5.4.2二次函数与一元二次方程 第2课时课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版【新教材】九年级数学上册 第五章 二次函数 授课教师： 5.4 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 1.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用。 3.在解题过程中，加深对二次函数与一元二次方程的理解，提高综合运用所学知识的能力与逻辑思维能力。 【第一环节】创设情景，设疑激趣 温故知新 二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系. 二次函数y＝ax2＋bx＋c 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 函数图象 与x轴的交点情况 方程的根 根的判别式 两个交点 两个不相等的实数根x1，x2 Δ=b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ=b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 Δ=b2-4ac < 0 【第一环节】创设情景，设疑激趣 问题导入 上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象求一元二次方程的根的近似值呢？ 【第二环节】合作探究，获取新知 探究： 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? 如图是函数y=x²+2x-10的图象。 由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间， 另一个在2和3之间。 如何确定它们的十分位？ 本书规定:用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位. 【第二环节】合作探究，获取新知 (1)先求-5和-4之间的根。如图，利用计算器进行探索： x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? 因此，x=-4.3是方程的一个近似根。 (2)另一个根可以类似地求出： x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=2.3是方程的另一个近似根。 取x=-4.3作为方程的近似 根而不是x=-4.4，是因为当x=-4.3时，其函数值 更接近0。 【第二环节】合作探究，获取新知 用一元二次方程的求根公式验证一下,看是否有相同的结果. 解:x2+2x-10=0, x2+2x=10, 配方得,(x+1)2=11, 解得x1=-1+≈-1+3.3=2.3;x2=-1-≈-1-3.3=-4.3. 利用一元二次方程的求根公式验证. 【第二环节】合作探究，获取新知 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤: ①作出二次函数 y=ax2+bx+c的图象，观察图象,判断方程的根的大致范围; ②准确估算自变量多取一位小数到十分位的若干函数值并列表比较; ③由表格确定一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根。 整理提炼 【第二环节】合作探究，获取新知 如何利用如右图所示的二次函数图象求一元二次方程 x2 +2x-10=3 的近似根？ y=x2+2x-13 变式： x2 +2x-10=3 x2 +2x-13=0 由图象可知一元二次方程x2 +2x-13=0 有两个根，一个根在-5和-4之间， 另一个根在2和3之间． 【第二环节】合作探究，获取新知 ①求出-5和-4之间的根，利用计算器进行探索： x … -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 … x2+2x-13 … 1.21 0.44 -0.31 -1.04 … 因此，x=-4.7是方程的一个近似根． ②求2和3之间的根，利用计算器进行探索： x … 2.5 2.6 2.7 2.8 … x2+2x-13 … -1.75 -1.04 -0.31 0.44 … 因此，x=2.7是方程的另一个近似根． 【第二环节】合作探究，获取新知 如何利用如右图所示的二次函数图象求一元二次方程 x2 +2x-10=3 的近似根？ y = 3 还可以怎么理解？ y = x2 + 2x -10 和直线 y = 3 交点的横坐标就是方程 x2 + 2x -10 = 3 的根 【第三环节】运用新知，深化理解 1.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来. 练一练： 解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值. 当y=1时，x2+7x+9=1， ∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈-5.6或-1.4， ∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为 x1≈-5.6，x2≈-1.4． 【第二环节】合作探究，获取新知 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的一般方法： ①直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. ②先将一元二次方程变形为 ax2+bx=-c，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c；两图象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0 的根. 整理提炼 一次函数与二元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系，这两者在研究内容和研究方法方面有什么异同? 共性： 一次函数与二元一次方程、二次函数与一元二次方程的关系，本质上都是函数与方程的统一性。 ①可以用函数图象直观理解方程解的存在性、个数、位置； ②可以通过代数计算(解方程)确定函数图象上点的精确坐标。 ③两者都体现了数形结合的思想。 整理提炼 【第二环节】合作探究，获取新知 一次函数与二元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系，这两者在研究内容和研究方法方面有什么异同? 不同： 一次函数通过变形可以表示成二元一次方程，解有无数组，对应了图象上的无数个点的坐标。 二次函数是在y取特殊值0时得到对应的一元二次方程，解的个数既可以通过函数图象与x轴交点个数分析，也可以通过方程根的判别式分析，解对应的是函数图象与x轴的交点横坐标。 整理提炼 【第二环节】合作探究，获取新知 例： .根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 C 【第三环节】运用新知，深化理解 练一练： C 2.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是(　 　) x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.06 A .6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 【第三环节】运用新知，深化理解 练一练： 3.借助二次函数y=2x2-3x-1的图象,可求出下面哪个方程的近似根(　　) A.x2+5x-1=0 　　　　　　 B.x2+3x-1=0 C.2x2-3x+5=6 　　　　　　D.x2+5x=0 C 【第三环节】运用新知，深化理解 练一练 4.（教材练习）利用如图所示的二次函数图象求 一元二次方程-2x²+4x+1=0的近似根。 解：由题图可知方程有两个根，一个 在-1和0之间，另一个在2和3之间。 (1)先求-1和0之间的根，利用计算器进行 探索： x -0.1 -0.2 -0.3 y 0.58 0.12 -0.38 因此，x=-0.2是方程的一个近似根。 (2)同样可求另一个根： x 2.1 2.2 2.3 y 0.58 0.12 -0.38 因此，x=2.2是方程的另一个近似根。 所以一元二次方程-2x²+4x+1=0的 近似根为x₁=-0.2，x₂=2.2。 【第三环节】运用新知，深化理解 【第四环节】师生互动，课堂小结 1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还有哪些困惑？ 【第四环节】师生互动，课堂小结 二次函数图象 一元二次方程的根 由图象与x轴的交点位置， 判断方程根的近似值 1.必做题：习题5.4第3题。 2.选作题： 习题5.4第7题。 3.同步练习题A组，B组 【第五环节】因材施教，分层作业 $