专题6.1 等差数列及其前n项和 讲义-2027届高三数学一轮复习

专题6.1 等差数列及其前n项和 知识梳理（阅读教材 人教A版选择性必修2 ） 1．等差数列与等差中项 (1)定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ (d=2A) 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 常用结论 1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 2.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 【考点1 等差数列的基本量求解】 【例1】（26-27高三上·广东·阶段检测）某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【详解】数列 后 7 项 构成等差数列，公差为 d， 则 ，，. 由 ，得 ， 即 ；① 由 ，得 .② ② − ①，得 ，即 ； 代入②，得 ，即 . 又 成等差数列，且 ，，故 。 因此 9 层书架图书总数为 跟踪训练 1.（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 2．（26-27高三上·山西长治·开学考试）记等差数列的前n项和为．若，，则______． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的性质求和， 【详解】是等差数列，则， ， 因为，所以，解得 3．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】由，可得，又， 所以，即， 所以， 所以. 【考点2 等差数列的性质及应用】 【例2】（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】由等差数列可知，即. 跟踪训练 1.（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为， 根据等差数列性质可知，得. 故， 由，将、代入得，解得. 另解：设等差数列的公差为，， 由得，即， 结合，两式相减得，代入得. 2.（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.71 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】因为，所以，且，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较， 所以的最小值为. 3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与是方程的两根，由韦达定理得， 因为数列为等差数列，所以，， 所以，故选：B. 【考点3 等差数列的前n项和性质及应用】 【例3】（多选 ）已知为数列的前项和，则下列结论成立的有（    ） A．若是等差数列， ，若，则 B．若数列为等差数列，，则 C．已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为261，则 D．已知等差数列，的前n项和分别为且则＝ 【答案】ABC 【难度】0.65 【分析】根据等差数列的定义判断A，根据等差数列求和公式判断B，根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和公式判断C，利用裂项相消法求和判断D. 【详解】对对于A，设等差数列的公差为， 因为，所以，故C正确； 对于B：数列为等差数列，设公差为，则，， 又，即，化简可得， 则，，所以，故B正确； 对于C：设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为， 由题知， ， 两式相减，可得，故C正确； 对于D，由，可得：，故D错误. 故选：ABC 跟踪训练 1.（2027高三·全国·专题练习）若是等差数列的前项和，且，则________，________． 【答案】 2 38 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【详解】设等差数列的首项为，公差为．由等差数列的通项公式可得，所以， 由等差数列前项和公式可得． 2.（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【解析】由等差数列的等和性可得， .故选：C. 4．（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】前n项和与n的比所组成的等差数列 【分析】由题意可得是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】在等差数列中，，其前项和为，则是首项为-10的等差数列， 设其公差为，因为，所以 ， 所以 ， ， 即. 5.（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的其他性质及应用、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 6.（多选 2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列片段和的性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 【考点4 等差数列的单调性及最值】 【例4】（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】是的唯一最大项，说明数列前8项和最大，且第9项开始和递减，然后由等差数列通项公式解不等式组即可求解. 【详解】由是中的唯一最大项可得：，即， 代入，解得. 跟踪训练 1．（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以当或时，的值最大，最大值为. 2．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.73 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可. 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 3.（多选 25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【答案】AB 【难度】0.65 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 4.（多选 24-25高三上·湖南·期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（    ） A． B． C．时，的最小值为 D．最小时， 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】等差数列的单调性、求等差数列前n项和、根据等差数列前n项和的最值求参数、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列求和公式与等差数列项的性质，易判断，即可判断A，B两项，计算化简，结合，知使时，的最小值为11；分析可得，当时，，当时，，故得最小时，有，排除D. 【详解】对于A，由，则， 又，则，故A错误； 对于B，由A已得，则，故B正确； 对于C，由上分析，当时，，当时，， 又，又， 所以时，的最小值为，故C正确； 对于D，当最小时，，故D错误. 故选：BC. 【考点5 等差数列的判定与证明】 【例5】（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【答案】(1) 数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. (2)由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. (3) 若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 跟踪训练 （26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【答案】(1)证明：因为，所以数列是等差数列 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 【考点6 含绝对值等差数列求和】 【例6】2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为，令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 跟踪训练（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.74 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 课后作业： 1．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【详解】在等差数列中，由性质：，则，解得， 已知，则公差. 2.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 3.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列是等差数列，，则（     ） A．19 B．51 C．69 D．87 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【详解】因为，所以， 则. 4.（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数，若数列满足，则是（    ） A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列 【答案】A 【解析】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以，，所以是等差数列.故选：A. 5.（2025·湖北·模拟预测）已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（    ） A．55 B．60 C．100 D．110 【答案】D 【详解】当时，得到，所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，因为，所以，所以. 故选：D. 6.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）函数满足：，若，，则（   ） A．405 B．407 C．409 D．411 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】先对题中条件变形，根据等差数列的性质得到，再代入题中数据，即可求解． 【详解】， ， ， 则是等差数列，后项减前项为定值d， 即． ，， ， ， 解得． 则， 所以． 7．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】已知等差数列的公差，若，则， 又因为，解得或， 由于公差，因此，则，故B正确. 8.（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 9.（多选）已知等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，公差，则 B．若，则 C．若前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，且，则公差为 D．若，，则的最小值是 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】对于A：由为等差数列，且，，得，再由等差数列的前项和，即可判断A是否正确； 对于B：由为等差数列，得，，，为等差数列，设，由，得，进而可得，即可判断B是否正确； 对于C：根据题意可得奇数项的和为，偶数项的和为，进而可得，设，，由，解得，即可判断C是否正确； 对于D：由为等差数列，且，得，当，，，，时，，当时，，即可判断D是否正确． 【详解】对于A：因为为等差数列，且，，所以，， 所以，故A正确； 对于B：因为为等差数列，所以，，，为等差数列， 设，由，得， 所以，，，为等差数列，所以，， 所以，故B错误； 对于C：奇数项的和为， 偶数项的和为， 因为前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，所以， 设，， 因为，所以，即， 所以，所以， 所以等差数列的公差为，故C正确； 对于D：因为为等差数列，且，则 所以，即， 所以当，，，，时，；当时，， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD． 10.（多选 2026·青海西宁·一模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数、求等差数列前n项和的最值、由前n项和判断数列是否是等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 因为当时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误； 若，则，当时，， 所以，，，又当时，，所以当且仅当时取得最小值，故C正确； 当时，， 故数列为递增数列等价于对任意的，恒成立， 即，可得，故D错误． 11．（多选 2026·广东茂名·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 【答案】BCD 【难度】0.51 【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用等差数列的性质计算、确定数列中的最大（小）项 【分析】根据题意可判断，，，据此结合等差数列的性质判断各项即可． 【详解】因为，即． 因为，所以的公差小于零， 则，，则，故，A错误； 因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确； 因为，，， 所以，，C正确； 因为当时，，且当时，， 所以当时，，此时． 又因当时，最小，且时，单调递减， 所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确． 12.（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 【答案】24 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 13.（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 【答案】260（均可） 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据为的最大值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最大值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式可得： ， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 14.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 15.（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，. （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ， . 16.（25-26高二下·上海·期中）已知数列满足，，，．设． (1)证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求数列的最小项以及该项的序数． 【答案】(1)证明见解析， (2)最小项为，相应的序数为8． 【难度】0.72 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）对递推式取倒数，得到相邻两项倒数的差为常数，从而证明数列是等差数列，进而求出通项； （2）利用等差数列前项和公式得到，根据二次函数特征确定最小值在对称轴处取得，即可解答. 【详解】（1）在两边取倒数，有，， 即，因为， 因此是以为首项，以为公差的等差数列． 所以， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）可知．所以， 令，该二次函数开口向上，对称轴为，所以， 所以数列的最小项为，相应的序数为8． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 等差数列及其前n项和 知识梳理（阅读教材 人教A版选择性必修2 ） 1．等差数列与等差中项 (1)定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ (d=2A) 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 常用结论 1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 2.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 【考点1 等差数列的基本量求解】 【例1】（26-27高三上·广东·阶段检测）某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 跟踪训练 1.（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山西长治·开学考试）记等差数列的前n项和为．若，，则______． 3．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 【考点2 等差数列的性质及应用】 【例2】（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 跟踪训练 1.（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【考点3 等差数列的前n项和性质及应用】 【例3】（多选 ）已知为数列的前项和，则下列结论成立的有（    ） A．若是等差数列， ，若，则 B．若数列为等差数列，，则 C．已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为261，则 D．已知等差数列，的前n项和分别为且则＝ 跟踪训练 1.（2027高三·全国·专题练习）若是等差数列的前项和，且，则________，________． 2.（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 4．（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 5.（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 6.（多选 2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点4 等差数列的单调性及最值】 【例4】（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（多选 25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 4.（多选 24-25高三上·湖南·期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（    ） A． B． C．时，的最小值为 D．最小时， 【考点5 等差数列的判定与证明】 【例5】（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 跟踪训练 （26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【考点6 含绝对值等差数列求和】 【例6】2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 跟踪训练（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 课后作业： 1．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 2.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 3.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列是等差数列，，则（     ） A．19 B．51 C．69 D．87 4.（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数，若数列满足，则是（    ） A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列 5.（2025·湖北·模拟预测）已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（    ） A．55 B．60 C．100 D．110 6.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）函数满足：，若，，则（   ） A．405 B．407 C．409 D．411 7．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8.（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9.（多选）已知等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，公差，则 B．若，则 C．若前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，且，则公差为 D．若，，则的最小值是 10.（多选 2026·青海西宁·一模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 11．（多选 2026·广东茂名·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 12.（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 13.（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 14.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 15.（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 16.（25-26高二下·上海·期中）已知数列满足，，，．设． (1)证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求数列的最小项以及该项的序数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $