第1节　函数的概念及其表示（ 讲义）-2027年高考数学一轮复习

第1节　函数的概念及其表示 　1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.　2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.　3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数的概念及其表示 (1)函数的概念 (2)函数的表示法:表示函数的常用方法有___________、图象法和列表法. (3)同一个函数:如果两个函数的___________相同,并且___________完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. |微点拨| 若两个函数的值域与对应关系相同,这两个函数不一定是同一个函数,如:y=x2(x≥0)与y=x2. 2.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的______取值区间,有着不同的___________,这样的函数叫做分段函数. |微点拨| 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 3.复合函数 对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的___________,记作y=f(g(x)). |微点拨| 函数f(g(x))的定义域是x的取值范围,而不是g(x)的取值范围. 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中,非空实数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f(x)=+是一个函数.( ) (2)函数就是定义域到值域的对应关系.( ) (3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.( ) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.( ) 2.(人教A版必修第一册例题改编)下列各组函数是同一个函数的为(　　) A.f(x)=x-1,g(x)= B.f(x)=,g(x)=x C.f(x)=,g(x)=x D.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1 3.(北师大版必修第一册例题改编)函数y=+的定义域为　　　　.  4.(苏教版必修第一册习题改编)已知函数f(x)=则f(f(-3))=　　　　.  考点一　函数的概念 例1 (1)(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)=-的定义域为[0,+∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y=与函数y=x-1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 课堂笔记： (2)①若函数y=f(x)的定义域是[0,2 026],则函数g(x)=的定义域为　　　　.  ②若函数f(x-1)的定义域为[0,2 026],则函数g(x)=的定义域为　　　　.  课堂笔记： 1.函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求:①A,B是非空的实数集;②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 2.求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 1.函数f(x)=+ln(x-1)的定义域为(　　) A.(1,+∞) B.(1,2)∪(2,+∞) C.(-∞,1) D.(0,2)∪(2,+∞) 2.若函数f(x)=的定义域为[3,+∞),则实数a=　　　　,实数b的取值范围为　　　　.  考点二　函数的解析式 例2 (1)(一题多解)已知f(x)满足f(-1)=x-2,求f(x)的解析式. (2)已知f(x)是二次函数,f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=3,求f(x)的解析式. (3)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 函数解析式的求法 1.配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. 2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 3.换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. 4.方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 3.已知一次函数f(x)满足2f(x)+f(x+1)=9x+6,则f(4)=(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 4.已知f(1-sin x)=cos2x,则f(x)=　　　　.  5.已知f(x)满足f(x)-2f=2x,则f(x)=　　　　.  考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 例3 (1)(2026·广东茂名模拟)已知函数f(x)=则f(-1)+f(1)=(　　) A. B.3 C. D. 课堂笔记： (2)(2026·湖北武汉调研)已知f(x)=则f=(　　) A.2 B. C. D.1 课堂笔记： 角度2　分段函数与方程、不等式 例4 (1)已知函数f(x)=若f(a)=f(a+2),则f=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 课堂笔记： (2)设函数f(x)=使得f(a)≥4a的a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1)∪(1,4) C.[1,+∞) D.(1,4)∪(4,+∞) 课堂笔记： 分段函数相关问题的解题思路 1.求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. 6.(多选)已知函数f(x)=则(　　) A.f(f())=3 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞) D.若∀x∈R,a>f(x),则a≥3 1.函数f(x)=+的定义域是(　　) A.{x|x≥-4} B.{x|x≠1} C.{x|x≥-4,且x≠1} D.{x|x>-4,且x≠1} 2.已知函数f(x)=则f(f(-2))=(　　) A.-2 B.4 C.-8 D.8 3.已知函数f(x)=若f(27)=3f(a),则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知f(x2-1)=x4-1,则f(x)=(　　) A.x2-2x(x∈R) B.x2-2x(x≥-1) C.x2+2x(x∈R) D.x2+2x(x≥-1) 5.已知一次函数f(x)满足f(2x-1)+f(x+1)=2(x-3),则(　　) A.f(x)=x-3 B.f(x)=x-3 C.f(x)=x+3 D.f(x)=x+3 6.已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3],则y=的定义域是(　　) A.[-2,5] B.(-2,3] C.[-1,3] D.(-2,5] 7.已知函数f(x)=若f(f(a))=2,则a等于(　　) A.0或1 B.-1或1 C.0或-2 D.-2或-1 8.已知f(x)=实数a满足f(a)<f(-a),则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,0)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞) 9.(多选)已知函数f(x)=x+,g(x)=则下列选项正确的有(　　) A.f(g(2))=2 B.g(f(1))=1 C.f(g(-1))=2 D.g(f(-1))= 10.(多选)(2026·山东泰安模拟)已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),且f(+1)=x+2,则(　　) A.f(x)=x2+1(x≥1) B.f(x)的值域为[0,+∞) C.f(2x-3)的定义域为[2,+∞) D.f的值域为(0,+∞) 11.已知函数f(x)=的定义域是R,则m的取值范围是　　　　.  12.设函数f(x)=若f(1)=2f(0),则实数a可以为　　　　.(只需写出满足题意的一个数值即可)  13.(多选)具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数满足“倒负”变换的是(　　) A.f(x)=x- B.f(x)=x+ C.f(x)= D.f(x)=-x3+ 14.(2026·四川德阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则 f(2 026)=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第1节　函数的概念及其表示 　1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.　2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.　3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数的概念及其表示 (1)函数的概念 (2)函数的表示法:表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. (3)同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. |微点拨| 若两个函数的值域与对应关系相同,这两个函数不一定是同一个函数,如:y=x2(x≥0)与y=x2. 2.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数. |微点拨| 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 3.复合函数 对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). |微点拨| 函数f(g(x))的定义域是x的取值范围,而不是g(x)的取值范围. 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中,非空实数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f(x)=+是一个函数.(×) (2)函数就是定义域到值域的对应关系.(×) (3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.(×) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.(×) 2.(人教A版必修第一册例题改编)下列各组函数是同一个函数的为(　　) A.f(x)=x-1,g(x)= B.f(x)=,g(x)=x C.f(x)=,g(x)=x D.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1 解析　D　对于A,因为f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},所以两函数的定义域不相同,所以这两个函数不是同一个函数,故A错误;对于B,f(x),g(x)的定义域都为R,因为f(x)==|x|≠g(x),所以这两个函数不是同一个函数,故B错误;对于C,f(x),g(x)的定义域都为{x|x≤0},因为f(x)==|x|=-x≠g(x),所以这两个函数不是同一个函数,故C错误;对于D,因为f(x),g(s)的定义域都为R,且对应关系相同,所以f(x),g(s)是同一个函数,故D正确. 3.(北师大版必修第一册例题改编)函数y=+的定义域为　　　　.  答案　[-3,0)∪(0,+∞) 解析　由解得 故函数的定义域为[-3,0)∪(0,+∞). 4.(苏教版必修第一册习题改编)已知函数f(x)=则f(f(-3))=　　　　.  答案　 解析　因为f(-3)==0, 所以f(f(-3))=f(0)=. 考点一　函数的概念 例1 (1)(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)=-的定义域为[0,+∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y=与函数y=x-1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 (2)①若函数y=f(x)的定义域是[0,2 026],则函数g(x)=的定义域为　　　　.  ②若函数f(x-1)的定义域为[0,2 026],则函数g(x)=的定义域为　　　　.  答案　(1)ABD　(2)①[-1,1)∪(1,2 025]　②[-2,1)∪(1,2 024] 解析　(1)对于A,由题意解得x≥0,故A正确; 对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,故B正确; 对于C,函数y=的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),函数y=x-1的定义域为R,故C错误; 对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,故D正确. (2)①要使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2 026,解得-1≤x≤2 025,故函数f(x+1)的定义域为[-1,2 025].所以函数g(x)有意义的条件是解得-1≤x≤2 025且x≠1.故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2 025]. ②由函数f(x-1)的定义域为[0,2 026], 得函数y=f(x)的定义域为[-1,2 025],则解得-2≤x≤2 024且x≠1. 所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2 024]. 1.函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求:①A,B是非空的实数集;②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 2.求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 1.函数f(x)=+ln(x-1)的定义域为(　　) A.(1,+∞) B.(1,2)∪(2,+∞) C.(-∞,1) D.(0,2)∪(2,+∞) 解析　B　因为f(x)=+ln(x-1), 所以要使函数有意义,则解得x>1且x≠2, 所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,+∞). 2.若函数f(x)=的定义域为[3,+∞),则实数a=　　　　,实数b的取值范围为　　　　.  答案　-3　(-∞,3) 解析　因为函数f(x)=的定义域为所以 而函数f(x)=的定义域为[3,+∞), 所以-a=3,b<3,即a=-3,实数b的取值范围为(-∞,3). 考点二　函数的解析式 例2 (1)(一题多解)已知f(x)满足f(-1)=x-2,求f(x)的解析式. (2)已知f(x)是二次函数,f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=3,求f(x)的解析式. (3)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 解　(1)法一(配凑法)　因为x-2=(-1)2-1,所以f(-1)=(-1)2-1, 因为x≥0,所以-1≥-1. 所以f(x)=x2-1(x≥-1). 法二(换元法)　设u=-1,则=u+1(u≥-1), 所以f(u)=(u+1)2-2(u+1)=u2-1(u≥-1),即f(x)=x2-1(x≥-1). (2)(待定系数法)因为f(x)是二次函数,所以可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x+1. 即2ax+a+b=2x+1,所以解得 又因为f(0)=3,所以c=3,所以f(x)=x2+3. (3)(方程组法)因为2f(x)+f(-x)=3x　①, 所以将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x　②, 由①②解得f(x)=3x. 函数解析式的求法 1.配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. 2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 3.换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. 4.方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 3.已知一次函数f(x)满足2f(x)+f(x+1)=9x+6,则f(4)=(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 解析　B　设f(x)=ax+b(a≠0),则2f(x)+f(x+1)=2ax+2b+a(x+1)+b=3ax+a+3b. 因为2f(x)+f(x+1)=9x+6,所以解得所以f(x)=3x+1,f(4)=13. 4.已知f(1-sin x)=cos2x,则f(x)=　　　　.  答案　2x-x2,x∈[0,2] 解析　(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. 5.已知f(x)满足f(x)-2f=2x,则f(x)=　　　　.  答案　--(x≠0) 解析　(方程组法)因为f(x)-2f=2x　①, 以代替①中的x,得f-2f(x)=　②, ①+②×2得-3f(x)=2x+, 所以f(x)=--(x≠0). 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 例3 (1)(2026·广东茂名模拟)已知函数f(x)=则f(-1)+f(1)=(　　) A. B.3 C. D. (2)(2026·湖北武汉调研)已知f(x)=则f=(　　) A.2 B. C. D.1 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)因为f(x)=所以f(1)=log39=2,f(-1)=3-1=, 所以f(-1)+f(1)=2+=. (2)函数f(x)=所以f=2f=2×=1. 角度2　分段函数与方程、不等式 例4 (1)已知函数f(x)=若f(a)=f(a+2),则f=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)设函数f(x)=使得f(a)≥4a的a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1)∪(1,4) C.[1,+∞) D.(1,4)∪(4,+∞) 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)当x≥2时,f(x)=-2x+8是减函数,可知当a≥2时,f(a)≠f(a+2), 所以0<a<2,则a+2>2, 由f(a)=f(a+2),得a2+a=-2(a+2)+8,解得a=1, 所以f=f(1)=2. (2)当a<1时,f(a)=(a+1)2≥4a,即(a-1)2≥0显然恒成立,所以a<1; 当a≥1时,f(a)=4-≥4a,解得a=1. 综上,a的取值范围是(-∞,1]. 分段函数相关问题的解题思路 1.求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. 6.(多选)已知函数f(x)=则(　　) A.f(f())=3 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞) D.若∀x∈R,a>f(x),则a≥3 解析　BCD　对于A,因为f()=-()2+3=0,所以f(f())=f(0)=2,故A错误;对于B,当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3;当x≥1时,由f(x)=-1,得-x2+3=-1,x2=4,解得x=2或x=-2(舍去),综上,x=2或x=-3,故B正确;对于C,当x<1时,由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0;当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,解得x>1,综上,f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故C正确;对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-∞,3),因为∀x∈R,a>f(x),所以a≥3,故D正确. 1.函数f(x)=+的定义域是(　　) A.{x|x≥-4} B.{x|x≠1} C.{x|x≥-4,且x≠1} D.{x|x>-4,且x≠1} 解析　C　由题意可得解得x≥-4且x≠1, 故f(x)的定义域为{x|x≥-4,且x≠1}. 2.已知函数f(x)=则f(f(-2))=(　　) A.-2 B.4 C.-8 D.8 解析　D　f(-2)=(-2)2=4, 所以f(f(-2))=f(4)=2×4=8. 3.已知函数f(x)=若f(27)=3f(a),则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　C　由f(27)=log327=3=3f(a)得f(a)=1, 当a>0时,由log3a=1解得a=3; 当a<0时,由a3=1解得a=1(舍), 综上a=3. 4.已知f(x2-1)=x4-1,则f(x)=(　　) A.x2-2x(x∈R) B.x2-2x(x≥-1) C.x2+2x(x∈R) D.x2+2x(x≥-1) 解析　D　因为f(x2-1)=x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x2-1)[(x2-1)+2],x2-1≥-1, 所以f(x)=x(x+2)=x2+2x(x≥-1). 5.已知一次函数f(x)满足f(2x-1)+f(x+1)=2(x-3),则(　　) A.f(x)=x-3 B.f(x)=x-3 C.f(x)=x+3 D.f(x)=x+3 解析　A　由f(x)为一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0), 依题意,a(2x-1)+b+a(x+1)+b=2x-6,整理得3ax+2b=2x-6, 因此解得a=,b=-3,所以f(x)=x-3. 6.已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3],则y=的定义域是(　　) A.[-2,5] B.(-2,3] C.[-1,3] D.(-2,5] 解析　D　因为函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3], 则-2≤x≤3,所以-5≤2x-1≤5, 所以函数y=f(x)的定义域为[-5,5]. 要使y=有意义,则需要解得-2<x≤5, 所以y=的定义域是(-2,5]. 7.已知函数f(x)=若f(f(a))=2,则a等于(　　) A.0或1 B.-1或1 C.0或-2 D.-2或-1 解析　D　令f(a)=t,则f(t)=2,可得t=0或t=1, 当t=0,即f(a)=0时,显然a≤0,因此a+2=0⇒a=-2, 当t=1,即f(a)=1时,显然a≤0,因此a+2=1⇒a=-1, 综上所述,a=-2或a=-1. 8.已知f(x)=实数a满足f(a)<f(-a),则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,0)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞) 解析　D　由题意可知,a≠0. 当a<0时,f(a)=a2+2a,f(-a)=-a2-2a, 所以由f(a)<f(-a)可得a2+2a<-a2-2a, 即a2+2a<0,解得-2<a<0; 当a>0时,f(a)=-a2+2a,f(-a)=a2-2a, 所以由f(a)<f(-a)可得-a2+2a<a2-2a,即a2-2a>0,解得a>2, 所以a的取值范围是(-2,0)∪(2,+∞). 9.(多选)已知函数f(x)=x+,g(x)=则下列选项正确的有(　　) A.f(g(2))=2 B.g(f(1))=1 C.f(g(-1))=2 D.g(f(-1))= 解析　ABD　由题意知g(2)=log22=1,f(g(2))=f(1)=2,故A正确;g(f(1))=g(2)=1,故B正确; f(g(-1))=f=+2=,故C错误;g(f(-1))=g(-2)=2-2=,故D正确. 10.(多选)(2026·山东泰安模拟)已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),且f(+1)=x+2,则(　　) A.f(x)=x2+1(x≥1) B.f(x)的值域为[0,+∞) C.f(2x-3)的定义域为[2,+∞) D.f的值域为(0,+∞) 解析　BC　对于A,法一　依题意,f(+1)=()2+2=(+1)2-1, 则f(x)=x2-1,x≥1,故A错误; 法二　设t=+1,则t≥1,且=t-1,则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 所以f(x)=x2-1,x≥1,故A错误; 对于B,当x≥1时,f(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立, 因此f(x)的值域为[0,+∞),故B正确; 对于C,在f(2x-3)中,令2x-3≥1,解得x≥2, 因此f(2x-3)的定义域为[2,+∞),故C正确; 对于D,显然f=-1,0<x≤1,于是∈[1,+∞), 因此f的值域为[0,+∞),故D错误. 11.已知函数f(x)=的定义域是R,则m的取值范围是　　　　.  答案　[0,4] 解析　因为函数f(x)=的定义域是R,所以不等式mx2+mx+1≥0对任意x∈R恒成立,当m=0时,1>0,对任意x∈R恒成立,符合题意;当m≠0时,即解得0<m≤4,综上,实数m的取值范围是[0,4]. 12.设函数f(x)=若f(1)=2f(0),则实数a可以为　　　　.(只需写出满足题意的一个数值即可)  答案　0(答案不唯一,满足a∈(-∞,1)即可) 解析　若a<0,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立; 若0≤a<1,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立; 若a≥1,则f(0)=1,f(1)=0,f(1)=2f(0)不成立. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1). 13.(多选)具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数满足“倒负”变换的是(　　) A.f(x)=x- B.f(x)=x+ C.f(x)= D.f(x)=-x3+ 解析　ACD　对于A,f=-x=-f(x),满足题意; 对于B,f=+x≠-f(x),不满足题意; 对于C,f=满足f=-f(x),满足题意; 对于D,f=-+x3,满足f=-f(x),满足题意. 14.(2026·四川德阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则f(2 026)=　　　　.  答案　2 027 解析　令x=y=0可得-2f(0)=-2,所以f(0)=1,再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)=y-2,即-f(y)-2f(-y)=y-3①, 将上式中的y全部换成-y可得-f(-y)-2f(y)=-y-3②, 联立①②可得f(y)=y+1,所以f(2 026)=2 026+1=2 027. 学科网（北京）股份有限公司 $