专题2.1 函数的概念及其表示（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.1 函数的概念及其表示（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域； 2．理解函数的概念，会判断两个函数是否为同一函数； 3．会选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数，理解分段函数； 4．能由 的表达式求 ，体会换元与配凑的基本思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 函数的概念与同一函数 选择题 第1~6题 基础／中档 先比定义域，再比化简后的对应关系 求函数的定义域 选择题、填空题 第2~6题／第12~13题 基础 列全限制条件，最后取交集 分段函数求值与求参数 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 先判断自变量落在哪一段，再代式 求函数解析式 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 换元法、配凑法、方程组法 函数的图象与值域 选择题、解答题 第6题／第15~16题 中档 配方法、换元法，注意定义域限制 命题规律分析 函数是高中数学的"主干"，而函数的概念与表示是整章的起点。新高考中本专题多以选择题第1～6题、填空题第12～13题的位置出现：定义域、分段函数求值属基础档，分段函数求参数、抽象函数与求解析式常压在第6题、第13题这档"垫脚题"上。本讲难度定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档题通过"套路化"步骤也能拿下。拿分要点：定义域"三查"（分母、偶次根式、对数）后再取交集；分段函数求值"由内到外"逐层判断；求解析式"换元＋配凑＋方程组"三招轮换；由函数值求自变量时，解出后必须回代检验落段是否成立。 考点1 函数的概念与定义域 知识点1 函数的概念与三要素 设 ， 是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。 函数的三要素是定义域、对应关系、值域。定义域与对应关系一旦确定，值域就随之确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需比较定义域与对应关系。 【方法技巧】 1．判断同一函数"两看"：一看定义域是否相同，二看对应关系化简后是否一致，两者都相同才是同一函数； 2．化简解析式可能改变定义域，比较时要按原式（未化简）的定义域判断； 3． 与 的区别：前者表示函数，后者表示当 时的函数值，是一个常数。 【易错清单】 1．函数定义中"任意"与"唯一"两个词缺一不可，"一对多"不是函数； 2．值域是函数值的集合，一般不是集合 ， 可以比值域"大"； 3． 与 不是同一函数，后者定义域不含 。 知识点2 函数定义域的求法 求定义域就是求使解析式有意义的自变量的集合，常见限制有四类：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零指数幂与负指数幂的底数不为 ；对数式的真数大于 、底数大于 且不等于 。 若解析式由几部分用加减号连接而成，则定义域是各部分限制条件的交集；实际问题中还要考虑自变量的实际意义。 抽象函数 的定义域，由内层 的取值范围落在 的定义域内来确定，即解不等式" 的定义域 的定义域"，解得的 范围即为所求。 【方法技巧】 1．求定义域按"列限制 → 解不等式（组）→ 写成区间或集合"三步走，一步都不要省； 2．多个限制条件一定取交集，取并集是典型错误； 3．答案写区间时注意端点的开闭：分母为 处取开，偶次根式被开方数为 处取闭。 【易错清单】 1．不要把"分母不为零"误写成"分母大于零"； 2．偶次根式要求被开方数大于或等于 ，奇次根式对自变量没有限制； 3．解答题忘写定义域是最常见的失分点，凡涉及函数都要先交代定义域。 考点2 函数的表示、分段函数与解析式 知识点3 函数的表示法与分段函数 函数的三种表示方法：解析法（用式子表示对应关系）、列表法（用表格列出对应值）、图象法（用图形表示对应关系）。三种方法各有优劣，解题时常需互相转化。 分段函数：在定义域的不同子集上用不同的解析式表示的函数。分段函数是一个函数，不是几个函数，它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 求分段函数的函数值时，先判断自变量落在哪一段，再代入该段的解析式；若已知函数值求自变量，则对各段分别列方程求解，最后必须检验所得解是否落在所设的那一段内。 【方法技巧】 1．分段函数求值"由内到外"：先算内层函数值，再把它作为自变量代入外层，每一步都重新判断落段； 2．已知 求 ，按段列方程，解得的 必须满足该段的取值范围，不满足的舍去； 3．画分段函数图象时注意端点的空心圈（不含）与实心点（含）。 【易错清单】 1．把分段函数当成两个函数，写定义域时错误地分段罗列而忘记取并集； 2．由函数值求自变量时忘记回代检验，留下"段外解"； 3．求分段函数的值域时，忘记把各段值域合并后再检验端点是否取到。 知识点4 求函数解析式与值域 求解析式的常用方法有三个：① 换元法——已知 求 ，令 并反解出 ，代入得关于 的式子，再把 换成 ；② 配凑法——把 的右边配成关于 的式子，直接读出 ；③ 方程组法——当 与 （或 ）同时出现时，用代换构造方程组，消元求 。 求值域的基础方法：配方法（二次型）、换元法（含根式）、分离常数法（形如 ）、单调性法。 分离常数法：，值域由分母部分 的取值范围确定。 【方法技巧】 1．换元法必须写出新元 的取值范围，它就是新函数的定义域； 2．配凑法适合 这类"整体结构"的题目，配的过程要保证恒等变形； 3．方程组法代换时"变量整体替换"：把式子中的 全换成 ，不要漏项。 【易错清单】 1．换元后忘记写新元的取值范围，导致定义域出错； 2．用配方法求值域时只看顶点，忘记定义域限制，把区间最值算错； 3．分离常数时符号写错，例如 ，常数是 而不是 。 【题型1 函数的概念与同一函数的判定】 【例1】下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式1-1】下列函数中，与函数 表示同一函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则这样的函数共有（　　） A．4个　B．6个　C．8个　D．9个 【变式1-3】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 求函数的定义域】 【例2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】函数 的定义域是____________。 【变式2-2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知函数 ，则函数 的定义域是____________。 【题型3 分段函数求值与求参数】 【例3】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式3-2】已知函数 ，则 ____________。 【变式3-3】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 求函数的解析式】 【例4】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知函数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知函数 满足 （），则 ____________。 【题型5 函数的图象与值域】 【例5】已知函数 ，则 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】函数 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知函数 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 函数值的整体代换与求值】 【例6】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知 ，则 ____________。 【变式6-2】已知函数 对任意实数 ， 都满足 ，且 ，则 ____________。 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）已知函数 ，当 时， 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）下列函数中，与函数 表示同一函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列关于函数的说法中，正确的是（　　） A．函数的三要素是定义域、对应关系、值域　B．定义域与对应关系确定后，值域随之确定　C．两个函数的定义域与对应关系都相同，则它们是同一函数　D．一个自变量可以同时对应两个函数值 10．（★）下列函数的定义域为 的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．若 ，则 或 　D． 的值域为 三、填空题 12．（★）已知函数 ，则 ____________。 13．（★★）已知函数 ，若 ，则 ____________。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 四、解答题 15．（★）已知函数 。 (1) 求 与 ； (2) 求 在区间 上的值域。 16．（★）求下列函数的定义域： (1) ； (2) 。 17．（★★）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 若 ，求 的值。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 与 ； (2) 判断 在 上的单调性，并求 的值域。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.1 函数的概念及其表示　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.1 函数的概念及其表示（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域； 2．理解函数的概念，会判断两个函数是否为同一函数； 3．会选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数，理解分段函数； 4．能由 的表达式求 ，体会换元与配凑的基本思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 函数的概念与同一函数 选择题 第1~6题 基础／中档 先比定义域，再比化简后的对应关系 求函数的定义域 选择题、填空题 第2~6题／第12~13题 基础 列全限制条件，最后取交集 分段函数求值与求参数 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 先判断自变量落在哪一段，再代式 求函数解析式 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 换元法、配凑法、方程组法 函数的图象与值域 选择题、解答题 第6题／第15~16题 中档 配方法、换元法，注意定义域限制 命题规律分析 函数是高中数学的"主干"，而函数的概念与表示是整章的起点。新高考中本专题多以选择题第1～6题、填空题第12～13题的位置出现：定义域、分段函数求值属基础档，分段函数求参数、抽象函数与求解析式常压在第6题、第13题这档"垫脚题"上。本讲难度定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档题通过"套路化"步骤也能拿下。拿分要点：定义域"三查"（分母、偶次根式、对数）后再取交集；分段函数求值"由内到外"逐层判断；求解析式"换元＋配凑＋方程组"三招轮换；由函数值求自变量时，解出后必须回代检验落段是否成立。 考点1 函数的概念与定义域 知识点1 函数的概念与三要素 设 ， 是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。 函数的三要素是定义域、对应关系、值域。定义域与对应关系一旦确定，值域就随之确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需比较定义域与对应关系。 【方法技巧】 1．判断同一函数"两看"：一看定义域是否相同，二看对应关系化简后是否一致，两者都相同才是同一函数； 2．化简解析式可能改变定义域，比较时要按原式（未化简）的定义域判断； 3． 与 的区别：前者表示函数，后者表示当 时的函数值，是一个常数。 【易错清单】 1．函数定义中"任意"与"唯一"两个词缺一不可，"一对多"不是函数； 2．值域是函数值的集合，一般不是集合 ， 可以比值域"大"； 3． 与 不是同一函数，后者定义域不含 。 知识点2 函数定义域的求法 求定义域就是求使解析式有意义的自变量的集合，常见限制有四类：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零指数幂与负指数幂的底数不为 ；对数式的真数大于 、底数大于 且不等于 。 若解析式由几部分用加减号连接而成，则定义域是各部分限制条件的交集；实际问题中还要考虑自变量的实际意义。 抽象函数 的定义域，由内层 的取值范围落在 的定义域内来确定，即解不等式" 的定义域 的定义域"，解得的 范围即为所求。 【方法技巧】 1．求定义域按"列限制 → 解不等式（组）→ 写成区间或集合"三步走，一步都不要省； 2．多个限制条件一定取交集，取并集是典型错误； 3．答案写区间时注意端点的开闭：分母为 处取开，偶次根式被开方数为 处取闭。 【易错清单】 1．不要把"分母不为零"误写成"分母大于零"； 2．偶次根式要求被开方数大于或等于 ，奇次根式对自变量没有限制； 3．解答题忘写定义域是最常见的失分点，凡涉及函数都要先交代定义域。 考点2 函数的表示、分段函数与解析式 知识点3 函数的表示法与分段函数 函数的三种表示方法：解析法（用式子表示对应关系）、列表法（用表格列出对应值）、图象法（用图形表示对应关系）。三种方法各有优劣，解题时常需互相转化。 分段函数：在定义域的不同子集上用不同的解析式表示的函数。分段函数是一个函数，不是几个函数，它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 求分段函数的函数值时，先判断自变量落在哪一段，再代入该段的解析式；若已知函数值求自变量，则对各段分别列方程求解，最后必须检验所得解是否落在所设的那一段内。 【方法技巧】 1．分段函数求值"由内到外"：先算内层函数值，再把它作为自变量代入外层，每一步都重新判断落段； 2．已知 求 ，按段列方程，解得的 必须满足该段的取值范围，不满足的舍去； 3．画分段函数图象时注意端点的空心圈（不含）与实心点（含）。 【易错清单】 1．把分段函数当成两个函数，写定义域时错误地分段罗列而忘记取并集； 2．由函数值求自变量时忘记回代检验，留下"段外解"； 3．求分段函数的值域时，忘记把各段值域合并后再检验端点是否取到。 知识点4 求函数解析式与值域 求解析式的常用方法有三个：① 换元法——已知 求 ，令 并反解出 ，代入得关于 的式子，再把 换成 ；② 配凑法——把 的右边配成关于 的式子，直接读出 ；③ 方程组法——当 与 （或 ）同时出现时，用代换构造方程组，消元求 。 求值域的基础方法：配方法（二次型）、换元法（含根式）、分离常数法（形如 ）、单调性法。 分离常数法：，值域由分母部分 的取值范围确定。 【方法技巧】 1．换元法必须写出新元 的取值范围，它就是新函数的定义域； 2．配凑法适合 这类"整体结构"的题目，配的过程要保证恒等变形； 3．方程组法代换时"变量整体替换"：把式子中的 全换成 ，不要漏项。 【易错清单】 1．换元后忘记写新元的取值范围，导致定义域出错； 2．用配方法求值域时只看顶点，忘记定义域限制，把区间最值算错； 3．分离常数时符号写错，例如 ，常数是 而不是 。 【题型1 函数的概念与同一函数的判定】 【例1】下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】C 【解题思路】判断同一函数按"两看"：先看定义域是否相同，再看对应关系化简后是否一致，两项都满足才是同一函数。 【解答过程】A中 ，与 的对应关系不同；B中 的定义域为 ，与 的定义域 不同；D中 的定义域为 ，与 的定义域 不同；C中两者定义域都是 ，对应关系都是"平方"，是同一函数。故选C。 【方法点睛】判断同一函数"两看"，缺一不可。特别是根式化简：，只有当 时才等于 ，这是命题人最爱的陷阱。 【变式1-1】下列函数中，与函数 表示同一函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逐一检查定义域与对应关系。 【解答过程】A的定义域为 ，与 不同；C的定义域为 ，与 不同；D中 ，对应关系不同；B中 ，定义域为 ，对应关系也相同。故选B。 【变式1-2】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则这样的函数共有（　　） A．4个　B．6个　C．8个　D．9个 【答案】C 【解题思路】函数要求"每个自变量都有唯一确定的函数值"，对定义域中每个元素分别数出可选的函数值个数，再相乘。 【解答过程】自变量 ，， 各有 或 两种取法，且每个自变量都必须取到一个值，所以共有 个函数。故选C。 【方法点睛】计数型函数题抓住两点：定义域中每个元素都要有值（不能空），且只能有一个值（不能一对多）。 【变式1-3】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】抽象函数定义域问题：括号内整体 必须落在 的定义域 内。 【解答过程】由题意 ，解得 ，即 。故 的定义域为 。故选B。 【方法点睛】"括号里装的东西取值范围相同"是抽象函数定义域题的通法：无论括号里是 还是 ，它的范围都由外层函数的定义域决定。 【题型2 求函数的定义域】 【例2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】按"分母不为零、偶次根式被开方数非负"列出条件，取交集。 【解答过程】由题意需同时满足 且 ，解得 且 ，故定义域为 。故选B。 【方法点睛】定义域"三查"：分母、偶次根式、对数；几个条件一定取交集。写区间时""要拆成 与 两段。 【变式2-1】函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】根式与分式的限制分别列出，取交集。 【解答过程】由 得 ；由 得 。取交集得 且 ，即 。 【变式2-2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】根式在分母上时，被开方数必须"大于 "而不是"大于或等于 "。 【解答过程】要使解析式有意义，需 且 ，即 ，解得 。故定义域为 。故选B。 【方法点睛】根式在分母上，等号要去掉： 要求 。 【变式2-3】已知函数 ，则函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】括号内的整体 要落在 的定义域 内。 【解答过程】由 知 的定义域为 ，所以 ，解得 。故定义域为 。 【题型3 分段函数求值与求参数】 【例3】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分段函数求值"由内到外"：先算 ，再把结果作为自变量代入。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故选A。 【方法点睛】分段函数求值的关键是"每算一步都要重新判断自变量落在哪一段"，切忌凭第一次的判断一路算到底。 【变式3-1】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】按 落在哪一段分别列方程，解出后逐一检验是否满足该段的取值范围。 【解答过程】当 时，，得 ，但 ，不符合该段，舍去；当 时，，得 或 ，其中 不符合该段，舍去，所以 。故选A。 【方法点睛】"解完代回检验"是分段函数求参数题的保命步骤，漏掉检验就会把多余的解留下。 【变式3-2】已知函数 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由内到外逐层求值。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 【变式3-3】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先求内层 ，判断结果落在哪一段，再代入外层解析式。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故选B。 【方法点睛】内层结果即使"很大"，也要先看它落在哪一段再算，不能想当然地继续用第一段的式子。 【题型4 求函数的解析式】 【例4】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】配凑法：把右边的式子配成关于 的形式，整体替换。 【解答过程】因为 ，所以 ，把 换成 ，得 。故选B。 【方法点睛】已知 求 ：优先配凑，配不动再换元。配凑法是恒等变形，不受新元范围的干扰，因此更安全。 【变式4-1】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】换元法：令 ，反解出 再代入。 【解答过程】令 ，则 ，代入得 ，所以 。故选A。 【变式4-2】已知函数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】方程组法：把式子中的 换成 得到第二个方程，两式消去 。 【解答过程】已知 …①，把 换成 得 …②。将②代入①：，所以 ，即 。故选A。 【方法点睛】方程组法的固定动作：用 （或 ）整体代换原式，得到新方程后与原来的方程联立消元。 【变式4-3】已知函数 满足 （），则 ____________。 【答案】 【解题思路】方程组法：把 换成 构造第二个方程。 【解答过程】已知 …①，把 换成 得 …②。由②得 ，代入①：，即 ，所以 ，解得 。 【方法点睛】代换时"整体换、处处换"：原式中每一个 都要换成 ，漏一处方程组就解不出来。 【题型5 函数的图象与值域】 【例5】已知函数 ，则 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】分段函数的值域等于各段值域的并集，逐段求范围再合并。 【解答过程】当 时，，该段值域为 ；当 时，，该段值域为 。取并集得 。故选C。 【方法点睛】分段函数求值域：分段求、最后并。端点处"取不取得到"由该段自变量的开闭决定，是最容易出错的地方。 【变式5-1】函数 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】绝对值函数的最值可用"零点分段"讨论，也可用绝对值的几何意义（数轴上两点距离之和）。 【解答过程】方法一（几何意义）： 表示数轴上点 到 与 的距离之和，当 在 与 之间时取得最小值 。故选C。 【方法点睛】形如 的函数，最小值就是 ，在 上取到。 【变式5-2】函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方法：先看对称轴是否落在给定区间内，再比较顶点值与两个端点值。 【解答过程】配方得 ，对称轴 落在 内，所以最小值在 处取得，；端点处 时 ， 时 ，所以最大值为 。故值域为 。故选A。 【方法点睛】二次函数在闭区间上求值域，一定先判断"轴在不在区间内"，再比较端点值，不能只写顶点。 【变式5-3】已知函数 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】分别求各段的最大值，再比较取最大者。 【解答过程】当 时，，当 时取得最大值 ；当 时，，取不到 。所以 的最大值为 。故选B。 【方法点睛】分段函数求最值：各段分别求最值（注意能否取到等号），最后取最大（小）者。 【题型6 函数值的整体代换与求值】 【例6】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由函数值反求自变量：列方程解出即可。 【解答过程】由 ，解得 。故选B。 【方法点睛】已知 的解析式求 ，就是把 整体代入 的表达式中的 。 【变式6-1】已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先算内层，再代入外层。 【解答过程】，所以 。 【变式6-2】已知函数 对任意实数 ， 都满足 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先用赋值法求出 ，再利用 建立联系。 【解答过程】令 ，得 ，所以 。令 ，，得 ，即 ，所以 。 【方法点睛】抽象函数求值常用"赋值法"：优先赋 、赋相反数、赋 等特殊值，把隐含条件挖出来。 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】令 反解出 ，直接代入右边，不必先求 的解析式。 【解答过程】令 ，得 ，代入右边得 。故选C。 【方法点睛】已知 求某个具体的函数值，用"整体代换"比先求解析式快得多。 一、单选题 1．（★）已知函数 ，当 时， 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】直接把 代入解析式。 【解答过程】把 代入 ，得 。故选C。 2．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】偶次根式要求被开方数不小于 。 【解答过程】由 得 ，故定义域为 。故选A。 3．（★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入求值。 【解答过程】。故选B。 4．（★）下列函数中，与函数 表示同一函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】比较定义域与对应关系。 【解答过程】A的定义域为 ；B的定义域为 ；D中 与 的对应关系不同；C中 ，定义域为 ，是同一函数。故选C。 5．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】分式的分母不为零。 【解答过程】由 得 ，故定义域为 。故选B。 6．（★★）已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】分段函数求值，先判断自变量落在哪一段。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。所以 。故选B。 7．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配凑法或换元法，把右边配成关于 的式子。 【解答过程】令 ，则 ，代入得，所以 。故选A。 8．（★★）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】括号内的整体 要落在 内。 【解答过程】由 ，解得 ，故定义域为 。故选C。 二、多选题 9．（★）下列关于函数的说法中，正确的是（　　） A．函数的三要素是定义域、对应关系、值域　B．定义域与对应关系确定后，值域随之确定　C．两个函数的定义域与对应关系都相同，则它们是同一函数　D．一个自变量可以同时对应两个函数值 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照函数的定义与三要素判断。 【解答过程】由函数的概念，A、B、C均正确；函数的定义要求"唯一确定"，一个自变量只能对应一个函数值，D错误。故选ABC。 10．（★）下列函数的定义域为 的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ACD 【解题思路】逐一检查是否存在分母为零或偶次根式被开方数为负等限制。 【解答过程】A是整式，定义域为 ；B中需 ，定义域不是 ；C中 恒成立，定义域为 ；D中 恒成立，定义域为 。故选ACD。 11．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．若 ，则 或 　D． 的值域为 【答案】ABD 【解题思路】逐项按分段函数的求值规则与值域求法判断。 【解答过程】A中 ，，正确；B中 ，，正确；C中当 时 得 ，不满足 ，舍去；当 时 得 ，符合，所以只有 ，错误；D中当 时 ；当 时 ，两段值域并为 ，正确。故选ABD。 三、填空题 12．（★）已知函数 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】代入计算，注意负号的平方。 【解答过程】。 13．（★★）已知函数 ，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】按段列方程，解完必须检验是否落在该段内。 【解答过程】当 时，，得 或 ，其中 不满足 ，舍去， 符合；当 时，，得 ，不满足 ，舍去。综上 。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】根式与分式的限制分别列出，取交集并写成区间。 【解答过程】由 得 ；由 得 。取交集得 且 ，即 。 四、解答题 15．（★）已知函数 。 (1) 求 与 ； (2) 求 在区间 上的值域。 【答案】(1) ，； (2) 值域为 。 【解题思路】(1) 直接代入；(2) 配方后判断对称轴是否落在区间内，再比较端点值。 【解答过程】(1) ；。 (2) 配方得 ，对称轴 落在 内，所以 ；又 ，，所以 。故 在 上的值域为 。 16．（★）求下列函数的定义域： (1) ； (2) 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】逐个限制条件列出，取交集。 【解答过程】(1) 需 且 ，即 且 ，故定义域为 。 (2) 需 且 ，即 且 ，故定义域为 。 17．（★★）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式。 【答案】 或 。 【解题思路】设 （），代入复合条件得到关于 ， 的方程组。 【解答过程】设 （），则。由 得 且 。当 时，，得 ，此时 ；当 时，，得 ，此时 。综上， 或 。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 若 ，求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 由内到外逐层判断落段；(2) 分三段列方程并检验。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 (2) 当 时，，得 ，不满足 ，舍去；当 时，，得 或 ，均不满足 ，舍去；当 时，，得 ，满足 。综上 。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 与 ； (2) 判断 在 上的单调性，并求 的值域。 【答案】(1) ，； (2) 在 上单调递减，值域为 。 【解题思路】先用分离常数法把 化为 ，再借助"分母越大、分式越小"判断单调性与值域。 【解答过程】(1) ；。 (2) 分离常数：。当 时， 且随 增大而增大，所以 随 增大而减小，故 在 上单调递减。又 ，所以 ，从而 ，当 趋近于 和 时分别可接近 和 （取不到），故值域为 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.1 函数的概念及其表示　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $