北京市海淀区中国人民大学附属中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习2 2026.10 1. 本试卷共8页，共三道大愿，28道小愿，满分100分.考试时间110分钟 考 生 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 知 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答， 5.考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回。 一、 选择题（共16分，每愿2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标， 其中图案部分为中心对称图形的是 闺閨 五a 三年会师过 草纹 双向行军微 (A) (B) (c) (D) 2.将抛物线y=2x2向上平移1个单位后得到的抛物线的表达式为 (A)y=2(x+1)2 (B)y=2(x-1)2 CC)y=2x2+1 (D)y=2x2-1 3.1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速.如 图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙.该齿轮 绕其中心旋转一定角度α后能与自身重合，则α可以为 (A)30 (B)45 (c)60i (D)90 4.已知二次函数y=m2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正确 的是 c4)a>0,b>0,c>0,b2-4ac>0 (B)a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0 (c)a<0,b>0,c<0,b2-4ac<0 (D)a<0,b<0,c<0,b2-4ac>0 数学试卷第1页（共8页） 5.2026年9月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践.在小镇的AI产 业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术 突破，营业收入从2023年的1.59亿元快速增长至2025年的17.08亿元.设该企业营业收入 从2023年到2025年的年平均增长率为x，则下列所列方程正确的是 (A)1.590+x)=17.08 (B)1.590+x)2=17.08 (c)1.590+2x)=17.08 (D)1.59+1.590+x)+1.590+x)2=17.08 6.下表是代数式x2+12x的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程x2+12x=15的一个 正根x的判断正确的是 (A)<1.1 (B)L.l<x<1.2 1.1 1.2 13 1.4 (c)1.2<x<1.3 (D)1.3<x<1.4 x2+12x 14.41 15.84 17.29 18.76 7.清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶.技《西湖龙井茶手工炒制技术规程)，青锅的 每锅投叶量"根据手的大小和个人习惯堂握"，特级、一级鲜叶每锅100-150g,二级、三 级150-200g,辉锅每锅200-250g 某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手茸大小不同、习惯不同的师 傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如下表： 每锅投叶量x(克) 100 121 150 181 200 241 需要锅数y(锅) 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近 (A)正比例函数关系 (B)一次函数关系 (C)二次函数关系 (D)反比例函数关系 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点C是反比例函数y=(x>0)上一个动点，过点C作坐 y 标轴的垂线，x轴上的垂足为点A,y轴上的垂足为点B,函数y=二(x>O)的图象与线段AC 交于点M,与线段BC交于点N(M,N不重合)，连接OM,ON.将线段OM绕点O 逆时针旋转90'得到线段OMr,将线段ON绕点O逆时针旋转90'得到线段OW（点，N分 别是点M,N的对应点).给出下面四个结论： 数学试卷第2页（共8页） ⑧四边形OWCM的面积可能为3； ②△OMN可能是等边三角形： ③点M一定在反比例函数y=-二的图象上： ④连接点M、N、M、”所得到的四边形不可能是 平行四边形， 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)①③ R)②④ (C)②③ (D)③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9.在平面直角坐标系中，点(2,3)关于原点对称的点的坐标是 10.若关于x的一元二次方程x2+2x+m+3=0有两个相等的实根，则m的值为 11.如果关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m=0的两个根互为相反数，那么m的值为 12.为了让学生以更好的状态迎接体考，学校安排了模拟训练.小海参加了跳远测试，可以用二次 函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如 图)，若重心高度h(m)与起跳后时间1(S)的函数表 达式为h=4.512+2.71,当1=0.2,0.3,0.5时， 所对应的重心高度分别记为h,h2,乃，则h、乃，h的 大小关系为」 (用“<”连接) 13.我国南未时期数学家条九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学 家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即S=√p(p-a(p-b)(p-c),其中a,b,c表 示三角形的三条边长，p=0+b+C.现有某社区计划用一段长为16m的篱笆围成一个三角形 2 的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为6m,则围成的三角形绿化区域面积最大为 _m2. 14.老北京的胡同里曾经水井遍布一‘王府井”、“三眼井胡同“这些地名，都是从水井来的.井 口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些一这不是为了好看，而 是为了省力、提水时，手在摇柄上施加的力F(单位：N)与摇柄的长度L(单位：m)成反 数学试卷第3页（共8页） 比例，其图象如图所示.若把这副辘轳的摇柄长度增大到0.6，提起同一桶水所施加的力是 N F/N 60- 50 0 P04,30 30 20 10 m 02 06 】 2 14题图 15题图 3 15.如图，正方形MBCD与正方形4BG边长分别为1和，一开始边AB落在边4G上，将正方 形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为a(30°≤a≤150)，在旋转过程中，连接BG,GE, ED,DB,四边形BGED面积的最大值是一 3 16.若正比例函数y=女的图象与反比例函数y=二的图象交于点A(,y),B(32,y2),且与一 次函数y=x-2的图象交于点C(,为)，若，<为<为，记1=，+名+为，则1的取值范 围是 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25题 7分，第26题6分，第27-28题，每题7分) 0,X 17.解方程：x2-4x=5. 18.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接 BO,PB,PC. (1)猜想线段CP与BQ之间的数量关系，并说明理由： (2)若AP=6,BP=8,CP=10,直接写出四边形PBQ的面积 数学试卷第4页（共8页) 19.已知m是方程x2+x-5=0的一个根，求代数式(m+1)2+(m+2)(m-2)的值， 20.如图，已知二次函数y=-(x-h)'+k（h,k为常数)的图象经过点A(-1,0),B(3,0). (1)h=,k= (2)根据图象，当-1<x<2时，y的取值范围是 (3)当0<y<3时，x的取值范围是 21.已知关于x的一元二次方程x2-4x+4-m2=0. (1)求证：不论m为任何实数，方程总有实数根： (2)若方程两根均不小于1，求实数m的取值范围 22.如图，在平面直角坐标系中，R△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2), P(a,0) （1)若a=0时， ①画出△ABC以点P为对称中心的图形△ABC,: ②若直线I平分四边形BABA的面积，写一个直线1 的表达式 (2)点M(-2,0),△M4M的面积为S,若 0<S≤4，则a的取值范围为 23.学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出.开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正 方形方阵.随若音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学 迅速调整站位，组成一个长方形方阵.已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2 倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5.演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成 一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于】且不相等）.问这个计划能否实现？若能，求出 长方形方阵每行和每列的人数：若不能，说明理由， 数学试卷第5页（共8页） 24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a22-c(a≠0)经过点A(-1,m)和点B(3,n).记 h=n-m. (1)若h=0,求a的值： (2)h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值，若不存在，说明理由， 2。小车在课后探究学习中通到个面数)一宁+，类比二次函数和反比例届数对共进行探充 21 请回答下列问题： 8 (1)函数y=二x+ 2 的自变量x的取值范围是 (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： 1 2 4 8 2 2 257 257 17 17 257 m 2 4 2 8 64 … ①m的值为 ②小李用软件画出了该函数在x>0时的图象，请在平面直角坐标系xOy中补全该函数的图象： ③)直接写出方程x+之=x的根： (4)当x>0时，对于x的每一个值， 次函数y=a(k≠0)的值都小于函 1 数y=x+ 8的值则k的取值范 围是 数学试卷第6页（共8页） 26.在平面直角坐标系xOy中，点M为直线y=m-1(a>0)上的一动点，抛物线C: y=m2+br+c的顶点为M,点M的横坐标为1. (1)若1=1，则点M的坐标 (用含a的式子表示)： 抛物线C的表达式 (用含a的式子表示)： (2)当1<1<2时，抛物线C均不经原点O,求a的取值范围. 27.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=a(45S<a<90),以AB为腰构造等腰直 角三角形ABD,∠DAB=90°，AD=AB,在AB的延长线上取点P,使得∠ADP=a. D 图1 图2 (1)如图1，若a=60°，用等式表示AC与AP的数量关系，并证明： (2)如图2，延长AD至E,使得AE=V2AC,过E作DB的平行线交DP于点F,过E作 DB的垂线交PD的延长线于点G,下面有三个结论，其中所有正确结论的序号是 并对你选择的正确结论加以证明. ①AEFG的周长不变： ②线段DE与GF的长度和不变： ③△EFG的面积不变 数学试卷第7页（共8页） 28.对于给定的不重合的两个点B,C,存在点A,T,T,,S,使得点T绕点A旋转 a(0°<a<180)得到点T,,点B绕点S旋转B(0°<B<180)得到点C(AB,C不共 线)，连接BC,BC的中点为K,若T,T,S,K四点共线，且点S怡为TT的中点，则 称点A为点B,C的旋心，点S为点AB,.C的转心 在平面直角坐标系xOy中， (1)如图1，B(2,2),C(-2,2),点B,C的旋心为点A(-1,0).则点AB,C的转心的 坐标为 (2)如图2，E(2,0),当点E,F的族心为点D(-L,1)时，若点D,E,F的转心落在线段 OD上（不包含端点），直接写出点F横坐标∫的取值范围 (3)已知OM=3,ON=t,点P,2均为点M,N的旋心，点P'、O'分别为点P,M,N 和点OM,N的转心，点P,2关于原点对称，且PQ=1,若存在点M,N,P, 2,使得△OP'Q'为直角三角形，直接写出1的取值范围 2 D A E 图1 图2 数学试卷第8页（共8页） 2026-2027学年度第一学期切三年级数学练习2参考答案 一、选择题（共16分，每题2分） 题 号 1 2 3 4 5 7 8 答 案 D C C B B B D D 二、填空题（共16分，每题2分） 9.(-2,-3): 10.-2: 11.-1: 12.h<h<h: 13.12: 14.20: 16.-1<t<0或2<1<3.（答对其中一段，且无错误答案，给1分） 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25题7分，第 26题6分，第27-28题，每题7分) 17.解：x2-4x=5. x2-4x+4=5+4. …1分 (x-2)2=9, …2分 x-2=±3. …3分 .x=5,x2=-1. ……5分 18.（1)AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ B ∴.∠PAQ=60°且AP=Ag …l分 ,△ABC为等边三角形 .∠BAC=60°且AB=AC 又∠PAQ=∠PAB+∠QAB,∠BAC=∠PAB+∠PAC ∠QAB=∠PAC… …2分 ,∴.△PAC=△QAB(SAS) ∴.CP=BQ …3分 (2)24+9√5 …5分 19.,m是方程x2+x-5=0的一个根 .m2+m=5…1分 (m+1)2+(m+2)(m-2)=m2+2m+1+m2-4 …3分 =2m2+2m-3 ……… …4分 当m2+m=5时，原式=2(m2+m)-3=2×5-3=7 …5分 20.(1)1:4 …2分 (2)0<y≤4 (端点与不等号须同时正确，对1个得1分)…4分 (3)-1<x<0或2<x<3 …6分 21.(1)证明：△=42-4(4-m2) .e.......................................... …1分 =4m2≥0 ∴.方程总有实数根。 …2分 (2)解：方程可化为[x-(2+m)][x-(2-m)]=0, 解得x=2+m,x2=2-m. …4分 两根均不小于1， :2+m≥1 2-m≥1 .-1≤m≤1 …5分 22.（1)①如图…2分（画对1个顶点，给1分） ②y=x（过原点的直线均可) …3分 (2)-4≤a<-2或-2<a≤0…5分 23.解：设原正方形队列每行x人，总人数x2人，7名同学出列后有 (x2-7)人，出列后其余同学组成的长方形队列每列(2x-3)人， 每行(x-5)人，列方程得 …1分 B (2x-3)x-5)=x2-7 …3分 .x=11,x2=2(舍) ……4分 ∴.总人数为121人，不能分解成两个大于1的不等正整数相乘，即这个计划不能实现…5分 2 24.解：（1)x= b ∴抛物线对称轴为直线x= 1 …1分 2a 2a ,h=0且h=n-m .n=m 又抛物线y=a2x2-ax(a≠0)经过点A(-l,m)和点B(3,n) x=-1与x=3关于直线x= 对称 1=-1+3 a= …2分 2a 2a2 (2)当x=-1时，y=a2+a:当x=3时，y=9a2-3a .h=n-m .h=(9a2-3a)-(a2+a)=8a2-4a …3分 :h是关于a的二次函数，且开口向上，对称轴为直线a=(满足a≠0的条件)， 小当a=时，h有最小值- 1 …5分 4 25.(1)x≠0 …1分 (2)0-17 …2分 2 ②如图 …3分（关于原点中心对称) (3)x=2,x2=-2 …5分（对1个，给1分） (4)k<0或0<ks …7分 2 26.(1)M(1,a-1);y=a(x-1)2+a-1 …2分 (2)M(t,at-1):y=a(x-t)2+at-1 当x=0时，y=at2+at-1即抛物线过(0，at2+at-1) …3分 记c=ar+a-l,即c是关于1的二次函数，且开口向上，对称轴为直线1=- 1>时，c随：的增大面增大 …4分 又当t=1时，c=2a-1:t=2时，c=6a-1 .当1<t<2时，2a-1<c<6a-1 .当1<t<2时，抛物线C均不经原点O∴.当1<t<2时，c≠0即c>0或c<0 ∴.2a-1≥0或6a-1≤0 :a20<a≤名 …6分 2 3 27.（1)AP=2AC,证明如下：…1分 过点A作AC⊥DP于点C',又∠C=90° ∴.∠C=∠ACD=90° ,△ABD为等腰直角三角形.AB=AD 又∠ADP=∠ABC=a .∴.△ADC'兰△ABC(AAS)…2分 .AC=AC' a=60 ∴.在Rt△ADP,∠P=90°-∠ADP=30° ∴.在Rt△ACP中，AP=2AC'=2AC3分 H (2)①：证明如下： …4分 过点A作AC'⊥DP于点C',过点A作EF的 垂线交EF的延长线于点H,过点A作EG的垂 线交EG的延长线于点H',连接AG,AF 由(1)得，△ADC'兰△ABC(AAS)∴.AC=AC …5分 ,DB‖EF∴.∠AEH=∠ADB=45即△AEH为等腰直角三角形 .AE=√2AH,又AE=N2AC.AH=AC=AC, 又∠H=∠AC'F=90°且AF=AF ∴.Rt△AFC'兰Rt△AFH(HL)∴.FC'=FH 同理Rt△AGC'兰RtAAGH'(HL).∴.GC'=GH' 又∠H=∠H'=∠HEH'=90°∴.四边形AHEH'为矩形 又AH'=AH=AC'∴.矩形AHEH'为正方形∴.EH=EH'=AH=AC=AC=1 CAEFG=EF+EG+GF=EF+EG+C'G+C'F …7分 =EF+EG+FH+GH'=EH+EH'=2AC=2 28.（1)(0,0): …2分 (2)-2<f<0: …4分 (3)2≤t<3或3<t≤4 …7分