第2章 2.1 函数的概念及其表示（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章 函数 [复习策略一教师专享] 1.全面系统复习，深刻理解知识本质 联系，要善于从函数的角度理解方程和不等式问 (1)重视函数的概念和性质的理解：深刻把握函数的 题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数问 定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念.研究 题.函数与其他知识的交汇是高考命题的热点，数 函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注 学思想是灵魂 意函数图象的作用. (1)数形结合思想：函数的图象为解决与函数有关的 (2)重视对基本初等函数的研究：基本初等函数（一次 问题提供了有利的图形保障，研究函数的性质、方 函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数、幂 程的根的个数、不等式的解集等问题，往往用到数 函数与分段函数等)是考查知识的常见载体.复习 形结合思想 时通过选择题和填空题加以训练和巩固，注意将 (2)函数与方程思想：方程f(x)=0的解就是函数 问题和方法进行归纳、整理， y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数y= (3)重视幂的运算性质、对数的运算性质及其应用. f(x)也可以看作方程f(x)一y=0,通过方程进行 2.熟练掌握解决以下问题的方法规律 研究.函数与不等式的相互转化：对函数y= (1)函数图象的确定与应用问题. f(x),当y>0时，就转化为f(x)>0,借助函数的 (2)函数性质（单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、 图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质 零点)的确定与应用问题. 3.重视思想方法的应用 也离不开不等式. 函数问题中蕴含着十分丰富的数学思想方法，这也 (3)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问 是高考重视函数考查的一个重要原因.函数、方程、 题、不等式问题转化为函数的单调性、最值等 不等式之间有着密切的联系，在复习时要关注这种 问题. §2.1 函数的概念及其表示 ★[考试要求] 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图 象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 复盘>必备知识 学生用书P17 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 4.分段函数 1.函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A 而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在 段函数 集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 知识拓展用活 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个 y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素 交点 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域 2.在函数的定义中，非空数集A,B,A即为函数的定 (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 义域，值域为B的子集 致，则这两个函数为同一个函数 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函 3.函数的表示法 数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法。 集，值域等于各段函数的值域的并集 ·21 高考总复习数学 自主诊断查验 3 2x-3≥0→x≥ 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） 解析：D [由函数的性质得 x-2≠0 x≠2 (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数 是同一个函数， (×) (2)函数y=f(x)的图象可以是一条封闭曲线. (×) fx+2),x<1. (3)y=x°与y=1是同一个函数. (×) 3.已知函数f(x)= 则f0)= x2-1x≥1. 1,x≥0， (4)函数f(x) 的定义域为R (/) A.0 B.3 C.8 D.15 ,x<0 解析：B[由题知f(0)=f(2)=22-1=3.] 2.函数f(x)=√2x-3+2的定义域为 4.若f(W元十1)=x-1,则f(x)= 解析：令√元十1=t,则x=(t-1)2,t≥1，于是有 J(2,十o∞) f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t>1,所以f(x)=x2- c[2] D,2U2,+∞) 2x,x≥1. 答案：x2-2x,x≥1 跃升>关键能力 学生用书P18 核心考点分类突破 题型1 函数的概念 又函数g(x)= f(x-卫有意义，所以x-3>0,即 [例1] Va-3 (1)汇多选]下列说法正确的有 A.式子y-√x-1十√一x+2可表示y关于x的函数 x>3 B.函数y=-f(x)的图象与直线x=1的交点最多有 所以函数g(x)= f(x-1的定义域为(3,4) 1个 √x-3 C.丽数f(x)={+4,x≤0 [答案](3,4) {2-4,>0,则ff0)]=4 规律方法 D.f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数 函数的含义及判断两个函数相同的方法 [解析]对于A,由y=√x-1十√一x十2有意义 (1)函数的含义 可得，1≥0 {-x+2≥0所以1<r≤2， ①A,B是非空的实数集. ②函数只要求第一个集合A中的每个元素在 又对于任意的x∈[1,2]，存在唯一的y与之对应， 第二个集合B中有且只有一个元素与之对应； 所以A正确； 至于B中的元素在集合A中有无元素与之对 对于B,由函数的定义，在定义域内的每一个x,有 应，有几个元素与之对应却无所谓 且只有一个y与之对应， ③只有深刻理解函数的概念才能在解决此类问 所以函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多 题时游刃有余. 有1个，故B正确； (2)判断两个函数相同的方法 ①构成函数的三要素中，定义域和对应关系相 对于C,f(x)= +4,r≤0 (x-4,x>0 同，则值域一定相同. 故f(0)=4,f[f(0)]=f(4)=4-4=0,故C ②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同 错误； 时，才是相同函数. 对于D,函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t有相 跟踪训练 同的定义域与对应关系，故这两个函数是同一个函 数，故D正确. 1函数f)）=是+一的定义城是 [答案]ABD A.x<1且x≠0 B.x≤1且x≠0 (2)已知函数f(x)的定义域为(1,3)，则函数g(x) C.(-∞，0)U(0,1] D.(-∞，0)U(0,1) fx-一1)的定义域为 Va-3 解析：C[周为f)=士十-，则{≥0 x≠0 [解析]因为f(x)的定义域为(1,3)， 解得x≤1且x≠0， 所以f(x-1)满足1<x-1<3,即2<x<4, 所以函数f(x)的定义域是(-∞，0)U(0,1].] ·22· 第二章函数 2.[多选]下列命题正确的是 规律方法 A.y=√x2与y=x不是同一个函数 函数解析式的求法 B.y=√一x2-2x十3的值域为(-o∞，2] (1)待定系数法：已知函数的类型，可用待定系 数法 C.函数y=x十√x-1的值域为[0，十o∞) (2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用 D.若函数f(x+1)的定义域为[1,4]，则函数f(x) 换元法，此时要注意新元的取值范围。 的定义域为[2,5] 解析：AD[对于A,y=√x,y=x的定义域为 8)消去法：已知关于x)与()（或f(-x》 R,y=√=|x|与y=x对应法则不相同， 的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个 等式，两等式组成方程组，通过解方程组求 故y=√与y=x不是同一个函数，A正确； 出f(x) 对于By=√-x-2.x十3，由-x2-2x十3≥0，可 (4)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将 得-3≤x≤1， F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替 又-x2-2x十3=-(x十1)2+4，当x=-1时， x2-2x十3取到最大值4， 代g（(x),便得f(x)的解析式. 跟踪训练 故y=√一x-2.x十3的值域为[0,2]，故B错误； 1.[多选]下列命题中正确的有 () 对于C,函数y=x十√x-1的定义域为[1，十∞)， A.若一次函数f(x)满足f(f(x)=4x十3，则函 且单调递增，此时√x-1≥0， 数f(x)的解析式为f(.x)=2x+1 故函数y=x十√x-1的值域为[1，十o∞)，C错误； B.若f(3)=x2+4x,则函数f(x)的定义域为(0，十∞) 对于D,函数f(x十1)的定义域为[1,4]，即1≤x≤ 4,则2≤x十1≤5， C若f(-)是则函数f)的解析式为 即函数f(x)的定义域为[2,5]，D正确.] f(x)=x3+3x 题型2 函数的解析式 D.若函数fx)满足关系式f(x)+2f(日) 3.x [例2]已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式. 则f(x)=2-x (1)f(Wx-1)=x-2√x; (2)f(.x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等实 解析：BCD[对于A,设f(x)=kx十b, 根，且f(x)=2x十2； 则f(f(x)=k(k.x十b)十b=k2x十kb十b, (3)满足2f)+f()=3a-1, 因为ff)=4+3,所以=4， Rkb+b=3, [解](1)方法一（配凑法）：x-2√无=(W(-1)2-1, .f((-1)=(W(-1)2-1,x≥0，∴Wx-1≥-1. .f(x)=x2-1(x≥-1). 故函数f(x)的解析式为f(x)=2.x十1或f(x)= 方法二（换元法）：设u=√G-1,则√(=u十1(u≥-1)， 2x-3,A错误；对于B,令t=3,则x=1ogt(t>0), .f(u)=(u十1)2-2(u十1)=w2-1(u≥-1)， 则f(t)=(1og,t)2+4log,t,t>0,故函数的定义域为 即f(x)=x2-1(x≥-1). 0,+).B正确：对于Cf(c-)=2- (2)(待定系数法)设f(x)=a.x2+b.x十c(a≠0)， 则f'(x)=2ax+b=2x+2, (-)+1+)-(-I-)+ .a=1,b=2,.f(x)=x2+2x+c. 又，方程f(x)=0有两个相等实根， 且x一 的取位范周是R, ∴.△=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1. 所以f(x)=x(x2十3)=x3+3.x,C正确；对于D, (3(构造法)已知2f)+f（)3x-1,0 由f)+2r()=3释f2)+2r)=是 以工代替①中的x(.x≠0)， 联立解得f)=是-x,D正确] 得2()+fx)=-1. 2.已知函数f(.x)是一次函数，若f(f(x))=4x十8， 则f(x)= ①X2-②，得3f(x)=6x-3-1, 解析：（待定系数法）设f(x)=ax十b(a≠0)，则 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a'x+ab+ b,又f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4.x+8, ·23· 高考总复习数学 即a'-4, a=2, 或所以f(x) 对于B,易知画数f(x)=十工的定义战为 解得 2a 1ab+b=8, 0b= 3 1b=-8, (-∞，0)U(0,∞)， =2z+号我fa)=-2红-8. 当x∈(-0,0)时，fx)=+=0: 2x 答案：2x十号或-2-8 当x∈(0，+oo)时，fx)=十=1： 3.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)= 即函教f(x)=十工的值城为{0,1，所以B 2()-1.则r) 2x 正确； 解析：（解方程组法）在f)=2f()·反-1中，将 对于C,若x∈Q,则-x∈Q,则D(x)=D(-x) =1, 若x∈CQ,则-x∈CRQ,则D(x)=D(-x)=0, 综上可得：D(x)=D(一x),故C错误； r=2()F-1. 对于D,当x∈Q时，x+1∈Q,此时D(x+1)= D(x)=1; 当x度Q时，x十1Q,此时D(x+1)=D(x)=0, 所以D正确. 解得f(x)= +号 [答案]ABD 答案：号+日 规律方法 分段函数求值问题的解题思路 题型3 分段函数 (1)求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到 外依次求值， [例3] (1)[多选]已知函数f(x)= (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定 x十2，x≤-1 {z,-1<x<2 则关于函数f(x)的结论正确的是 义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切 记要代入检验. ( A.f(.x)的定义域为R 跟踪训练 B.f(x)的值域为(-o∞，4) (2x,x≥0 1.已知分段函数f(x) C.f(1)=3 x-2,x<0f(m)=4, D.若f(x)=1,则x的值为士1 则实数m= [解析]由题意知函数f(x)的定义域为(-∞，2)， A.2 B.-2或3 故A错误； C.-2或2 D.-2或2或3 当x≤-1时，f(x)的取值范围是(-o∞，1]，当-1 解析：C[当m≥0时，f(m)=2m=4,解得m=2; <x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的 当m<0时，f(m)=m2-m-2=4,解得n=3(舍) 值域为（一∞，4），故B正确； 或m=-2, 当x=1时，f(1)=12=1,故C错误； 所以m=2或-2.] 当x≤-1时，f(x)=x十2=1→x=-1,当-1<x 2.函数f(x)= (2.x+4V3-x,x≤3 的值域为 <2时，f(x)=x2=1→x=1,故D正确. -2.x+4Vx-3+12,x>3 [答案]BD (2)[多选]函数D(x)= ,x∈0称为狄利克雷函 A.(-∞，8] B.(-∞，6] 10,xQ, C.[2,+o∞) D.[4,+o∞) 数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是( 解析：A[当x≤3时，设t=√3-x,t≥0，则x A.D(D(2)=D(D(W2)) =3-t2, B.D(x)的值域与函数f(x)=)十的值域相同 f(x)=g(t)=2(3-t2)十4t=-2(t-1)2+8, 2x 因t≥0，则f(x)=g(t)≤8； C.D(x)≠D(-x) D.对任意实数x,都有D(x十1)=D(x) 当x>3时，设u=√x-3,u>0,则x=u2+3, f(x)=h(u)=-2(2+3)+4u+12=-2(u-1)2+8 [解析]对于A,根据狄利克雷函数定义可知 因u>0,则f(x)=h(u)≤8. D(D(2)=D(1)=1,D(D(√2)=D(0)=1,即A 综上，函数f(x)的值域为(-∞，8].] 正确； ·24·