专题5.1 平面向量的概念及线性运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念及线性运算，涵盖向量的概念、线性运算（加法、减法、数乘）、共线向量定理等核心考点，按“概念—运算—定理应用”逻辑构建知识体系。通过知识梳理夯实基础，考点分析（例1-例3）突破重点，跟踪训练结合高考真题，课后分层练习巩固提升，形成系统性复习路径。 资料突出数学思维与几何直观的培养，如在共线向量定理应用中，通过例3引导学生推理参数关系，结合2020新高考Ⅱ卷等真题强化应用能力。设置基础题组练与能力提升练，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生向量问题的解题效率与应考能力。

专题5.1 平面向量的概念及线性运算 知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模(或长度)． (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (3)单位向量：模等于1的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行． (5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量． (6)相反向量：大小相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则、平行四边形 法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量基本定理：如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 常用结论 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3.三点共线的几个等价关系 A,P,B三点共线⇔ 4．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 【考点一 平面向量的基本概念】 【例1】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.故选：ABD. 跟踪训练 1.(多选题)下列命题中的真命题是(　　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若A,B,C,D是一个平面中不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C.若a=b,b=c,则a=c D.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b 答案：BC 解析 A是假命题,需考虑b=0;B是真命题, ∵,∴||=||且, 又A,B,C,D是一个平面中不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,方向相同,因此;C是真命题,∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c;D是假命题,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件. 故选BC. 2.以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则的方向相同或相反； C．若，则或 D．若，则 【答案】D 【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D. 【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意； 对于B，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于C，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故C错误； 对于D，若，则，故D正确。 故选：D． 考点二 平面向量的线性运算 【例2】在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 ， 其中， 故． 故选：B． 跟踪训练 1.(2020·新高考Ⅱ,3)若D为△ABC的边AB的中点,则=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.-2 C.2 D.+2 答案 C 解析 如图,+2+2()=2. 2.（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算可得，计算即可求解. 【详解】由题意可得，， 因为为的中点， 所以， 则，所以. 故选：A 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据两个向量共线，且方向相同，列出方程组，求出参数值. 【详解】由题意知，即，解得， 故选：B. 跟踪训练 1.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．A、B、C 三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 2．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 3.如图，在 中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选：C 4.（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 课后作业 基础题组练 1.（2026·云南·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【分析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 2.设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 3.(2022·新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 【答案】B 解析 (方法一)因为BD=2DA,所以=2,即=2(),所以=-2+3=-2m+3n.故选B. (方法二)因为BD=2DA, 所以, 于是=-2+3=-2m+3n.故选B. 4.（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 5.（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果. 【详解】由向量的线性运算可知. 故选：C. 6.（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】由向量共线得到，求解即可. 【详解】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A 7．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【分析】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 8.如图,在△ABC中,若=3,P为CD上一点,且满足=x(x∈R),则x=(　　) A. B. C. D. 【答案】A 解析因为=3,所以,由=x=x=x,因为C,P,D三点共线,所以x+=1,解得x=.故选A. 9.如图，在 中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 10.（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 11.（多选）．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得， 若，可得M为BC的中点，所以A正确；    对于B中，若M为的重心，则满足， 即，所以B不正确； 对于C中，由，可得，即， 所以M，B，C三点共线，所以C正确； 对于D中，如图所示，由，    可得，所以D正确． 故选：ACD 12.设，是两个不共线的向量，已知，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若，且B，D，F三点共线，求k的值. 【详解】（1）证明：由已知得， ∵，∴. 又与有公共点B， ∴A，B，D三点共线． （2）由（1）可知， ∵，且B，D，F三点共线， ∴， 即，∴， 解得. 能力提升练 13.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照赵爽弦图,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形,其中E,F,G,H分别是DF,AG,BH,CE的中点,若=x+y,则xy=(　　) A. B.- C. D.- 【答案】C 解析 由题意,可得)=.因为四边形EFGH是平行四边形,所以=-,所以,所以.因为=x+y,所以x=,y=,则xy=.故选C. 14.(多选题)(2024·河北期中)如图,在△ABC中,BD与EC交于点G,E是AB的靠近B的三等分点,D是AC的中点,且有=λ+μ,λ,μ∈(0,+∞),则下列选项正确的是(　　) A.λ+3μ=1 B.3λ+2μ=2 C. D.过G作直线MN分别交线段AB,AC(包括线段AB,AC的端点)于点M,N,设=m=n(m>0,n>0),则m+2n的最小值为2 【答案】BCD 解析对于A,B,C,由=λ+μ,得因为E,G,C三点共线,且B,G,D三点共线, 所以解得 即.所以A错误,B,C正确.对于D,=m=n,则,因为M,G,N三点共线,则=1,即=4,m+2n=(m+2n)·=2++2·≥2,当且仅当时,等号成立.所以D正确.故选BCD. 15.已知A,B,P是直线l上三个相异的点,点O∉l,若正实数x,y满足4=2x+y,则的最小值为　　　　　.  【答案】 解析因为A,B,P是直线l上三个相异的点,且4=2x+y, 即, 又x,y为正实数,所以=1, 所以=·=+2,当且仅当, 即x=4-2,y=4-4时,等号成立, 所以的最小值为. 16.（2026·河南省直辖县级单位·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角A； (2)若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式，诱导公式变形可求得； （2）由平面向量的线性运算求得，，用余弦定理及基本不等式求得的最大值，可得面积的最大值，从而得结论． 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，即， 三角形中，所以，而，所以； （2）由得，，所以，， 在中由余弦定理，即，当且仅当时等号成立， 所以，， 所以△BCD面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 平面向量的概念及线性运算 知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模(或长度)． (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (3)单位向量：模等于1的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行． (5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量． (6)相反向量：大小相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则、平行四边形 法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量基本定理：如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 常用结论 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3.三点共线的几个等价关系 A,P,B三点共线⇔ 4．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 【考点一 平面向量的基本概念】 【例1】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 跟踪训练 1.(多选题)下列命题中的真命题是(　　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若A,B,C,D是一个平面中不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C.若a=b,b=c,则a=c D.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b 2.以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则的方向相同或相反； C．若，则或 D．若，则 考点二 平面向量的线性运算 【例2】在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.(2020·新高考Ⅱ,3)若D为△ABC的边AB的中点,则=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.-2 C.2 D.+2 2.（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 跟踪训练 1.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．A、B、C 三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 2．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 3.如图，在 中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 课后作业 基础题组练 1.（2026·云南 ·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 2.设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.(2022·新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 4.（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 5.（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 6.（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 7．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8.如图,在△ABC中,若=3,P为CD上一点,且满足=x(x∈R),则x=(　　) A. B. C. D. 9.如图，在 中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 10.（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 11.（多选）．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 12.设，是两个不共线的向量，已知，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若，且B，D，F三点共线，求k的值. 能力提升练 13.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照赵爽弦图,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形,其中E,F,G,H分别是DF,AG,BH,CE的中点,若=x+y,则xy=(　　) A. B.- C. D.- 14.(多选题)(2024·河北期中)如图,在△ABC中,BD与EC交于点G,E是AB的靠近B的三等分点,D是AC的中点,且有=λ+μ,λ,μ∈(0,+∞),则下列选项正确的是(　　) A.λ+3μ=1 B.3λ+2μ=2 C. D.过G作直线MN分别交线段AB,AC(包括线段AB,AC的端点)于点M,N,设=m=n(m>0,n>0),则m+2n的最小值为2 15.已知A,B,P是直线l上三个相异的点,点O∉l,若正实数x,y满足4=2x+y,则的最小值为　　　　　.  16.（2026·河南省直辖县级单位·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角A； (2)若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $