专题4.3 三角恒等变换（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 4.3 三角恒等变换（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 3．了解辅助角公式，会把 化为一个三角函数； 4．会进行简单的三角恒等变换求值与化简。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 两角和与差公式的直接应用 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 把角拆成两个特殊角之和差 二倍角公式求值 选择题、填空题 第4~6题／第13题 基础／中档 按已知选 的形式 辅助角公式化简 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 中档 提出 后配成和角 给值求值（凑角） 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 把所求角拆成已知角的和差 恒等变换与性质综合 选择题、解答题 第6题／第15题 中档 先化成一个三角函数，再研究性质 命题规律分析 三角恒等变换是三角函数的"运算中枢"，也是解答题第15题、填空题第13题的常客。新高考中多以选择题第4～6题、填空题第12～13题的位置出现：给值求值、化简求值、辅助角化简要熟练掌握。本讲难度定位为：公式必须背准（尤其是 的符号），第6题、第10题、第13题档的"凑角求值""辅助角化最值"按固定套路两步拿下。三个高频陷阱：余弦公式的符号与正弦相反； 有三个形式要按需选；辅助角公式中 由 确定，不要取错。 考点1 两角和与差的三角公式 知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角差的余弦：；两角和的余弦：。 两角和的正弦：；两角差的正弦：。 两角和与差的正切：；。 【方法技巧】 1．记忆口诀："余余正正符号反"（余弦公式中两个乘式之间符号与角之间的符号相反）、"正余余正符号同"（正弦公式中符号与角之间符号相同）； 2．遇到非特殊角先拆成两个特殊角的和或差，如 ，； 3．正切公式在使用前要确认相关的角都有正切值，且分母不为零。 【易错清单】 1． 的展开式中是"减"号，写成加号是最常见的错误； 2．，函数符号不能"分配"； 3．、 拆角时要拆成"和"与"差"各一种，不要混用导致结果符号出错。 知识点2 二倍角公式与降幂变形 二倍角的正弦：。 二倍角的余弦（三个等价形式）：。 二倍角的正切：。 由余弦二倍角公式可得降幂公式：，。 【方法技巧】 1．三个公式的关系：把 的三种形式画成"链"，需要用哪个就直接取； 2．已知 用 ，已知 用 ，已知 与 的乘积用 ； 3．降幂公式是"化二次为一次"的工具，处理 、 的加减时必用。 【易错清单】 1．把 写成 ，漏掉 ； 2． 中的系数关系记错，写成 ； 3．用降幂公式时忘记除以 。 考点2 辅助角公式与恒等变换的综合应用 知识点3 辅助角公式 辅助角公式：，其中 ，，即 （ 通常取锐角）。 常用的特殊情况：；；；。 辅助角公式的作用：把"正弦与余弦的线性组合"化为一个三角函数，从而直接读出最大值、最小值与最小正周期。 【方法技巧】 1．使用辅助角公式的步骤：提出 → 把括号内写成 的形式 → 用和角公式合成； 2． 的位置由系数比例决定：，注意 是正弦项的系数； 3．化成 后，最大值 、最小值 、最小正周期 一步到位。 【易错清单】 1． 取错：把 记成 的反面； 2．提取的系数不是 ，而是 ； 3．合成后忘记写振幅，只写 。 知识点4 给值求值与角的拆分 给值求值的通法：把"所求角"用"已知角"表示出来，再用和差公式展开。例如求 ，就用 。 常见凑角套路：；；。 求值时注意：先用平方关系求出所需的三角函数值，并判断符号；再代入和差公式计算。 【方法技巧】 1．解题顺序"三步走"：看所求角 → 用已知角凑出所求角 → 展开计算； 2．凑角时优先用"加号连接"的形式，化简时符号不易出错； 3．每用一次开方就要判断一次符号，符号错了整题皆错。 【易错清单】 1．凑角时把符号写反，如把 写成 ； 2．忘记判断所求角的范围，导致开方符号错； 3．展开时用错公式（正弦与余弦公式互换）。 【题型1 两角和差公式的直接应用】 【例1】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】____________。 【变式1-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 二倍角公式求值】 【例2】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】____________。 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 辅助角公式化简】 【例3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】函数 的最大值是____________。 【变式3-3】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 给值求值与凑角】 【例4】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 ，，则 ____________。 【变式4-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 恒等变换与三角函数性质】 【例5】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】函数 的最小正周期是____________。 【变式5-3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 化简求值的综合】 【例6】化简 （　　）（） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】化简 ____________。 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知 ，则 （　　） A．等于 　B．等于 　C．等于 　D．不存在 8．（★★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列公式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★）关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．可化为 　B．最大值为 　C．最小正周期为 　D．最小值为 三、填空题 12．（★）____________。 13．（★★）已知 ，，则 ____________。 14．（★★）把 化为 的形式，则 ____________（）。 四、解答题 15．（★）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 16．（★）已知 ，。求 与 的值。 17．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 19．（★★）求函数 的最大值与最小值。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题4.3 三角恒等变换　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 4.3 三角恒等变换（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 3．了解辅助角公式，会把 化为一个三角函数； 4．会进行简单的三角恒等变换求值与化简。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 两角和与差公式的直接应用 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 把角拆成两个特殊角之和差 二倍角公式求值 选择题、填空题 第4~6题／第13题 基础／中档 按已知选 的形式 辅助角公式化简 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 中档 提出 后配成和角 给值求值（凑角） 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 把所求角拆成已知角的和差 恒等变换与性质综合 选择题、解答题 第6题／第15题 中档 先化成一个三角函数，再研究性质 命题规律分析 三角恒等变换是三角函数的"运算中枢"，也是解答题第15题、填空题第13题的常客。新高考中多以选择题第4～6题、填空题第12～13题的位置出现：给值求值、化简求值、辅助角化简要熟练掌握。本讲难度定位为：公式必须背准（尤其是 的符号），第6题、第10题、第13题档的"凑角求值""辅助角化最值"按固定套路两步拿下。三个高频陷阱：余弦公式的符号与正弦相反； 有三个形式要按需选；辅助角公式中 由 确定，不要取错。 考点1 两角和与差的三角公式 知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角差的余弦：；两角和的余弦：。 两角和的正弦：；两角差的正弦：。 两角和与差的正切：；。 【方法技巧】 1．记忆口诀："余余正正符号反"（余弦公式中两个乘式之间符号与角之间的符号相反）、"正余余正符号同"（正弦公式中符号与角之间符号相同）； 2．遇到非特殊角先拆成两个特殊角的和或差，如 ，； 3．正切公式在使用前要确认相关的角都有正切值，且分母不为零。 【易错清单】 1． 的展开式中是"减"号，写成加号是最常见的错误； 2．，函数符号不能"分配"； 3．、 拆角时要拆成"和"与"差"各一种，不要混用导致结果符号出错。 知识点2 二倍角公式与降幂变形 二倍角的正弦：。 二倍角的余弦（三个等价形式）：。 二倍角的正切：。 由余弦二倍角公式可得降幂公式：，。 【方法技巧】 1．三个公式的关系：把 的三种形式画成"链"，需要用哪个就直接取； 2．已知 用 ，已知 用 ，已知 与 的乘积用 ； 3．降幂公式是"化二次为一次"的工具，处理 、 的加减时必用。 【易错清单】 1．把 写成 ，漏掉 ； 2． 中的系数关系记错，写成 ； 3．用降幂公式时忘记除以 。 考点2 辅助角公式与恒等变换的综合应用 知识点3 辅助角公式 辅助角公式：，其中 ，，即 （ 通常取锐角）。 常用的特殊情况：；；；。 辅助角公式的作用：把"正弦与余弦的线性组合"化为一个三角函数，从而直接读出最大值、最小值与最小正周期。 【方法技巧】 1．使用辅助角公式的步骤：提出 → 把括号内写成 的形式 → 用和角公式合成； 2． 的位置由系数比例决定：，注意 是正弦项的系数； 3．化成 后，最大值 、最小值 、最小正周期 一步到位。 【易错清单】 1． 取错：把 记成 的反面； 2．提取的系数不是 ，而是 ； 3．合成后忘记写振幅，只写 。 知识点4 给值求值与角的拆分 给值求值的通法：把"所求角"用"已知角"表示出来，再用和差公式展开。例如求 ，就用 。 常见凑角套路：；；。 求值时注意：先用平方关系求出所需的三角函数值，并判断符号；再代入和差公式计算。 【方法技巧】 1．解题顺序"三步走"：看所求角 → 用已知角凑出所求角 → 展开计算； 2．凑角时优先用"加号连接"的形式，化简时符号不易出错； 3．每用一次开方就要判断一次符号，符号错了整题皆错。 【易错清单】 1．凑角时把符号写反，如把 写成 ； 2．忘记判断所求角的范围，导致开方符号错； 3．展开时用错公式（正弦与余弦公式互换）。 【题型1 两角和差公式的直接应用】 【例1】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，用两角和的正弦公式。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】拆角口诀："不特殊就拆成两个特殊角的和或差"。、 是最常用的两组。 【变式1-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用两角和的余弦公式，注意符号为"减"。 【解答过程】。故选B。 【方法点睛】 与 的差别只在中间符号：正弦是"加"、余弦是"减"，记住这一对就不会错。 【变式1-2】____________。 【答案】 【解题思路】逆用二倍角公式 。 【解答过程】。 【变式1-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由平方关系求 （注意象限定符号），再用和角公式展开。 【解答过程】由 ，且 在第二象限，得 。。故选A。 【方法点睛】给值求值"两步走"：先用平方关系补齐所需三角函数值（并定符号），再代入和差公式。符号判断是这道题的分水岭。 【题型2 二倍角公式求值】 【例2】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再代入 。 【解答过程】由 ，且 在第一象限，得 。所以 。故选A。 【方法点睛】求 用"二倍角正弦"公式时，两个一次因子都要有值，所以必须先补齐 。 【变式2-1】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】选用 这一形式，反解 。 【解答过程】由 ，得 ，所以 。故选A。 【方法点睛】 三个形式选哪个，看"已知什么、求什么"：求 就用 ，求 就用 。 【变式2-2】____________。 【答案】 【解题思路】直接逆用二倍角正弦公式。 【解答过程】。 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接代入二倍角正切公式。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】分母 中 是 的平方（不是 ），代入时先算平方再相减。 【题型3 辅助角公式化简】 【例3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用辅助角公式化为一个正弦函数，再读最大值。 【解答过程】，所以最大值为 。故选B。 【方法点睛】 的合成结果要背下来：。 时 ，故 。 【变式3-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】提出 ，再配成和角公式的形式。 【解答过程】，所以 。故选A。 【方法点睛】把"系数对"记牢： 对应 ， 对应 ， 对应 。 【变式3-2】函数 的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】辅助角化一后读振幅。 【解答过程】，所以最大值为 。 【变式3-3】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先化为 ，再读周期。 【解答过程】，其最小正周期 。故选C。 【方法点睛】化成 后，周期只与 有关，与振幅 和初相 都无关。 【题型4 给值求值与凑角】 【例4】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知余弦用 。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】已知 求 ，直接用 ，一步到位，不需要先求 。 【变式4-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知正弦用 。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】两个"选形式"的例子对照记忆：给 用 ，给 用 ，都能一步算出。 【变式4-2】已知 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】把 看作 ，用两角差的正切公式。 【解答过程】由 ，得 。因为 ，所以 。 【方法点睛】凑角的经典招式：。凡题目给出两角之和、又给出其中一个角的正切，都用这招。 【变式4-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 （注意第二象限取负），再用两角和的余弦公式。 【解答过程】由 ，且 在第二象限，得 。。故选A。 【方法点睛】余弦和角公式的中间是"减号"，这道题的负号来自两处（ 为负、公式中间为减号），算完后回看符号是否合理。 【题型5 恒等变换与三角函数性质】 【例5】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先用二倍角公式化简，再读周期。 【解答过程】，所以最小正周期 。故选B。 【方法点睛】周期公式 ，这里的 是 的系数（本题为 ），不是振幅。 【变式5-1】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逆用二倍角余弦公式。 【解答过程】，所以最小正周期 。故选B。 【方法点睛】 是二倍角余弦的第一个形式，看到这种"平方差"结构直接合成。 【变式5-2】函数 的最小正周期是____________。 【答案】 【解题思路】用降幂公式把平方化为一次。 【解答过程】，所以最小正周期 。 【变式5-3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先化简，再用正弦函数的有界性求最值。 【解答过程】。因为 ，所以 的最大值为 。故选B。 【方法点睛】遇到 一律用 化简，把"二次"降为"一次"，最值可直接由 的有界性读出。 【题型6 化简求值的综合】 【例6】化简 （　　）（） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】展开分子后约分。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】化简题的思路是"先把所有角化成同一角、把次数降到最低"，再约分。 【变式6-1】化简 ____________。 【答案】 【解题思路】对照 ，把 看作 。 【解答过程】由 ，取 ，得 。 【方法点睛】把 看成整体代入二倍角公式，这是"半角化整角"的常用手法。 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先展开 ，再约分化为 的式子。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】化简优先"消去公因子"：分子分母同有 ，约掉后立刻变成 。 【变式6-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再代入二倍角正切公式。 【解答过程】由 且 在第一象限，得 ，所以 。。故选A。 【方法点睛】分式里套分式时，把分母通分后再"乘倒数"，比硬算更不容易错：。 一、单选题 1．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】逆用二倍角正弦公式。 【解答过程】。故选A。 2．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接逆用二倍角公式得 。 【解答过程】。故选B。 3．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用同角平方关系。 【解答过程】由平方关系 ，得原式 。故选B。 4．（★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算角度再求值，也可用来验证和角公式。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】用和角公式展开也得 ，与直接计算一致，可作为公式自检。 5．（★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】辅助角公式化一。 【解答过程】，最大值为 。故选B。 6．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】已知正弦，用 一步算出。 【解答过程】。故选B。 7．（★★）已知 ，则 （　　） A．等于 　B．等于 　C．等于 　D．不存在 【答案】D 【解题思路】代入公式时分母为零，说明该正切值不存在。 【解答过程】，把 代入得分母 ，所以 不存在（此时 ）。故选D。 8．（★★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先逆用二倍角公式化简，再读周期。 【解答过程】，所以最小正周期 。故选B。 二、多选题 9．（★）下列公式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照公式判断。 【解答过程】A、B是和角公式，C是二倍角正弦公式，都正确；D错误，正确结果是 （中间是减号）。故选ABC。 10．（★）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】先求 ，再逐项计算。 【解答过程】由 （第一象限取正），A正确；，B正确；，C正确；，D错误。故选ABC。 11．（★★）关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．可化为 　B．最大值为 　C．最小正周期为 　D．最小值为 【答案】ABC 【解题思路】先用辅助角公式化一，再逐项判断。 【解答过程】，A正确；振幅为 ，故最大值为 、最小值为 ，B正确、D错误；最小正周期 ，C正确。故选ABC。 三、填空题 12．（★）____________。 【答案】 【解题思路】逆用二倍角正弦公式。 【解答过程】。 13．（★★）已知 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用 。 【解答过程】。 14．（★★）把 化为 的形式，则 ____________（）。 【答案】 【解题思路】辅助角公式中 。 【解答过程】，所以 。 四、解答题 15．（★）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】拆成特殊角的和或差，用和差公式；第(3)题逆用二倍角公式。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 (3) 。 16．（★）已知 ，。求 与 的值。 【答案】，。 【解题思路】先求 ，再分别用二倍角公式。 【解答过程】由 （第一象限取正）。 。 。 17．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 直接用二倍角正切公式；(2) 用"弦化切"求 。 【解答过程】(1) 。 (2) ，分子分母同除 得。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先由象限确定余弦的符号，再分别代入二倍角公式。 【解答过程】(1) 由 ，且 是第二象限角，得 。 (2) 。 (3) 。 19．（★★）求函数 的最大值与最小值。 【答案】最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】先用降幂公式把二次化为一次，再用辅助角公式化成一个正弦。 【解答过程】，即 。因为 ，所以最大值为 ，最小值为 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题4.3 三角恒等变换　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $