专题2.5 对数与对数函数（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.5 对数与对数函数（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化； 2．掌握对数的运算性质与换底公式，会化简、求值； 3．理解对数函数的概念、图象与性质，会求定点、比较大小； 4．会解简单对数不等式，会判断对数型复合函数的单调性。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 指数式与对数式的互化 选择题、填空题 第3~6题／第12题 基础 记住 对数的运算性质 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 积化和、商化差、幂提前 换底公式与对数求值 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 底数不同先换底，结构相同用换底 对数函数的图象与比较大小 选择题 第4~6题 基础／中档 恒过 ；同底比单调、都不同插 对数型复合函数的定义域与单调性 选择题、解答题 第6题／第13题／第16题 中档 先求定义域，再用"同增异减" 命题规律分析 对数与对数函数是指数函数的"孪生内容"，也是新高考的高频考点。多以选择题第4～6题、填空题第12～13题的位置出现，常考四类问题：指对互化与对数求值、对数运算性质与换底公式、对数函数过定点与比较大小、对数型复合函数的单调性与定义域。本讲难度定位为：基础运算题全对，第6题、第10题、第13题档的"换底求值""比较大小""复合单调性"通过固定套路拿分。三个高频陷阱务必记牢：真数必须大于 、底数必须大于 且不等于 、底数小于 时不等号要反向。另外提醒一句： 不能拆成两个对数相加，这是阅卷中最常见的错误。 考点1 对数与对数的运算 知识点1 对数的概念与指对互化 如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数。 指数式与对数式的互化：。这是解决一切对数问题的第一工具。 两个特殊对数：以 为底的对数叫做常用对数， 记作 ；以 （）为底的对数叫做自然对数， 记作 。基本性质：，，。 【方法技巧】 1．求对数值的标准动作：设 ，化成 ，再把两边化为同底求 ； 2．遇到 型，直接用公式得 ，不需要先算 ； 3．任何含对数的题目，第一步都是写限制：真数大于 、底数大于 且不等于 。 【易错清单】 1．负数和 没有对数，忘记写"真数大于 "是失分重灾区； 2．把 误写成 ，和的对数不能拆、积的对数才能拆； 3．含参问题中漏掉底数限制" 且 "。 知识点2 对数的运算性质与换底公式 运算性质（，，，）：；；（）。 换底公式：（，，，，）。由它可得常用推论：。 对数化简的口诀是"积化和、商化差、幂提前"，反过来用就是"和化积、差化商、系数变指数"。 【方法技巧】 1．化简要"看结构"：出现乘积就用加法、出现商就用减法、出现幂就提前； 2．遇到 型，直接合并成 ，这是必须秒答的送分点； 3．底数不同时先换底统一底数；出现 这类"首尾相接"的结构，直接用换底公式约分。 【易错清单】 1．，只有"积"才能拆成"和"； 2． 的前提是 ， 为负时不能这样化； 3．换底公式分子分母写反，正确形式是 。 考点2 对数函数的图象、性质与复合函数 知识点3 对数函数的图象与性质 一般地，函数 （ 且 ）叫做对数函数，说明一下它的定义域是 ，值域是 ，图象恒过点 。 当 时， 在 上单调递增；当 时，在 上单调递减。 图象特征：对数函数的图象都在 轴的右侧，以 轴为渐近线；它与同底指数函数 的图象关于直线 对称。 【方法技巧】 1．求形如 的定点：真数取 （因为 ）解出 ，再代回求 ； 2．比较对数值大小：同底用单调性，同真数看图象高低，都不同就插入 或 搭桥； 3．解对数不等式 ：先列 与 ，再按 或 脱去对数符号。 【易错清单】 1．忽略"真数大于 "直接解不等式，得到扩大了范围的错误答案； 2．底数在 与 之间时忘记改变不等号方向； 3．把对数函数的定点 与指数函数的定点 记混。 知识点4 对数型复合函数的单调性与值域 形如 的函数由外层对数函数与内层 复合而成。解题顺序固定：先求定义域（要求 ），再在这个定义域内判断内层 的单调性，最后由"同增异减"得整体单调性。 求 的值域：先求内层 在定义域内的取值范围，再用对数函数的单调性把它映射到外层取值范围。 若内层是二次函数，先配方求对称轴，再把定义域与对称轴结合起来，把定义域切成若干段分别判断。 【方法技巧】 1．对数型复合函数"三步走"：求定义域 → 定内外层单调性（内层看对称轴）→ 同增异减； 2．判断单调区间时必须与定义域取交集，这是本题型最容易失分的地方； 3．内层取最小值时外层不一定取最小值：外层递增时同向，外层递减时反向。 【易错清单】 1．不先求定义域就判断单调性，把区间写到了定义域之外； 2．把"内层递减、外层递减"判成递减（实际是递增）； 3．求值域时忽略真数范围 对内层的限制，把内层取到非正数的情形也算进去。 【题型1 对数的概念与指数式、对数式的互化】 【例1】将指数式 化为对数式，正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】计算 ____________。 【变式1-3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 对数的运算性质】 【例2】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】计算 ____________。 【变式2-2】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 换底公式与对数式的求值】 【例3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】计算 ____________。 【变式3-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 对数函数的图象、定点与比较大小】 【例4】函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】函数 的图象恒过定点____________。 【变式4-2】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】比较 与 的大小：____________（填""或""）。 【题型5 对数函数的单调性与解不等式】 【例5】函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【变式5-1】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是____________。 【变式5-2】不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 对数型复合函数的定义域与单调性】 【例6】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】函数 在区间 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】函数 的定义域是____________。 【变式6-3】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）将指数式 化为对数式，正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列关于对数的说法中，正确的是（　　） A． 和负数没有对数　B．（，）　C．（，）　D． 10．（★）关于对数函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．定义域为 　B．值域为 　C．图象过点 　D．当 时在定义域上单调递增 11．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递减　C．　D． 的值域为 三、填空题 12．（★）计算 ____________。 13．（★★）已知 ，则 ____________。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 四、解答题 15．（★）计算下列各式的值： (1) ； (2) 。 16．（★）计算下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 与 的值； (3) 判断 的单调性，并求 在区间 上的值域。 18．（★★）已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，求实数 的值。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 的单调递增区间。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.5 对数与对数函数　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.5 对数与对数函数（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化； 2．掌握对数的运算性质与换底公式，会化简、求值； 3．理解对数函数的概念、图象与性质，会求定点、比较大小； 4．会解简单对数不等式，会判断对数型复合函数的单调性。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 指数式与对数式的互化 选择题、填空题 第3~6题／第12题 基础 记住 对数的运算性质 选择题、填空题 第4~6题／第12题 基础 积化和、商化差、幂提前 换底公式与对数求值 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 底数不同先换底，结构相同用换底 对数函数的图象与比较大小 选择题 第4~6题 基础／中档 恒过 ；同底比单调、都不同插 对数型复合函数的定义域与单调性 选择题、解答题 第6题／第13题／第16题 中档 先求定义域，再用"同增异减" 命题规律分析 对数与对数函数是指数函数的"孪生内容"，也是新高考的高频考点。多以选择题第4～6题、填空题第12～13题的位置出现，常考四类问题：指对互化与对数求值、对数运算性质与换底公式、对数函数过定点与比较大小、对数型复合函数的单调性与定义域。本讲难度定位为：基础运算题全对，第6题、第10题、第13题档的"换底求值""比较大小""复合单调性"通过固定套路拿分。三个高频陷阱务必记牢：真数必须大于 、底数必须大于 且不等于 、底数小于 时不等号要反向。另外提醒一句： 不能拆成两个对数相加，这是阅卷中最常见的错误。 考点1 对数与对数的运算 知识点1 对数的概念与指对互化 如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数。 指数式与对数式的互化：。这是解决一切对数问题的第一工具。 两个特殊对数：以 为底的对数叫做常用对数， 记作 ；以 （）为底的对数叫做自然对数， 记作 。基本性质：，，。 【方法技巧】 1．求对数值的标准动作：设 ，化成 ，再把两边化为同底求 ； 2．遇到 型，直接用公式得 ，不需要先算 ； 3．任何含对数的题目，第一步都是写限制：真数大于 、底数大于 且不等于 。 【易错清单】 1．负数和 没有对数，忘记写"真数大于 "是失分重灾区； 2．把 误写成 ，和的对数不能拆、积的对数才能拆； 3．含参问题中漏掉底数限制" 且 "。 知识点2 对数的运算性质与换底公式 运算性质（，，，）：；；（）。 换底公式：（，，，，）。由它可得常用推论：。 对数化简的口诀是"积化和、商化差、幂提前"，反过来用就是"和化积、差化商、系数变指数"。 【方法技巧】 1．化简要"看结构"：出现乘积就用加法、出现商就用减法、出现幂就提前； 2．遇到 型，直接合并成 ，这是必须秒答的送分点； 3．底数不同时先换底统一底数；出现 这类"首尾相接"的结构，直接用换底公式约分。 【易错清单】 1．，只有"积"才能拆成"和"； 2． 的前提是 ， 为负时不能这样化； 3．换底公式分子分母写反，正确形式是 。 考点2 对数函数的图象、性质与复合函数 知识点3 对数函数的图象与性质 一般地，函数 （ 且 ）叫做对数函数，说明一下它的定义域是 ，值域是 ，图象恒过点 。 当 时， 在 上单调递增；当 时，在 上单调递减。 图象特征：对数函数的图象都在 轴的右侧，以 轴为渐近线；它与同底指数函数 的图象关于直线 对称。 【方法技巧】 1．求形如 的定点：真数取 （因为 ）解出 ，再代回求 ； 2．比较对数值大小：同底用单调性，同真数看图象高低，都不同就插入 或 搭桥； 3．解对数不等式 ：先列 与 ，再按 或 脱去对数符号。 【易错清单】 1．忽略"真数大于 "直接解不等式，得到扩大了范围的错误答案； 2．底数在 与 之间时忘记改变不等号方向； 3．把对数函数的定点 与指数函数的定点 记混。 知识点4 对数型复合函数的单调性与值域 形如 的函数由外层对数函数与内层 复合而成。解题顺序固定：先求定义域（要求 ），再在这个定义域内判断内层 的单调性，最后由"同增异减"得整体单调性。 求 的值域：先求内层 在定义域内的取值范围，再用对数函数的单调性把它映射到外层取值范围。 若内层是二次函数，先配方求对称轴，再把定义域与对称轴结合起来，把定义域切成若干段分别判断。 【方法技巧】 1．对数型复合函数"三步走"：求定义域 → 定内外层单调性（内层看对称轴）→ 同增异减； 2．判断单调区间时必须与定义域取交集，这是本题型最容易失分的地方； 3．内层取最小值时外层不一定取最小值：外层递增时同向，外层递减时反向。 【易错清单】 1．不先求定义域就判断单调性，把区间写到了定义域之外； 2．把"内层递减、外层递减"判成递减（实际是递增）； 3．求值域时忽略真数范围 对内层的限制，把内层取到非正数的情形也算进去。 【题型1 对数的概念与指数式、对数式的互化】 【例1】将指数式 化为对数式，正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按互化公式 对号入座：底数不变，指数作对数值，幂作真数。 【解答过程】在 中，底数是 ，指数是 ，幂是 ，所以化为对数式为 。故选A。 【方法点睛】指对互化"三个位置"口诀：底数不变，指数和对数值同位置，幂和真数同位置。写的时候先把对数式的框架摆好（底数写在下标，真数写在右侧），再逐个把数填进去。 【变式1-1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设 ，化为指数式 求解。 【解答过程】设 ，则 ，所以 。故选A。 【变式1-2】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】把真数化为 的幂，再化为指数式求值。 【解答过程】设 ，则 ，所以 。 【变式1-3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接用恒等式 （）。 【解答过程】由 ，得 。故选A。 【方法点睛】 与 是"指对互化"的双向通道，看到这种形式直接套用，不要绕道去算对数值。 【题型2 对数的运算性质】 【例2】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】逆用"积的对数等于对数的和"，把两个对数合并。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】 与 完全不同，前者是送分题，后者不能合并。做题时看清运算符号是加还是乘。 【变式2-1】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】分别化简两个对数，再相加。 【解答过程】，，所以原式 。 【变式2-2】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同底两对数相减，可合并为商的对数，也可分别求值再相减。 【解答过程】。故选A。 【变式2-3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先合并同底的减法，再与加法一起合并成积或商的对数。 【解答过程】，所以原式 。故选B。 【方法点睛】多个对数相加减，按"减法合并成商、加法合并成积"的顺序一步步合，最后算出结果，不要跳步心算。 【题型3 换底公式与对数式的求值】 【例3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把两个对数都换成同一底数（通常换为 ），"首尾相接"的结构会自动约分。 【解答过程】，所以 。故选B。 【方法点睛】形如 的连乘，结果就是 。记住这条结论，考场上可以省一步换底。 【变式3-1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把底数与真数都化为 的幂，再用换底公式或用对数恒等式。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】底数与真数都是同一个数的幂时，用换底公式最快：。 【变式3-2】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】合并成积的对数，凑成 。 【解答过程】。 【变式3-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 拆成 ，化为两个对数之和，再用已知整体代入。 【解答过程】。故选B。 【方法点睛】"已知一个对数，求另一个对数"的通法：把真数拆成"已知真数的倍数或幂"与"特殊值（，， 等）"的乘积，再拆成对数相加。 【题型4 对数函数的图象、定点与比较大小】 【例4】函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对数函数 恒过点 。 【解答过程】当 时，，所以图象恒过点 。故选B。 【方法点睛】两个"标志点"不要记混：指数函数过 （横坐标为零），对数函数过 （纵坐标为零）。记法：谁在"上面"谁就是零。 【变式4-1】函数 的图象恒过定点____________。 【答案】 【解题思路】令真数等于 （此时对数值为 ），求出 ，再代回求 。 【解答过程】令 ，得 ，此时 ，所以定点为 。 【变式4-2】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同底对数比较大小用单调性，再与 比较。 【解答过程】因为 单调递增，且 ，所以 ，即 。故选A。 【方法点睛】把 写成 ，三个数就统一成了"同底对数"，一次单调性比较全部搞定。 【变式4-3】比较 与 的大小：____________（填""或""）。 【答案】 【解题思路】底数在 与 之间，对数函数单调递减。 【解答过程】因为 单调递减，且 ，所以 。 【题型5 对数函数的单调性与解不等式】 【例5】函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】B 【解题思路】底数在 与 之间时对数函数单调递减。 【解答过程】底数 满足 ，所以函数在 上单调递减。故选B。 【变式5-1】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】底数大于 ，对数函数递增，直接脱去对数符号，同时保证真数为正。 【解答过程】因为 单调递增，且定义域为 ，由 得 （此时 自然成立）。 【变式5-2】不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把右边化为同底对数，再按"真数大于零 + 单调性脱符号"两步解。 【解答过程】不等式化为 。先保证真数为正：，即 ；因为 递增，所以 ，即 。取交集得 ，解集为 。故选A。 【方法点睛】解对数不等式永远"两步走"：第一步真数大于零（这是定义域要求），第二步用单调性脱去对数符号，最后取交集。 【变式5-3】已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分 与 两种情况讨论最值取得的位置。 【解答过程】当 时， 递增，最大值 ，即 ，解得 ，符合 ；当 时， 递减，最大值 ，即 ，解得 ，与 矛盾，舍去。故 。故选A。 【方法点睛】含参对数函数最值题与指数函数一样，一律"分两种情况"，两种情况都要写完整，不符合条件的要说明为什么舍去。 【题型6 对数型复合函数的定义域与单调性】 【例6】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对数的真数必须大于零。 【解答过程】由 得 ，故定义域为 。故选B。 【方法点睛】含对数、分式、根式的解析式，先把所有限制条件列出来取交集，这是解答题的第一步也是必给分步骤。 【变式6-1】函数 在区间 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】函数单调递减，值域由两个端点确定。 【解答过程】因为 单调递减，所以最大值 ，最小值 ，故值域为 。故选A。 【变式6-2】函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】令真数大于零，解一元二次不等式。 【解答过程】由 得 ，解得 或 ，故定义域为 。 【方法点睛】真数大于零是一元二次不等式，"大于取两边、小于取中间"，解完记得写成区间。 【变式6-3】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再在定义域内用"同增异减"判断单调区间。 【解答过程】先求定义域：由 得 或 。设 ， 在 上递减、在 上递增；外层 在 上递减。由"同增异减"， 在 递减处递增，即 在 上递增。再与定义域 取交集，得单调递增区间为 。故选A。 【方法点睛】对数型复合函数的单调区间必须"内外层叠加后再与定义域取交集"。只算内层对称轴、不管定义域，是这类题最典型的错误。 一、单选题 1．（★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】化为指数式求值。 【解答过程】设 ，则 ，所以 。故选B。 2．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对数的真数必须大于零。 【解答过程】由 得定义域为 。故选B。 3．（★）将指数式 化为对数式，正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按互化公式对号入座。 【解答过程】底数为 ，指数为 ，幂为 ，所以化为对数式是 。故选A。 4．（★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】合并成积的对数。 【解答过程】。故选B。 5．（★）函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对数函数恒过点 。 【解答过程】当 时 ，故定点为 。故选B。 6．（★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同底对数比较大小用单调性，再与 比较。 【解答过程】因为 单调递增，且 ，所以 ，即 。故选A。 7．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把底数与真数都化为 的幂，再用换底公式（或结论 ）。 【解答过程】。故选B。 8．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 拆成 ，化为两个常用对数之和。 【解答过程】。故选B。 二、多选题 9．（★）下列关于对数的说法中，正确的是（　　） A． 和负数没有对数　B．（，）　C．（，）　D． 【答案】ABC 【解题思路】对照对数的概念与运算性质逐项判断。 【解答过程】A正确，真数必须大于零；B、C正确，这是对数的两条基本性质；D错误，正确的性质是 （积的对数等于对数的和）。故选ABC。 10．（★）关于对数函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．定义域为 　B．值域为 　C．图象过点 　D．当 时在定义域上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照对数函数的定义与性质判断。 【解答过程】对数函数的定义域为 ，值域为 ，图象过点 ，A、B、C均正确；当 时函数单调递减，D错误。故选ABC。 11．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递减　C．　D． 的值域为 【答案】ABC 【解题思路】逐项代入计算或对照对数函数的性质判断。 【解答过程】A中 ，正确；B中底数 在 与 之间，函数递减，正确；C中 ，正确；D中对数函数的值域是 ，不是 ，错误。故选ABC。 三、填空题 12．（★）计算 ____________。 【答案】 【解题思路】化为指数式求值。 【解答过程】设 ，则 ，所以 。 13．（★★）已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用"幂提前"的性质，把真数化为幂的形式。 【解答过程】。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】真数大于零。 【解答过程】由 得 ，故定义域为 。 四、解答题 15．（★）计算下列各式的值： (1) ； (2) 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】化为指数式求每个对数的值，再按运算顺序计算。 【解答过程】(1) 设 ，则 ，所以 。 (2) ，，所以原式 。 16．（★）计算下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1)(2) 用对数的运算性质合并；(3) 用恒等式 。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 (3) 由 得 。 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 与 的值； (3) 判断 的单调性，并求 在区间 上的值域。 【答案】(1) ； (2) ，； (3) 在定义域上单调递增，值域为 。 【解题思路】(1) 真数大于零；(2) 直接代入；(3) 底数大于 故递增，再代入两端点求值域。 【解答过程】(1) 由 得 ，定义域为 。 (2) ；。 (3) 因为底数 ，所以 在 上单调递增。所以 在 上的最小值为 ，最大值为 ，故值域为 。 18．（★★）已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，求实数 的值。 【答案】。 【解题思路】分 与 两种情况讨论最值取得的位置，并检验是否符合前提。 【解答过程】当 时， 在 上单调递增，最大值为 ，即 ，解得 ，符合 ； 当 时， 在 上单调递减，最大值为 ，即 ，解得 ，与 矛盾，舍去。 综上，。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 的单调递增区间。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先求定义域（真数大于零），再在定义域内用"同增异减"确定单调递增区间，两者取交集。 【解答过程】(1) 由 得 ，解得 或 ，故定义域为 。 (2) 设 ，则 在 上递减、在 上递增；外层 在 上递减。由"同增异减"， 在 递减处递增，即 在 上递增。与定义域 取交集，得单调递增区间为 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.5 对数与对数函数　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $