4.3　三角恒等变换 第1课时 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，依据课标要求梳理两角和差、倍角公式的推导逻辑及内在联系，通过考点直接应用、逆用变形、变换求值三个模块，结合公式变形总结、真题精讲、分层练习，帮助学生构建系统知识网络，突破恒等变换难点。 讲义突出逻辑推理与数学运算素养培养，创新设计角的变换、名的变换等专题探究，如通过“已知角”与“所求角”关系分析提升解题技巧。设置A级基础、B级能力、C级拓广分层练习，配合即时反馈，确保高效突破。为教师提供精准复习节奏指导，助力学生提升三角变换综合应用能力。

4．3　三角恒等变换 课标要求 考情分析 1．经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). ◎考点考法：三角恒等变换，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于中档题，三角恒等变换的综合应用是高考的重点，难度中等． ◎核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算． 公式的常用变形 tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)， 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin . sin 2α＝＝， cos2α＝＝， 若α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tan β)＝2. 1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝(　　) A．0 B． C． D．cos 54° 解析　cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝cos (57°＋3°)＝cos 60°＝.故选B. 答案　B 2．化简＝(　　) A．sin 2 B．－cos 2 C．cos 2 D．－cos 2 解析　因为＝，又cos2＜0，所以＝＝－cos2. 答案　D 3．已知cos α＝－，α∈，则sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，∴sin ＝－×＋×＝－. 答案　C 4．(多选)化简：sin x＋cos x＝(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 解析　sin x＋cos x＝ ＝sin ＝cos ＝cos .故选AC. 答案　AC 5．已知α是第二象限角，tan (π＋2α)＝－，则tan α＝________． 解析　由tan (π＋2α)＝－，得tan 2α＝－，又tan 2α＝＝－，解得tanα＝－或tan α＝2，又α是第二象限角，所以tan α＝－. 答案　－ 第1课时　两角和、差及倍角公式 考点一　公式的直接应用　基础考点　自练自悟 1．已知cos α＋sin ＝0，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由cos α＋sin ＝0，可得cos α＋sin α－cos α＝0，即sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－.故选A． 答案　A 2．已知角α的终边过点A(1，)，则cos ＝(　　) A．－ B．0 C． D． 解析　∵角α的终边过点A(1，)，∴sin α＝＝，cos α＝＝，则cos ＝cos α－sin α＝×－×＝0，故选B. 答案　B 3．已知sin α＝，α∈，tan (π－β)＝，则tan (α－β) 的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan (π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan (α－β)＝＝＝－. 答案　A 4．已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． B． C．1 D． 解析　∵tan 2θ＝－4tan ，∴＝－4×，∴2tan2θ＋5tanθ＋2＝0，∴tan θ＝－或－2，∵θ∈， ∴tan θ∈(－1，0)，∴tan θ＝－， ＝ ＝＝＝，故选A． 答案　A 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 考点二　公式的逆用及变形用　重难考点　师生共研 (1)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 (2)若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为________． [解析]　(1)方法一　设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝π，排除A，B； 再取α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除D；选C. 方法二　由sin (α＋β)＋cos (α＋β) ＝sin ＝sin ＝sin cos β＋cos sin β ＝2cos sin β， 故sin cos β＝cos sin β 故sin cos β－cos sin β＝0， 即sin ＝0， 故sin ＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0， 故sin (α－β)＝－cos (α－β)，故tan (α－β)＝－1.故选C. (2)∵α＋β＝，∴tan (α＋β)＝＝tan ＝－. ∴tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β). ∴tan αtan β－tan α－tan β＝tan αtan β－(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋－tan αtan β＝. [答案]　(1)C　(2) 三角函数公式的活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用． [提醒]　①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的. 1．的值为(　　) A．1 B． C． D． 解析　＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝. 答案　C 2．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列式子成立的是(　　) A．cos (β－α)＝－ B．cos (β－α)＝ C．β－α＝－ D．β－α＝ 解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β， 将两式分别平方并相加，得 1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2 ＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)＝2－2cos (β－α)， 所以cos (β－α)＝，故A、B错误； 因为α，β，γ∈，所以sin γ＝sin β－sin α＞0，所以sin β＞sin α，即β＞α，所以0＜β－α＜， 又cos (β－α)＝，所以β－α＝，故D正确，C错误．故选D. 答案　D 考点三　变换求值　多维探究　发散思维 角度1　角的变换 若cos ＝，则sin ＝(　　) A．－ B． C． D．－ [解析]　方法一　sin ＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－＝－＝－，故选A． 方法二　cos2＝＝， 解得cos ＝，所以sin ＝－cos ＝－cos ＝－，故选A． [答案]　A 利用三角函数公式求值时“变角”的思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 角度2　名的变换 已知α∈，2sin 2α＝1－cos 2α，则tan ＝(　　) A． B．－ C．－ D． [解析]　由题意得4sin αcos α＝2sin2α， ∵α∈，∴sinα<0，cos α<0. ∴2cos α＝sin α， 由sin2α＋cos2α＝1得5cos2α＝1，∴cos2α＝，sin2α＝， ∴sinα＝－，cos α＝－. 而tan ＝＝＝＝＝－，故选B. [答案]　B 三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 1．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　) A． B． C． D． 解析　由tanθ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝， ∴cos2＝＝＝＝＝.故选C. 答案　C 2．已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos (β－α)＝，则sin α＝________，cos β＝________． 解析　因为0＜α＜，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，由0＜α＜＜β＜π， 则0＜β－α＜π，又因为cos (β－α)＝，则sin (β－α)＝，所以cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)sin α＝×－×＝－. 答案　　－ A级　基础过关 1．已知cos θ＝，则sin ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　根据诱导公式与二倍角公式，得sin ＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，故选A． 答案　A 2．已知sinα＝，α∈，则tan ＝(　　) A．－7 B．－ C． D．7 解析　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，所以tan ＝＝7，故选D. 答案　D 3．设sin ＝－cos α，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　sin ＝sin α·＋cos α·＝－cos α，即sin α·＋cos α·＝， 所以sin α·＋cos α·＝， 即cos ＝，所以cos ＝2cos2－1＝2×－1＝，故选D. 答案　D 4．数学可以刻画现实世界中的和谐美，例如，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数ω＝也可以表示成2sin18°，则＝(　　) A．2 B． C．－1 D．＋1 解析　由已知可得ω＝2sin 18°，则＝2sin 18°×＝＝＝2.故选A． 答案　A 5．(多选)下列各式中，值为的是(　　) A． B．tan15°cos215° C．cos2－sin2 D． 解析　∵＝tan45°＝； tan 15°cos215°＝sin15°cos 15°＝sin 30°＝； cos2－sin2＝cos＝； ＝sin 30°＝，故选ACD. 答案　ACD 6．(多选)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列各式正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝3 解析　因为cos 2α＝－，且0＜α＜，所以0＜2α＜π，所以sin 2α＝＝，故A正确；因为cos(α＋β)＝－，0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，所以sin (α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝－×＋×＝，故B正确；cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝　①，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－　②，由①＋②，得2cos αcos β＝，解得cos αcos β＝，故C不正确；由①－②，得2sin αsin β＝，解得sin αsin β＝，则tan αtan β＝＝＝3，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 7．化简：＝________． 解析　＝＝＝＝. 答案　 8．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则log＝________． 解析　因为sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5，所以log＝log52＝4. 答案　4 B级　能力提升 9．已知sin α＝，α∈，若＝4，则tan ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tanα＝＝－，因为＝＝sin α＋cos αtan β＝－tan β＝4， 所以tan β＝－，所以tan ＝＝＝.故选C. 答案　C 10．若tan ＝(cos β≠0)，则1－2cos2(2α－β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为tan＝＝＝＝tan ，所以2α－＝β－＋kπ，k∈Z，即2α＝β＋＋kπ，k∈Z， 所以1－2cos2(2α－β)＝－cos[2(2α－β)]＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－，故选D. 答案　D 11．(多选)已知0<α<<β<π，sin α＝，cos ＝－，则下列选项正确的有(　　) A．sin ＝± B．cos β＝－ C．cos 2β＝－ D．sin ＝－ 解析　对于A，由于0<α<且sin α＝，所以cos α＝，又α＋β∈，cos ＝－＝－cos α，故α＋β＝π－α 或α＋β＝π＋α.当α＋β＝π＋α时，β＝π 显然不符合题意，故α＋β＝π－α，所以sin ＝，故A错误； 对于B，cos β＝cos ＝cos cos α＋sin sin α＝－×＋×＝－，故B正确； 对于C，cos 2β＝2cos2β－1＝2×2－1＝，故C错误； 对于D，由B可知sinβ＝＝，所以sin＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，故D正确．故选BD. 答案　BD 12．已知tan α，tan β是方程3x2＋5x－7＝0的两根，则＝________． 解析　由已知得tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝－，＝＝＝＝. 答案　 13．已知θ∈，且cos ＝－，则tan ＝________． 解析　因为θ∈，则θ＋∈，可知cos <0，sin >0， 且cos ＝2cos2－1＝－， 解得cos＝－， 则sin ＝＝， 可得tan＝＝－2， 所以tan ＝tan ＝－＝. 答案　 14．已知α 为锐角，且sin α＋sin ＋sin ＝，则tan α＝________． 解析　因为sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝sin α＋cos α， sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝－sin α＋cos α， 又sin α＋sin ＋sin ＝， 所以sin α＋cos α＝， 所以sin α＋cos α＝， 即sin ＝， 因为α 为锐角，所以<α＋<， 所以α＋＝，所以α＝，即tan α＝. 答案　 C级　拓广探索 15．若λsin 160°＋tan 20°＋cos 70°＝，则实数λ的值为(　　) A．3 B． C．2 D．4 解析　因为λsin 160°＋tan 20°＋cos 70°＝，即λsin (180°－20°)＋tan 20°＋cos (90°－20°)＝，所以λsin 20°＋＋sin 20°＝，所以λsin 20°cos 20°＋sin 20°＋sin 20°cos 20°＝cos 20°，即(λ＋1)sin 20°cos 20°＝cos 20°－sin 20°＝2＝2sin (60°－20°)＝2sin 40°，所以sin 40°＝2sin 40°，所以＝2，则λ＝3，故选A． 答案　A 16．已知α，β 均为锐角，tan α＋tan β＝4sin ，则cos 的最小值为________． 解析　4sin ＝tan α＋tan β ＝＝， 因为α，β 均为锐角，则sin ≠0， 因此cos αcos β＝， 因此cos ＝cos αcos β－sin αsin β ＝－ ＝－ ＝－ ≥－＝－＝－， 当且仅当cos α＝cos β＝时，等号成立． 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．3　三角恒等变换 课标要求 考情分析 1．经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). ◎考点考法：三角恒等变换，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于中档题，三角恒等变换的综合应用是高考的重点，难度中等． ◎核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算． 公式的常用变形 tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)， 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin . sin 2α＝＝， cos2α＝＝， 若α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tan β)＝2. 1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝(　　) A．0 B． C． D．cos 54° 2．化简＝(　　) A．sin 2 B．－cos 2 C．cos 2 D．－cos 2 3．已知cos α＝－，α∈，则sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 4．(多选)化简：sin x＋cos x＝(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 5．已知α是第二象限角，tan (π＋2α)＝－，则tan α＝________． 第1课时　两角和、差及倍角公式 考点一　公式的直接应用　基础考点　自练自悟 1．已知cos α＋sin ＝0，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 2．已知角α的终边过点A(1，)，则cos ＝(　　) A．－ B．0 C． D． 3．已知sin α＝，α∈，tan (π－β)＝，则tan (α－β) 的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 4．已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． B． C．1 D． 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 考点二　公式的逆用及变形用　重难考点　师生共研 (1)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 (2)若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为________． 三角函数公式的活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用． [提醒]　①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的. 1．的值为(　　) A．1 B． C． D． 2．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列式子成立的是(　　) A．cos (β－α)＝－ B．cos (β－α)＝ C．β－α＝－ D．β－α＝ 考点三　变换求值　多维探究　发散思维 角度1　角的变换 若cos ＝，则sin ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 利用三角函数公式求值时“变角”的思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 角度2　名的变换 已知α∈，2sin 2α＝1－cos 2α，则tan ＝(　　) A． B．－ C．－ D． 三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 1．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　) A． B． C． D． 2．已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos (β－α)＝，则sin α＝________，cos β＝________． A级　基础过关 1．已知cos θ＝，则sin ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 2．已知sinα＝，α∈，则tan ＝(　　) A．－7 B．－ C． D．7 3．设sin ＝－cos α，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 4．数学可以刻画现实世界中的和谐美，例如，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数ω＝也可以表示成2sin18°，则＝(　　) A．2 B． C．－1 D．＋1 5．(多选)下列各式中，值为的是(　　) A． B．tan15°cos215° C．cos2－sin2 D． 6．(多选)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列各式正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝3 7．化简：＝________． 8．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则log＝________． B级　能力提升 9．已知sin α＝，α∈，若＝4，则tan ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 10．若tan ＝(cos β≠0)，则1－2cos2(2α－β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 11．(多选)已知0<α<<β<π，sin α＝，cos ＝－，则下列选项正确的有(　　) A．sin ＝± B．cos β＝－ C．cos 2β＝－ D．sin ＝－ 12．已知tan α，tan β是方程3x2＋5x－7＝0的两根，则＝________． 13．已知θ∈，且cos ＝－，则tan ＝________． 14．已知α 为锐角，且sin α＋sin ＋sin ＝，则tan α＝________． C级　拓广探索 15．若λsin 160°＋tan 20°＋cos 70°＝，则实数λ的值为(　　) A．3 B． C．2 D．4 16．已知α，β 均为锐角，tan α＋tan β＝4sin ，则cos 的最小值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $