专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会判断并证明简单函数的单调性； 2．理解函数的奇偶性，会判断简单函数的奇偶性，了解图象的对称性； 3．了解函数的周期性，会用奇偶性与周期性联合求函数值； 4．会利用单调性比较大小、解不等式、求参数范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 单调性的判断与证明 选择题、解答题 第3~6题／第15~16题 基础／中档 定义法三步：取值、作差、定号 利用单调性比大小、解不等式 选择题 第4~6题 中档 化为同一函数的两个函数值 单调性求参数范围 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 二次函数看对称轴；分段函数看衔接 奇偶性的判断与应用 选择题、解答题 第3~6题／第16题 基础／中档 先查定义域是否对称，再算 奇偶性＋周期性求值 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 用周期缩到已知区间，再用奇偶性 命题规律分析 函数的性质是函数一章的"核心考点"，新高考中几乎每年都考：单调性常与比较大小、解不等式、求参数结合，出现在选择题第4～7题；奇偶性多与周期性、对称性联合，压在第6题或第13题的位置；小题多选常在第10题考查"性质综合判断"。本讲难度定位为：基础概念题不丢分，第6题、第10题、第13题档的题靠"三句口诀"拿分——单调性比大小"化到同一函数"，奇偶性求值"负号别丢"，周期求值"用周期缩到已知区间"。特别注意三个高频陷阱：单调区间不能用并集符号、奇函数若在原点有定义则函数值为零、由 得到的周期是 不是 。 考点1 函数的单调性与最值 知识点1 单调性的定义与判定方法 设函数 的定义域为 ，区间 ：如果对区间 内的任意两个自变量 ，，当 时都有 ，就说 在区间 上单调递增， 叫做 的单调递增区间；若都有 ，则称 在区间 上单调递减。 定义法证明单调性三步：① 取值——设 ， 是区间内任意两个数且 ；② 作差变形——计算 ，用因式分解或通分把它化成易判断符号的形式；③ 定号——判断差的正负，从而得出结论。 常用结论：增函数与增函数的和仍是增函数； 与 的单调性相反；当 恒成立时， 与 的单调性相反。 【方法技巧】 1．证明单调性必须"取任意两点、作差、定号"，只代两个特殊值是没有说服力的； 2．比较大小的通法：把要比较的两个数化为同一个函数的两个函数值，再用单调性比较自变量的大小； 3．解抽象不等式 ：先确认 ， 都在同一单调区间内，再由单调性去掉 得到关于 ， 的不等式。 【易错清单】 1．单调区间要用区间表示，多个单调区间之间用"和"或逗号连接，绝对不能用并集符号； 2．" 在区间 上单调"与" 的单调区间是 "是两回事，前者是包含关系，后者是相等关系； 3．分段函数在 上单调，除各段同向外，还要满足段与段衔接处的条件。 知识点2 函数的最大（小）值 设函数 的定义域为 ，若存在 ，使得对任意 都有 ，则称 为 的最大值；若对任意 都有 ，则称 为 的最小值。 二次函数 （）在闭区间上的最值，按对称轴与区间的位置关系分三类讨论：轴在区间左侧（函数在区间上单调，最值在端点取）、轴在区间内（顶点处取一个最值，另一最值在离对称轴较远的端点取）、轴在区间右侧。 求最值的常用方法：配方法（二次型）、单调性法（已知单调性直接代端点）、换元法（含根式）、基本不等式法（需验证取等条件）。 【方法技巧】 1．二次函数在闭区间上求最值记"一轴二端"：先看对称轴在不在区间内，再比较两个端点； 2．含参数的二次函数最值必须按对称轴与区间的位置分类讨论，讨论时写清"轴在左、轴在内、轴在右"； 3．形如 （）的函数，当 时取最小值 。 【易错清单】 1．不讨论对称轴位置，直接把顶点函数值当成最值； 2．用基本不等式求最值时忘记验证等号能否取到； 3．闭区间求最值只算了一个端点，漏掉另一个端点。 考点2 函数的奇偶性与周期性 知识点3 奇偶性的定义与判定 如果对函数定义域内的任意 ，都有 ，那么函数 叫做奇函数；如果都有 ，那么函数 叫做偶函数。 判定奇偶性的前提是定义域关于原点对称：若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，此时不必再算 。 图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。奇函数若在 处有定义，则必有 ，这是求参数的常用条件。 【方法技巧】 1．判定奇偶性三步：先看定义域是否关于原点对称 → 再算 → 与 比较（相等为偶，互为相反数为奇）； 2．已知奇偶性求参数，优先用特殊值：奇函数代 ，偶函数代 ，求完再验证； 3．分段函数判断奇偶性，要各段分别验证 与 的关系，缺一段都不完整。 【易错清单】 1．忽略"定义域关于原点对称"这一前提，直接计算 下结论； 2．把奇偶性的式子记混：奇函数是 ，偶函数是 ； 3．偶函数在 处不一定有定义，更不能断言 。 知识点4 周期性与常用结论 如果存在非零常数 ，使得对定义域内的任意 都有 ，那么就称 是周期函数， 叫做它的一个周期。 三个必须记牢的结论：① 若 ，则 的一个周期为 ；② 若 ，则 的一个周期为 ；③ 若 ，则 的一个周期为 。 求函数值的通法："先缩后翻"——用周期性把自变量缩到已知解析式的区间，再用奇偶性把自变量化为非负数，最后代入求值。 【方法技巧】 1．推导周期结论的方法：把 中的 再换成 ，得 ，即周期为 ； 2．遇到 用同样的"代两次"的方法推周期； 3．大数求值先对周期取余：若周期为 ，则 。 【易错清单】 1．把 （这是对称关系）误当成周期条件； 2．周期是 却记成 ，导致求值整体错位； 3．利用奇偶性把 化为 时忘记添加负号。 【题型1 单调性的判断与证明】 【例1】下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 和 【变式1-2】函数 的单调递增区间是____________。 【变式1-3】已知 是定义在 上的增函数，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是____________。 【变式2-2】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 利用单调性比较大小】 【例3】已知 是定义在 上的减函数，则下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围是____________。 【变式3-2】已知函数 ，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 二次函数在闭区间上的最值】 【例4】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值是____________。 【变式4-2】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 函数奇偶性的判断与应用】 【例5】下列函数中为奇函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知函数 是奇函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 奇偶性与周期性联合求值】 【例6】已知 是定义在 上的奇函数，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知 是定义在 上的偶函数，且周期为 。若 ，则 ____________。 【变式6-3】已知 是定义在 上的奇函数，且 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）函数 在 上的单调性是（　　） A．增函数　B．减函数　C．先增后减　D．先减后增 3．（★）下列函数中为偶函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列关于函数单调性的说法中，正确的是（　　） A．增函数与增函数的和仍是增函数　B．多个单调区间之间可以用并集符号连接　C．若 在 上单调递增，则 　D． 与 的单调性相反 10．（★）若 是定义在 上的偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 的图象关于 轴对称　C． 关于原点对称　D． 一定成立 11．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C．　D． 三、填空题 12．（★）函数 的单调递增区间是____________。 13．（★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 14．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且 。若 ，则 ____________。 四、解答题 15．（★）已知函数 。 (1) 求 的单调区间； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 16．（★）判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) 。 17．（★★）已知函数 （）。 (1) 判断 在 上的单调性，并说明理由； (2) 求 在区间 上的值域。 18．（★★）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时，。 (1) 求 的值； (2) 求 在 上的解析式。 19．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，。 (1) 求 与 的值； (2) 求 在 上的解析式。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会判断并证明简单函数的单调性； 2．理解函数的奇偶性，会判断简单函数的奇偶性，了解图象的对称性； 3．了解函数的周期性，会用奇偶性与周期性联合求函数值； 4．会利用单调性比较大小、解不等式、求参数范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 单调性的判断与证明 选择题、解答题 第3~6题／第15~16题 基础／中档 定义法三步：取值、作差、定号 利用单调性比大小、解不等式 选择题 第4~6题 中档 化为同一函数的两个函数值 单调性求参数范围 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 二次函数看对称轴；分段函数看衔接 奇偶性的判断与应用 选择题、解答题 第3~6题／第16题 基础／中档 先查定义域是否对称，再算 奇偶性＋周期性求值 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 用周期缩到已知区间，再用奇偶性 命题规律分析 函数的性质是函数一章的"核心考点"，新高考中几乎每年都考：单调性常与比较大小、解不等式、求参数结合，出现在选择题第4～7题；奇偶性多与周期性、对称性联合，压在第6题或第13题的位置；小题多选常在第10题考查"性质综合判断"。本讲难度定位为：基础概念题不丢分，第6题、第10题、第13题档的题靠"三句口诀"拿分——单调性比大小"化到同一函数"，奇偶性求值"负号别丢"，周期求值"用周期缩到已知区间"。特别注意三个高频陷阱：单调区间不能用并集符号、奇函数若在原点有定义则函数值为零、由 得到的周期是 不是 。 考点1 函数的单调性与最值 知识点1 单调性的定义与判定方法 设函数 的定义域为 ，区间 ：如果对区间 内的任意两个自变量 ，，当 时都有 ，就说 在区间 上单调递增， 叫做 的单调递增区间；若都有 ，则称 在区间 上单调递减。 定义法证明单调性三步：① 取值——设 ， 是区间内任意两个数且 ；② 作差变形——计算 ，用因式分解或通分把它化成易判断符号的形式；③ 定号——判断差的正负，从而得出结论。 常用结论：增函数与增函数的和仍是增函数； 与 的单调性相反；当 恒成立时， 与 的单调性相反。 【方法技巧】 1．证明单调性必须"取任意两点、作差、定号"，只代两个特殊值是没有说服力的； 2．比较大小的通法：把要比较的两个数化为同一个函数的两个函数值，再用单调性比较自变量的大小； 3．解抽象不等式 ：先确认 ， 都在同一单调区间内，再由单调性去掉 得到关于 ， 的不等式。 【易错清单】 1．单调区间要用区间表示，多个单调区间之间用"和"或逗号连接，绝对不能用并集符号； 2．" 在区间 上单调"与" 的单调区间是 "是两回事，前者是包含关系，后者是相等关系； 3．分段函数在 上单调，除各段同向外，还要满足段与段衔接处的条件。 知识点2 函数的最大（小）值 设函数 的定义域为 ，若存在 ，使得对任意 都有 ，则称 为 的最大值；若对任意 都有 ，则称 为 的最小值。 二次函数 （）在闭区间上的最值，按对称轴与区间的位置关系分三类讨论：轴在区间左侧（函数在区间上单调，最值在端点取）、轴在区间内（顶点处取一个最值，另一最值在离对称轴较远的端点取）、轴在区间右侧。 求最值的常用方法：配方法（二次型）、单调性法（已知单调性直接代端点）、换元法（含根式）、基本不等式法（需验证取等条件）。 【方法技巧】 1．二次函数在闭区间上求最值记"一轴二端"：先看对称轴在不在区间内，再比较两个端点； 2．含参数的二次函数最值必须按对称轴与区间的位置分类讨论，讨论时写清"轴在左、轴在内、轴在右"； 3．形如 （）的函数，当 时取最小值 。 【易错清单】 1．不讨论对称轴位置，直接把顶点函数值当成最值； 2．用基本不等式求最值时忘记验证等号能否取到； 3．闭区间求最值只算了一个端点，漏掉另一个端点。 考点2 函数的奇偶性与周期性 知识点3 奇偶性的定义与判定 如果对函数定义域内的任意 ，都有 ，那么函数 叫做奇函数；如果都有 ，那么函数 叫做偶函数。 判定奇偶性的前提是定义域关于原点对称：若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，此时不必再算 。 图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。奇函数若在 处有定义，则必有 ，这是求参数的常用条件。 【方法技巧】 1．判定奇偶性三步：先看定义域是否关于原点对称 → 再算 → 与 比较（相等为偶，互为相反数为奇）； 2．已知奇偶性求参数，优先用特殊值：奇函数代 ，偶函数代 ，求完再验证； 3．分段函数判断奇偶性，要各段分别验证 与 的关系，缺一段都不完整。 【易错清单】 1．忽略"定义域关于原点对称"这一前提，直接计算 下结论； 2．把奇偶性的式子记混：奇函数是 ，偶函数是 ； 3．偶函数在 处不一定有定义，更不能断言 。 知识点4 周期性与常用结论 如果存在非零常数 ，使得对定义域内的任意 都有 ，那么就称 是周期函数， 叫做它的一个周期。 三个必须记牢的结论：① 若 ，则 的一个周期为 ；② 若 ，则 的一个周期为 ；③ 若 ，则 的一个周期为 。 求函数值的通法："先缩后翻"——用周期性把自变量缩到已知解析式的区间，再用奇偶性把自变量化为非负数，最后代入求值。 【方法技巧】 1．推导周期结论的方法：把 中的 再换成 ，得 ，即周期为 ； 2．遇到 用同样的"代两次"的方法推周期； 3．大数求值先对周期取余：若周期为 ，则 。 【易错清单】 1．把 （这是对称关系）误当成周期条件； 2．周期是 却记成 ，导致求值整体错位； 3．利用奇偶性把 化为 时忘记添加负号。 【题型1 单调性的判断与证明】 【例1】下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】逐项判断在各函数在 上的增减性：一次函数看斜率，反比例与根式看基本结论，二次函数看对称轴。 【解答过程】A中斜率为负，在 上单调递减；B中 在 上单调递减；C中 的对称轴为 ，在 上递减，在 上递增，在 上不单调；D中 在 上单调递增。故选D。 【方法点睛】判断单调性先"分区间"：二次函数一定要先找对称轴，把区间切开看，不能笼统地说"在区间上递增"。 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 和 【答案】D 【解题思路】 的图象由 向右平移 个单位得到，在两个区间上分别递减。 【解答过程】函数 在 和 上都单调递减，但两个区间不能用并集符号连接，只能说"在 和 上分别单调递减"。故选D。 【方法点睛】单调区间之间的连接符号是"和"或逗号，绝不能写 。若写成并集，就相当于说"函数在整个区间上递减"，这是错误的。 【变式1-2】函数 的单调递增区间是____________。 【答案】 【解题思路】配方求出对称轴，再判断开口方向。 【解答过程】配方得 ，图象开口向下，对称轴为 ，所以单调递增区间为 。 【变式1-3】已知 是定义在 上的增函数，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】利用增函数的性质"函数值大则自变量大"，直接去掉函数符号 。 【解答过程】因为 是增函数，由 得 ，即 ，解得 。故选A。 【方法点睛】抽象函数不等式"脱 "口诀：增函数看方向不变，减函数看方向取反。脱完 后就是普通不等式。 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次函数在对称轴右侧递增，要使 上递增，只需对称轴在 的左侧或与 重合。 【解答过程】，对称轴为 ，开口向上。要使 在 上单调递增，只需 。故选A。 【方法点睛】"在 上递增"就是对称轴 ；"在 上递减"就是对称轴 。不等式带不带等号，看端点处函数是否仍保持单调。 【变式2-1】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】反比例函数 在 上的单调性由 的符号决定。 【解答过程】当 时， 在 上单调递减；当 时单调递增。故 。 【变式2-2】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先分离常数，把函数化成"常数加上一个反比例型分式"的形式，再由分母的正负判断。 【解答过程】。当 时， 且随 增大而增大，要使 递减，需 ，即 。故选A。 【方法点睛】分式型函数判断单调性第一步都是分离常数：，分子的符号决定增减。 【变式2-3】已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分段函数在 上递增需三个条件同时满足：左段递增、右段递增、衔接处"左边接得上右边"。 【解答过程】左段 递增，需 ，即 ；右段 递增，需 ；衔接处要求 从左趋近 时的函数值不超过 ，即 ，得 ，解得 。综上 。故选A。 【方法点睛】分段函数在 上单调的"三查"：左段同向、右段同向、衔接处满足不等式。第三查最容易漏，也是命题人最爱设的坑。 【题型3 利用单调性比较大小】 【例3】已知 是定义在 上的减函数，则下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】减函数的性质：自变量大则函数值小。把每个选项中的自变量大小关系与函数值大小关系对照检验。 【解答过程】A中 ，减函数应有 ，错误；B中 ，应有 ，错误；C中 ，应有 ，正确；D与C矛盾，错误。故选C。 【方法点睛】减函数比大小的"反向"特征最容易记混：自变量越大，函数值越小。做大题时可在草稿上画一条下降的曲线辅助判断。 【变式3-1】已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】增函数"函数值大则自变量大"。 【解答过程】因为 在 上单调递增，由 得 。 【变式3-2】已知函数 ，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先算出各函数值，再用对称性检验（对称轴为 ，故 ）。 【解答过程】配方得 ，对称轴为 ，所以 ；又因为开口向下，顶点处取最大值，所以 。故选C。 【方法点睛】二次函数比大小优先用对称性：与对称轴"距离相等"的两个自变量，函数值相等；距离越近函数值越接近顶点值。 【变式3-3】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】偶函数满足 ，把它化为 与 在同一单调区间上比较。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 ，原不等式化为 。又 在 上单调递增，所以 ，解得 。故选A。 【方法点睛】遇到"偶函数＋区间上单调"，把 一律换成 ，就能把两个自变量放进同一个单调区间，问题随即变成普通不等式。 【题型4 二次函数在闭区间上的最值】 【例4】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方求对称轴，判断对称轴是否在区间内，再比较两个端点与顶点的函数值。 【解答过程】，对称轴 落在 内，所以最小值在 处取得，；端点处 ，，所以最大值在 处取得，最大值为 。故选A。 【方法点睛】二次函数在闭区间上的最值口诀："一轴二端"——先看对称轴在不在区间内，再把顶点值与两端点值放在一起比大小。 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】配方看对称轴，开口向下时顶点处取最大值。 【解答过程】，对称轴 落在 内，开口向下，所以最大值在顶点处取得，即 。 【变式4-2】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对称轴为 ，落在区间左侧，此时函数在区间上单调递增，最小值在左端点取得。 【解答过程】，对称轴 ，所以 在 上单调递增，最小值在 处取得，即 。故选B。 【方法点睛】对称轴在区间左侧（）时函数在区间上递增，最值直接看两个端点；对称轴在区间内才需要比较顶点值。 【变式4-3】若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先判断对称轴与区间的位置关系，确定最大值在哪个端点取得，再列方程求 。 【解答过程】，对称轴 在区间 的右侧，且开口向下，所以 在 上单调递增，最大值在 处取得。由 ，解得 。故选B。 【方法点睛】含参二次函数求最值，先"定位对称轴"，把参数翻译成"轴在区间的哪一侧"，再决定用哪个端点列方程。 【题型5 函数奇偶性的判断与应用】 【例5】下列函数中为奇函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逐项检验定义域是否关于原点对称，再算 与 的关系。 【解答过程】四个函数的定义域都是 ，关于原点对称。A中 ，是偶函数；B中 ，是奇函数；C中 ，是偶函数；D中 ，是偶函数。故选B。 【方法点睛】常见函数的奇偶性要形成条件反射： 型—— 为奇数时是奇函数， 为偶数时是偶函数； 型、含 的整式型多为偶函数。 【变式5-1】下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先筛奇偶性，再在剩下的选项中判断 上的单调性。 【解答过程】D中 是奇函数，先排除；A中 是偶函数，但在 上单调递减；B中 是偶函数，但在 上单调递减；C中 是偶函数，且在 上单调递增。故选C。 【方法点睛】这类"双重条件"选项题要分两步筛：先筛奇偶性（通常是奇函数的一批），再筛单调性（对勾函数、反比例函数是常见干扰项）。 【变式5-2】已知函数 是奇函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】奇函数若在 处有定义，则 ，用它快速求参数，再验证。 【解答过程】因为 在 上有定义且为奇函数，所以 ，即 ，解得 。验证：，，确为奇函数。故选B。 【方法点睛】用 求参数只能得到"候选值"，必须回代验证。若题目给出的是分段函数，还要检查各段是否都满足。 【变式5-3】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用已知段求 ，再用奇函数性质求 。 【解答过程】因为 ，所以 ；又 为奇函数，所以 。故选A。 【方法点睛】求"负自变量"的函数值，先把它翻成正数代入已知解析式，再加负号，一步都不要跳。 【题型6 奇偶性与周期性联合求值】 【例6】已知 是定义在 上的奇函数，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】奇函数满足 。 【解答过程】因为 为奇函数，所以 。故选A。 【方法点睛】奇函数的"负号"是最容易漏掉的细节，写出 后再代入，不要在脑子里跳步。 【变式6-1】已知函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】推导周期结论：把条件中的 再换成 。 【解答过程】由 ，把 换成 得 ，所以 的一个周期为 。故选C。 【方法点睛】三个必背周期结论： 与 的周期都是 ； 的周期也是 。 【变式6-2】已知 是定义在 上的偶函数，且周期为 。若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先用周期性把 缩到 内的数，再用偶性化为正数代入。 【解答过程】因为周期为 ，所以 ；又 为偶函数，所以 ，即 。 【变式6-3】已知 是定义在 上的奇函数，且 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"先缩后翻"：用周期把 缩到 内，再用奇偶性化到 上代入。 【解答过程】因为周期为 ，所以 ；又 为奇函数，所以 ；因为 ，所以 ，故 。故选B。 【方法点睛】求大自变量的函数值，固定两步：先减周期的整数倍"缩回来"，再用奇偶性"翻到已知区间"，最后才代入计算。 一、单选题 1．（★）下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】逐项判断在各函数在 上的增减性。 【解答过程】A中斜率为负，单调递减；B中 单调递减；C中 在 上单调递增；D中 在 上单调递减。故选C。 2．（★）函数 在 上的单调性是（　　） A．增函数　B．减函数　C．先增后减　D．先减后增 【答案】A 【解题思路】一次函数的单调性由一次项系数的符号决定。 【解答过程】一次项系数 ，所以 在 上单调递增。故选A。 3．（★）下列函数中为偶函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】定义域都关于原点对称，只需求 并与 比较。 【解答过程】A中 ，是奇函数；B中 ，非奇非偶；C中 ，是偶函数；D中 ，是奇函数。故选C。 4．（★）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】偶函数满足 。 【解答过程】。故选C。 5．（★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方求对称轴，开口向上时对称轴左侧递减。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上，所以单调递减区间为 。故选A。 6．（★★）已知 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最小值 在顶点处取得，最大值 在端点处取得，用这两个条件反推 的范围。 【解答过程】，对称轴 。最小值 在 处取得，故需 ，即 ；最大值 在 处取得，故需 ，即 ，解得 。取交集得 。故选A。 7．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先用已知段求 ，再用奇函数性质求 。 【解答过程】当 时，；因为 为奇函数，所以 。故选C。 8．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先由条件推出周期，再用周期性缩自变量。 【解答过程】由 得周期 ，所以 。故选C。 二、多选题 9．（★）下列关于函数单调性的说法中，正确的是（　　） A．增函数与增函数的和仍是增函数　B．多个单调区间之间可以用并集符号连接　C．若 在 上单调递增，则 　D． 与 的单调性相反 【答案】ACD 【解题思路】逐项对照单调性的性质与书写规范判断。 【解答过程】A正确；B错误，多个单调区间之间只能用"和"或逗号连接；C中由递增定义， 得 ，正确；D中 递增则 递减，正确。故选ACD。 10．（★）若 是定义在 上的偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 的图象关于 轴对称　C． 关于原点对称　D． 一定成立 【答案】ABC 【解题思路】对照偶函数的定义与图象特征逐项判断。 【解答过程】由偶函数定义 ，A正确；偶函数图象关于 轴对称，B正确；偶函数的定义域必须关于原点对称，C正确；D不一定成立，例如 是偶函数，但在 处没有定义。故选ABC。 11．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】综合奇函数的性质与单调性的对称性逐项判断。 【解答过程】A中奇函数在 处有定义，故 ，正确；B中奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，所以 在 上也单调递增，正确；C中 ，而 ，所以 ，正确；D中 ，，所以 ，D错误。故选ABC。 三、填空题 12．（★）函数 的单调递增区间是____________。 【答案】 【解题思路】配方求对称轴，开口向下时对称轴左侧递增。 【解答过程】，对称轴 ，开口向下，所以单调递增区间为 。 13．（★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，只需对称轴不超过 。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。要使 在 上递增，需 ，即 。 14．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且 。若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先用周期性把 缩到 内，再用周期值与已知值对齐。 【解答过程】因为周期为 ，而 ，所以 。 四、解答题 15．（★）已知函数 。 (1) 求 的单调区间； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】(1) 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】配方求对称轴，据此写出单调区间；再比较顶点与端点的函数值求最值。 【解答过程】(1) ，对称轴 ，开口向上，所以单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 (2) 对称轴 落在 内，所以最小值 ；端点 ，，所以最大值 。 16．（★）判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) 奇函数；(2) 偶函数；(3) 奇函数。 【解题思路】先确认定义域关于原点对称，再比较 与 。 【解答过程】三个函数的定义域都是 ，关于原点对称。 (1) ，是奇函数。 (2) ，是偶函数。 (3) ，是奇函数。 17．（★★）已知函数 （）。 (1) 判断 在 上的单调性，并说明理由； (2) 求 在区间 上的值域。 【答案】(1) 单调递增；(2) 值域为 。 【解题思路】分离常数把函数化为 ，借助分母的正负与增减判断单调性，再代入端点求值域。 【解答过程】(1) 分离常数：。当 时， 且随 增大而增大，所以 随 增大而减小，从而 随 增大而增大，即 在 上单调递增。 (2) 由(1)知 在 上单调递增，所以最小值为 ，最大值为 ，故值域为 。 18．（★★）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时，。 (1) 求 的值； (2) 求 在 上的解析式。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用偶函数性质把 翻成 ；(2) 设 ，把 化为 后代入已知段解析式。 【解答过程】(1) 因为 是偶函数，所以 。 (2) 当 时，，由已知得 ，又 ，所以 时 。故 。 19．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，。 (1) 求 与 的值； (2) 求 在 上的解析式。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(1) 奇函数在原点有定义则函数值为零，负自变量用奇性翻正；(2) 分 ，， 三段写解析式。 【解答过程】(1) 因为 是 上的奇函数，所以 ；又 ，所以 。 (2) 当 时，，由已知得 ，又 ，所以 时 。故 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性　1 / 1 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