长约4分米；他围着400米跑道跑5圈约2千米；他的体重约50千克，20个亮亮的质量约是1吨。 4．在括号里填上合适的单位。 小明跑50米大约用10( )；一袋大米重25( )；课桌高约7( )；哈尔滨到佳木斯的距离大约400( )。 【答案】 秒/s 千克/kg 分米/dm 千米/km 【详解】秒表示极短的时间，眨一下眼约是1秒，结合生活实际，小明跑50米大约用10秒； 计量较重物品的质量可用吨或千克作单位，4盒牛奶约重1千克，此处结合生活实际和数据大小，此处选用千克比较合适，所以一袋大米重25千克； 1把学生直尺长约2分米，结合生活实际和数据，所以一张课桌高约7分米； 计量较远距离常用千米作单位，结合生活实际，哈尔滨到佳木斯的距离大约400千米。 5．在（    ）里填合适的单位名称。 小红是一名三年级学生，身高为140( )，体重为38( )，她的书包大约重3( )，她喜欢踢毽子，一个毽子大约重136( )。 【答案】 厘米/cm 千克/kg 千克/kg 克/g 【分析】根据生活经验和实际数据相结合，即可解答。1厘米大约是指甲盖的宽度，三年级小朋友的身高140，用厘米作单位符合日常认知。千克用于称比较重的物体，比如一袋面约重20千克，小朋友体重38，用千克作单位才合理；书包的重量3，用千克作单位合适。克用于称量较轻的物体，比如硬币约重1克，毽子很轻，136用克作单位。 【详解】小红是一名三年级学生，身高为140厘米，体重为38千克，她的书包大约重3千克，她喜欢踢毽子，一个毽子大约重136克。 6． (1)实验小学操场的跑道一圈长400米，灵灵跑了2圈，跑了( )米，她再跑( )米正好是1千米。 (2)阳阳是一名三年级的学生了，体检时需测量体重，观察上图，可知他的体重是( )千克。 【答案】(1) 800 200 (2)40 【分析】（1）一圈跑道400米，跑2圈的长度就是2个400米相加；1千米＝1000米，然后用1000减去已经跑了的距离，求出的差就是还需要再跑的距离。 （2）观察体重秤的表盘，指针正好指向刻度40，所以阳阳的体重是40千克。 【详解】（1）400＋400＝800（米） 1千米＝1000米 1000－800＝200（米） 即，灵灵跑了2圈，跑了800米，她再跑200米正好是1千米。 （2）观察上图，可知他的体重是40千克。 7．在括号里填上合适的质量单位。 一袋盐重500( )；一个西瓜重4( )；小明的体重是32( )。 【答案】 克/g 千克/kg 千克/kg 【分析】根据生活经验以及对质量单位和数据大小的认识，1张普通的A4纸大约重1克，所以计量一袋盐的质量用“克”做单位比较合适；1瓶矿泉水大约重500克，2瓶矿泉水大约重1千克，所以一个西瓜的质量和小明的体重用“千克”做单位比较合适。 【详解】一袋盐重500克； 一个西瓜重4千克； 小明的体重是32千克； 8．曹冲称象运用了( )的数学方法。如果1个菠萝的重量等于2个梨的重量，那么3个菠萝的重量等于( )个梨的重量。 【答案】 等量代换 6 【分析】曹冲称象的故事中，用石头的重量代替大象的重量，体现了等量代换的思想；已知1个菠萝等于2个梨，求3个菠萝等于多少个梨，也是运用等量代换的方法，用2个梨代替 1个菠萝进行计算，即求3个2是多少，用乘法计算。 【详解】2×3＝6（个） 曹冲称象运用了等量代换的数学方法。如果1个菠萝的重量等于2个梨的重量，那么3个菠萝的重量等于6个梨的重量。 二、选择题 9．小红在看一本故事书。她掂了一下这本书，又掂了一下一袋400克的盐，感觉这本书比这袋盐重一些，那么这本书大约重（    ）。 A．500克 B．5千克 C．500千克 D．300克 【答案】A 【分析】“书比盐重一些”，“重一些”的含义是重量差距不大，且大于400克。 统一选项的单位，将千克换算为克，因为1千克＝1000克，所以可把各选项的重量转换为相同单位便于比较。 【详解】A．500克比400克重一点，符合“重一些”的描述。正确。 B．1千克＝1000克，5千克＝5000克，远超出普通故事书的重量。错误。 C．500千克＞1千克，1千克＝1000克＞400克，500千克远超出普通故事书的重量。错误。 D．300克比400克轻，不符合要求。错误。 10．除了吨、千克、克这些质量单位，斤、两也是我国常用的质量单位。1千克＝2斤，1斤＝10两。下面四种商品的质量中，质量最大的是（    ）。 A．3斤鸡肉 B．8两扁豆 C．1千克苹果 D．1两茶叶 【答案】A 【分析】选择统一换算为两，或者统一换算为斤、千克都可以，依据单位换算公式逐步转换每个选项的单位再比较大小。 【详解】1千克＝2斤，1千克苹果就是2斤。 1斤＝10两，8两连1斤都不到。 3斤＞2斤＞8两＞1两，所以质量最大的是3斤鸡肉。 11．一匹马重450千克，一只羊重150千克，一头牛重300千克，最多（    ）能同时乘载重1吨的船过河。 A．三只动物 B．马和羊 C．马和牛 D．羊和牛 【答案】A 【分析】计算出各个选项动物的重量和，与1吨进行比较，小于1吨的则能同时乘船过河，然后找出乘坐最多的即可解答。 【详解】1吨＝1000千克 A．450＋150＋300＝900（千克），900千克＜1000千克，三只动物能同时乘船过河。 B．450＋150＝600（千克），600千克＜1000千克，马和羊能同时乘船过河。      C．450＋300＝750（千克），750千克＜1000千克，马和牛能同时乘船过河。      D．150＋300＝450（千克），450千克＜1000千克，羊和牛能同时乘船过河。 所以最多3只动物能同时乘载重1吨的船过河。 12．5厘米与5克相比，结果是（    ）。 A．5厘米比较长 B．5克比较重 C．完全相同 D．无法比较 【答案】D 【分析】厘米是长度单位，用来表示物体多长；克是质量单位，用来表示物体多重。两种不同类型的单位不能互相比较大小。 【详解】5厘米描述的是长度，5克描述的是重量，单位类型不同，所以无法比较。 13．下列质量单位中，计量较重物体常用的是（    ）。 A．克 B．千克 C．吨 D．毫克 【答案】B 【分析】克和毫克是计量很轻的小物体的单位，吨是计量特别重的超大物体的单位，日常生活里计量较重的普通常用物体，比如人的体重、袋装大米这类物品时，最常用的单位是千克。 【详解】根据分析可得：计量较重物体常用的是千克。 三、判断题 14．1千克棉花比1000克铁轻。( ) 【答案】× 【分析】两种物品用的单位不同，先把单位化统一，1千克棉花即为1000克棉花，此时发现棉花和铁的重量其实是一样的。 【详解】1千克＝1000克，所以1千克棉花与1000克铁一样重，原题说法错误。 故答案为：× 15．克、千克和吨单位不同，所以不能比较大小。( ) 【答案】× 【分析】克、千克、吨都是质量单位，虽然单位名称不同，但它们之间有固定的换算关系：1千克＝1000克，1吨＝1000千克，只要明确各单位前的具体数值，就可以比较质量的大小，所以这个说法是错误的。 【详解】根据1千克＝1000克，1吨＝1000千克，克、千克和吨能比较大小。原题说法错误。 故答案为：× 16．两个物体的长度可以用千克作单位。( ) 【答案】× 【分析】长度的单位是米、厘米这类用来衡量长短的单位，千克是专门用来表示物体重量（质量）的单位，不能用来度量长度。 【详解】“千克”是质量单位，不用当作长度单位来用。 所以两个物体的长度不可以用千克作单位，题干说法错误。 故答案为：× 17．3千克铁和3000克棉花的质量相等。( ) 【答案】√ 【分析】根据1千克＝1000克，统一单位后比较，物体质量的大小只与数值和单位有关，与物质种类无关。据此判断。 【详解】1千克＝1000克，3千克里有3个1千克，即3个1000克，是3000克，所以3千克＝3000克，质量相等。原题说法正确。 故答案为：√ 18．一辆货车一次最多只可装10千克的货物。( ) 【答案】× 【分析】吨大约是一辆小汽车的质量，又因为前面是，所以一辆货车一次最多装的质量用吨作单位； 【详解】根据分析：一辆货车一次最多只可装吨的货物，原题干说法错误。 故答案为：× 四、计算题 19．直接写得数。 60－14＝        240－80＝       13＋7×3＝       650克＋150克＝       35÷7＋2＝   48÷6＝        9÷1＝        500＋3000＝         3千克－500克＝       45＋18＝ 【答案】46；160；34；800克；7 8；9；3500；2500克；63 【解析】略 五、解答题 20．一辆货车载重3吨，要运一批重2800千克的建材，这辆货车能一次运完吗？ 【答案】 能一次运完 【分析】根据“1吨＝1000千克”，把3吨换算成3000千克，再与2800千克进行比较，即可判断这辆货车能不能一次运完。 【详解】3吨＝3000千克 2800千克＜3000千克 答：这辆货车能一次运完。 21．水果店有梨540千克，苹果比梨多130千克，橘子比苹果少270千克，橘子有多少千克？ 【答案】400千克 【分析】要求橘子的质量，先求苹果有多少千克。苹果比梨多130千克，用梨的540千克加130千克；橘子比苹果少270千克，再从苹果的质量中减去270千克。 【详解】540＋130－270 ＝670－270 ＝400（千克） 答：橘子有400千克。 22．超市运来3吨蔬菜，上午卖出1000千克，下午卖出700千克，还剩多少千克？ 【答案】1300千克 【分析】根据1吨＝1000千克，把吨换算成千克，即3吨＝3000千克，用蔬菜的总质量分别减去上午和下午卖出的质量，即可求出还剩多少千克。 【详解】3个1000千克就是3吨，即3吨＝3000千克， 3000－1000－700 ＝2000－700 ＝1300（千克） 答：还剩1300千克。 23．粮食店进了1吨面粉，卖出480千克后，还剩多少千克？ 【答案】520千克 【分析】1吨和480千克单位不同，所以要先把吨换算为千克，根据1吨＝1000千克，把吨换算为千克作单位的数值；剩余面粉质量等于进货总质量减去卖出的质量，用换算后的总质量减去卖出的480千克，即可得到结果。 【详解】1吨＝1000千克， （千克） 答：还剩千克。 24．一共收获了32吨苹果，先运走了12吨，剩下的用载质量4000千克的卡车一次运完。需要几辆这样的卡车？ 【答案】5辆 【分析】根据1吨＝1000千克，4000里面有几个1000千克，就是几吨，据此将卡车的载质量的单位换算成吨；用收获苹果的总吨数减去先运走的吨数，求出剩下的苹果的质量，再除以每辆卡车的载质量，得到所需卡车数量。 【详解】4000千克里面有4个1000千克，4000千克＝4吨 32－12＝20（吨） 20÷4＝5（辆） 答：需要5辆这样的卡车。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $