高考尖子生培优专题02：函数的性质综合（单调性、奇偶性、对称性、周期性）-2027届新高考数学大一轮复习讲义（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数性质综合专题，系统整合单调性、奇偶性、对称性、周期性四大核心考点，按性质应用逻辑分层构建知识网络。通过思维导图梳理结论、解题技巧提炼方法、真题变式强化训练的教学环节，帮助学生突破性质交叉应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新采用“四步标准化”解题策略（如比较大小中去负号、定区间、比大小、推函数值），结合分层练习设计，培养学生数学思维与逻辑推理能力。通过对称性与周期性结论推导等活动，提升学生用数学语言表达问题的能力，为教师提供精准复习节奏指导，助力学生高效构建解题框架，提升应考能力。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题02：函数的性质综合（单调性、奇偶性、对称性、周期性） 解题技巧一 函数的奇偶性及其应用 3 解题技巧二 函数的单调性及其应用 7 解题技巧三 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 9 解题技巧四 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 12 解题技巧五 函数的对称性与周期性综合 15 思维导图 1. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 2. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 3. 奇函数+常函数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 4. 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式优先策略： 1.若函数在定义域上单调递增，且，则. 2.若函数在定义域上单调递减，且，则. 3.已知函数为定义域在上的偶函数. （1）若在上单调递增，且，则. （2）若在上单调递减，且，则. 4. 已知函数为定义域在上的奇函数， （1）在上单调递增，且，则. （2）在上单调递减，且，则. 5.注意讨论、. 5. 函数对称性的重要结论 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 6. 函数周期性的重要结论 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 7. 函数周期性、奇偶性、对称性的重要技巧 （1）已知函数为偶函数，关于直线对称，则周期. （2）已知函数为奇函数，关于直线对称，则周期. （3）已知函数为偶函数，关于点对称，则周期. （4）已知函数为奇函数，关于点对称，则周期. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 函数的奇偶性及其应用 函数奇偶性定义：（研究函数问题，一定要先确定好函数定义域）一般地，设函数的定义域为，如果，都有， (1)且，那么函数是偶函数，偶函数图像关于轴对称。【】 (2)且，那么函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称。 【】 1.函数奇偶性应用： (1)是偶函数，常用于解与偶函数有关的不等式或方程； (2)是奇函数，且在处有定义，则 2.与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3.与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 【例1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性定义可得函数为奇函数，结合其单调性可得，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由恒成立，故定义域为， ， 由在上单调递增， 且在上单调递增，则在上单调递减， 有， 则， 故函数为奇函数，则在上单调递减， 则由可得， 即，则， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 【变式1-1】（25-26高三上·山西长治·月考）函数的大致图象是（    ） A．    B．   B． C．     D．   【答案】C 【分析】可证明为偶函数，又易得时，可得结论. 【详解】由，解得，均能满足有意义， 故函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为偶函数，故排除B； 又，所以在上单调递增， 当时，，所以时，， 所以当时，，所以排除A，D； 故选：C. 【变式1-2】（25-26高三下·湖南长沙·期中）(多选题)已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．函数图象关于点对称 C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】先根据为奇函数推出的对称中心，再结合与的关系分析的对称性、周期性、进而判断各选项. 【详解】A选项中，因为为奇函数，所以， 则，故A正确， B选项中，由A选项可知，，， 所以，即， 所以关于点对称，又的图象关于对称， 所以的对称中心为，，不是，故B错误， C选项中，由A项得关于对称，即，， ，，因为的图象关于对称， 所以，又，所以， 所以，即， 所以关于对称，即， 因此，， 所以，故C正确， D选项中，因为，所以， 又，所以，则， 所以，则的周期为4， 所以，又因为， 所以，所以，故D正确． 【变式1-3】（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解. 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 解题技巧二 函数的单调性及其应用 1.单调性的定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值， (1)当时，都有，那么就说函数在区间上时增函数。 变式：， (2)当时，都有，那么就说函数在区间上时减函数。 变式：， 2.复合函数单调性（同增异减）：若与的单调性相同（相反），则为增函数（减函数） 【例2】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为 【变式2-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 【变式2-3】（2026·安徽安庆·三模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性确定函数的单调性，进而确定的大小关系. 【详解】当时，函数在上都单调递增，而函数在上单调递增， 因此函数是上的增函数，，所以. 解题技巧三 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 1.核心考点：结合奇偶性将自变量转化到同一单调区间，再用单调性比较解题技巧（四步标准化） ①去负号：利用奇偶性，将所有自变量的负号消去（如偶函数/奇函数）； ②定区间：判断转化后所有自变量是否在同一单调区间内； ③比大小：比较单调区间内自变量的大小； ④推函数值：根据单调性，将自变量大小转化为函数值大小（增函数：自变量大→函数值大；减函数相反）。2.关键注意 若有绝对值，优先用偶函数性质转化（），绝对值可直接将自变量转化到非负区间。 【例3】（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 【变式3-1】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 【变式3-2】（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 【变式3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）(多选题)设函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．曲线与曲线有且仅有个交点 【答案】ABD 【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶性及单调性可判断C；对D构造函数，用导数判断函数的零点可得. 【详解】由函数的定义域：由，，得， 即函数的定义域为. 对于A：，满足奇函数定义，A正确； 对于B ：化简，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确； 对于C，由奇函数性质，， 所以不等式可化为： ， ，，所以, 又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误； 对于D，设，因为均为奇函数， 所以是奇函数，只需分析： 当时，，即是一个交点； 当时，求导得， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递减，，因此在无零点； 因为是奇函数，所以在无零点， 因此函数在有且仅有零点，故D正确. 解题技巧四 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 1.利用单调性、奇偶性解不等式原理 （1）解型不等式 ①利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； ②若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解. （1）为奇函数，形如的不等式的解法： 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解. 2.奇偶性辅助解抽象函数不等式的转化法则 ①定义表述：若 是偶函数，则 ，可将不等式 转化为 ；若 是奇函数，则 ，可将负自变量转化为正自变量分析。 ②数学符号/表达式： - 偶函数：（需 在单调区间内） - 奇函数： ③关键特征：偶函数转化可规避正负区间讨论，奇函数转化需注意符号变化，转化后均需结合单调性解题。 【例4】（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 【变式4-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 【变式4-2】（2026·广西桂林·模拟预测）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导得到的单调性，再利用单调性结合定义域可得结果. 【详解】因为， 所以在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为． 【变式4-3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 解题技巧五 函数的对称性与周期性综合 一、判定对称性（抓特征式，直接定对称中心/对称轴） ① 轴对称：→对称轴为；特殊：/，均为； ② 中心对称：→对称中心为；特殊：/，均为； ③ 特殊对称：→对称轴（偶函数）；→对称中心（奇函数）。 二、对称性→周期性（两个关键结论，直接用） ① 若有两条对称轴和（），则周期为； ② 若有两个对称中心和（），则周期为； ③ 若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期为。 三、综合应用步骤 ① 由已知对称性，推导周期； ② 先利用周期性将大自变量化小，再利用对称性转化到已知区间； ③ 结合已知条件求函数值/解不等式。 【例5】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 【变式5-1】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 【变式5-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用已知函数的奇偶性、周期性求出对应函数值，再结合已知关系式列方程求参数值. 【详解】由题设， 又，且，， 所以，即， 所以，可得（负值舍去）. 【变式5-3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为______． 【答案】 【详解】由 ，得 . 所以， 所以函数为周期函数，为函数的一个周期， 又 所以. 1．（25-26高三上·青海·月考）已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得图函数定义域，即可对A判断，利用图象的对称性可对B判断；再利用特殊值可对D判断，从而可求解． 【详解】A：由题可得图2函数定义域，对于中，，其定义域为，故A错误； B：由题可得当时，，当时，，则不关于轴对称，故B错误； C：函数中，定义域，即，符合图2的定义域， 令，则，所以为偶函数，符合图2的对称性，故C正确. D：函数中，定义域，即，符合图2的定义域， 令，得不符合图2，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高三上·云南·阶段检测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状． 故选：B． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可． 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 4．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 5．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 6．（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用奇函数定义域含时及求出参数，再将函数变形判断单调性，最后结合奇偶性与单调性脱去函数符号，转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，所以． 因此，，， 即，所以． 因为，所以． 又是减函数， 所以，解得． 7．（2026·福建莆田·模拟预测）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上具有单调性 D．若在上单调递增，且，则 【答案】D 【详解】A选项错误，由于定义域为，所以不是奇函数． B选项错误，存在反例，若，， 则． C选项错误，存在反例；；． 此时不具有单调性． D选项正确，由，得． 由定义域得，，即． 由单调递增得，即解得或（舍去）． 综上，． 8．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 9．（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】的定义域为，，故为偶函数， 当时，，由于为上的单调递增函数，故 为上的单调递增函数，结合为单调递增函数，故为上的单调递增函数， 由可得，解得. 10．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 11．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 12．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值. 【详解】由于， 所以是以4为周期的周期函数， 则. 13．（2026·河北邯郸·二模）(多选题)已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选题)若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ）. A．2是的一个周期 B．一定为正数 C．若，则 D．若在上单调递增，则 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性与对称性，推得函数的周期性，再利用周期性，赋值代入求值判断即可. 【详解】对于A，因是定义在上的偶函数，则，又的图象关于直线对称， 则，故有，即2是的一个周期，故A正确； 对于B，因对任意，都有，若取，则得， 若取函数，显然满足题设条件，则有，故B错误； 对于C，因为对任意，，都有， 所以对任意，取，得； 若，即，故，故C正确； 对于D，假设，因及，， 可得，，则， 这与在上单调递增矛盾，即假设不成立，故D正确. 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选题)已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 【答案】AC 【详解】令，则或，故 的定义域关于原点对称， 选项A：的定义域为，，满足奇函数定义，A正确。 选项B：，B错误。 选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。 选项D：由于， 不满足，D错误。 16．（2026·江苏苏州·三模）(多选题)已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D. 【详解】由， 令，得，即，， 由为奇函数，可得， 即，即， 所以函数关于点对称，令可得， 令，得，可得，故A错误； 令，可得，即， 则，所以，或， 当 时，， 当时，用替换得 ，所以 ，解得 ，满足， 所以，，即，则为偶函数，故B正确； 由，，可得，即， 所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确； 由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得 ，，，， 所以，故D正确. 17．（2026·广东茂名·二模）(多选题)已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 18．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题02：函数的性质综合（单调性、奇偶性、对称性、周期性） 解题技巧一 函数的奇偶性及其应用 3 解题技巧二 函数的单调性及其应用 5 解题技巧三 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 6 解题技巧四 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 7 解题技巧五 函数的对称性与周期性综合 8 思维导图 1. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 2. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 3. 奇函数+常函数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 4. 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式优先策略： 1.若函数在定义域上单调递增，且，则. 2.若函数在定义域上单调递减，且，则. 3.已知函数为定义域在上的偶函数. （1）若在上单调递增，且，则. （2）若在上单调递减，且，则. 4. 已知函数为定义域在上的奇函数， （1）在上单调递增，且，则. （2）在上单调递减，且，则. 5.注意讨论、. 5. 函数对称性的重要结论 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 6. 函数周期性的重要结论 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 7. 函数周期性、奇偶性、对称性的重要技巧 （1）已知函数为偶函数，关于直线对称，则周期. （2）已知函数为奇函数，关于直线对称，则周期. （3）已知函数为偶函数，关于点对称，则周期. （4）已知函数为奇函数，关于点对称，则周期. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 函数的奇偶性及其应用 函数奇偶性定义：（研究函数问题，一定要先确定好函数定义域）一般地，设函数的定义域为，如果，都有， (1)且，那么函数是偶函数，偶函数图像关于轴对称。【】 (2)且，那么函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称。 【】 1.函数奇偶性应用： (1)是偶函数，常用于解与偶函数有关的不等式或方程； (2)是奇函数，且在处有定义，则 2.与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3.与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 【例1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·山西长治·月考）函数的大致图象是（    ） A．    B．   B． C．     D．   【变式1-2】（25-26高三下·湖南长沙·期中）(多选题)已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．函数图象关于点对称 C． D．当时， 【变式1-3】（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 解题技巧二 函数的单调性及其应用 1.单调性的定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值， (1)当时，都有，那么就说函数在区间上时增函数。 变式：， (2)当时，都有，那么就说函数在区间上时减函数。 变式：， 2.复合函数单调性（同增异减）：若与的单调性相同（相反），则为增函数（减函数） 【例2】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·安徽安庆·三模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧三 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 1.核心考点：结合奇偶性将自变量转化到同一单调区间，再用单调性比较解题技巧（四步标准化） ①去负号：利用奇偶性，将所有自变量的负号消去（如偶函数/奇函数）； ②定区间：判断转化后所有自变量是否在同一单调区间内； ③比大小：比较单调区间内自变量的大小； ④推函数值：根据单调性，将自变量大小转化为函数值大小（增函数：自变量大→函数值大；减函数相反）。2.关键注意 若有绝对值，优先用偶函数性质转化（），绝对值可直接将自变量转化到非负区间。 【例3】（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）(多选题)设函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．曲线与曲线有且仅有个交点 解题技巧四 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 1.利用单调性、奇偶性解不等式原理 （1）解型不等式 ①利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； ②若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解. （1）为奇函数，形如的不等式的解法： 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解. 2.奇偶性辅助解抽象函数不等式的转化法则 ①定义表述：若 是偶函数，则 ，可将不等式 转化为 ；若 是奇函数，则 ，可将负自变量转化为正自变量分析。 ②数学符号/表达式： - 偶函数：（需 在单调区间内） - 奇函数： ③关键特征：偶函数转化可规避正负区间讨论，奇函数转化需注意符号变化，转化后均需结合单调性解题。 【例4】（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·广西桂林·模拟预测）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧五 函数的对称性与周期性综合 一、判定对称性（抓特征式，直接定对称中心/对称轴） ① 轴对称：→对称轴为；特殊：/，均为； ② 中心对称：→对称中心为；特殊：/，均为； ③ 特殊对称：→对称轴（偶函数）；→对称中心（奇函数）。 二、对称性→周期性（两个关键结论，直接用） ① 若有两条对称轴和（），则周期为； ② 若有两个对称中心和（），则周期为； ③ 若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期为。 三、综合应用步骤 ① 由已知对称性，推导周期； ② 先利用周期性将大自变量化小，再利用对称性转化到已知区间； ③ 结合已知条件求函数值/解不等式。 【例5】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【变式5-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式5-3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为______． 1．（25-26高三上·青海·月考）已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南·阶段检测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·福建莆田·模拟预测）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上具有单调性 D．若在上单调递增，且，则 8．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 12．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 13．（2026·河北邯郸·二模）(多选题)已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选题)若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ）. A．2是的一个周期 B．一定为正数 C．若，则 D．若在上单调递增，则 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选题)已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 16．（2026·江苏苏州·三模）(多选题)已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 17．（2026·广东茂名·二模）(多选题)已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 18．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $