4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 ★[考试要求] 1.理解同角三角函数的基本关系式sin'a十cos'a=1,sinc=tana.2.掌握诱导公式，并会简 cos a 单应用 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 以备知识掌握 自主诊断查验 1.同角三角函数的基本关系 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 (1)平方关系： “/”或“X”) (1)若a,3为锐角，则sina十cosB=1.() (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 (2)若a∈R,则tana=sinc恒成立.( cos a (3)sin(π+a)=一sina成立的条件是a为 公式 三 四 五 六 锐角. () 2kπ十a 角 π十a 2 十 (4)若sin(k元-a) (k∈Z) 号∈2D.则sma= 3 () 正弦 sin a 2.若sina=- ,且。为第四象限角，则 tan a- ( 余弦 cos a A号 B.-12 c是 D.- 5 12 3.[多选]已知x∈R,则下列等式恒成立 正切 tan a -tan a 的是 A.sin(-x)=sin x 口诀 奇变偶不变，符号看象限 B.sin 知识拓展用活 同角三角函数的基本关系式的常见变形 Cos(+z-sinr D.cos(x-π)=-cosx sin2a=1-cos a=(1+cos a)(1-cos a); cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a); 4.已知sin acos&= 且<<则 (sina士cosa)2=1士2 sin acos a. cosa一sina的值为 60 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 同角三角函数基本关系式 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对 ◆[角度1门弦切互化 sin a++cos a,sin acos a,sin a-cos a [例1-1] 已知tana=一3，则 这三个式子，利用(sina士cosa)2= sin'a-sin a 1士2 sin acos a,可以知一求二. sime+ (3)注意公式逆用及变形应用：1=sina十 cosa,sin'a 1 cos a,cosa A.- B是 D.- 10 1-sin'a. ●[角度2]“1”的变换 跟踪训练 [例1-2] 已知角α的顶点为坐标原点， 7 始边为x轴的正半轴，终边上有一点 已知sin0+cos0=3,9e(0,x),则tan0 p(1,2),则1-3 sin acos a sin a P[角度3]sinx十cosx,sinx-cosx, 题型2 诱导公式 sin xcos x之间的关系 [例2] (1)[多选]下列化简正确的是 [例1-3]已知a∈（-π，0)，sina+cosa -号，求sima-cosa的值 A.tan(π+1)=tan1 B sin(-a) tan(360°-a) -cos a C.sin(π-a) cos(π+a) -tan a D.cos(r-a）tan--a）=1 sin(2π-a) (2)(2025·全国二卷)已知0<a<π， cs-则sm。》 A. 0 C.3 10 规律方法 -规律方法… 1.诱导公式用法的一般思路 (1)利用sina+cos2a=1可实现正弦、余 (1)化负为正，化大为小，化到锐角为止. 弦的互化，开方时要根据角α所在象 限确定符号；利用sina=tan&可以实 (②)角中含有加减受的整数倍时，用公式 cos a 现角a的弦切互化. 士罗的整数倍。 61 2.常见的互余和互补的角 (2)若a=-1860°，求f(a)的值. 注：（统一角：小角或已知角） 1)常见的互余的角：骨-a与晋十a: 与一a :+a与-a等. (2)常宽的互补的角：晋+0与暂-6：至+0 3 与3π-0等. 规律方法 跟踪训练 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式 已知a为锐角，且2tan(π一a) 求值或化简时，关键是寻求条件、结论 3cos+5-0,ta(x+a)+6sin(x+8) 间的联系，灵活使用公式进行变形. 一1=0，则sina的值是 (2)注意角的范围对三角函数符号的影响， A.35 跟踪训练 5 B.37 7 若cos 7,tan&<0,则cos(π C.30 10 n号 +sm-a tan a= 题型3 同角三角函数基本关系式和 诱导公式的综合应用 A. -√33 B.4+33 7 [例3] 已知&是第三象限角，且f(α) sin(π-a)·cos(2π-a)·tan(a+π) C.-4+33 D.-4-33 7 tan(-a-元)·sin(-a-π) ©温馨提 1)若cos。一)专求fa)的值， 学习至此，请完成配套训练课时冲关22 §4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ★[考试要求] 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (3)公式S。m: 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(a-β)= (1)公式Ca-B: (4)公式Sa+m: sin(a+8)= cos(a-β)= tana-tanβ (2)公式C(a+m: （5)公式Taa:ian(a-=i十tan atan tana+tanβ cos(a+8)= (6)公式Tan:tan(a+)=-tan atan 62(2)由(1)知，当a=1时，f(x)=lnx-x+1≤0， 即x-1≥lnx,当且仅当x=1时取等号， 令z=+1(meN),可得上>n+1, n n 所以1+子++…+>h子+号++…+ 3 即EN时，1+子+…+>a+1 跟踪训练 解：1)画教f()=e-名4m2-x, 求导得f(x)=e一ax-1, 由于函数f(x)在R上单调递增， 则f(x)=e一ax一1≥0恒成立， 令h(x)=e-a.x-l,则h'(x)=e-a, 当a=0时，f(x)=e-1, 当x<0时，f(x)<0,不满足条件； 当a<0时，h'(x)>0,h(x)在R上单调递增， 又h(日）=e-a…日-1=位-2<0 即了（日）<0.不满足条件： 当a>0时，令h'(x)=0,得x=lna,则当x<lna时， h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>lna时，h'(x)>0, h(x)单调递增，于是当x=lna时，h(x)取得最小值， h(In a)=eln"-aln a-1=a-aln a-1, 于是h(lna)≥0，即a-1-alna≥0， 令u(a)=a-l-alna,则u'(a)=-lna, 当0<a<1时，'(a)>0,u(a)单调递增： a>l时，u(a)<0,u(a)单调递减，则u(a)mx=u(1)=0, 由于a-1一alna≥0恒成立， 因此a-1-alna=0,则有a=l, 所以f(x)单调递增时，a的值为1. (2)由(1)知，当a=1时，e一x一1≥0，即有e≥x十1，当且 仅当x=0时取等号，即当>0时，n(x十1)<x, 因此当n∈N”且n≥2时， n[a+D(+)-(1+)月=h1+)+i(+) ++(+是)1++…+ 11 而当n≥2时，元<n(n一1nn1 ++1<1+ 所以1+ n 必 [(-)十(2-合)++(n马-品)川 =1+1-元<2， 则[1+D(+)(1+)]<2. 所以，a+D(1+)(1+)Kc. 第四章三角函数与解三角形 §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角(3)一a 2.(1)半径长 (2)/180 lalr tir 1 3.(1)yx 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.AC3.A 4.- 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)B 跟踪训练1.C2.AC 题型2 [例2][解]（1a=60°=子1=10X子-19(cm). (2)设弓形面积为S.由题知1=2cm ,=S-SA=×X2-×2×sim吾 3 (5-)cm). (3)由已知得，1+2R=20, 所以S=号1R=号(20-2R)R=10R-R =-(R-5)2+25. 所以当R=5时，S取得最大值25cm, 此时l=10,a=2. 跟踪训练ABC 题型3[例3-1] 、6 3 [例3-2]AB 跟踪训练1.D2.AC §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1）sina+cosa=1 (2)sina tan a cos a (a≠+kx,k∈Z）2.-sina-sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a- tan a 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.D3.CD4. 2 跃升·关键能力题型1[例1一1]C [例1-2]-4[例1-3]-名 5 跟踪训练 题型2[例2]AB(2)D 跟踪训练C 题型3[倒】12g5(2)-司 5 跟踪训练B §4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)cos acos B+sin asin B (2)cos acos B-sin asin B (3)sin acos B-cos asin B (4)sin acos B++cos asin B 自主诊断查验 1.(1)√(2)√(3)√(4)×2.C3.B4.7 跃升·关键能力题型1[例1](1)A(2)B 跟踪训练D 题型2[例2]AD 跟踪训练A 题型3[例3]-一号 跟踪训练1.A2.A §4.4简单的三角恒等变换 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)2sin acos a (2)cos'a-sina=2cos'a-1=1-2sina (3)2tan& 1-tan'a 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)/(4)/2.B3.D4.- 3 4 跃升·关键能力题型1[例1]A 跟踪训练2√2cosa 题型2[例2-1]D[例2-2]A[例2-3]B 跟踪训练C2.B 题型3 [例3]当A,D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的 面积最大，其最大面积是400m 跟踪训练6一2√② §4.5三角函数的图象与性质 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)(x,0)(2)(x,-1)2.[-1,1][-1,1]2π x奇函数偶函数[2kπ一π，2kx][2kπ，2kx十x](kx, 0)x=km 自主诊断查验 1.(1)× (2)X(3W(4)×2.D3.B4-os受 x(答案不唯一) 跃升·关键能力题型1[例1](1)D(2)[0,1] 跟踪训练1.A2.A 题型2[例2-1]C[例2-2]B [例2-3]B 跟踪训练1.C2.BC 题型3[例3-1]C[例3-2]B 跟踪训练1.C2.C 热点强化课4三角函数中0的范围问题 [典例] ag+o)】 (2)B 跟踪训练 B §4.6函数y=Asin(wx+o) 自主诊断查验 1.(1)×(2)/ (3)×(4)×2.C3.D4.C 跃升·关键能力题型1 [例1][解] 1)y=2sim(2x+S）的振福A=2, 周期T=受=：初相9=子 2 (2)令X=2x+号，则y=2sim(2x+5） =2sin X. 列表如下： 5π 6 12 3 6 0 2 2 2π y=sin X 0 0 y=2sin(2x+x） 3 0 2 2 0 描点画出图象，如图所示 y 6 0 281