第03讲 幂函数与二次函数（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按定义、图象、性质到综合应用的逻辑梳理知识脉络，通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题训练及分层练习等环节，帮助学生系统构建知识框架，突破单调性、奇偶性等难点。 资料以“题型技巧+分层突破”为特色，在题型破译中归纳幂函数大小比较的“中间变量法”等解题策略，结合真题溯源培养学生数学思维与应用意识。设置基础演练与重难创新练习，助力学生高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第03讲 幂函数与二次函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 幂函数的定义及一般形式 知识点2 幂函数的图象和性质 知识点3 幂函数的奇偶性 知识点4 二次函数及其性质 题型破译 (含超链接） 题型1 幂函数的图象【含方法技巧】 题型2 幂函数的单调性与奇偶性【含方法技巧】 题型3 利用幂函数单调性进行大小比较【含方法技巧】 题型4 幂函数的综合应用【含方法技巧】 题型5 二次函数的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 幂函数与二次函数 T5（4分） —— —— 考情分析 高考中幂函数与二次函数是函数板块的基础内容，但北京卷近年较少单独设题，通常将其作为工具渗透于不等式、导数、实际应用等综合问题中。直接考查以选择题为主，难度较低，分值为4分左右。近三年考情显示，幂函数主要考查图象特征与基本性质（如奇偶性、单调性），二次函数则更多以隐含形式出现在方程根的分布、最值讨论或解析几何中，不单独成题。复习时需重视基础，但不必过度拔高。 复习目标 1.掌握幂函数的图象与性质，能根据指数判断函数的单调性、奇偶性及图象过定点。 2.掌握二次函数的三种表示法（一般式、顶点式、零点式），会求解析式。 3.熟练掌握二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调区间），会求闭区间上的最值（轴定区间定、轴动区间定）。 4.理解二次函数与二次方程、二次不等式的关系，能利用图象解决简单的根的分布问题。 5.体会幂函数与二次函数作为基本函数模型在综合问题中的应用，为后续学习导数、解析几何打好基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 自主检测“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 知识点2 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 自主检测1如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 自主检测2幂函数在上递增，则实数（    ） A． B． C．2 D．2或 知识点3 幂函数的奇偶性 自主检测已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 知识点4 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 自主检测已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 幂函数的图象 例1-1幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 例1-2在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 幂函数 的图象恒过定点 ，且当 时，图象还过定点 ；当 时，图象与坐标轴无交点。 1. 图象在第一象限内的特征与指数 密切相关： 当 时，函数在第一象限单调递增； 当 时，函数在第一象限单调递减。 当 时，图象下凸（凹函数）；当 时，图象上凸（凸函数）。 1. 熟记五个常用幂函数 、、、、 的图象，利用其对称性（奇偶性）可补全其他象限的图象。 【变式训练1-1】如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【变式训练1-2】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 题型2 幂函数的单调性与奇偶性 例1-1（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 例1-2（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 单调性：在区间 上： 若 ，则幂函数单调递增； 若 ，则幂函数单调递减； 若 ，则 （），无单调性。 1. 奇偶性（将 化为最简分数 ，其中 互质）： 若 为奇数，则定义域关于原点对称；此时若 为偶数，函数为偶函数；若 为奇数，函数为奇函数。 若 为偶数，则定义域为 ，函数为非奇非偶函数。 1. 研究幂函数的性质时，定义域优先，务必先根据指数 确定自变量的取值范围。 【变式训练1-1】若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【变式训练1-2】已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【变式训练1-3】已知幂函数为偶函数，则（    ） A．或2 B．2 C． D．1 【变式训练1-4】已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 题型3 利用幂函数单调性进行大小比较 例1-1设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 例1-2设，，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 同指数、异底数：利用幂函数 的单调性，直接根据底数的大小关系判断函数值的大小。 1. 同底数、异指数：利用幂函数图象在第一象限的变化规律（或转化为比较指数大小）进行判断。 1. 底数、指数均不同：引入中间变量（通常为 或 ），将要比较的各数分别与中间变量比较大小，从而确定最终的大小关系。 1. 比较前，需先将负指数幂化为正指数幂（取倒数），将根式化为分数指数幂，以便于观察底数和指数的特征。 【变式训练1-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型4 幂函数的综合应用 例1-1已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 例1-2已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 求参数：若函数为幂函数，则其解析式必须符合 的形式，即系数为 。据此建立方程（组）求出参数，并利用单调性或奇偶性条件进行检验。 1. 解不等式：利用幂函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系。转化时务必注意定义域的限制（如偶次根式要求被开方数非负，分母不为零）。 1. 数形结合：当幂函数与方程、不等式、零点问题结合时，常通过画出幂函数图象，利用交点位置或图象高低来直观求解参数范围或根的个数。 【变式训练1-1】已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【变式训练1-2】若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【变式训练1-3】幂函数没有零点，则函数恒过定点___________ 题型5 二次函数的综合应用 例1-1设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例1-2已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 配方法（抓顶点）：将一般式 （）配方为顶点式 ，可直接确定对称轴 和顶点坐标 ，开口方向由 的正负决定。 1. 区间最值问题（动轴定区间 / 定轴动区间）：核心是“讨论对称轴与给定区间的相对位置”。分三种情况：对称轴在区间左侧、在区间内部、在区间右侧，结合单调性确定最大值与最小值。 1. 根的分布（零点问题）：将一元二次方程的根转化为二次函数图象与 轴的交点问题。常从以下四个方面列不等式组：判别式 、对称轴 的位置、区间端点函数值的符号。 1. 恒成立与存在性问题： 不等式 在区间上恒成立，通常等价于 ； 不等式 恒成立，通常等价于 。 若二次项系数含参，需先讨论 与 两种情况。 1. 数形结合：二次函数图象是解决方程根的分布、不等式解集问题最直观的工具，应养成“遇二次、先画图”的解题习惯。 【变式训练1-1】已知关于的不等式，其中，且，若该不等式的解集为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练1-2】已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．32 D．36 【变式训练1-4】已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为 . 2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1），；（2），. 3．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 4．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明. 5．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比. （1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．4 3．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 5．若函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．已知二次函数在区间上是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 8．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 9．已知函数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．或3 C．3 D．1或 11．设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 12．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 13．当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 14．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 重难·创新演练 16．已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 17．【新考法】已知幂函数在区间上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 18．【新考法】若随正比且随反比，则下列何者必为常数？（　　） A． B． C． D． 19．已知幂函数的图象过点，设，，，则（   ）. A． B． C． D． 20．已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 21．已知幂函数在上单调递增，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．【新考法】已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 23．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 24．【新考法】已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 25．【新考法】已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 幂函数与二次函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 幂函数的定义及一般形式 知识点2 幂函数的图象和性质 知识点3 幂函数的奇偶性 知识点4 二次函数及其性质 题型破译 (含超链接） 题型1 幂函数的图象【含方法技巧】 题型2 幂函数的单调性与奇偶性【含方法技巧】 题型3 利用幂函数单调性进行大小比较【含方法技巧】 题型4 幂函数的综合应用【含方法技巧】 题型5 二次函数的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 幂函数与二次函数 T5（4分） —— —— 考情分析 高考中幂函数与二次函数是函数板块的基础内容，但北京卷近年较少单独设题，通常将其作为工具渗透于不等式、导数、实际应用等综合问题中。直接考查以选择题为主，难度较低，分值为4分左右。近三年考情显示，幂函数主要考查图象特征与基本性质（如奇偶性、单调性），二次函数则更多以隐含形式出现在方程根的分布、最值讨论或解析几何中，不单独成题。复习时需重视基础，但不必过度拔高。 复习目标 1.掌握幂函数的图象与性质，能根据指数判断函数的单调性、奇偶性及图象过定点。 2.掌握二次函数的三种表示法（一般式、顶点式、零点式），会求解析式。 3.熟练掌握二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调区间），会求闭区间上的最值（轴定区间定、轴动区间定）。 4.理解二次函数与二次方程、二次不等式的关系，能利用图象解决简单的根的分布问题。 5.体会幂函数与二次函数作为基本函数模型在综合问题中的应用，为后续学习导数、解析几何打好基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 自主检测“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 知识点2 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 自主检测1如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 自主检测2幂函数在上递增，则实数（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】由条件根据幂函数的定义可得，解方程求，判断函数的单调性，由此确定结论. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以不满足题意， 当时，在上递增，所以满足题意， 综上，实数， 故选：B. 知识点3 幂函数的奇偶性 自主检测已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值. 【详解】由题意，，即，解得或， 当时，是偶函数，满足题意， 当时，，，没有奇偶性，不合题意， 所以. 故选：C. 知识点4 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条 抛物线 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 自主检测已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件转化为函数在区间上单调，根据二次函数对称轴与区间的位置关系列不等式求解的取值范围． 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵对于任意，且，都有，即在区间上是单调函数， ∴或， ∴或，即实数的取值范围为． 故选：C． 题●型●破●译 题型1 幂函数的图象 例1-1幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 例1-2在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 方法技巧 1. 幂函数 的图象恒过定点 ，且当 时，图象还过定点 ；当 时，图象与坐标轴无交点。 1. 图象在第一象限内的特征与指数 密切相关： 当 时，函数在第一象限单调递增； 当 时，函数在第一象限单调递减。 当 时，图象下凸（凹函数）；当 时，图象上凸（凸函数）。 1. 熟记五个常用幂函数 、、、、 的图象，利用其对称性（奇偶性）可补全其他象限的图象。 【变式训练1-1】如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 【变式训练1-2】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【变式训练1-3】已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 题型2 幂函数的单调性与奇偶性 例1-1（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 例1-2（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 因为，且， 所以， 因为幂函数是实数集上的增函数， 所以由， 所以， 即，所以. 方法技巧 1. 单调性：在区间 上： 若 ，则幂函数单调递增； 若 ，则幂函数单调递减； 若 ，则 （），无单调性。 1. 奇偶性（将 化为最简分数 ，其中 互质）： 若 为奇数，则定义域关于原点对称；此时若 为偶数，函数为偶函数；若 为奇数，函数为奇函数。 若 为偶数，则定义域为 ，函数为非奇非偶函数。 1. 研究幂函数的性质时，定义域优先，务必先根据指数 确定自变量的取值范围。 【变式训练1-1】若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 【变式训练1-2】已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 【变式训练1-3】已知幂函数为偶函数，则（    ） A．或2 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为幂函数， 所以，解得或. 时，，不是偶函数，不合题意； 时，，是偶函数，符合题意. 故. 故选：B. 【变式训练1-4】已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得m，从而得解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为为偶函数，所以， 所以. 故选：B. 题型3 利用幂函数单调性进行大小比较 例1-1设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 例1-2设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 方法技巧 1. 同指数、异底数：利用幂函数 的单调性，直接根据底数的大小关系判断函数值的大小。 1. 同底数、异指数：利用幂函数图象在第一象限的变化规律（或转化为比较指数大小）进行判断。 1. 底数、指数均不同：引入中间变量（通常为 或 ），将要比较的各数分别与中间变量比较大小，从而确定最终的大小关系。 1. 比较前，需先将负指数幂化为正指数幂（取倒数），将根式化为分数指数幂，以便于观察底数和指数的特征。 【变式训练1-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 【变式训练1-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性判断的大小，根据指数函数和对数函数的单调性判断的大小，则结果可知. 【详解】因为，且在上单调递增，所以，所以， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，所以， 由上可知，， 故选：A. 【变式训练1-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 题型4 幂函数的综合应用 例1-1已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【答案】 【详解】因为函数在上是减函数，故，故， 当时，在上是减函数，因为它为奇函数，则在上也是减函数，不满足； 当时，在上是增函数，在上是减函数，满足题意. 例1-2已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 方法技巧 1. 求参数：若函数为幂函数，则其解析式必须符合 的形式，即系数为 。据此建立方程（组）求出参数，并利用单调性或奇偶性条件进行检验。 1. 解不等式：利用幂函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系。转化时务必注意定义域的限制（如偶次根式要求被开方数非负，分母不为零）。 1. 数形结合：当幂函数与方程、不等式、零点问题结合时，常通过画出幂函数图象，利用交点位置或图象高低来直观求解参数范围或根的个数。 【变式训练1-1】已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【分析】先统计集合A的元素总个数，再逐一判断每个元素作为幂指数时幂函数是否过点，统计符合条件的元素个数后用古典概型公式计算概率. 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 【变式训练1-2】若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 【变式训练1-3】幂函数没有零点，则函数恒过定点___________ 【答案】 【分析】根据幂函数系数为求出的值，代入判断函数恒过的定点. 【详解】因为是幂函数，所以系数， 即，化简得，解得或， 当时，指数，幂函数为， 定义域为，函数值恒不为，没有零点，符合题意， 当时，指数，幂函数为，有零点，不符合题意，故， 则函数，令，即， 此时，所以恒过定点. 故答案为： 题型5 二次函数的综合应用 例1-1设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，分离参数得，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以，， , 因为， 所以在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，有最小值1， 故的最大值为2，所以. 故选：D. 例1-2已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 方法技巧 1. 配方法（抓顶点）：将一般式 （）配方为顶点式 ，可直接确定对称轴 和顶点坐标 ，开口方向由 的正负决定。 1. 区间最值问题（动轴定区间 / 定轴动区间）：核心是“讨论对称轴与给定区间的相对位置”。分三种情况：对称轴在区间左侧、在区间内部、在区间右侧，结合单调性确定最大值与最小值。 1. 根的分布（零点问题）：将一元二次方程的根转化为二次函数图象与 轴的交点问题。常从以下四个方面列不等式组：判别式 、对称轴 的位置、区间端点函数值的符号。 1. 恒成立与存在性问题： 不等式 在区间上恒成立，通常等价于 ； 不等式 恒成立，通常等价于 。 若二次项系数含参，需先讨论 与 两种情况。 1. 数形结合：二次函数图象是解决方程根的分布、不等式解集问题最直观的工具，应养成“遇二次、先画图”的解题习惯。 【变式训练1-1】已知关于的不等式，其中，且，若该不等式的解集为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】令，分类讨论，作出函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】令 要使不等式的解集为， 当时，如图1，故解得； 当时，如图2，无法满足的解集为，故舍去. 故选：A. 【变式训练1-2】已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】    如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 【变式训练1-3】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．32 D．36 【答案】D 【分析】利用数形结合思想来求双变量的最大值即可. 【详解】由函数，若对任意的，不等式恒成立， 作出两个二次函数图象和动直线， 利用数形结合分析： 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大， 此时直线过点A作函数的切线，不妨设切点为， 则求导可得，所以过切点的切线方程为：， 当切线过点时，有，解得或， 因为，所以此时满足题意，故切线方程为：， 此时，故， 故选：D. 【点睛】方法点睛：运用数形结合思想，可以作出两个二次函数，在共同的定义域内的部分图象，再作出一次函数直线介于两图象之间，从而分析斜率达到最小，轴截距达到最大的位置，通过图形可得过点A作函数的切线即可满足题意. 【变式训练1-4】已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为 . 【答案】 【详解】由题意可设，函数图象过点 即， . 故答案为：. 2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1），；（2），. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）设，则在R上为增函数. ，. （2）设，则在上为减函数， ，. 【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题. 3．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析 【详解】解： 的图象如图所示，    设 的定义域为R. ， 为偶函数. 当时，为增函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且 即. 在上为增函数. 当时，为减函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且，即. 在上是减函数. 【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题. 4．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明. 【答案】图像见解析，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析 【详解】解：. 列表： x … -3 -2 -1 1 2 3 … … 1 1 … 描点，连线.图象如图所示.      定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数. 证明如下：设任意的，且.则. . ，即，在上是增函数. 设任意的，且，则. ， ，即. 在上是减函数. 是偶函数. 【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题． 5．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比. （1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1））设比例系数为，由题意可得：． （2）代入可得． （3）利用（2）的表达式即可得出． 【详解】解：（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为. （2）将与代入中，有.解得， 所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为. （3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为. 【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式，再求解集合，最后应用交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 2．已知幂函数是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入函数解析式验证函数奇偶性可确定结果 【详解】由题意得，∴或， 当时，是偶函数；当时，是奇函数. 故选：D. 3．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 4．以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 5．若函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可. 【详解】注意到方程有两个解，方程的其中一个解为0，故只可能，所以，故， 故选：A. 6．已知二次函数在区间上是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的性质计算可得. 【详解】由题意可得二次函数的开口向上，对称轴， 因为二次函数在区间上是增函数， 所以. 故选：A. 7．设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 因为在上单调递增，且， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 综上可得函数是奇函数，且在单调递增． 故选：A． 8．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 9．已知函数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 当时，因为，均在上单调递增， 所以在上单调递增，又为连续函数， 所以在上单调递增， 不等式，即，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 10．已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．或3 C．3 D．1或 【答案】C 【分析】根据幂函数的知识求得正确答案. 【详解】是幂函数，所以， 解得或， 当时，，定义域是，不符合题意. 当时，，定义域是，符合题意. 故选：C 11．设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将函数化为根式，即可得到其定义域，再结合幂函数的单调性即可求出其值域，进而即可得到答案． 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． 12．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 13．当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，此时为开口向上的二次函数，其对称轴为. 由题意知：，解得. 故选：C. 14．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使得二次函数在上单调，则二次函数对称轴在3的左侧或4的右侧（包含端点），据此作答即可． 【详解】二次函数的对称轴为， 要使二次函数在上单调， 则或， 即或， 故选：B． 15．已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，由此对进行分类讨论，从而确定正确答案. 【详解】由题知是的两个实数根，可得， 解得，所以. 当时，，故A符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上， 由，解得或， 所以，的零点为0和，且，故B符合题意，而C不符合； 当时，二次函数的图象开口向下， 的零点为0和，且，故D符合题意. 故选：C. 重难·创新演练 16．已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 17．【新考法】已知幂函数在区间上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【分析】首先根据幂函数的定义和单调性求出，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知，解得，则，， 因为， 所以， 所以，即. 故选：A 18．【新考法】若随正比且随反比，则下列何者必为常数？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正反比例函数的概念列出表达式，然后进行化简进行判断即可. 【详解】因为随正比且随反比，所以， 化简得，等式两边平方得， 所以，因为为常数，所以为常数，所以为常数. 故选：C. 19．已知幂函数的图象过点，设，，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 则，， 根据指数函数单调性知，即， 由上知幂函数的解析式为，函数为上的单调递增函数， 又，所以，即. 故选：B. 20．已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 易知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 21．已知幂函数在上单调递增，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得，则， 显然该函数为偶函数，所以， 因为，所以， 又在上单调递增，又，所以， 所以 由函数在上单调递增， 则，即． 22．【新考法】已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质结合古典概型求，，代入条件概率公式运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 对于事件“函数是幂函数”，可知， 则，可得， 对于事件“幂函数在上单调递增”，则， 则，可得， 所以. 23．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 24．【新考法】已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 25．【新考法】已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $