第五单元平行四边形和梯形（举一反三）（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

第五单元 平行四边形和梯形（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 垂直与平行 1. 同一平面内两条直线的位置关系 （1）相交：两条直线有一个公共点。 ① 一般相交：夹角不是90度。 ② 互相垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 （2）不相交：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2. 关键性质 （1）从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 ① 这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 （2）平行线间的距离处处相等。 二、 平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 2. 特征 （1）边的特征：两组对边分别平行且相等。 （2）角的特征：对角相等，邻角互补（和为180度）。 （3）特性：具有不稳定性（容易变形）。 ① 应用：伸缩门、升降机、折叠椅等。 3. 底和高 （1）定义：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （2）画法： ① 确定底边。 ② 用三角尺的直角边与底边重合。 ③ 平移三角尺，使另一直角边经过对边上的某一点。 ④ 画垂线段，标出直角符号和高（h）、底（a）。 （3）注意：平行四边形有无数条高。 三、 梯形 1. 定义 只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 2. 各部分名称 （1）底：互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底。（通常较短的叫上底，较长的叫下底，但位置不固定，关键是看是否平行）。 （2）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 （3）高：从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3. 特殊梯形 （1）等腰梯形：两腰相等的梯形。 ① 特征：两个底角分别相等，是轴对称图形。 （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形。 ① 特征：有一条腰垂直于底，这条腰的长度就是梯形的高。 4. 底和高 （1）画法： ① 在梯形内部，从上底任意一点向下底画垂线。 ② 标出直角符号。 （2）注意：梯形也有无数条高，且所有高的长度都相等。 四、 四边形之间的关系 1. 包含关系图 （1）四边形包括：平行四边形、梯形、一般四边形。 （2）平行四边形包括：长方形、正方形、菱形等。 ① 长方形是特殊的平行四边形（四个角都是直角）。 ② 正方形是特殊的长方形（四条边都相等），也是特殊的平行四边形。 （3）梯形和平行四边形是并列关系，互不包含。 ① 判断关键：看有几组对边平行。 ② 两组对边平行 平行四边形。 ③ 只有一组对边平行 梯形。 ④ 没有对边平行 一般四边形。 2. 高频易错点 （1）混淆定义：认为“有一组对边平行”就是梯形，忽略了“只有”二字。若两组都平行，则是平行四边形。 （2）高的画法错误： ① 平行四边形的高必须是对边之间的垂直距离，不能画在邻边上。 ② 梯形的高必须是上底和下底之间的垂直距离。 （3）图形识别：在复杂图形中识别平行四边形和梯形时，需先找出平行的对边。 提升练习 一、填空题 1．下图中，有( )组垂直线段，有( )组平行线段。 【答案】 4 2 【分析】相交成90°的两条直线相互垂直；同一平面内不相交的两条直线互相平行。长方形的邻边相互垂直，对边相互平行。 【详解】在长方形中，每相交出一个直角就有一组垂直线段，所以有4组垂直线段； 长方形有2组对边，所以有2组平行线段。 2．一个长方形泳池长50米，宽10米，( )个这样的泳池面积是1公顷。 【答案】20 【分析】1公顷＝10000平方米，先利用长方形的面积＝长×宽，计算出长方形游泳池的面积，再看10000平方米里面有几个泳池的面积；10000里有10个1000，每个1000里有2个500；据此解答。 【详解】1公顷＝10000平方米，长方形游泳池的面积：（平方米） 2个500是1000，10个1000是10000，所以10000里有20个500，即20个500平方米是10000平方米； 20个这样的泳池面积是1公顷。 3．在汉字“二、千、平、下”中，笔画中有平行线段的是( )，笔画中有垂直线段的是( )。 【答案】 二、平 千、平、下 【分析】平行是指同一平面内不相交的两条直线，垂直是指两条直线相交成直角。 【详解】在汉字“二、千、平、下”中，笔画中有平行线段的是二、平，笔画中有垂直线段的是千、平、下。 4．在同一个平面内，不相交的两条直线( )；两条直线相交成直角时，这两条直线( )。 【答案】 互相平行 互相垂直 【分析】首先回忆同一平面内两条直线的位置关系相关定义，因为题目明确限定了“同一个平面内”的前提，所以先对应“不相交的两条直线”的定义内容。 再回忆垂直的定义，因为题目给出了“两条直线相交成直角”的条件，所以对应该条件下两条直线的关系定义。 【详解】在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 5．在两条平行线之间画两条垂直线段，第一条长3厘米，第二条长( )厘米。 【答案】3 【分析】两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等，所以在两条平行线之间画两条垂直线段，第一条长3厘米，第二条也是一样的长度。 【详解】在两条平行线之间画两条垂直线段，第一条长3厘米，第二条长3厘米。 6．过一点可以画( )条直线，过直线上一点可以画( )条垂线，过直线外一点可以画( )条直线与已知直线平行。 【答案】 无数 1 1 【分析】直线可无限延伸，过一点能向不同方向画出无数条直线；同一平面内，过直线上一点只能画1条已知直线的垂线，过直线外一点只能画1条直线与已知直线平行。据此解答。 【详解】由分析可得：过一点可以画无数条直线，过直线上一点可以画1条垂线，过直线外一点可以画1条直线与已知直线平行。 7．在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁与地面是否垂直，如果墙壁与地面垂直，铅垂线会与墙壁( )。 【答案】互相平行 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做互相平行。如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直。 【详解】由分析可知， 铅垂线受重力作用，永远是竖直向下的直线，墙壁竖直，墙壁的边线也是竖直方向，两条竖直方向、永不相交的直线，位置关系是互相平行；即铅垂线会与墙壁互相平行。 8．一个等腰梯形的上底是3厘米，下底是7厘米，一条腰长5厘米。要围成这样的等腰梯形至少需要( )厘米长的铁丝。 【答案】20 【分析】求围成等腰梯形需要的铁丝长度本质是求该等腰梯形的周长，周长是封闭图形一周的总长度，等腰梯形的周长等于梯形的四条边长度相加。等腰梯形的边的特征，因为等腰梯形的两条腰长度相等，所以可以确定另一条腰的长度也为5厘米，将上底3厘米、下底7厘米和两条腰的长度（相等都是5厘米）相加，即可得到结果。 【详解】 （厘米） 要围成这样的等腰梯形至少需要厘米长的铁丝。 二、选择题 9．在同一平面内，和已知直线相距3厘米的平行线有（    ）条。 A．1 B．2 C．4 D．无数 【答案】B 【分析】在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线。和已知直线相距3厘米的平行线有2条（在已知直线的上下两边各有一条），据此解答。 【详解】由分析得：在同一平面内，和已知直线相距3厘米的平行线有2条。 10．下面说法正确的是（    ）。 A．平角是一条直线。 B．同一平面内，两条直线的位置关系不是平行就是相交。 C．9时30分，钟面上时针与分针形成的较小角是直角。 D．过直线外一点可以画无数条已知直线的平行线。 【答案】B 【分析】平角是由一个顶点、两条刚好在同一直线上方向相反的射线组成的角，不是没有顶点的普通直线。 在同一平面内，两条直线只有平行（永远不相交）和相交两类位置关系，不存在其他情况。 9时30分的时候，时针已经从9往10的位置走了半格，不会刚好和分针（指向6）形成90度的直角，这个较小角是钝角。 过直线外一点，只能画出1条和已知直线平行的线，不能画无数条。 【详解】A．平角不是一条直线。原说法错误。 B．同一平面内，两条直线的位置关系不是平行就是相交。原说法正确。 C．9时30分，钟面上时针与分针形成的较小角是钝角。原说法错误。 D．过直线外一点可以画1条已知直线的平行线。原说法错误。 11．小明的爸爸开车沿直线行驶，在雪地上留下两条直直的线。这两条直线的位置关系为（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】首先明确汽车沿直线行驶时，两个车轮的运动轨迹是两条直线，突破口是判断同一平面内这两条直线的位置关系。 因为汽车正常行驶过程中，左右车轮始终保持固定的距离且同时沿相同方向做直线运动，所以可结合平行线的定义判断两条直线的位置关系。 【详解】这两条直线的位置关系为互相平行。 12．用一根18cm长的铁丝围一个平行四边形（铁丝没有剩余），且每条边的长度都是整厘米数。相邻的两条边可能是（    ）。 A．5cm，4cm B．12cm，6cm C．9cm，9cm D．6cm，6cm 【答案】A 【分析】两条对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的周长等于相邻的两条边的长度和乘2，这个平行四边形的周长是18cm，分别算出各选项中平行四边形的周长，再进一步选择。 【详解】A．（5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（cm） 符合题意； B．（12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（cm） 不符合题意； C．（9＋9）×2 ＝18×2 ＝36（cm） 不符合题意； D．（6＋6）×2 ＝12×2 ＝24（cm） 不符合题意。 13．下面说法中正确的是（    ）。 A．平行线就是不相交的两条直线 B．两条直线相交，交点就是垂足 C．垂直是相交的一种特殊位置关系 D．以上三个都是错误的 【答案】C 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 两条直线相交，不一定成直角，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，这个交点就是垂足，垂直是相交的一种特殊位置关系。 例如：同一平面内，两条直线平行； 两条直线相互垂直。 【详解】A．平行线就是不相交的两条直线，此说法错误，没有说明同一平面。 B．两条直线相交，不一定相互垂直，不互相垂直时，交点不叫作垂足。原题干说法错误； C．垂直是相交的一种特殊位置关系，此说法正确。 D．C选项说法正确，原题干说法错误。 三、判断题 14．一个三角形平移前后对应边的关系一定互相平行。( ) 【答案】× 【分析】图形平移，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。平移后图形的对应线段互相平行（或在同一条直线上）。 【详解】当图形沿着一条边所在的直线平移时，这条边平移前后会重合，也就是在同一条直线上，而不是互相平行。平移后的对应边互相平行或在同一条直线上。原题说法错误。 故答案为：× 15．四条边相等的图形就是正方形。( ) 【答案】 × 【分析】正方形的特征是四条边相等，且四个角都是直角的四边形，仅满足四条边相等不能判定为正方形。 【详解】四条边相等的图形，可能是四条边相等的平行四边形，它的四个角不一定都是直角，因此不一定是正方形。 故答案为：× 16．“天气真好啊”这5个汉字中，每个汉字里都能找到互相平行的线段。( ) 【答案】√ 【分析】如果同一平面内两条直线永不相交，那么这两条直线互相平行。逐个判断五个汉字内是否存在互相平行的线段即可。 【详解】“天”字的上下两横互相平行，存在平行线段；“气”字的前两横互相平行，存在平行线段；“真”字的多个横画互相平行，存在平行线段；“好”字右半部分“子”的横撇中的横和末尾的横互相平行，存在平行线段；“啊”字左半部分“口”的上下两横互相平行，存在平行线段；所有汉字都能找到互相平行的线段。原题说法正确。 故答案为：√ 17．两条直线相交，如果其中一个角是90°，那么其他3个角都是直角。( ) 【答案】√ 【分析】两条直线相交成直角（直角等于90°），就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 【详解】两条直线相交时，其中一个角是90°，所以这两条直线互相垂直，因此其余3个角都是直角，原题说法正确。 故答案为：√ 18．梯形可以看成是特殊的平行四边形。( ) 【答案】 × 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，梯形只有一组对边平行。 【详解】平行四边形的两组对边分别平行，梯形仅一组对边平行，不满足平行四边形的定义，题干表达错误。 故答案为：× 四、作图题 19．画出点A到线段BC的最短线段；测量点A到线段BC的距离。 【答案】 2厘米 【分析】连接点A与线段BC上各点的所有线段中，垂线段最短，该垂线段的长度即为点A到线段BC的距离。画垂线时，三角尺的一条直角边与线段BC重合，另一条直角边过A点向BC边画垂线，一定要标上直角符号；然后用直尺量出这条垂线的长度，据此解答。 【详解】经测量，点A到线段BC的距离是2厘米。（画图略） 五、解答题 20．在探究“光的直线传播”时，林林用带有平行四边形镂空的纸板遮挡手电筒，在墙面投射出一个周长为56厘米的平行四边形光斑。这个光斑的其中一条边长16厘米，与它相邻的另一条边长多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】平行四边形的周长等于相邻两边长度和的2倍。已知平行四边形的周长和其中一条边的长度，要求相邻边的长度，就可以先根据周长求出相邻两边长度之和，再减去已知边的长度得到结果。 【详解】56÷2－16 ＝28－16 ＝12（厘米） 答：与它相邻的一条边长是12厘米。 21．三只小兔以相同的速度沿着各自的路线跑向胡萝卜，哪只小兔能最先吃到萝卜？并说明理由。 【答案】②； 因为点到直线的距离垂线段最短，3只小兔的速度一样，那么路程越短，用的时间就越少，②号小兔走的路线与竖直线垂直，而①号兔子和③号兔子分别走的是斜线和折线，所以②号小兔走的路程最短，就能最先吃到萝卜。 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，时间=路程速度，速度一样的情况下，路程越短，用的时间越短，据此解答。 【详解】由图可得，①号兔子走的是斜线，②号小兔走的路线与竖直线垂直，③号兔子走的是折线，所以②号小兔走的路程最短，即最先吃到萝卜。 22．优优家附近有5家商店，如果只考虑路程，那么你会建议她去哪家商店购物？先画出她的行走路线，再说明你的理由。 【答案】C商店；；因为从直线外一点到这条直线所画的线段中垂线段最短，所以从优优家到C商店最近 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。从优优家这个点，向下面这条直线画一条垂线段，垂线落在直线上的点是C，优优家沿这条垂线段走到C商店就是行走路线。 【详解】如图所示： 答：我会建议她去C商店购物。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中垂线段最短，所以从优优家到C商店最近。 23．一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，且直线a与直线b之间的距离为3厘米，直线b与直线c之间的距离是5厘米。那么直线a与直线c之间的距离是几厘米？ 【答案】8厘米或者2厘米 【分析】三条直线互相平行，存在两种位置情况：①是直线b在a、c中间；②是a、c在直线b的同一侧。分别用加法或减法计算两条平行线之间的距离。 【详解】如图所示，有两种情况： ①  ② ①直线a与c之间的距离是（厘米） ②直线a与c之间的距离是（厘米） 答：直线a与直线c之间的距离是8厘米或2厘米。 24．信阳镇实行“煤改气”工程，从小丽家向燃气主管道接一条燃气管道，怎样接最节省材料？在图上画出来，并说一说其中的道理。 【答案】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】因为直线外一点（小丽家）到这条直线（燃气主管道）所有点的连线中，垂线段最短。 【详解】用三角板的一条直角边与“燃气主管道”这条直线重合，另一条直角边经过“小丽家”的点，沿着这条直角边画线段，使线段垂直于主管道，这条线段就是小丽家到主管道的垂线段，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 平行四边形和梯形（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 垂直与平行 1. 同一平面内两条直线的位置关系 （1）相交：两条直线有一个公共点。 ① 一般相交：夹角不是90度。 ② 互相垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 （2）不相交：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2. 关键性质 （1）从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 ① 这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 （2）平行线间的距离处处相等。 二、 平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 2. 特征 （1）边的特征：两组对边分别平行且相等。 （2）角的特征：对角相等，邻角互补（和为180度）。 （3）特性：具有不稳定性（容易变形）。 ① 应用：伸缩门、升降机、折叠椅等。 3. 底和高 （1）定义：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （2）画法： ① 确定底边。 ② 用三角尺的直角边与底边重合。 ③ 平移三角尺，使另一直角边经过对边上的某一点。 ④ 画垂线段，标出直角符号和高（h）、底（a）。 （3）注意：平行四边形有无数条高。 三、 梯形 1. 定义 只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 2. 各部分名称 （1）底：互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底。（通常较短的叫上底，较长的叫下底，但位置不固定，关键是看是否平行）。 （2）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 （3）高：从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3. 特殊梯形 （1）等腰梯形：两腰相等的梯形。 ① 特征：两个底角分别相等，是轴对称图形。 （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形。 ① 特征：有一条腰垂直于底，这条腰的长度就是梯形的高。 4. 底和高 （1）画法： ① 在梯形内部，从上底任意一点向下底画垂线。 ② 标出直角符号。 （2）注意：梯形也有无数条高，且所有高的长度都相等。 四、 四边形之间的关系 1. 包含关系图 （1）四边形包括：平行四边形、梯形、一般四边形。 （2）平行四边形包括：长方形、正方形、菱形等。 ① 长方形是特殊的平行四边形（四个角都是直角）。 ② 正方形是特殊的长方形（四条边都相等），也是特殊的平行四边形。 （3）梯形和平行四边形是并列关系，互不包含。 ① 判断关键：看有几组对边平行。 ② 两组对边平行 平行四边形。 ③ 只有一组对边平行 梯形。 ④ 没有对边平行 一般四边形。 2. 高频易错点 （1）混淆定义：认为“有一组对边平行”就是梯形，忽略了“只有”二字。若两组都平行，则是平行四边形。 （2）高的画法错误： ① 平行四边形的高必须是对边之间的垂直距离，不能画在邻边上。 ② 梯形的高必须是上底和下底之间的垂直距离。 （3）图形识别：在复杂图形中识别平行四边形和梯形时，需先找出平行的对边。 提升练习 一、填空题 1．下图中，有( )组垂直线段，有( )组平行线段。 2．一个长方形泳池长50米，宽10米，( )个这样的泳池面积是1公顷。 3．在汉字“二、千、平、下”中，笔画中有平行线段的是( )，笔画中有垂直线段的是( )。 4．在同一个平面内，不相交的两条直线( )；两条直线相交成直角时，这两条直线( )。 5．在两条平行线之间画两条垂直线段，第一条长3厘米，第二条长( )厘米。 6．过一点可以画( )条直线，过直线上一点可以画( )条垂线，过直线外一点可以画( )条直线与已知直线平行。 7．在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁与地面是否垂直，如果墙壁与地面垂直，铅垂线会与墙壁( )。 8．一个等腰梯形的上底是3厘米，下底是7厘米，一条腰长5厘米。要围成这样的等腰梯形至少需要( )厘米长的铁丝。 二、选择题 9．在同一平面内，和已知直线相距3厘米的平行线有（    ）条。 A．1 B．2 C．4 D．无数 10．下面说法正确的是（    ）。 A．平角是一条直线。 B．同一平面内，两条直线的位置关系不是平行就是相交。 C．9时30分，钟面上时针与分针形成的较小角是直角。 D．过直线外一点可以画无数条已知直线的平行线。 11．小明的爸爸开车沿直线行驶，在雪地上留下两条直直的线。这两条直线的位置关系为（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．无法确定 12．用一根18cm长的铁丝围一个平行四边形（铁丝没有剩余），且每条边的长度都是整厘米数。相邻的两条边可能是（    ）。 A．5cm，4cm B．12cm，6cm C．9cm，9cm D．6cm，6cm 13．下面说法中正确的是（    ）。 A．平行线就是不相交的两条直线 B．两条直线相交，交点就是垂足 C．垂直是相交的一种特殊位置关系 D．以上三个都是错误的 三、判断题 14．一个三角形平移前后对应边的关系一定互相平行。( ) 15．四条边相等的图形就是正方形。( ) 16．“天气真好啊”这5个汉字中，每个汉字里都能找到互相平行的线段。( ) 17．两条直线相交，如果其中一个角是90°，那么其他3个角都是直角。( ) 18．梯形可以看成是特殊的平行四边形。( ) 四、作图题 19．画出点A到线段BC的最短线段；测量点A到线段BC的距离。 五、解答题 20．在探究“光的直线传播”时，林林用带有平行四边形镂空的纸板遮挡手电筒，在墙面投射出一个周长为56厘米的平行四边形光斑。这个光斑的其中一条边长16厘米，与它相邻的另一条边长多少厘米？ 21．三只小兔以相同的速度沿着各自的路线跑向胡萝卜，哪只小兔能最先吃到萝卜？并说明理由。 22．优优家附近有5家商店，如果只考虑路程，那么你会建议她去哪家商店购物？先画出她的行走路线，再说明你的理由。 23．一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，且直线a与直线b之间的距离为3厘米，直线b与直线c之间的距离是5厘米。那么直线a与直线c之间的距离是几厘米？ 24．信阳镇实行“煤改气”工程，从小丽家向燃气主管道接一条燃气管道，怎样接最节省材料？在图上画出来，并说一说其中的道理。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $