专题4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系）； 2．会利用基本关系式"知一求二"，并正确判断符号； 3．掌握诱导公式，会化简与求值； 4．会处理 与 的相互转化。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 同角关系"知一求二" 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 先定象限定符号，再用平方关系 齐次式求值（含 ） 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 分子分母同除 的最高次幂 诱导公式化简求值 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 奇变偶不变，符号看象限 与 转化 选择题、多选题 第6题／第10题 中档 平方后利用平方关系 综合化简与求值 解答题 第15~16题 中档 先化到同一角，再用基本关系 命题规律分析 本专题是三角函数求值与化简的"工具箱"，高考中几乎每年都考。新高考中多以选择题第4～6题、填空题第12～13题的位置出现："知一求二"、齐次式求值、诱导公式化简是三大必考题型。本讲难度定位为：基本关系式与诱导公式必须熟练运用，第6题、第10题、第13题档的"齐次式求值"" 转化"按固定套路两步即可拿下。三个高频陷阱：开方后符号要由象限决定；诱导公式"符号看象限"时要把 当锐角； 表示 。 考点1 同角三角函数的基本关系式 知识点1 平方关系与商数关系 同角三角函数的两个基本关系（对同一个角成立）：平方关系 ；商数关系 （）。 由平方关系可得 ，，这是"知一求二"的依据。 "知一求二"的步骤：① 由题设确定 所在象限（或分类讨论）；② 用平方关系求出另一个三角函数值的平方；③ 开方并根据象限确定正负号；④ 用商数关系求出 。 【方法技巧】 1．"知一求二"最关键的一步是"定符号"，先想清 的象限再开方； 2．题目未给象限时，要分两种情况讨论（或由其他条件排除一种）； 3． 是 的简写，读作"正弦的平方"。 【易错清单】 1．开方后只取正号，漏掉负号情形； 2．把 当成 计算； 3．用商数关系时忘记 的前提。 知识点2 齐次式求值与"弦化切" 已知 求关于 、 的齐次式，方法是"弦化切"：把分子分母同时除以 的最高次幂，化成只含 的式子。 例如 （分子分母同除 ）。 求 型（二次齐次式）：。 【方法技巧】 1．"弦化切"的前提是分子分母都是关于 、 的齐次式； 2．求 时，先补上分母 再同除 ； 3．二次齐次式 分子分母同除 即可。 【易错清单】 1．非齐次式直接除 ，导致常数项处理错； 2．补分母""时忘记把它写成 ； 3．同除时只除了分子或只除了分母。 考点2 诱导公式与"弦切互化"变形 知识点3 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 把角写成 的形式，则：当 为奇数时函数名改变（正弦与余弦互变、正切与余切互变）；当 为偶数时函数名不变。符号则由"把 看作锐角时，原角所在的象限"决定。 常用结论：；；；；；。 与 有关的结论：；；；。 【方法技巧】 1．用诱导公式"三步走"：写成 → 判断 的奇偶决定是否变名 → 把 当锐角判断原角象限决定符号； 2．遇到负角先用 把角化正，再用其他公式； 3．能用 系列的结论就用，不必每次从头判定。 【易错清单】 1．判断符号时把 当钝角或任意角，导致符号出错； 2．把 的正负记反（正确结果是 ）； 3．函数名改变后忘记同时调整符号。 知识点4 与 的转化 三个量之间有平方关系：，。 已知其中一个，就能求出另外两个（注意开方时的符号判断）。 符号判断技巧：若 且 ，则 在第二象限，此时 ，所以 。 【方法技巧】 1．解题第一步永远是"平方"，把 平方得到 ； 2．开方前先用角和象限判断正负，这一分往往是解答题的关键分； 3．两个式子可以同时使用：先用 求 ，再代入求 。 【易错清单】 1．开方时直接写正负号而不判断，答案不完整； 2．平方时漏掉交叉项 ； 3．把 与 混淆。 【题型1 同角关系"知一求二"】 【例1】已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用平方关系求出 ，再由象限定符号。 【解答过程】由 得，所以 。因为 是第二象限角，第二象限内余弦为负，故 。故选B。 【方法点睛】"知一求二"三步：平方关系求平方 → 开方得正负两个值 → 用象限"砍掉"错误的那一个。第三步是必得分点，不能省。 【变式1-1】已知 ，且 是第四象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】平方关系求值，第四象限正弦为负。 【解答过程】由 ，得 ；因为 是第四象限角，正弦为负，所以 。故选B。 【变式1-2】已知 ，且 是第三象限角，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先求 ，再用商数关系求正切。 【解答过程】由 ，且第三象限余弦为负，得 。所以 。 【方法点睛】第三象限内正弦、余弦都为负，两负相除得正，所以正切为正——这与"三正切"的符号口诀一致。 【变式1-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子分母同除 ，化成只含 的式子。 【解答过程】因为 说明 ，分子分母同除以 得。故选A。 【方法点睛】"弦化切"是齐次式求值的核心操作：看到分子分母都是 、 的一次式，就直接同除 。 【题型2 齐次式求值（弦化切）】 【例2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】一次齐次式，分子分母同除 。 【解答过程】分子分母同除以 ，得。故选A。 【方法点睛】系数照抄：分子 同除 后是 ，常数项的 来自 。 【变式2-1】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】补上分母 ，再同除 。 【解答过程】，分子分母同除以 得。故选A。 【方法点睛】"补 "是求 的关键一步：把 写成 ，式子立刻变成二次齐次式。 【变式2-2】已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】补分母后同除 。 【解答过程】，分子分母同除以 得。 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次齐次式，分子分母同除 。 【解答过程】分子分母同除以 ，得。故选A。 【方法点睛】区分一次齐次式与二次齐次式：一次式同除 ，二次式同除 。除错了整道题就废了。 【题型3 诱导公式求值】 【例3】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 化为锐角。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】 是第二象限角，第二象限正弦为正，所以结果取正号——这是"符号看象限"的直接应用。 【变式3-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 。 【解答过程】。故选B。 【方法点睛】 型的诱导公式中，余弦要变号而正弦不变号，这是最容易记混的一对，多看两遍。 【变式3-2】____________。 【答案】 【解题思路】用 把负角化正。 【解答过程】。 【变式3-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接使用 。 【解答过程】由 ，得 。故选A。 【方法点睛】这类"已知一个值求另一个"的题，只需用诱导公式建立两个角之间的关系，不必算出 的具体值。 【题型4 诱导公式与函数名改变】 【例4】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】与 有关，函数名要变；再判断符号。 【解答过程】 对应 （奇数），函数名由余弦变为正弦。把 看作锐角，则 是第二象限角，余弦为负，所以 。故选B。 【方法点睛】"奇变偶不变，符号看象限"两句要连着用：先定变不变名，再定正负号。判断符号时一律把 当锐角，这是口诀的约定。 【变式4-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 为奇数要变名，再判符号。 【解答过程】 中 为奇数，正弦变余弦。把 看作锐角， 在第二象限，正弦为正，所以 。故选C。 【变式4-2】____________。 【答案】 【解题思路】 为偶数不变名，再判符号。 【解答过程】 中 为偶数，函数名不变。把 看作锐角， 在第三象限，余弦为负，所以 。 【变式4-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式化为 ，再代入。 【解答过程】由 ，得 。故选A。 【题型5 与 的转化】 【例5】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把已知式平方，利用平方关系求交叉项。 【解答过程】，所以 ，解得 。故选A。 【方法点睛】看到 与 同框，第一反应就是"平方"：。 【变式5-1】已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】直接展开后代入。 【解答过程】。 【变式5-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】平方后注意交叉项的符号是"减"。 【解答过程】，所以 ，解得 。故选A。 【方法点睛】加法对应 ，减法对应 ，符号不要弄反。 【变式5-3】已知 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再求 ，最后由象限定符号。 【解答过程】由 ，得 。所以 ，从而 。因为 且 ，所以 是第二象限角，，，取 。故选A。 【方法点睛】开方后一定要用"象限"决定正负：由 及 可锁定第二象限，这一推理是这类题的关键得分点。 【题型6 化简与求值的综合】 【例6】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式化简分子，再与分母约分。 【解答过程】由 ，得原式 （）。故选A。 【方法点睛】化简题的顺序是"先化诱导、再约基本关系"，不要急着通分或展开。 【变式6-1】化简 ____________。 【答案】 【解题思路】用诱导公式后约分。 【解答过程】由 ，得原式 。 【变式6-2】已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】平方关系后由象限定符号。 【解答过程】由 ，且 是第二象限角（余弦为负），得 。故选B。 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】一次齐次式，分子分母同除 。 【解答过程】分子分母同除以 ，得。故选A。 【方法点睛】同除 前先确认它是齐次式：分子各项次数相同、分母各项次数相同，且两者次数一致，才可以直接除。 一、单选题 1．（★）已知 ，且 是第一象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】平方关系求值，第一象限余弦为正。 【解答过程】由 ，且 是第一象限角，得 。故选A。 2．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 。 【解答过程】。故选B。 3．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 。 【解答过程】。故选B。 4．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】直接用平方关系。 【解答过程】由平方关系 ，得原式 。故选C。 5．（★）已知 ，且 是第一象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】 说明 ，再用平方关系。 【解答过程】由 得 ，代入 得 ，即 。因为 是第一象限角，，所以 。故选B。 6．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子分母同除 。 【解答过程】。故选A。 7．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】平方后利用平方关系。 【解答过程】，所以 。故选A。 8．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 。 【解答过程】由 ，得 。故选B。 二、多选题 9．（★）下列关系式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照基本关系式与诱导公式。 【解答过程】A是平方关系，B是商数关系，C是诱导公式，都正确；D错误，正确结果是 。故选ABC。 10．（★）已知 ，则 的值可能是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】AB 【解题思路】未给象限时，正弦可取正负两个值。 【解答过程】由 ，得 。题目未限定象限，故两个值都可能。故选AB。 11．（★★）已知 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】先求 ，再判断象限，最后求差式。 【解答过程】由平方得 ，所以 ，A正确；因为 且 ，所以 是第二象限角，，，B、C正确；由 且 ，得 ，D错误。故选ABC。 三、填空题 12．（★）已知 ，且 是第四象限角，则 ____________。 【答案】 【解题思路】平方关系后由象限定符号。 【解答过程】由 ，且第四象限正弦为负，得 。 13．（★★）已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】弦化切后代入。 【解答过程】分子分母同除 ，得。 14．（★★）化简 ____________（用 表示）。 【答案】 【解题思路】 为奇数要变名，再把 当锐角判符号。 【解答过程】 中 为奇数，函数名由余弦变正弦；把 看作锐角时 在第二象限，余弦为负，所以 。 四、解答题 15．（★）已知 ，且 是第二象限角，求 与 的值。 【答案】，。 【解题思路】平方关系求余弦，商数关系求正切。 【解答过程】由 ，且 是第二象限角（余弦为负），得 。所以 。 16．（★）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】用诱导公式化为锐角后查表。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 (3) 。 17．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两个式子都是一次齐次式，分子分母同除 。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 18．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】平方后利用平方关系，是"和差与积"互化的标准套路。 【解答过程】(1) 由 ，得 。 (2) 。 19．（★★）化简： (1) ； (2) 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先用诱导公式把分子化到与分母同角，再约分。 【解答过程】(1) 由 ，得原式 。 (2) ，，所以原式 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系）； 2．会利用基本关系式"知一求二"，并正确判断符号； 3．掌握诱导公式，会化简与求值； 4．会处理 与 的相互转化。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 同角关系"知一求二" 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 先定象限定符号，再用平方关系 齐次式求值（含 ） 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 分子分母同除 的最高次幂 诱导公式化简求值 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 奇变偶不变，符号看象限 与 转化 选择题、多选题 第6题／第10题 中档 平方后利用平方关系 综合化简与求值 解答题 第15~16题 中档 先化到同一角，再用基本关系 命题规律分析 本专题是三角函数求值与化简的"工具箱"，高考中几乎每年都考。新高考中多以选择题第4～6题、填空题第12～13题的位置出现："知一求二"、齐次式求值、诱导公式化简是三大必考题型。本讲难度定位为：基本关系式与诱导公式必须熟练运用，第6题、第10题、第13题档的"齐次式求值"" 转化"按固定套路两步即可拿下。三个高频陷阱：开方后符号要由象限决定；诱导公式"符号看象限"时要把 当锐角； 表示 。 考点1 同角三角函数的基本关系式 知识点1 平方关系与商数关系 同角三角函数的两个基本关系（对同一个角成立）：平方关系 ；商数关系 （）。 由平方关系可得 ，，这是"知一求二"的依据。 "知一求二"的步骤：① 由题设确定 所在象限（或分类讨论）；② 用平方关系求出另一个三角函数值的平方；③ 开方并根据象限确定正负号；④ 用商数关系求出 。 【方法技巧】 1．"知一求二"最关键的一步是"定符号"，先想清 的象限再开方； 2．题目未给象限时，要分两种情况讨论（或由其他条件排除一种）； 3． 是 的简写，读作"正弦的平方"。 【易错清单】 1．开方后只取正号，漏掉负号情形； 2．把 当成 计算； 3．用商数关系时忘记 的前提。 知识点2 齐次式求值与"弦化切" 已知 求关于 、 的齐次式，方法是"弦化切"：把分子分母同时除以 的最高次幂，化成只含 的式子。 例如 （分子分母同除 ）。 求 型（二次齐次式）：。 【方法技巧】 1．"弦化切"的前提是分子分母都是关于 、 的齐次式； 2．求 时，先补上分母 再同除 ； 3．二次齐次式 分子分母同除 即可。 【易错清单】 1．非齐次式直接除 ，导致常数项处理错； 2．补分母""时忘记把它写成 ； 3．同除时只除了分子或只除了分母。 考点2 诱导公式与"弦切互化"变形 知识点3 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 把角写成 的形式，则：当 为奇数时函数名改变（正弦与余弦互变、正切与余切互变）；当 为偶数时函数名不变。符号则由"把 看作锐角时，原角所在的象限"决定。 常用结论：；；；；；。 与 有关的结论：；；；。 【方法技巧】 1．用诱导公式"三步走"：写成 → 判断 的奇偶决定是否变名 → 把 当锐角判断原角象限决定符号； 2．遇到负角先用 把角化正，再用其他公式； 3．能用 系列的结论就用，不必每次从头判定。 【易错清单】 1．判断符号时把 当钝角或任意角，导致符号出错； 2．把 的正负记反（正确结果是 ）； 3．函数名改变后忘记同时调整符号。 知识点4 与 的转化 三个量之间有平方关系：，。 已知其中一个，就能求出另外两个（注意开方时的符号判断）。 符号判断技巧：若 且 ，则 在第二象限，此时 ，所以 。 【方法技巧】 1．解题第一步永远是"平方"，把 平方得到 ； 2．开方前先用角和象限判断正负，这一分往往是解答题的关键分； 3．两个式子可以同时使用：先用 求 ，再代入求 。 【易错清单】 1．开方时直接写正负号而不判断，答案不完整； 2．平方时漏掉交叉项 ； 3．把 与 混淆。 【题型1 同角关系"知一求二"】 【例1】已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知 ，且 是第四象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知 ，且 是第三象限角，则 ____________。 【变式1-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 齐次式求值（弦化切）】 【例2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知 ，则 ____________。 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 诱导公式求值】 【例3】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】____________。 【变式3-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 诱导公式与函数名改变】 【例4】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】____________。 【变式4-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 与 的转化】 【例5】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 ，则 ____________。 【变式5-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 化简与求值的综合】 【例6】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】化简 ____________。 【变式6-2】已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）已知 ，且 是第一象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）已知 ，且 是第一象限角，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列关系式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★）已知 ，则 的值可能是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★）已知 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 三、填空题 12．（★）已知 ，且 是第四象限角，则 ____________。 13．（★★）已知 ，则 ____________。 14．（★★）化简 ____________（用 表示）。 四、解答题 15．（★）已知 ，且 是第二象限角，求 与 的值。 16．（★）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 17．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 18．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 19．（★★）化简： (1) ； (2) 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $