5.4《二次函数与一元二次方程》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心内容为借助二次函数图象用夹逼法求方程近似解。通过上节课小球高度问题导入，回顾函数与方程根的关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是情境化问题链驱动教学，以小球高度等现实情境培养数学眼光，通过追问逐步引导夹逼法操作发展数学思维，对比两种图象法深化转化思想体现模型意识。学生能提升估算与推理能力，教师可借助清晰步骤和多样活动优化教学。

第五章 二次函数 第4课 二次函数与一元二次方程 新版北师大数学九年级上册 第2课时 借助二次函数求一元二次方程的近似解 学习目标 1.通过回顾二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的关系，理解借助二次函数图象求一元二次方程近似解的基本原理 2.通过探索一元二次方程x²+2x-10=0近似根的完整过程，掌握夹逼法求方程近似解的基本步骤和操作方法 3.通过对比两种不同的图象法求方程x²+2x-10=3的近似根,深化对函数与方程转化思想的理解 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情景启航 上节课我们研究了竖直上抛小球的问题,已知小球高度h与运动时间t的关系式是h=-5t²+40t 思考:小球何时的高度是70m？ 令h=70,得到方程-5t²+40t=70，整理得t²-8t+14=0 它的根是整数吗? 在实际生活中,我们往往不需要知道根的精确值,只需要知道它的近似值就可以了.那么我们如何借助二次函数的图象来估计这个方程的近似根呢？ 问题构建 问题1:上节课我们学习了二次函数与一元二次方程的核心关系是什么？ 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标,就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根. 追问:如果我们画出二次函数y=t²-8t+14的图象,能从图象上直接读出方程t²-8t+14=0的精确根吗？我们能得到什么信息？ 不能直接读出精确根,但能看出方程有两个根,一个在2和3之间,另一个在5和6之间 问题构建 问题2:我们先以课本上的函数y=x²+2x-10为例,学习如何求它的近似根.第一步我们需要做什么？ 画出二次函数y=x²+2x-10的图象 追问1:观察课本图5-13或者右侧图案,这个二次函数的图象与x轴有几个交点？它们分别在哪个整数之间？(说明,因版面较小将y轴单位长度调整为2个单位代表1) 有两个交点,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间 问题构建 追问2:我们已经知道左边的根在-5和-4之间,如何进一步缩小这个范围,得到更精确的近似值？ 可以在-5和-4之间取一些x的值,计算对应的函数值y,根据y的符号变化来判断根的位置. x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y=x²+2x-10 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 追问3:请同学们借助计算器计算当x=-4.1，-4.2，-4.3，-4.4 时，函数y=x²+2x-10 的值分别是多少？填入下方表格中. 追问4:观察这些函数值的符号,你发现了什么规律？这说明根在哪个更精确的区间内？ 问题构建 当x从-4.1增加到-4.4时,函数值y从负数逐渐变成正数.根据二次函数的图象的特征，所以在y=0的地方必然有一个根,即根在-4.3和-4.4之间. 追问5:用图象法求近似根时结果只取到十分位.我们应该取x=-4.3 还是x=-4.4作为近似根？为什么？(①本书规定：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位) 取x=-4.3,因为当x=-4.3时,函数值y=-0.11比x=-4.4时的y=0.56更接近0. 追问6:请你用同样的方法,求出右边那个在2和3之间的根的近似值. 问题构建 x 2.1 2.2 2.3 2.4 y=x²+2x-10 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 计算x=2.1时y=-1.39，x=2.2时y=-0.76，x=2.3时y=-0.11，x=2.4时y=0.56.所以根在2.3和2.4之间，近似根为x=2.3. 追问7:我们刚才使用的这种通过不断代入数值计算函数值,逐步缩小根所在范围的方法叫做什么？它的基本原理是什么？你还在哪个知识中学习过？ 叫做夹逼法.基本原理是利用二次函数图象的特征：如果函数在两个点处的函数值异号,那么这两个点之间必然存在一个使函数值为0的点,也就是方程的根.在探索无理数一元二次方程的近似解中使用过. 问题构建 问题3:请你总结一下用二次函数图象求一元二次方程近似解的一般步骤. 1.画出对应二次函数y=ax²+bx+c的图象； 2.观察图象,确定方程的根所在的大致整数区间； 3.在范围内内依次取若干个x值,计算对应的函数值y； 4.根据函数值的符号变化,逐步缩小根所在的区间； 5.根据要求的精确度,确定方程的近似根. 问题4:现在我们要求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根,你能想到几种不同的图象法来解决这个问题？右边等于0和等于3有怎样的区别？ 问题构建 可以找到两种画图象的方法,请看下面的图象 方法一:将方程整理为x²+2x-13=0,然后画出二次函数y=x²+2x-13的图象，求它与x轴交点的横坐标； 方法二:在同一平面直角坐标系中,分别画出二次函数y=x²+2x-10和直线 y=3的图象,求它们交点的横坐标. 协作破冰 追问1:这两种方法的本质是否相同？为什么？ 本质完全相同.它们都是求当函数值等于3时对应的自变量x的值,体现了函数问题与方程问题可以相互转化的数学思想. 追问2:请你选择其中一种方法,求出方程x²+2x-10=3的近似根（结果精确到十分位） 用方法一,整理得x²+2x-13=0.画出图象可知根一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间.计算得x≈-4.7和x≈2.7. 追问3:回顾我们之前学习的一次函数与一元一次方程的关系,对比今天学习的二次函数与一元二次方程的关系,它们有什么共性和不同？ 协作破冰 共性：都体现了函数图象与直线的交点横坐标对应着相应方程的解这一核心关系,都运用了数形结合的思想 不同：一次函数对应的一元一次方程只有一个解,且通常是有理数，可以直接求出精确值；二次函数对应的一元二次方程可能有两个、一个或没有解,当有解且为无理数时,需要用夹逼法求近似解. 问题5:现在请你用本节课所学的方法,解决开头提出的问题：小球何时的高度是70m？（结果精确到十分位） 我们依据图象得出有两个交点,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间 计算得:t=2.5时,y=-1.75,t=2.6时,y=-1.24,t=2.7时y=-0.71，t=2.8时y=-0.16,t=2.9时y=0.41 所以第一个根在2.8和2.9之间,近似为t≈2.8 同理,第二个根在5.1和5.2之间,近似为t≈5.2 所以当t≈2.8s和t≈5.2s时,小球的高度是70m. 教师示范 问题6:如果题目要求结果精确到百分位,我们应该怎么做？ 继续使用夹逼法,在2.8和2.9之间,以及5.1和5.2之间取更多的点（如2.81，2.82等）计算函数值,进一步缩小根的范围,直到满足百分位的精确度要求 例：抛物线y=ax²+bx+c（a,b,c是常数）的顶点是（-2,3）,与x轴的一个交点在点（-4，0）和点（-3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax²-bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点（-7，），P2（π， ）在抛物线上,则＜ ；④＞4.其中正确的结论是哪几个？请说明理由. 教师示范 解：由题意可知抛物线开口向下,交y轴的正半轴，则a＜0，c＜0， ∵顶点坐标是（-2，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝-＝-2， ∴b＝4a＜0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（-2，3），与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间， ∴由抛物线的对称性知,另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间， ∴一元二次方程ax²-bx+c＝0的一个根在0和1之间，故②正确 巩固拓展 ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴点P1（﹣7，y1）到对称轴的距离小于P2（π，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③错误； ∵a＜0，c＞0，b＜0， ∴b2＞0，﹣2b＞0，4ac＜0， ∴b2+2b＞4ac，故④正确； 故答案为：①②④． 将求方程根的代数问题转化为观察函数图象的几何问题,再通过夹逼法将几何观察转化为精确的数值估算.这种方法不仅是数学中重要的估算方法，也能帮助我们解决很多实际生活中的问题. 当堂检测 1.用图象法求一元二次方程2x²-x-3=0的近似根时,下列做法正确的是（ ） 画出函数y=2x²的图象,看它与直线y=x+3的交点横坐标 B. 画出函数y=2x²-x-3的图象,看它与x轴的交点横坐标 C. 画出函数y=2x²-x的图象,看它与直线y=3的交点横坐标 D. 以上三种做法都正确 D 以上三种答案只是解决问题的角度不同，方法本质是一样的. 当堂检测 2.已知二次函数y=ax²+bx+c的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 则一元二次方程ax²+bx+c=0的一个近似根（精确到十分位）是______ 1.5（答案不唯一，在1.4到1.6之间均可） 当堂检测 3.利用二次函数的图象求一元二次方程x²-x-1=0的近似根（结果精确到十分位） 1.画出二次函数y=x²-x-1的图象； 2.观察图象可知,方程的两个根一个在-1和0之间,另一个在1和2之间； 3.计算得：x=-0.6时y=-0.04，x=-0.7时y=0.19，所以第一个根近似为x≈-0.6；x=1.6时y=-0.04，x=1.7时y=0.19， 所以第二个根近似为x≈1.6 反思总结 1.请你完整地说出用二次函数图象求一元二次方程近似解的一般步骤,其中最关键的一步是什么？ 2.对比用求根公式的代数法和用图象的几何法求一元二次方程的解,它们各有什么优势和局限性？ 3.本节课我们使用的夹逼法体现了怎样的数学思想？你还能想到哪些数学问题可以用夹逼法来解决？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第150页 第1题 二、素养类作业 课本第152页 第3题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $