5.3.2 图形面积的最大值 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 5.3.2 图形面积的最大值 专项练习 ## 知识点梳理 ### 核心思路 利用二次函数求几何图形最大面积： 1. 设自变量（设一条线段长为$x$）\(3；18\) 2. 用含$x$的代数式表示图形的长、宽\(3；18\) 3. 列出**面积$S$关于$x$的二次函数表达式**\(3；18\) 4. 确定自变量$x$的**取值范围**（几何实际意义，边长>0）\(3；18\) 5. 利用二次函数顶点求最值： $\(a\(<\)0\)$开口向下，顶点处取得最大值\(3；18\) > ⚠️ 若顶点横坐标**不在自变量取值范围内**，则在区间端点取最值。 ### 常见模型：靠墙矩形（围栏问题） 一边靠墙，围栏总长固定，设垂直墙边长$x$，平行墙边长=总长$-2x$ 面积：$S=x\cdot(\text{总长}-2x)$，化为二次函数求最大值。 > 易错提醒 1. 自变量范围是重中之重，**边长必须大于0**\(3；18\) 2. 不要忘记检验顶点$x$是否在取值范围内\(3；18\) 3. 单位统一\(3；18\) 4. $\(a\(<\)0\)$才有最大值，$\(a>0\)$在区间内无最大值。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 用总长40m篱笆围矩形菜园，一边靠墙，设垂直墙边长$x$，则平行墙边长为（） A.$40-x$ B.$40-2x$ C.$20-2x$ D.$2x-40$ 2. 面积$S=-2x^2+20x$，此函数开口方向（） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 3. 二次函数$S=-x^2+6x$，自变量$\(0\(<\)x\(<\)6\)$，面积最大值在$\(x=\)$（） A.$3$ B.$-3$ C.$6$ D.$0$ 4. 用篱笆围矩形，面积$S=-3x^2+24x$，最大面积是（） A.$48$ B.$24$ C.$12$ D.$6$ 5. 求图形面积最大值，下面哪一步最容易漏掉（） A.列函数式 B.求顶点 C.确定自变量取值范围 D.设未知数 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$S=ax^2+bx+c$，当$a$____0，抛物线开口向下，存在最大值。 2. 矩形面积$S=-2x^2+12x$，对称轴$\(x=\)$____，最大面积=____。 3. 靠墙围矩形，篱笆总长30m，垂直墙边长$x$，平行墙边长________。 4. 若顶点横坐标不在$x$取值范围内，则最值在________取到。 5. 边长必须大于0，是确定________的依据。 ## 三、解答题（共60分） 1.（18分）用总长20m的篱笆，一面靠墙围成矩形花园，设垂直于墙的边长为$x\ \text{m}$，面积为$S\ \text{m}^2$。 （1）写出$S$与$x$的函数关系式，并写出自变量$x$取值范围\(3；18\) （2）当$x$取何值时，面积最大？最大面积是多少？ 2.（20分）如图，用长40m栅栏围成矩形场地，一边靠墙，墙长25m，垂直墙的边长为$x$。 （1）求面积$S$关于$x$的函数表达式及$x$范围\(3；18\) （2）求最大面积。 3.（22分）在△ABC中，\(BC=12\)，高AD=8，在三角形内做矩形EFGH，FG在BC上，E、H分别在AB、AC上，设矩形的高$\(EF=x\)$，求矩形面积最大值。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 2.B 3.A 解析：$\(x=\)-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{-2}=3$ 4.A 解析：$\(x=\)4$，$S=-3\times16+24\times4=48$ 5.C ### 填空题 1.$\(<\)$ 2.$3\(3；18\)18$ 3.$30-2x$ 4.区间端点 5.自变量取值范围 ### 解答题 1.解： （1）垂直墙边长$x$，平行墙边长$20-2x$ $\begin{cases}x>0\\20-2x>0\end{cases}\Rightarrow 0\(<\)x\(<\)10$ $S=x(20-2x)=\boldsymbol{-2x^2+20x}\quad(0\(<\)x\(<\)10)$ （2）$a=-2\(<\)0$，对称轴$\(x=\)-\dfrac{20}{2\times(-2)}=5$，$5$在$0\(<\)x\(<\)10$内 $S_{\text{max}}=-2\times5^2+20\times5=-50+100=\boldsymbol{50}$ 答：$\(x=\)5\mathrm{m}$时，最大面积$50\mathrm{m^2}$。 2.解： （1）平行墙边长：$40-2x$ 墙长限制：$0\(<\)40-2x\le25$ $\begin{cases}x>0\\40-2x>0\\40-2x\le25\end{cases}$，解得：$7.5\le x\(<\)20$ $S=x(40-2x)=\boldsymbol{-2x^2+40x}$ （2）对称轴$\(x=\)10$，$10$在$7.5\le x\(<\)20$范围内 $S_{\text{max}}=-2\times10^2+40\times10=\boldsymbol{200}$ 最大面积$200\mathrm{m^2}$。 3.解： 设矩形高$\(EF=x\)$，则△AEH的高为$8-x$ △AEH∽△ABC，$\dfrac{EH}{BC}=\dfrac{8-x}{8}$ $\(BC=12\)$，$\dfrac{EH}{12}=\dfrac{8-x}{8}\Rightarrow EH=\dfrac{3}{2}(8-x)$ 矩形面积 $$ S=x\cdot \dfrac32(8-x)=-\dfrac32x^2+12x $$ $a=-\dfrac32\(<\)0$，对称轴$\(x=\)-\dfrac{12}{2\times(-\frac32)}=4$，$0\(<\)x\(<\)8$ $S_{\text{max}}=-\dfrac32\times4^2+12\times4=-24+48=\boldsymbol{24}$ 答：矩形最大面积24。 ## 易错点总结 1. 靠墙模型：**平行墙只有一条，只减去2个垂直边**\(3；18\) 2. 墙长限制会压缩自变量范围，顶点超范围时不能用顶点最值\(3；18\) 3. 三角形内接矩形，用**相似三角形**求边长关系\(3；18\) 4. 应用题最后必须写答句。 下一节：**5.3.3 二次函数的应用——最大利润**，继续练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 5.3.2图形面积的最大值 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二次函数 素养目标 1. 通过图形的面积关系列出函数解析式；用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题；体会二次函数是刻画现实世界的有效模型．(重点) 2. 从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”的思想．通过转化建模，会用数学的思维思考现实世界．(难点) 素养目标 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：（2，-9）； （2）开口方向：向下；对称轴：x = ； 顶点坐标：（ ， ）； 情境导入 思考1：二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 例1 求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 （1） ∴ 当 时，有 当 时，有 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 解： O x y 1 -3 （2） ∴ 当 x = -3 时，有 ∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小. 当 x = 1 时，有 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 知识点1 几何图形的面积最值问题 1.如图所示是一个长、宽 的矩形花园，根据 需要将它的长缩短、宽增加 ，要想使修改后的 花园面积达到最大，则 应为( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.4 返回 举一反三 9 2.一块三角形材料如图所示， ， ， 。用这块 材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，， 上。设 ，当取何值时，剪出的矩形 的面积最大？最大面积为多少？ 举一反三 10 解：因为四边形 是矩形， 所以， ， 则 ， 因为，，所以 ， 所以 ， 因为，， ， 所以 ， 举一反三 11 所以 ， 所以 。 所以矩形的面积为 。 因为 ， 所以当时，矩形 的面积取得最大值，为 。 答：当时，矩形的面积最大，最大面积是 。 返回 举一反三 引例 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两条直角边上. (1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如何表示? 探究点2：几何图形面积的最大面积 解：(1) 设 AD = h， 由图可知 Rt△EDC∽Rt△CBF. ∴ ∴ E F (0＜x＜40) 探究新知 (2)设矩形的面积为 y m2， 当 x 取什么值时，y 的值最大? 最大值是多少? （2）由题意可得 ∴当 x = 20 时， y 有最大值 300. (0＜x＜40) E F 探究点2：几何图形面积的最大面积 探究新知 G E F 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 解：如下图所示，过点 G 作 GM⊥EF，交 DA 于点 N，交 CB 于点 M. ∵ DA//CB，∴GN⊥DA. ∵DA//EF， M N 【思考·交流】 探究点2：几何图形面积的最大面积 探究新知 在Rt△EGF中， 由 得 GM = 24（m） ∴当 x = 12 时，y 有最大值 300. (0＜x＜40) G E F M N 探究点2：几何图形面积的最大面积 探究新知 【归纳总结】 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 探究点2：几何图形面积的最大面积 探究新知 例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度之和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户的面积最大(结果精确到 0.01 m)？此时，窗户的面积是多少(结果精确到 0.01 m2)？ x x y 解：∵ 7x + 4y + πx = 15， ∵0＜7x + πx ＜15， ∴0＜x＜1.48. 探究点2：几何图形面积的最大面积 探究新知 设窗户的面积是Sm2，则 ∴当 x = ≈1.07 时，S 取得最大值，S最大= ≈4.02. 因此，当 x 约为 1.07 时，窗户的面积最大. 此时，窗户的面积约为 4.02 m2. 探究点2：几何图形面积的最大面积 探究新知 知识点2 实际问题中的面积最值问题 （第3题） 3.如图，小明的父亲想用长为 的栅栏借助房 屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长 ，则可围成的菜园的最大面积是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 （第4题） 4.[杭州模拟] 如图，在长为，宽为 的矩形花 圃里建有等宽的十字形小路，若小路的宽不超过 ， 则花圃中阴影部分的面积( ) A A.有最小值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最大值 返回 举一反三 21 5. 咸阳，风筝制作传承地。如图是风筝 草图ABCD，其中风筝的两根龙骨， 互相垂直。 现小明计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨 ， （不计损耗），且要求。设 的长为 ，四边形的面积为 。 （1）用含的代数式表示__________， 的取 值范围为___________； 举一反三 22 （2）求与 的函数表达式； 解：由题意可得 ， 所以与的函数表达式为 。 举一反三 23 （3）当取何值时， 的值最大？最大值为多少？ 解： ， 因为， ， 所以当时， 的值最大，最大值为 。 返回 举一反三 24 6.一个矩形的周长为 ，则这个矩形的面积不可能是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 25 7.[徐州模拟] 小宇想在边长为10的正方形纸片 上剪出四个全等的 直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形 纸片的面积最小，则 的长为___。 5 返回 举一反三 26 8.如图，某小区物业对一块长 、宽 的矩形区域 进行改造，欲在它的 西南角种植一块矩形草坪 ， 草坪围栏总长度为。点 是区域内一棵 大树所在的位置，大树与区域边界的距离如 图中数据所示，要求大树周围 内 （不含边界）不种植草坪。设草坪的边的长为 ，草坪面积 为 。 举一反三 27 （1）求 的取值范围。 解：由题意可得， ， 则 ， 因为，大树周围 内（不含边界）不种植草坪， 所以 解得 。 举一反三 28 （2）如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 解：由题意,得 ， 因为，其图象的对称轴为直线 ， 所以当时，随着的增大而减小，所以当时， 的值最小，为 ， 故当草坪的边时，草坪的面积最小，为 。 返回 举一反三 29 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 （二次函数的图象和性质） 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） 课堂小结 谢谢观看 THANKS $