第4章 4.3 第2课时 简单的三角恒等变换（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义围绕三角恒等变换核心考点，涵盖化简、求值（给角、给值、给值求角）及综合应用，按“三看”原则、求值策略等逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导（如给角求值三思路）、真题训练（2024-2025高考题）等环节，帮助学生系统突破难点，体现复习针对性。 资料亮点在于考教衔接与分层探究，如给值求值中结合2024新课标真题与教材溯源，引导学生用数学思维推理角关系，通过“三看”化简、函数综合应用建模等活动，培养运算能力与模型意识，在有限时间内提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第2课时　简单的三角恒等变换 [对应学生用书P96] 考点一　三角函数式的化简 重难考点　师生共研 化简：(1)＝____________． (2)·＝____________． [解析]　(1)原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. (2)原式＝· ＝·＝·＝. [答案]　(1)cos 2x　(2) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 1．2＋等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 解析　2＋ ＝2＋ ＝2＋＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|. ∵<2<π，∴cos 2<0， ∵sin 2＋cos 2＝sin ，<2＋<π， ∴sin 2＋cos 2>0， ∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. 答案　B 2．已知0<θ<π，则＝________． 解析　原式 ＝ ＝ ＝＝－cos θ. 答案　－cos θ 考点二　三角函数式的求值 多维探究　发散思维 角度1　给角求值 (1)求值：＝(　　) A．1 B．2 C． D． (2)求值：＝________． [解析]　(1)原式＝ ＝＝ ＝＝＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝－4. [答案]　(1)C　(2)－4 给角求值问题的求解策略 给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角，求解时，需要观察分析所给角与特殊角的关系、分析函数名称的关系，通过公式的正用、逆用、变形用，使得式子中的角以及式子的结构发生变换，从而达到化简计算的目的，通常有以下三种思路： (1)通过变换，化为特殊角的三角函数值． (2)通过变换，产生可消去的正、负项，再去求值． (3)通过变换，产生分子、分母可约分的项，约分求值． 角度2　给值求值(考教衔接) 高考真题 1．(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，则<α<π，则sinα＝＝＝，则sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.故选D. 答案　D 2．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 解析　由cos (α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos (α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β＝－3m，故选A. 答案　A 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝____________． 解析　由题知tan (α＋β)＝＝＝－2，即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－. 答案　－教材溯源 1．(人A必修一P218例5)已知sin α＝－，α是第四象限角，求sin ，cos ，tan 的值． 解析　由sin α＝－，α是第四象限角，得cos α＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.于是有sin ＝sin cos α－cos sin α＝×－×＝.cos ＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝.tan ＝＝＝＝－7. 2．(人A必修一P255T15)已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，求tan αtan β的值． 解析　由已知可求得cos αcos β＝，sin αsin β＝.于是有tan αtan β＝＝. 预测高考 1．(2025·山东泰安一模)已知tan ＝3，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． 解析　依题意，tan ＝＝3，解得tan α＝－2，cos 2α＝cos 2α－sin2α＝＝＝＝－.故选B. 答案　B 2．(多选)(2025·江苏南京、盐城一模)已知cosαcos β＝，cos (α＋β)＝，则(　　) A．sin αsin β＝ B．cos (α－β)＝ C．tan αtan β＝－ D．sin 2αsin 2β＝ 解析　由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝， 则sin αsin β＝－，故A错误； 由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确； 由tan αtan β＝＝＝－，故C正确； 由sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4××＝－，故D错误．故选BC. 答案　BC 三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件． (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手). (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 角度3　给值求角 已知sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________． [解析]　因为sin α＝，且α为锐角， 所以cos α＝＝＝， 因为cosβ＝，且β为锐角， 所以sin β＝＝＝， 则sin2β＝2sin βcos β＝2××＝， cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×＝， 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝， 因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π). 所以α＋2β∈，故α＋2β＝. [答案]　 通过求角的某种三角函数值来求角，其关键是选取函数，若选取不当，容易导致多解或错解，函数的选取一般遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正弦、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数；若角的范围是，选正弦、余弦均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 3．(2025·石家庄质量检测)已知角α，β满足tan α＝，2sin β＝cos (α＋β)sin α，则tan β＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．2 解析　因为2sin β＝cos (α＋β)sin α，即2sin [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)sin α，所以2sin (α＋β)cos α－2cos (α＋β)sin α＝cos (α＋β)sin α，整理得2sin (α＋β)cos α＝3cos (α＋β)sin α，变形得tan (α＋β)＝tan α＝，所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝.故选C. 答案　C 4．已知sin α＋cos α＝，则＝(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　因为sinα＋cos α＝，则(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，可得sin 2α＝－，所以＝＝＝＝－.故选D. 答案　D 5．(2025·九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan αtan β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为cos (α－β)＝，tan αtan β＝， 所以解得 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈， 所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 答案　A 考点三　三角恒等变换的综合应用 重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝sin ＋·cos . (1)求函数f(x)在区间上的最值； (2)若cos θ＝，θ∈，求f的值． [解析]　(1)由题意得f(x)＝sin ＋cos ＝× ＝－sin . 因为x∈，所以x－∈， 所以sin ∈， 所以－sin ∈， 即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. (2)因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－， 所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝， 所以f＝－sin ＝－sin ＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝. 进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用． 6．已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos (β＋α)＝. (1)求sin β的值； (2)求的值． 解析　(1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos (β＋α)＝，得sin α＝，sin (β＋α)＝. 所以sin β＝sin [(β＋α)－α] ＝sin (β＋α)cos α－cos (β＋α)sin α ＝×－×＝. (2)因为cos α＝，sin α＝， 所以＝ ＝＝12. 学科网（北京）股份有限公司 $