专题5.1 平面向量的概念及线性运算（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 5.1 平面向量的概念及线性运算（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解向量的概念，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量的含义； 2．掌握向量的加法与减法运算，理解其几何意义（三角形法则、平行四边形法则）； 3．掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解共线向量定理，会判断两向量是否共线； 4．能进行向量的线性运算与化简，会用已知向量（基底）表示未知向量。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 向量的概念辨析 选择题 第1~5题 基础 逐项对照模、零向量、单位向量、共线的定义 向量的加减法运算与化简 选择题、填空题 第1~6题／第12~13题 基础 首尾相接求和、共起点作差，化归为同一向量 共线向量定理求参数 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 设 ，比较基底系数列方程 用基底表示向量 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 沿图形路径"走"，把未知向量逐步换成基底 三角形、平行四边形中的向量运算 选择题、解答题 第6题／第15~17题 中档 选好基底，借助中点、分点条件表达向量 命题规律分析 平面向量是连接代数与几何的桥梁，而向量的概念与线性运算是整个向量章节的地基。新高考中本专题多以选择题第1～5题、填空题第12～13题的位置出现：概念辨析、加减法化简属基础档；共线向量定理求参数、用基底表示向量常压在第6题、第13题这档"垫脚题"上。本讲难度定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档题通过"套路化"步骤也能拿下。拿分要点：概念辨析牢记"零向量方向任意""单位向量模为 ""共线即方向相同或相反"；加减法化简善用"首尾相接求和、共起点求差"；用共线定理时注意前提 ；用基底表示向量要"沿路径走、逐步代入"。 考点1 向量的概念 知识点1 向量的概念、模、零向量与单位向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模），记作 或 ；向量常用带箭头的有向线段来表示。 长度为 的向量叫做零向量，记作 ，它的方向是任意的；长度等于 个单位长度的向量叫做单位向量。 向量与数量不同：数量只有大小，可以比较大小；向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，只有它们的模可以比较大小。 【方法技巧】 1．向量可以用有向线段表示，但不能说"向量就是有向线段"，有向线段只是向量的一种几何表示； 2．与 同方向的单位向量为 ，即用 除以它的模得到； 3．写向量的模用双竖线 ，不要漏写竖线写成 。 【易错清单】 1．零向量的方向是任意的，不是"没有方向"，它与任意向量平行； 2．单位向量的模都是 ，但方向各不相同，不能认为单位向量都相等； 3． 是一个非负实数， 是一个向量， 是一个数，三者不能混写。 知识点2 平行（共线）向量与相等向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，记作 ；规定零向量与任意向量平行（共线）。 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作 ；长度相等且方向相反的向量叫做相反向量， 的相反向量是 。 向量可以自由平移，平移后得到的向量与原向量相等，因此共线向量所在的直线可能平行，也可能重合。 【方法技巧】 1．判断相等向量"两看"：一看模是否相等，二看方向是否相同，两者都满足才相等； 2．一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以向量的"平行"与"共线"是同一个概念； 3．利用"相等向量可平移"把分散的向量集中到同一个三角形或平行四边形中，便于使用法则。 【易错清单】 1．共线向量只要求方向相同或相反，与它们所在直线是否重合无关； 2．零向量与任意向量平行，但它与任意向量的方向关系无法确定，不要作"同向""反向"的判断； 3． 只要求长度相等、方向相同，与线段 ， 是否在一条直线上无关。 考点2 向量的线性运算 知识点3 向量的加法与减法 向量加法的三角形法则：把两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量，即 。 向量加法的平行四边形法则：把两个向量平移到同一起点，以它们为邻边作平行四边形，则从公共起点出发的对角线向量就是和向量；两个共线向量不适用平行四边形法则。 向量减法：，即"共起点、指向被减向量的终点"，也可理解为加上减向量的相反向量。 【方法技巧】 1．多个向量相加用"首尾相接"：从第一个向量的起点连到最后一个向量的终点，中间相接点全部抵消； 2．作差时先化为共起点，再看"从减向量终点指向被减向量终点"； 3．加法满足交换律与结合律，可以调整顺序以凑成首尾相接。 【易错清单】 1．三角形法则要求"首尾相接"，平行四边形法则要求"共起点"，两者不能混用； 2．，注意方向是"从减向量终点指向被减向量终点"，容易写反； 3．零向量参与运算：，这里 是向量，不要写成数 。 知识点4 数乘向量 实数 与向量 的乘积 是一个向量：其模为 ，方向规定为——当 时与 同向，当 时与 反向，当 或 时 。 数乘运算满足：，，。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，运算结果仍然是向量。 【方法技巧】 1．数乘的几何意义是"把向量沿原方向（或反方向）伸缩"，系数为负时要先反向再伸缩； 2．化简含数乘的式子时，按实数运算律把系数合并到向量前面； 3．系数为 时结果是零向量 ，不是数 。 【易错清单】 1．由 不能直接推出 ，还可能是 ； 2．数乘的分配律要认准对象： 与 是两个不同的公式； 3．写答案时零向量要写成 ，与数 区分开。 考点3 共线向量定理与基底表示 知识点5 共线向量定理 共线向量定理：向量 （）与 共线，当且仅当存在唯一一个实数 ，使 。 推论一：，， 三点共线的充要条件是存在实数 ，使 。 推论二：若 ， 不共线，则 的充要条件是 且 ，即系数对应相等。 【方法技巧】 1．判断共线"两步走"：先找公共点，再证"目标向量 已知向量"； 2．求参数时把"共线"翻译成 ，再比较基底系数列方程组； 3．比较系数前必须确认两个基底向量不共线，否则表示不唯一。 【易错清单】 1．共线定理中 是前提，若 ，则 不唯一； 2． 已隐含 为公共点，只需验证比例关系，不必再重复说明 在直线上； 3．两个向量共线不一定平行于同一条直线，方向相反也是共线。 知识点6 用基底表示向量 用平面内不共线的两个向量 ， 作基底，可以表示该平面内的任意向量 ，且表示唯一。 用基底表示向量的一般方法：利用向量加法的三角形法则，把所求向量写成若干已知向量的和与差，再把每个已知向量换成基底的线性组合。 常借助图形中的中点、三等分点、平行四边形对边相等等条件，把线段比例转化为向量的数乘关系。 【方法技巧】 1．沿路径表示"三步走"：定基底 → 沿路径写和差 → 代入基底化简； 2．遇到中点，用"中线向量等于两邻边向量和的一半"； 3．求系数时利用"同一向量在同一基底下表示唯一"，比较 ， 的系数列方程。 【易错清单】 1．沿路径行走时方向要一致，反向要添负号； 2．把比例写成数乘时别把方向写反， 与 完全不同； 3．基底必须不共线，用共线向量作基底会导致表示不唯一。 【题型1 向量概念辨析】 【例1】下列命题中，正确的是（　　） A．两个向量相等，则它们的起点和终点分别相同　B．零向量的方向是任意的，它与任意向量平行　C．所有的单位向量都相等　D．共线向量所在的直线一定重合 【答案】B 【解题思路】逐项对照零向量、单位向量、相等向量、共线向量的定义判断。 【解答过程】A中相等向量只要求模相等、方向相同，起点与终点可以不同，错误；C中单位向量的模都是 ，但方向各不相同，不一定相等，错误；D中共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误；B中零向量的方向是任意的，规定它与任意向量平行，正确。故选B。 【方法点睛】零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，但不能说它与其他向量"同向"或"反向"。判断相等向量一定要"模相等"与"方向相同"两条都满足。 【变式1-1】下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的向量叫做相等向量　B．方向相反的向量一定是相反向量　C．零向量与任意向量平行　D．若 ，则 【答案】C 【解题思路】逐项检验，注意相等向量要同时满足"模相等"和"方向相同"。 【解答过程】A只说了长度相等，没说方向，错误；B中方向相反但长度不一定相等，错误；D中模相等但方向可能不同，错误；C是零向量的规定，正确。故选C。 【变式1-2】下列命题中，正确的是（　　） A．若 ，则 与 的方向相同　B．若 ，则 　C．单位向量都相等　D．向量 与 是相等向量 【答案】B 【解题思路】把每个选项翻译成向量的定义来判断。 【解答过程】A中两向量平行时方向可能相同也可能相反，错误；C中单位向量方向不同，错误；D中 与 方向相反，是相反向量，错误；B中模为零的向量就是零向量，正确。故选B。 【变式1-3】下列说法中，正确的是（　　） A．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小　B．两个向量的模相等，则这两个向量相等　C．零向量的模为 ，所以零向量没有方向　D．相反向量的模不相等 【答案】A 【解题思路】抓住"向量有方向不能比大小""模是非负实数可以比大小"。 【解答过程】B中模相等还要求方向相同才相等，错误；C中零向量的方向是任意的，不是没有方向，错误；D中相反向量长度相等（模相等），只是方向相反，错误；A正确描述了向量与向量模的区别。故选A。 【题型2 向量的加减法作图与化简】 【例2】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】多个向量相加用"首尾相接"，从第一个向量的起点连到最后一个向量的终点。 【解答过程】由三角形法则 ，再 ，所以原式 。故选A。 【方法点睛】首尾相接的连加式，答案就是"第一个向量的起点指向最后一个向量的终点"，中间点的字母全部抵消，可据此快速心算。 【变式2-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先凑首尾相接的部分：。 【解答过程】，，所以原式 。故选A。 【变式2-2】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先作差化共起点，再与后面的向量合并。 【解答过程】，所以原式 。故选B。 【变式2-3】在平行四边形 中，（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】共起点的两个向量相加，用平行四边形法则，和向量是它们所夹的对角线。 【解答过程】在平行四边形 中， 与 共起点 ，以它们为邻边的平行四边形的对角线 。故选B。 【题型3 用基底表示向量】 【例3】在 中，点 在边 上，且 ，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 写成 ，再用 把 换成 的三分之二。 【解答过程】因为 ，所以 ，。于是 。故选A。 【方法点睛】 表示 靠近 ，所以 占 的三分之二，别把分子分母写反。 【变式3-1】在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】中线向量等于从同一起点出发的两邻边向量和的一半。 【解答过程】因为 是 的中点，，，所以 。故选B。 【变式3-2】在平行四边形 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】作差化共起点：。 【解答过程】。故选C。 【变式3-3】已知 为 所在平面内一点， 为 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】 为 中点时， 是共起点向量 ， 和的一半。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 。故选D。 【题型4 共线向量定理求参数】 【例4】已知 ， 不共线，若 与 共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由共线设 ，因 ， 不共线，比较系数列方程。 【解答过程】设 。比较系数得 且 ，解得 ，。故选A。 【方法点睛】系数对应相等的前提是 ， 不共线，题目不给这个条件就不能直接比较系数。 【变式4-1】已知 ， 不共线，，，若 ，， 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】，， 共线且两向量共点 ，得 ，比较系数。 【解答过程】由 ，， 三点共线得 ，即 。比较系数得 且 ，所以 。故选B。 【变式4-2】已知向量 ， 不共线，，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 设 ，比较系数求 。 【解答过程】由 设 ，即 。比较系数得 且 ，所以 ，。故选B。 【变式4-3】设 ， 是两个不共线的向量，，，，若 ，， 三点共线，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先用 ， 表示 ，再由 ，， 共线得 。 【解答过程】。由 ，， 三点共线得 ，即 。比较系数得 且 ，所以 。 【方法点睛】求 时用 （两向量共点 ），不要写成 。 【题型5 向量的线性运算求值】 【例5】已知 ，，，则（　　） A．，， 三点共线　B．，， 三点共线　C．，， 三点共线　D．，， 三点共线 【答案】B 【解题思路】把 用 表示出来，看两者是否成倍数关系。 【解答过程】。所以 与 共线且有公共点 ，故 ，， 三点共线。故选B。 【方法点睛】判断三点共线，先算由同一点出发的两个向量（如 与 ），再看是否成倍数关系。 【变式5-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先按分配律展开，再把同类项系数合并。 【解答过程】。故选C。 【变式5-2】已知 ， 不共线，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 ，首尾相接求和。 【解答过程】。故选B。 【变式5-3】已知 ， 不共线，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】共起点作差：。 【解答过程】。故选C。 【题型6 三角形、平行四边形中的向量运算】 【例6】在平行四边形 中， 是 的中点，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】在平行四边形中 ，把 拆成 。 【解答过程】，且 ，所以 。故选A。 【方法点睛】平行四边形中 、，是最常用的"平行且相等"关系，可把边上的向量平移到同一起点。 【变式6-1】在 中， 是 边上一点，且 ，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】，再用 。 【解答过程】。故选B。 【变式6-2】在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】中线向量等于两邻边向量和的一半。 【解答过程】因为 是 的中点，所以 。故选C。 【变式6-3】在平行四边形 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先分别用基底表示 与 ，再相加。 【解答过程】，，所以 。故选B。 一、单选题 1．（★）下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A．零向量的方向是任意的　B．单位向量的方向都相同　C．向量 与 可以比较大小　D．共线向量的方向一定相同 【答案】A 【解题思路】逐项对照零向量、单位向量、共线向量的定义判断。 【解答过程】A是零向量的规定，正确；B中单位向量方向不一定相同，错误；C中向量不能比较大小，错误；D中两向量共线时方向可能相反，错误。故选A。 2．（★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】首尾相接，直接用三角形法则。 【解答过程】由三角形法则 。故选A。 3．（★）在 中， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 为 中点时， 与 是相反向量。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 且方向相反，，故 。故选A。 4．（★）已知 ， 不共线，若 ，，则（　　） A．，， 三点共线　B．，， 三点不共线　C．　D．无法确定 【答案】A 【解题思路】看 与 是否成倍数关系。 【解答过程】因为 ，所以 与 共线，又它们有公共点 ，故 ，， 三点共线。故选A。 5．（★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】共起点作差，结果从减向量终点指向被减向量终点。 【解答过程】。故选B。 6．（★★）已知 ， 不共线，且 ，则（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】A 【解题思路】， 不共线，两边同向量的系数必须对应相等。 【解答过程】由 ，比较系数得 且 ，所以 ，。故选A。 7．（★★）在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 是 中点， 是共起点向量 ， 和的一半。 【解答过程】因为 是 的中点，所以 。故选C。 8．（★★）已知 ， 不共线，，，若 ，， 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】由三点共线得 ，比较系数。 【解答过程】由 ，， 三点共线得 ，即 。比较系数得 且 ，所以 。故选D。 二、多选题 9．（★）下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A．零向量与任意向量平行　B．两个单位向量的模相等　C．向量 与 是相反向量　D．若 ，则 【答案】ABCD 【解题思路】逐项对照零向量、单位向量、相反向量、相等向量的定义判断。 【解答过程】A是零向量的规定，正确；B中单位向量的模都为 ，正确；C中 与 长度相等、方向相反，是相反向量，正确；D中两向量相等则模一定相等，正确。故选ABCD。 10．（★）下列化简中，正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐一用三角形法则与共起点作差验证。 【解答过程】A由首尾相接得 ，正确；B由共起点作差得 ，正确；C由首尾相接得 ，正确；D中 ，不等于 ，错误。故选ABC。 11．（★★）设 ， 是两个不共线的向量，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是（　　） A． 与 　B． 与 　C． 与 　D． 与 【答案】A 【解题思路】能作基底的充要条件是两向量不共线，逐一检验是否成倍数关系。 【解答过程】A中不存在实数 使 ，两向量不共线，可作基底；B中 ，共线，不能作基底；C中 ，共线，不能作基底；D中 ，共线，不能作基底。故选A。 三、填空题 12．（★）化简 ____________。 【答案】 【解题思路】首尾相接，从 出发又回到 。 【解答过程】，所以原式 。 13．（★★）已知 ， 不共线，若 与 共线，则 ____________。 【答案】 【解题思路】设 ，比较系数列方程。 【解答过程】设 。比较系数得 且 ，所以 。 14．（★★）在 中， 为边 的中点，，，用 ， 表示 ____________。 【答案】 【解题思路】中线向量等于两邻边向量和的一半。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 。 四、解答题 15．（★）化简下列各式： (1) ； (2) 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 首尾相接直接合并；(2) 先共起点作差，再合并。 【解答过程】(1) 。 (2) ，所以 。 16．（★）在平行四边形 中，，， 为 的中点。 (1) 用 ， 表示 ； (2) 用 ， 表示 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】利用平行四边形中 ，沿路径把向量换成基底的组合。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 17．（★）已知 ， 不共线，，，若 ，， 三点共线，求 的值。 【答案】。 【解题思路】三点共线即 ，比较系数求 。 【解答过程】由 ，， 三点共线得 ，即 。比较系数得 且 ，所以 。 18．（★★）在 中， 是 的中点， 是 的中点，设 ，。 (1) 用 ， 表示 ； (2) 若 ，求 ， 的值。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】(1) 先求中线 ，再用 是 中点取一半； (2) 用 展开成基底。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) ，所以 ，。 19．（★★）已知 ， 是不共线的两个向量，，，。 (1) 用 ， 表示 ； (2) 若 ，， 三点共线，求实数 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用 首尾相接； (2) 由 ，， 共线得 ，比较系数求 。 【解答过程】(1) 。 (2) 由 ，， 三点共线得 ，即 。比较系数得 且 ，解得 ，故 ，即 ，所以 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题5.1 平面向量的概念及线性运算　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 5.1 平面向量的概念及线性运算（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解向量的概念，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量的含义； 2．掌握向量的加法与减法运算，理解其几何意义（三角形法则、平行四边形法则）； 3．掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解共线向量定理，会判断两向量是否共线； 4．能进行向量的线性运算与化简，会用已知向量（基底）表示未知向量。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 向量的概念辨析 选择题 第1~5题 基础 逐项对照模、零向量、单位向量、共线的定义 向量的加减法运算与化简 选择题、填空题 第1~6题／第12~13题 基础 首尾相接求和、共起点作差，化归为同一向量 共线向量定理求参数 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 设 ，比较基底系数列方程 用基底表示向量 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 沿图形路径"走"，把未知向量逐步换成基底 三角形、平行四边形中的向量运算 选择题、解答题 第6题／第15~17题 中档 选好基底，借助中点、分点条件表达向量 命题规律分析 平面向量是连接代数与几何的桥梁，而向量的概念与线性运算是整个向量章节的地基。新高考中本专题多以选择题第1～5题、填空题第12～13题的位置出现：概念辨析、加减法化简属基础档；共线向量定理求参数、用基底表示向量常压在第6题、第13题这档"垫脚题"上。本讲难度定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档题通过"套路化"步骤也能拿下。拿分要点：概念辨析牢记"零向量方向任意""单位向量模为 ""共线即方向相同或相反"；加减法化简善用"首尾相接求和、共起点求差"；用共线定理时注意前提 ；用基底表示向量要"沿路径走、逐步代入"。 考点1 向量的概念 知识点1 向量的概念、模、零向量与单位向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模），记作 或 ；向量常用带箭头的有向线段来表示。 长度为 的向量叫做零向量，记作 ，它的方向是任意的；长度等于 个单位长度的向量叫做单位向量。 向量与数量不同：数量只有大小，可以比较大小；向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，只有它们的模可以比较大小。 【方法技巧】 1．向量可以用有向线段表示，但不能说"向量就是有向线段"，有向线段只是向量的一种几何表示； 2．与 同方向的单位向量为 ，即用 除以它的模得到； 3．写向量的模用双竖线 ，不要漏写竖线写成 。 【易错清单】 1．零向量的方向是任意的，不是"没有方向"，它与任意向量平行； 2．单位向量的模都是 ，但方向各不相同，不能认为单位向量都相等； 3． 是一个非负实数， 是一个向量， 是一个数，三者不能混写。 知识点2 平行（共线）向量与相等向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，记作 ；规定零向量与任意向量平行（共线）。 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作 ；长度相等且方向相反的向量叫做相反向量， 的相反向量是 。 向量可以自由平移，平移后得到的向量与原向量相等，因此共线向量所在的直线可能平行，也可能重合。 【方法技巧】 1．判断相等向量"两看"：一看模是否相等，二看方向是否相同，两者都满足才相等； 2．一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以向量的"平行"与"共线"是同一个概念； 3．利用"相等向量可平移"把分散的向量集中到同一个三角形或平行四边形中，便于使用法则。 【易错清单】 1．共线向量只要求方向相同或相反，与它们所在直线是否重合无关； 2．零向量与任意向量平行，但它与任意向量的方向关系无法确定，不要作"同向""反向"的判断； 3． 只要求长度相等、方向相同，与线段 ， 是否在一条直线上无关。 考点2 向量的线性运算 知识点3 向量的加法与减法 向量加法的三角形法则：把两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量，即 。 向量加法的平行四边形法则：把两个向量平移到同一起点，以它们为邻边作平行四边形，则从公共起点出发的对角线向量就是和向量；两个共线向量不适用平行四边形法则。 向量减法：，即"共起点、指向被减向量的终点"，也可理解为加上减向量的相反向量。 【方法技巧】 1．多个向量相加用"首尾相接"：从第一个向量的起点连到最后一个向量的终点，中间相接点全部抵消； 2．作差时先化为共起点，再看"从减向量终点指向被减向量终点"； 3．加法满足交换律与结合律，可以调整顺序以凑成首尾相接。 【易错清单】 1．三角形法则要求"首尾相接"，平行四边形法则要求"共起点"，两者不能混用； 2．，注意方向是"从减向量终点指向被减向量终点"，容易写反； 3．零向量参与运算：，这里 是向量，不要写成数 。 知识点4 数乘向量 实数 与向量 的乘积 是一个向量：其模为 ，方向规定为——当 时与 同向，当 时与 反向，当 或 时 。 数乘运算满足：，，。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，运算结果仍然是向量。 【方法技巧】 1．数乘的几何意义是"把向量沿原方向（或反方向）伸缩"，系数为负时要先反向再伸缩； 2．化简含数乘的式子时，按实数运算律把系数合并到向量前面； 3．系数为 时结果是零向量 ，不是数 。 【易错清单】 1．由 不能直接推出 ，还可能是 ； 2．数乘的分配律要认准对象： 与 是两个不同的公式； 3．写答案时零向量要写成 ，与数 区分开。 考点3 共线向量定理与基底表示 知识点5 共线向量定理 共线向量定理：向量 （）与 共线，当且仅当存在唯一一个实数 ，使 。 推论一：，， 三点共线的充要条件是存在实数 ，使 。 推论二：若 ， 不共线，则 的充要条件是 且 ，即系数对应相等。 【方法技巧】 1．判断共线"两步走"：先找公共点，再证"目标向量 已知向量"； 2．求参数时把"共线"翻译成 ，再比较基底系数列方程组； 3．比较系数前必须确认两个基底向量不共线，否则表示不唯一。 【易错清单】 1．共线定理中 是前提，若 ，则 不唯一； 2． 已隐含 为公共点，只需验证比例关系，不必再重复说明 在直线上； 3．两个向量共线不一定平行于同一条直线，方向相反也是共线。 知识点6 用基底表示向量 用平面内不共线的两个向量 ， 作基底，可以表示该平面内的任意向量 ，且表示唯一。 用基底表示向量的一般方法：利用向量加法的三角形法则，把所求向量写成若干已知向量的和与差，再把每个已知向量换成基底的线性组合。 常借助图形中的中点、三等分点、平行四边形对边相等等条件，把线段比例转化为向量的数乘关系。 【方法技巧】 1．沿路径表示"三步走"：定基底 → 沿路径写和差 → 代入基底化简； 2．遇到中点，用"中线向量等于两邻边向量和的一半"； 3．求系数时利用"同一向量在同一基底下表示唯一"，比较 ， 的系数列方程。 【易错清单】 1．沿路径行走时方向要一致，反向要添负号； 2．把比例写成数乘时别把方向写反， 与 完全不同； 3．基底必须不共线，用共线向量作基底会导致表示不唯一。 【题型1 向量概念辨析】 【例1】下列命题中，正确的是（　　） A．两个向量相等，则它们的起点和终点分别相同　B．零向量的方向是任意的，它与任意向量平行　C．所有的单位向量都相等　D．共线向量所在的直线一定重合 【变式1-1】下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的向量叫做相等向量　B．方向相反的向量一定是相反向量　C．零向量与任意向量平行　D．若 ，则 【变式1-2】下列命题中，正确的是（　　） A．若 ，则 与 的方向相同　B．若 ，则 　C．单位向量都相等　D．向量 与 是相等向量 【变式1-3】下列说法中，正确的是（　　） A．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小　B．两个向量的模相等，则这两个向量相等　C．零向量的模为 ，所以零向量没有方向　D．相反向量的模不相等 【题型2 向量的加减法作图与化简】 【例2】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】在平行四边形 中，（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 用基底表示向量】 【例3】在 中，点 在边 上，且 ，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】在平行四边形 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 为 所在平面内一点， 为 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 共线向量定理求参数】 【例4】已知 ， 不共线，若 与 共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 ， 不共线，，，若 ，， 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知向量 ， 不共线，，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】设 ， 是两个不共线的向量，，，，若 ，， 三点共线，则 ____________。 【题型5 向量的线性运算求值】 【例5】已知 ，，，则（　　） A．，， 三点共线　B．，， 三点共线　C．，， 三点共线　D．，， 三点共线 【变式5-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知 ， 不共线，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 ， 不共线，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 三角形、平行四边形中的向量运算】 【例6】在平行四边形 中， 是 的中点，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】在 中， 是 边上一点，且 ，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】在平行四边形 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A．零向量的方向是任意的　B．单位向量的方向都相同　C．向量 与 可以比较大小　D．共线向量的方向一定相同 2．（★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）在 中， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）已知 ， 不共线，若 ，，则（　　） A．，， 三点共线　B．，， 三点不共线　C．　D．无法确定 5．（★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知 ， 不共线，且 ，则（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 7．（★★）在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知 ， 不共线，，，若 ，， 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A．零向量与任意向量平行　B．两个单位向量的模相等　C．向量 与 是相反向量　D．若 ，则 10．（★）下列化简中，正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★）设 ， 是两个不共线的向量，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是（　　） A． 与 　B． 与 　C． 与 　D． 与 三、填空题 12．（★）化简 ____________。 13．（★★）已知 ， 不共线，若 与 共线，则 ____________。 14．（★★）在 中， 为边 的中点，，，用 ， 表示 ____________。 四、解答题 15．（★）化简下列各式： (1) ； (2) 。 16．（★）在平行四边形 中，，， 为 的中点。 (1) 用 ， 表示 ； (2) 用 ， 表示 。 17．（★）已知 ， 不共线，，，若 ，， 三点共线，求 的值。 18．（★★）在 中， 是 的中点， 是 的中点，设 ，。 (1) 用 ， 表示 ； (2) 若 ，求 ， 的值。 19．（★★）已知 ， 是不共线的两个向量，，，。 (1) 用 ， 表示 ； (2) 若 ，， 三点共线，求实数 的值。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题5.1 平面向量的概念及线性运算　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $