第六单元专项04 三角形的面积的认识及应用（典例专项训练）五年级数学上册典例专项精讲（人教版 新教材）

第六单元专项04 三角形的面积的认识及应用（典例专项训练） 一、选择题 1．我国古代数学著作《九章算术》中记载的三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高）。著名数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法加以说明，即将三角形转化成长方形。关于这种推导三角形面积的方法，下列说法错误的是（    ）。 A．三角形的底是长方形宽的2倍。 B．长方形的长等于三角形的高。 C．长方形的面积是三角形面积的2倍。 D．长方形的面积等于三角形的面积。 【答案】C 【分析】明确“以盈补虚”是面积不变，因此首先确定转化前后三角形和长方形的面积关系是相等关系。结合题干定义，确定“广”是三角形底、“从”是三角形高，结合图示半广是长方形的宽，从是长方形的长。逐一对应各选项描述，比对长方形和三角形的底、高、面积关系，判断正误。 【解答】A．图中明确标注长方形的宽是“半广”，也就是长方形的宽＝三角形底2，因此三角形的底是长方形宽的2倍，该说法正确。 B．图中标注的“从”是三角形的高，同时也是转化后长方形的长，该说法正确。 C．这个“以盈补虚”是把三角形的边角（盈）切割补到空白的虚位，全程没有增减面积，转化后的长方形和原三角形面积完全相等，因此“长方形面积是三角形2倍”的描述错误。 D．割补法的核心就是图形总面积不发生改变，补全的长方形和原三角形面积相等，该说法正确。 综上所述应选C。 2．一个三角形和一个平行四边形等底等高，平行四边形的面积比三角形的面积多16平方分米，这个三角形的面积是（    ）平方分米。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，二者的面积差正好等于三角形的面积。 【解答】把三角形面积看作1份，等底等高的平行四边形面积是2份。 （份） 1份对应的面积就是16平方分米，即三角形的面积是16平方分米。 3．一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底边也相等，已知平行四边形的高是9厘米，那么三角形的高是（    ）厘米。 A．4.5 B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】三角形面积公式为底×高÷2，平行四边形面积公式为底×高，二者面积、底都相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍，据此计算。 【解答】（厘米） 4．如图由5个面积为的正方形组成，图中阴影部分面积是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】面积为的正方形，边长是；看图可知，阴影部分是由两个三角形组成的，其中的一个三角形底是，高是，另一个三角形底是，高是；利用三角形的面积＝底×高÷2，分别计算出两个三角形的面积再相加即可。 【解答】 5．如图，一个长方形中，阴影部分的面积之和15，那么空白部分三角形的面积之和是（    ）。 A．12 B．15 C．18 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据“等底等高的三角形面积是长方形的一半”的性质，阴影部分两个三角形的底之和等于长方形的长，高等于长方形的宽；空白部分三角形的底之和也等于长方形的长，高等于长方形的宽；因此阴影部分面积和与空白部分面积和，都等于长方形面积的一半。 【解答】设长方形的长为a，宽为h，阴影部分两个三角形的底分别为a1，a2， 长方形面积为S＝a×h 阴影部分面积和 即等于长方形面积的一半。所以空白部分也等于长方形面积的一半。为15cm2。 6．如图，三角形甲的面积是16m2，则三角形甲乙面积和是（    ）m2。 A．32 B．48 C．64 D．96 【答案】B 【分析】三角形面积＝底×高÷2，根据甲的面积和底可计算出高，甲的高就是甲乙两个小三角形组成的大三角形的高，就可以再计算出大三角形的面积。 【解答】（8＋4）×（16×2÷4）÷2 ＝12×（32÷4）÷2 ＝12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（平方米） 三角形甲乙面积和是48平方米。 故答案为：B 7．从一张底是20cm、高是10cm的平行四边形纸上剪下一个最大的三角形，剩余部分的面积是（    ）。 A．100cm2 B．50cm2 C．40cm2 D．20cm2 【答案】A 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形纸上剪下一个最大的三角形，这个三角形与平行四边形等底等高，即这个三角形面积为平行四边形面积的一半，则剩余部分的面积也是平行四边形面积的一半。 【解答】20×10÷2＝100（cm²） 即剩余部分的面积是100cm2。 故答案为：A 二、填空题 8．一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等。如果平行四边形的高是14厘米，三角形的高就是（ ）厘米。 【答案】28 【分析】平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2。当面积相等、底相等时，三角形的高等于平行四边形高的2倍。 【解答】14×2＝28（厘米） 所以三角形的高就是28厘米。 9．一个平行四边形和一个三角形等底等高。若它们的面积之差是24平方厘米，则平行四边形的面积是（ ）平方厘米；若它们的面积之和是24平方厘米，则三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】48 8 【分析】平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积是与它等底等高三角形面积的2倍，把三角形面积看作1份，与它等底等高的平行四边形面积是2份。 面积差为2－1＝1份，即1份对应24平方厘米，用1份的面积乘2即可得到平行四边形的面积； 面积和为1＋2＝3份，即3份对应24平方厘米，算出1份的面积，即为三角形的面积。 【解答】平行四边形的面积： 24÷（2－1）×2 ＝24÷1×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 三角形的面积： 24÷（1＋2） ＝24÷3 ＝8（平方厘米） 10．有6cm、8cm、10cm和19cm的小棒各一根，从中选出三根，恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）cm2。 【答案】24 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三条边，选出能围成三角形的三根小棒；再利用直角三角形中斜边最长，判断直角边和斜边，最后利用直角三角形的面积＝两条直角边的积÷2，据此解答。 【解答】10＋8＝18＜19，6＋8＝14＞10，故可以围成直角三角形的是6cm、8cm、10cm的小棒，其中10cm最长为斜边，6cm、8cm为直角边。 故直角三角形的面积为： 6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 11．如图所示，ABCD是一块平行四边形菜地，面积为36平方米，陈伯伯想在图中阴影部分分别种上白菜、菠菜、油菜三种蔬菜。已知E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分菜地的面积为（ ）平方米。 【答案】22.5 【分析】△ADE、△CDF的底是平行四边形底的一半、高和平行四边形相同时，面积就是平行四边形的四分之一， △BEF的底和高都是平行四边形的一半时，面积就是平行四边形的八分之一。 【解答】△ADE面积：36÷4＝9（平方米） △CDF面积：36÷4＝9（平方米） △BEF面积：36÷8＝4.5（平方米） 阴影面积：9＋9＋4.5 ＝18＋4.5 ＝22.5（平方米） 12．店员将两个完全一样的直角三角形硬纸板，拼接成一个长方形礼盒的底面衬板。已知直角三角形两条直角边分别是30厘米和12厘米。现在要给150个这样的礼盒配上衬板，需要（ ）块这样的三角形硬纸板，至少需要准备（ ）平方厘米的硬纸板。 【答案】300 54000 【分析】两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形礼盒衬板，用150×2得到需要的三角形硬纸板数量，根据三角形面积＝底×高÷2，计算出每块硬纸板面积，乘硬纸板数量，即为需要准备的硬纸板面积。 【解答】150×2＝300（块） 30×12÷2×300＝54000（平方厘米） 13．为了美化校园，学校计划修建一个平行四边形花坛。测得花坛的底是12.5米，高是8米，它的面积是（ ）平方米。如果要在花坛里划出一个最大的三角形区域种月季，这个三角形的面积是（ ）平方米。 【答案】100 50 【分析】平行四边形面积＝底×高，把数据代入公式计算即可；平行四边形里最大的三角形与平行四边形等底等高，面积为平行四边形面积的一半，据此解答。 【解答】平行四边形面积： 12.5×8＝100（平方米） 三角形的面积： 100÷2＝50（平方米） 14．校园有一块正方形的空地，想栽种不同植物。有种设计方案如图：由中心的小正方形和四周4个完全相同的三角形组成了一个风车形状。若在4个三角形的空地上种月季花，面积是（ ）平方米。 【答案】96 【分析】观察图形可知，每个三角形的一条直角边是8米，另一条直角边是20－8－6＝6（米）。根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求出每个三角形的面积，再乘4即可求出种月季花的面积。 【解答】20－8－6＝6（米） 8×6÷2×4 ＝24×4 ＝96（平方米） 则面积是96平方米。 三、判断题 15．面积相等的两个三角形一定等底等高。（ ） 【答案】× 【分析】根据三角形的面积公式可知，三角形的面积取决于底和高的乘积。若两个三角形面积相等，说明它们的底与高的乘积相等，但底和高具体的数值不一定分别相等。因此可以通过举反例的方法来验证该说法是否正确。 【解答】三角形的面积＝底×高÷2 假设第一个三角形的底是4厘米，高是3厘米。 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 假设第二个三角形的底是6厘米，高是2厘米。 6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 这两个三角形的面积相等，但是底和高不相等。 所以面积相等的两个三角形不一定等底等高。 故答案为：× 16．一个三角形的面积是16cm2，它的底边是4cm，这个三角形的这条底上的高是8cm。（ ） 【答案】√ 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，求出高，再进行比较，即可解答。 【解答】16×2÷4 ＝32÷4 ＝8（cm） 一个三角形的面积是16cm2，它的底边是4cm，这个三角形的这条底上的高是8cm。 原题干说法正确。 故答案为：√ 17．下图梯形中，①②两个三角形面积相等。（ ） 【答案】√ 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，所以等底等高的三角形面积相等，①②两个三角形面积分别加上下面的空白三角形，构成了两个等底等高的三角形，据此分析。 【解答】因为①②两个三角形面积分别加上下面的空白三角形部分构成了两个等底等高的三角形，分别去掉下面的空白三角形部分，①②两个三角形面积也是相等的。 故答案为：√ 18．下图中6个相等正方形中三角形A的面积是4.5cm2，三角形A、B、C的总面积是13.5cm2。（ ） 【答案】× 【分析】三角形面积＝底×高÷2，等底等高的三角形，面积相等，看图可知，三角形A和B等底等高，面积相等；三角形C与三角形A的高相等，三角形C的底是三角形A的2倍，三角形A的面积×2＝三角形C的面积，据此将三角形A、B、C的面积相加即可。 【解答】4.5＋4.5＋4.5×2 ＝9＋9 ＝18（cm2） 三角形A、B、C的总面积是18cm2，原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 19．先说说每个三角形的底和高各是多少，再计算它们的面积。 【答案】底：10cm；高：8cm；面积：40cm2 底：9cm；高：12cm；面积：54cm2 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。先确定每个三角形的底和高，再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出每个三角形的面积。 【解答】 底是10cm，高是8cm。 面积：10×8÷2 ＝80÷2 ＝40（cm2） 底是9cm，高是12cm（答案不唯一） 面积：9×12÷2 ＝108÷2 ＝54（cm2） 五、解答题 20．同学们实地走访林地，了解自然资源规划情况。张爷爷家有一块面积3600平方米的三角形林地，因政府规划，这块林地被占用一部分（如下图）。如果被占用的林地每平方米补偿400元，那么张爷爷家可以得到多少元的补偿金？ 【答案】504000元 【分析】用原来三角形的面积（3600平方米）乘2除以原来三角形的底（120米），算得三角形的高，再用被占用地三角形的底（42米）乘算得的高除以2算得被占用地的面积，最后用每平方米补偿金额乘被占用地三角形的面积可算得张爷爷家得到的补偿金数量。 【解答】 （米） （平方米） （元） 答：张爷爷家可以得到504000元的补偿金。 21．一块三角形广告牌，底是10米，高是36分米。如果要给广告牌两面刷漆，每平方米用油漆0.74千克，那么刷这块广告牌需要多少千克油漆？ 【答案】 26.64千克 【分析】先统一长度单位，1米＝10分米，将分米换算为米，再根据三角形面积＝底×高÷2，求出单面广告牌的面积，乘2得到两面的总面积，最后用总面积乘每平方米需要的油漆质量，得到总油漆量。 【解答】（米） （千克） 答：刷这块广告牌需要26.64千克油漆。 22．香青菜是江苏省苏州市吴江区地方传统特色蔬菜品种，已有一百多年的栽培历史，这种菜口感柔软，清香醇正，营养丰富。李大爷家有一块三角形菜地，底是46米，高是20米，如果每平方米菜地收香青菜3千克，这块菜地可收香青菜多少千克？ 【答案】 1380千克 【分析】要计算总收成，先根据三角形面积公式求出菜地的面积，再用面积乘每平方米的香青菜产量。 【解答】 ＝920÷2 ＝460（平方米） （千克） 答：这块菜地可收香青菜1380千克。 23．如图，公路中间有一块三角形空地，现在要给这块空地铺草坪。铺1平方米草坪需要38元，铺满这块空地需要多少元？ 【答案】6080元 【分析】由图示可知，这块三角形空地是一个直角三角形，两条直角边长分别为16米、20米，根据三角形面积＝底×高÷2，先求出三角形空地的面积，然后再乘铺1平方米草坪需要的价钱，即为铺满这块空地需要的总价。 【解答】 ＝320÷2×38 ＝6080（元） 答：铺满这块空地需要6080元。 24．广告公司要制作一块广告牌，原定设计为一个底边5米的三角形，现根据需要将底边延长1米，面积比原来增加了1.5平方米。原来的广告牌版面面积是多少平方米？ 【答案】7.5平方米 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，高＝三角形的面积×2÷底；先根据增加部分的三角形面积是1.5平方米，底是1米，求出三角形的高；增加部分的三角形和三角形广告牌的高相等，根据三角形的面积计算公式，代入数据计算即可。 【解答】1.5×2÷1 ＝3÷1 ＝3（米） 5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方米） 答：原来的广告牌版面面积是7.5平方米。 25．顺德陈村是全国有名的花卉之乡，为研究优质的花卉新品种，李叔叔在一块三角形园地里做种植试验。已知这块三角形地的底为16米，高为8.5米，每平方米培育的花苗价格175元，李叔叔种植的这批花苗价值多少元？ 【答案】11900 元 【分析】首先根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出这块三角形园地的面积；然后根据“总价＝单价×数量”，用每平方米花苗的价格×园地的面积，即可求出这批花苗的总价值。 【解答】 （平方米） 175×68＝11900（元） 答：李叔叔种植的这批花苗价值11900元。 26．五（1）班的同学们在学校劳动小基地里，规划出两个相连的种植区（如图），平行四边形区域种白菜，三角形区域种萝卜。班级数学小组用卷尺丈量计算后，得出白菜的种植面积是7.8平方米。萝卜的种植面积是多少平方米？ 【答案】3.12平方米 【分析】平行四边形面积＝底×高，用平行四边形的面积除以底求出高，即为三角形的高；三角形面积＝底×高÷2，代入数值即可求出萝卜的种植面积。 【解答】7.8÷3＝2.6（米） 2.4×2.6÷2 ＝6.24÷2 ＝3.12（平方米） 答：萝卜的种植面积是3.12平方米。 27．红领巾是少先队员的象征。学校要为新入队的学生定制200条红领巾，已知每条红领巾的底是12分米，高是4分米。制作这些红领巾共需要多少平方米的布料？ 【答案】48平方米 【分析】三角形的面积＝底×高÷2。先求出三角形面积，将结果的单位平方分米换算成平方米，最后用每条红领巾布料乘200解答。 【解答】 （平方分米） 24平方分米＝24÷100＝0.24平方米 （平方米） 答：制作这些红领巾共需要48平方米的布料。 28．王大伯家有一块近似三角形的脐橙园，面积是480平方米，底是30米。 （1）王大伯想从点A安装一条水管到果园的底部，这条水管最短是多少米？先画一画，再解答。 （2）王大伯想扩大脐橙种植面积，他的果园旁有一块近似平行四边形的空地。经测量，这块空地底边长约48.6米，高约27米。每棵脐橙树占地约5平方米，这块地最多能种多少棵脐橙树？ 【答案】（1）；32米 （2）262棵 【分析】（1）两点之间垂线段最短，因此水管最短即为三角形的高的长度，从A点向底边作垂线即可；再根据三角形面积＝底×高÷2，得到高＝面积×2÷底，即可求出水管的长度。 （2）先按照平行四边形的面积＝底×高，求出这个平行四边形地的面积，再用这块地的面积除以每棵脐橙树占地面积，即可得到能种的橙树的棵数，棵数必须是整数，用“去尾法”取整。 【解答】（1）图略 480×2÷30 ＝960÷30 ＝32（米） 答：这条水管最短是32米。 （2）48.6×27＝1312.2（平方米） 1312.2÷5＝262.44（棵） 因为棵数必须是整数，最多能种262棵橙树。 答：这块地最多能种262棵脐橙树。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元专项04 三角形的面积的认识及应用（典例专项训练） 一、选择题 1．我国古代数学著作《九章算术》中记载的三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高）。著名数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法加以说明，即将三角形转化成长方形。关于这种推导三角形面积的方法，下列说法错误的是（    ）。 A．三角形的底是长方形宽的2倍。 B．长方形的长等于三角形的高。 C．长方形的面积是三角形面积的2倍。 D．长方形的面积等于三角形的面积。 2．一个三角形和一个平行四边形等底等高，平行四边形的面积比三角形的面积多16平方分米，这个三角形的面积是（    ）平方分米。 A．8 B．16 C．24 D．32 3．一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底边也相等，已知平行四边形的高是9厘米，那么三角形的高是（    ）厘米。 A．4.5 B．6 C．9 D．18 4．如图由5个面积为的正方形组成，图中阴影部分面积是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 5．如图，一个长方形中，阴影部分的面积之和15，那么空白部分三角形的面积之和是（    ）。 A．12 B．15 C．18 D．无法确定 6．如图，三角形甲的面积是16m2，则三角形甲乙面积和是（    ）m2。 A．32 B．48 C．64 D．96 7．从一张底是20cm、高是10cm的平行四边形纸上剪下一个最大的三角形，剩余部分的面积是（    ）。 A．100cm2 B．50cm2 C．40cm2 D．20cm2 二、填空题 8．一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等。如果平行四边形的高是14厘米，三角形的高就是（ ）厘米。 9．一个平行四边形和一个三角形等底等高。若它们的面积之差是24平方厘米，则平行四边形的面积是（ ）平方厘米；若它们的面积之和是24平方厘米，则三角形的面积是（ ）平方厘米。 10．有6cm、8cm、10cm和19cm的小棒各一根，从中选出三根，恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）cm2。 11．如图所示，ABCD是一块平行四边形菜地，面积为36平方米，陈伯伯想在图中阴影部分分别种上白菜、菠菜、油菜三种蔬菜。已知E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分菜地的面积为（ ）平方米。 12．店员将两个完全一样的直角三角形硬纸板，拼接成一个长方形礼盒的底面衬板。已知直角三角形两条直角边分别是30厘米和12厘米。现在要给150个这样的礼盒配上衬板，需要（ ）块这样的三角形硬纸板，至少需要准备（ ）平方厘米的硬纸板。 13．为了美化校园，学校计划修建一个平行四边形花坛。测得花坛的底是12.5米，高是8米，它的面积是（ ）平方米。如果要在花坛里划出一个最大的三角形区域种月季，这个三角形的面积是（ ）平方米。 14．校园有一块正方形的空地，想栽种不同植物。有种设计方案如图：由中心的小正方形和四周4个完全相同的三角形组成了一个风车形状。若在4个三角形的空地上种月季花，面积是（ ）平方米。 三、判断题 15．面积相等的两个三角形一定等底等高。（ ） 16．一个三角形的面积是16cm2，它的底边是4cm，这个三角形的这条底上的高是8cm。（ ） 17．下图梯形中，①②两个三角形面积相等。（ ） 18．下图中6个相等正方形中三角形A的面积是4.5cm2，三角形A、B、C的总面积是13.5cm2。（ ） 四、计算题 19．先说说每个三角形的底和高各是多少，再计算它们的面积。 五、解答题 20．同学们实地走访林地，了解自然资源规划情况。张爷爷家有一块面积3600平方米的三角形林地，因政府规划，这块林地被占用一部分（如下图）。如果被占用的林地每平方米补偿400元，那么张爷爷家可以得到多少元的补偿金？ 21．一块三角形广告牌，底是10米，高是36分米。如果要给广告牌两面刷漆，每平方米用油漆0.74千克，那么刷这块广告牌需要多少千克油漆？ 22．香青菜是江苏省苏州市吴江区地方传统特色蔬菜品种，已有一百多年的栽培历史，这种菜口感柔软，清香醇正，营养丰富。李大爷家有一块三角形菜地，底是46米，高是20米，如果每平方米菜地收香青菜3千克，这块菜地可收香青菜多少千克？ 23．如图，公路中间有一块三角形空地，现在要给这块空地铺草坪。铺1平方米草坪需要38元，铺满这块空地需要多少元？ 24．广告公司要制作一块广告牌，原定设计为一个底边5米的三角形，现根据需要将底边延长1米，面积比原来增加了1.5平方米。原来的广告牌版面面积是多少平方米？ 25．顺德陈村是全国有名的花卉之乡，为研究优质的花卉新品种，李叔叔在一块三角形园地里做种植试验。已知这块三角形地的底为16米，高为8.5米，每平方米培育的花苗价格175元，李叔叔种植的这批花苗价值多少元？ 26．五（1）班的同学们在学校劳动小基地里，规划出两个相连的种植区（如图），平行四边形区域种白菜，三角形区域种萝卜。班级数学小组用卷尺丈量计算后，得出白菜的种植面积是7.8平方米。萝卜的种植面积是多少平方米？ 27．红领巾是少先队员的象征。学校要为新入队的学生定制200条红领巾，已知每条红领巾的底是12分米，高是4分米。制作这些红领巾共需要多少平方米的布料？ 28．王大伯家有一块近似三角形的脐橙园，面积是480平方米，底是30米。 （1）王大伯想从点A安装一条水管到果园的底部，这条水管最短是多少米？先画一画，再解答。 （2）王大伯想扩大脐橙种植面积，他的果园旁有一块近似平行四边形的空地。经测量，这块空地底边长约48.6米，高约27米。每棵脐橙树占地约5平方米，这块地最多能种多少棵脐橙树？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $