专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，掌握 y=ax2+bx+c 的图象与性质，会用顶点式求顶点、对称轴与最值 · 会用待定系数法确定二次函数解析式，能解决增长率、利润与抛物线型实际问题 · 理解必然事件、不可能事件与随机事件，会用列表法、树状图法计算简单事件的概率 · 理解圆的有关概念，掌握垂径定理、圆周角定理及其推论，能进行圆中角度与线段的计算 · 会计算弧长与扇形面积，能解决点与圆的位置关系及正多边形与圆的简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数：形如 y=ax2+bx+c（a≠0）的函数；当 b=c=0 时为最简单的 y=ax2 顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点为(h,k)，对称轴为直线 x=h；a>0 开口向上，a<0 开口向下 图象平移：左加右减（针对 x），上加下减（针对常数项），先化顶点式再平移 增减性与最值：a>0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧增大，最值在顶点处取得 抛物线与 x 轴交点：令 y=0 解一元二次方程，判别式 Δ 决定交点个数 概念辨析例题：求二次函数 y=x2-4x+3 的顶点坐标、对称轴及它与 x 轴的交点 答案：顶点(2,-1)，对称轴为直线 x=2，与 x 轴交点为(1,0)、(3,0) 解析：配方得 y=(x-2)2-1，故顶点为(2,-1)、对称轴为直线 x=2；令 y=0，解得 x=1 或 x=3。 ☆ 2.概率初步 事件分类：必然事件（一定发生）、不可能事件（一定不发生）、随机事件（可能发生也可能不发生） 概率公式：P(A)=，其值满足 0≤P(A)≤1 列举法：结果较少时用列表法，涉及两步及以上用树状图法，须做到不重不漏 频率与概率：大量重复试验时频率稳定于概率，可用频率估计概率 游戏公平性：比较双方获胜的概率是否相等，相等则公平，否则不公平 概念辨析例题：掷一枚质地均匀的骰子一次，求掷出的点数为偶数的概率 答案： 解析：等可能结果共 6 种，其中偶数点为 2、4、6 共 3 种，故 P==。 ☆ 3.圆的有关性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 弧、弦、圆心角关系：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 点与圆的位置关系：设半径为 r、点到圆心距离为 d，则 d<r 时点在圆内，d=r 时点在圆上，d>r 时点在圆外 概念辨析例题：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，若∠CAB=35°，求∠ABC 的度数 答案：55° 解析：因为 AB 是直径，所以∠ACB=90°；在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°-35°=55°。 ☆ 4.与圆有关的计算 弧长公式：l=，其中 n 为圆心角的度数 扇形面积：S==lr 正多边形与圆：中心角为 ，半边长、边心距与半径构成直角三角形 三角形的外心：三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 概念辨析例题：已知扇形的圆心角为 120°，半径为 6，求该扇形的弧长与面积 答案：弧长为 4π，面积为 12π 解析：弧长 l==4π；面积 S==12π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 二次项系数 a 不能为 0 顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点(h,k) 对称轴为直线 x=h 概率公式 P(A)= 0≤P(A)≤1，m 为有利结果数 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 常与勾股定理结合求半径 圆周角定理 圆周角等于同弧圆心角的一半 直径所对圆周角为直角 弧长/扇形 l=；S= n 为圆心角的度数 点与圆 d<r 圆内，d=r 圆上，d>r 圆外 d 为点到圆心的距离 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与定义（第1-4题） · 判断二次函数先化简，须满足最高次为 2 次且二次项系数 a≠0 · 由定义求参数：令自变量最高次指数为 2，同时保证二次项系数不为 0 · 列函数关系式先找等量关系，分清自变量与因变量 · 识别一次函数、反比例函数、二次函数要看化简后的最终形式 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则________． 【考点2】二次函数的图象与性质（第5-13题） · 配方化为顶点式 y=a(x-h)2+k，由 a 定开口，由(h,k)定顶点与对称轴 · 平移规律：左加右减（变 x）、上加下减（变常数），先化顶点式再平移 · 比较函数值大小时先利用对称把各点化到对称轴同侧，再按增减性判断 · 抛物线与 x 轴交点即对应一元二次方程的根，判别式 Δ 决定交点个数 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·山东菏泽·模拟预测）关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24九年级上·浙江台州·阶段检测）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为________． 9．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段检测）已知一个二次函数的图象与轴的交点为，，且顶点在函数的图象上，则这个函数的表达式是___． 10．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数的对称轴是直线 ___． 11．（22-23九年级上·天津武清·阶段检测）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 12．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 13．（2024·云南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）. (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图象上，比较与的大小； 【考点3】二次函数的实际应用（第14-17题） · 利润问题：利润=(单价-成本)×销售量，注意单价变化与销量变化的对应关系 · 增长率问题：a(1+x)n=b，连续两年增长时取 n=2 · 投球、拱桥等抛物线型问题：建立坐标系，把已知点代入求解析式再求解 · 求最值在顶点处取得，但要先看自变量的实际取值范围 14．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 15．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是___________． 16．（2022·浙江杭州·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．已知矩形相邻两边之和为，半圆O的半径为． (1)求隧道截面的面积关于半径的函数表达式，并写出r的取值范围；（结果保留） (2)若，求隧道截面的面积S的最大值．（取3） 【考点4】事件的分类与概率公式（第18-25题） · 必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，随机事件概率在 0 到 1 之间 · 概率公式 P=，先数清所有等可能结果 · 判断游戏公平性看双方获胜概率是否相等，不等则不公平 · 大量重复试验下频率的稳定值即概率，可用频率估计概率 18．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 19．（25-26九年级上·广西南宁·期中）2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列命题正确的是(　　) A．两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等． B．如果，那么． C．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次． D．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件． 21．（2023·湖北武汉·模拟预测）“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 22．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 组别（） 人数 5 37 43 15 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是_____． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列事件中哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是不确定事件？ （1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地． （3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水． （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． （5）某运动员跳高最好成绩是10.1米． （6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品． 必然事件有______，不可能事件有______，不确定事件有______（填序号） 25．（23-24七年级下·全国·课后作业）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ①若a，b，c都是实数，则； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在地球上看到太阳从西方升起； ④直线过定点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出一个球为白球． 【考点5】用列举法求概率与频率估计（第26-31题） · 一步试验直接列举；两步试验用列表法，三步及以上用树状图法 · 列举时注意“放回”与“不放回”对结果总数的影响，做到不重不漏 · 几何概率用相应区域的长度或面积之比来计算 · 读懂频数频率表与折线图，用频率的稳定性估计概率 26．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为______． 28．（22-23八年级下·四川达州·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为4，8，9的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 30．（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 31．（25-26七年级下·广东深圳·期末）随着深圳中考体育将排球列入考试范围，排球运动在中学生中的受关注程度日益提高．为了应对广大考生的需求，保证商品质量，相关部门对某厂家生产的排球质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的排球数 20 50 100 200 500 1000 优等品数 19 47 96 189 476 抽到优等品的频率 0.950 0.960 0.945 0.952 0.950 (1)表中的______________，______________； (2)根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是________（结果保留两位小数）； (3)某文体店计划从该厂家采购3000个排球，请估算其中优等品的数量． 【考点6】圆的有关性质（第32-49题） · 垂径定理常与勾股定理结合：半弦、弦心距、半径构成直角三角形 · 圆周角定理用于圆周角与圆心角互化，同弧所对圆周角相等是常用桥梁 · 见直径想直角：直径所对的圆周角为 90°，据此构造直角三角形 · 弧弦圆心角关系要在“同圆或等圆中”前提下来用，等弧对等弦、等圆心角 32．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 33．（21-22九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 35．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 36．（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，弦垂直于点P，过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于___________°． 38．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，是的直径，，，则的度数是______． 39．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 40．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为_____． 41．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 42．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 43．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 44．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 45．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 46．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，则的长． 47．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 49．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点7】与圆有关的计算与作图（第50-59题） · 弧长 l=，扇形面积 S==lr，n 取角度数 · 正多边形中心角为 ，半边长、边心距、半径构成直角三角形 · 三角形外心是三边垂直平分线的交点，直角三角形外心在斜边中点 · 尺规作圆心：作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心 · 旋转求点的路径长：路径是以旋转中心为圆心、旋转中心到该点距离为半径的弧 50．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 51．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 53．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）已知弧长等于，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是___． 54．（24-25九年级下·浙江湖州·阶段检测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为________． 55．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 56．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 57．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到． (1)请在网格中画出． (2)求点A从开始到结束所经过的路径长． 58．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在坐标系中的位置如图所示．    (1)作出绕原点O逆时针方向旋转90°后的； (2)作出的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线． (3)请直接写出的外接圆圆心坐标为 ． 59．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先化顶点式，开口方向、顶点、对称轴、最值一次看全 · 实际问题先确定自变量取值范围，最值不一定在顶点处取得 · 概率题先数清所有等可能结果，放回与不放回要分清 · 圆的计算题垂径定理配勾股定理，见到直径就想直角 · 弧长与扇形面积公式中的 n 是圆心角度数，不要与弧度制混淆 【作业1】．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，发现正面朝上的频率稳定于，当他把一枚硬币抛掷次时，则下列正面朝上的次数与该试验结果比较符合的是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）在下列事件中，是随机事件的是（   ） A．今天嘉兴的最高气温为 B．在只装有黑球的箱子里摸到红球 C．篮球队员在罚球线上投篮得分 D．一个三角形的内角和是 【作业4】．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【作业5】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（25-26七年级下·山东淄博·期末）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是_______________．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 【作业8】．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 【作业9】．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 【作业10】．（22-23九年级上·广东广州·阶段检测）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________． 【作业11】．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 【作业12】．（23-24九年级上·江西上饶·阶段检测）抛物线的顶点坐标是______． 【作业13】．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）如图，正八边形中，连接，那么的度数为______°． 【作业14】．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．    【作业15】．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 【作业16】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【作业17】．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【作业18】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【作业19】．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【作业20】．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）根据事件发生的可能性不同对下列事件进行判断，并在括号内填写“必然事件”、“不可能事件”或“不确定事件”： (1)在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．( ) (2)从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．( ) (3)余姚明年五一节当天的最高气温是．( ) (4)三角形的内角和为．( ) (5)购买一张彩票刚好中奖．( ) (6)一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．( ) (7)手可摘星辰．( ) (8)三点确定一个圆．( ) 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，掌握 y=ax2+bx+c 的图象与性质，会用顶点式求顶点、对称轴与最值 · 会用待定系数法确定二次函数解析式，能解决增长率、利润与抛物线型实际问题 · 理解必然事件、不可能事件与随机事件，会用列表法、树状图法计算简单事件的概率 · 理解圆的有关概念，掌握垂径定理、圆周角定理及其推论，能进行圆中角度与线段的计算 · 会计算弧长与扇形面积，能解决点与圆的位置关系及正多边形与圆的简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数：形如 y=ax2+bx+c（a≠0）的函数；当 b=c=0 时为最简单的 y=ax2 顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点为(h,k)，对称轴为直线 x=h；a>0 开口向上，a<0 开口向下 图象平移：左加右减（针对 x），上加下减（针对常数项），先化顶点式再平移 增减性与最值：a>0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧增大，最值在顶点处取得 抛物线与 x 轴交点：令 y=0 解一元二次方程，判别式 Δ 决定交点个数 概念辨析例题：求二次函数 y=x2-4x+3 的顶点坐标、对称轴及它与 x 轴的交点 答案：顶点(2,-1)，对称轴为直线 x=2，与 x 轴交点为(1,0)、(3,0) 解析：配方得 y=(x-2)2-1，故顶点为(2,-1)、对称轴为直线 x=2；令 y=0，解得 x=1 或 x=3。 ☆ 2.概率初步 事件分类：必然事件（一定发生）、不可能事件（一定不发生）、随机事件（可能发生也可能不发生） 概率公式：P(A)=，其值满足 0≤P(A)≤1 列举法：结果较少时用列表法，涉及两步及以上用树状图法，须做到不重不漏 频率与概率：大量重复试验时频率稳定于概率，可用频率估计概率 游戏公平性：比较双方获胜的概率是否相等，相等则公平，否则不公平 概念辨析例题：掷一枚质地均匀的骰子一次，求掷出的点数为偶数的概率 答案： 解析：等可能结果共 6 种，其中偶数点为 2、4、6 共 3 种，故 P==。 ☆ 3.圆的有关性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 弧、弦、圆心角关系：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 点与圆的位置关系：设半径为 r、点到圆心距离为 d，则 d<r 时点在圆内，d=r 时点在圆上，d>r 时点在圆外 概念辨析例题：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，若∠CAB=35°，求∠ABC 的度数 答案：55° 解析：因为 AB 是直径，所以∠ACB=90°；在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°-35°=55°。 ☆ 4.与圆有关的计算 弧长公式：l=，其中 n 为圆心角的度数 扇形面积：S==lr 正多边形与圆：中心角为 ，半边长、边心距与半径构成直角三角形 三角形的外心：三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 概念辨析例题：已知扇形的圆心角为 120°，半径为 6，求该扇形的弧长与面积 答案：弧长为 4π，面积为 12π 解析：弧长 l==4π；面积 S==12π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 二次项系数 a 不能为 0 顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点(h,k) 对称轴为直线 x=h 概率公式 P(A)= 0≤P(A)≤1，m 为有利结果数 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 常与勾股定理结合求半径 圆周角定理 圆周角等于同弧圆心角的一半 直径所对圆周角为直角 弧长/扇形 l=；S= n 为圆心角的度数 点与圆 d<r 圆内，d=r 圆上，d>r 圆外 d 为点到圆心的距离 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与定义（第1-4题） · 判断二次函数先化简，须满足最高次为 2 次且二次项系数 a≠0 · 由定义求参数：令自变量最高次指数为 2，同时保证二次项系数不为 0 · 列函数关系式先找等量关系，分清自变量与因变量 · 识别一次函数、反比例函数、二次函数要看化简后的最终形式 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如是二次函数，根据二次函数的定义可得答案． 【详解】解：A. ，是一次函数，故选项A不符合题意； B. 不是二次函数，故选项B不符合题意； C. 整理后为，不是二次函数，故选项C不符合题意； D. 是二次函数，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】识别一次函数、函数的三种表示方法、二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【知识点】识别一次函数、列二次函数关系式、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 【考点2】二次函数的图象与性质（第5-13题） · 配方化为顶点式 y=a(x-h)2+k，由 a 定开口，由(h,k)定顶点与对称轴 · 平移规律：左加右减（变 x）、上加下减（变常数），先化顶点式再平移 · 比较函数值大小时先利用对称把各点化到对称轴同侧，再按增减性判断 · 抛物线与 x 轴交点即对应一元二次方程的根，判别式 Δ 决定交点个数 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：原抛物线为向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到， 故选：B． 6．（2022·山东菏泽·模拟预测）关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、因式分解法解一元二次方程、二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 8．（23-24九年级上·浙江台州·阶段检测）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为________． 【答案】1或3 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 抛物线图象经过点，对称轴是直线， 则抛物线一定经过点关于直线的对称点， 当时，关于x的方程的两个解为：，． ∴方程的解为，； 故答案为：1或3． 9．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段检测）已知一个二次函数的图象与轴的交点为，，且顶点在函数的图象上，则这个函数的表达式是___． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，求得顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数的图象与x轴的两个交点求出此图象的对称轴为直线，然后把代入求得顶点，设抛物线为，代入求得a即可求得结果． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， ∵顶点在函数的图象上， ∴把代入得， ∴顶点为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得， ∴函数的表达式是， 故答案为． 10．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数的对称轴是直线 ___． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解，本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键是：熟练应用配方法，将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， ， 二次函数的对称轴为：， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·天津武清·阶段检测）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 【答案】(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为 (2) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、坐标与图形 【分析】（1）由抛物线的性质可得答案； （2）由、，顶点P坐标为；可得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为； （2）解：如图，    ∵、，顶点P坐标为； ∴． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键． 12．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，最小值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点，， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为． 13．（2024·云南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）. (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图象上，比较与的大小； 【答案】(1) 证明：令，即， 或， ∴，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当或时，；当时，；当时，． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． （1）令，则，可求出，，再根据，即得出方程有两个不相等的解，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）将，代入，得：，，从而可求出，最后分类讨论解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：点，在函数图象上， 当时，， 当时，， ， 当或时，； 当时，； 当时，． 【考点3】二次函数的实际应用（第14-17题） · 利润问题：利润=(单价-成本)×销售量，注意单价变化与销量变化的对应关系 · 增长率问题：a(1+x)n=b，连续两年增长时取 n=2 · 投球、拱桥等抛物线型问题：建立坐标系，把已知点代入求解析式再求解 · 求最值在顶点处取得，但要先看自变量的实际取值范围 14．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】先计算班级总人数，再根据概率计算公式，用男生人数除以总人数得到所求概率． 【详解】解：∵男生有人，女生有人， ∴班级总人数为 人， 15．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是___________． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可． 【详解】 由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为 对于抛物线，当时，，当时，， 当时，解得或5， ∴点P在台阶I上，落点的坐标是 故答案为：． 16．（2022·浙江杭州·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 【答案】 5 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵， ∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．已知矩形相邻两边之和为，半圆O的半径为． (1)求隧道截面的面积关于半径的函数表达式，并写出r的取值范围；（结果保留） (2)若，求隧道截面的面积S的最大值．（取3） 【答案】(1) (2)，面积S的最大值为． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． （1）根据面积公式计算即可； （2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【详解】（1）解：∵矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ∴，， ∴， ∴． （2）解：， 又∵2米米， ∴， ∴． 由①知， ． ∵， ∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴， 又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大， 故当时，S有最大值． ∴． 【考点4】事件的分类与概率公式（第18-25题） · 必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，随机事件概率在 0 到 1 之间 · 概率公式 P=，先数清所有等可能结果 · 判断游戏公平性看双方获胜概率是否相等，不等则不公平 · 大量重复试验下频率的稳定值即概率，可用频率估计概率 18．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率、判断几个事件概率的大小关系 【分析】本题考查求概率，分别求出各选项中的概率进行判断即可． 【详解】解：抽到的牌的数字为5的概率为；抽到的牌的花色为黑桃的概率为；抽到的牌是大王或小王的概率为，抽到的牌是J或Q或K的概率为， ∵； 故概率最大的是选项B． 故选B． 【点睛】概率比较直接基于有利事件数与总事件数的比值，简单直观． 19．（25-26九年级上·广西南宁·期中）2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，计算在单词“”中随机选一个字母为“e”的概率，需统计字母“e”的出现次数和总字母数． 【详解】解：∵ 单词“”中共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴选到“e”的概率是：． 故选：B． 20．（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列命题正确的是(　　) A．两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等． B．如果，那么． C．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次． D．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件． 【答案】D 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误、全等三角形综合问题、判断命题真假、事件的分类 【分析】本题考查判定命题的真假，涉及全等三角形的判定，绝对值的意义，频率与概率，事件的分类等知识，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】A、两个三角形有两边及两边的夹角对应相等，则这两个三角形全等，如果这个角是其中的一边的对角就不能判定三角形全等，此选项错误，不符合题意； B、如果，那么，此选项错误，不符合题意； C、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次，频率一般不会等于概率，因此不能用概率替代频率计算正面朝上的次数，此选项错误，不符合题意； D、“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”，不一定发生，也不一定不发生，是随机事件，此选项正确，符合题意； 故选：D． 21．（2023·湖北武汉·模拟预测）“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 22．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、列举法求概率 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 组别（） 人数 5 37 43 15 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是_____． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了求概率．根据概率公式解答即可． 【详解】解：因为身高不小于的人数为，总人数为100， 所以概率为． 故答案为． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列事件中哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是不确定事件？ （1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地． （3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水． （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． （5）某运动员跳高最好成绩是10.1米． （6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品． 必然事件有______，不可能事件有______，不确定事件有______（填序号） 【答案】（3）；（1）（5）；（2）（4）（6） 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、事件的分类 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”进行判断即可． 【详解】解：（1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．是不可能事件； （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地．是不确定事件； （3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水．是必然事件； （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交．是不确定事件； （5）某运动员跳高最好成绩是10.1米．是不可能事件； （6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品．是不确定事件； 综上，必然事件有（3），不可能事件有（1）（5），不确定事件有（2）（4）（6）． 故答案为：（3）；（1）（5）；（2）（4）（6）． 25．（23-24七年级下·全国·课后作业）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ①若a，b，c都是实数，则； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在地球上看到太阳从西方升起； ④直线过定点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出一个球为白球． 【答案】②③是不可能事件；①④是必然事件；⑤⑥是随机事件 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、事件的分类 【分析】本题主要考查不可能事件、必然事件、随机事件的定义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义可判断它们分别属于哪一类别，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】①若a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c是必然事件； ②没有空气，动物也能生存下去是不可能事件； ③在地球上看到太阳从西方升起是不可能事件； ④直线过定点是必然事件； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0是随机事件； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球是随机事件； 所以②③是不可能事件；①④是必然事件；⑤⑥是随机事件． 【考点5】用列举法求概率与频率估计（第26-31题） · 一步试验直接列举；两步试验用列表法，三步及以上用树状图法 · 列举时注意“放回”与“不放回”对结果总数的影响，做到不重不漏 · 几何概率用相应区域的长度或面积之比来计算 · 读懂频数频率表与折线图，用频率的稳定性估计概率 26．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，找到两次都摸到红球的结果数，依据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种， ∴两次都摸到红球的概率为． 27．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为______． 【答案】 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式，小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得． 故答案为：． 28．（22-23八年级下·四川达州·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为4，8，9的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数的比值．先根据题意列出表格，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 4 8 9 4 8 12 13 8 12 16 17 9 13 17 18 共有9种情况，和为奇数有4种情况，和为偶数有5种情况， ∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是 所以这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了概率，重复试验次数越多，其频率越能估计概率，求出射击1000次时的频率即可，解题的关键在于明确频率估计概率时要在重复试验次数尽可能多的情况下． 【详解】解：根据题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为： ， ∴用频率估计概率为：， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 【答案】(1)； (2) 频率折线统计图，如图所示： (3) (4)6；14 【知识点】根据数据描述求频率、折线统计图、用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率 【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率， （1）利用频率频数摸球次数计算数据即可； （2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可； （3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可； （4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：略； （3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为； （4）解：估计盒子里有红球（个）， 白球有：（个）． 31．（25-26七年级下·广东深圳·期末）随着深圳中考体育将排球列入考试范围，排球运动在中学生中的受关注程度日益提高．为了应对广大考生的需求，保证商品质量，相关部门对某厂家生产的排球质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的排球数 20 50 100 200 500 1000 优等品数 19 47 96 189 476 抽到优等品的频率 0.950 0.960 0.945 0.952 0.950 (1)表中的______________，______________； (2)根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是________（结果保留两位小数）； (3)某文体店计划从该厂家采购3000个排球，请估算其中优等品的数量． 【答案】(1)，； (2)0.95； (3)优等品的数量为2850个． 【知识点】已知概率求数量、根据数据填写频数、频率统计表、由频率估计概率 【分析】（1）根据表格数据计算即可； （2）根据频率统计表判断即可； （3）用3000乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.95； （3）解：（个）， 答：优等品的数量为2850个． 【考点6】圆的有关性质（第32-49题） · 垂径定理常与勾股定理结合：半弦、弦心距、半径构成直角三角形 · 圆周角定理用于圆周角与圆心角互化，同弧所对圆周角相等是常用桥梁 · 见直径想直角：直径所对的圆周角为 90°，据此构造直角三角形 · 弧弦圆心角关系要在“同圆或等圆中”前提下来用，等弧对等弦、等圆心角 32．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【详解】解：作的角平分线，交于E，连接、、、，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 33．（21-22九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【详解】解：∵是上的点，且， ∴． 34．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系． 根据圆心A的坐标是，点P的坐标是，可以求得的长，然后用的长与圆的半径比较大小即可判断点P与的位置关系． 【详解】解：∵圆心A的坐标是，点P的坐标是， ∴， ∵的半径为5，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选：C． 35．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答． 连接，利用垂径定理解答即可． 【详解】连结，如图，设半径为， ∵垂直平分于点， ∴，， ∴， ∴点O，D，C三点共线， ， ， 在中， ，即 解得：， 则圆的半径为． 故答案为：A． 36．（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角的概念辨析及简单运算、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 37．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，弦垂直于点P，过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于___________°． 【答案】36 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余 【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，即可得到答案． 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵弦， ∴． ∵， ∴， 由圆周角定理得，， ∵是的切线， ∴， ∴； 故答案为：36． 38．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，是的直径，，，则的度数是______． 【答案】/71度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了圆的基本性质，利用邻补角求角度；可求，从而可求，根据同弧或等弧所对的圆心角相等，是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 40．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为_____． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】连接，，过点作，垂足为，由圆内接四边形对角互补可得，由圆周角定理可得，再由可得，由角所对直角边等于斜边的一半可得长，利用勾股定理求出，由垂径定理得，即可得出． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形性质，角所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 41．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 42．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据垂径定理得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长； 2.利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出，然后利用得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 43．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】(1)当时，点A，B都在圆外． (2)时，点A在圆内，点B在圆外． 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 【详解】（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 44．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 45．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 【答案】 证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【知识点】垂径定理的推论 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】略． 46．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，则的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【知识点】利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得出，证明，由圆周角定理得，即可得出结论； （2）由垂径定理得，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∴． 47．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 【答案】 证明：四边形内接于， ． 又， ． ， ， ， ， ，即平分． 【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得出，再根据，圆周角定理证明，即可得出结论． 【详解】略 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理 【分析】（1）如图，连接，可得，再进一步求解即可； （2）如图，连接，证明，，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分， ∴， ∴， ∴，， ∴. （2）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径， ． ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴. 49．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、等边对等角、垂径定理的推论、圆周角定理 【分析】（）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证； （）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点7】与圆有关的计算与作图（第50-59题） · 弧长 l=，扇形面积 S==lr，n 取角度数 · 正多边形中心角为 ，半边长、边心距、半径构成直角三角形 · 三角形外心是三边垂直平分线的交点，直角三角形外心在斜边中点 · 尺规作圆心：作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心 · 旋转求点的路径长：路径是以旋转中心为圆心、旋转中心到该点距离为半径的弧 50．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 51．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 52．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 【答案】 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式． 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：设扇形的半径为， 由扇形的面积公式， 代入已知数据得， 解得， （取正值）， 由弧长公式 ， 得． 故答案为：． 53．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）已知弧长等于，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是___． 【答案】/120度 【知识点】求圆心角 【分析】设该弧的度数为，根据弧长列方程求解即可． 【详解】解：设该弧的度数为， 根据题意得，， 解得， ∴该弧的度数为． 54．（24-25九年级下·浙江湖州·阶段检测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为________． 【答案】3 【知识点】正多边形和圆的综合、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，直角三角形的性质， 先画出图形，并作，可求出中心角，再根据“含直角三角形的性质”得，然后求出，即可得正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式得出答案. 【详解】解：是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，设的半径是2， 过点A作于点M， 在正十二边形中，， 在中，， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， 解得， ∴的近似值为3. 故答案为：3. 55．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求,． (2) 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴点B的运动路径长为 56．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 【答案】． 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，垂足为， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，， ∴． 57．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到． (1)请在网格中画出． (2)求点A从开始到结束所经过的路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查作图-旋转变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作出对应点，再连接即可； （2）点A从开始到结束所经过的路径是以为圆心为半径的圆上弧，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：点A从开始到结束所经过的路径长为． 58．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在坐标系中的位置如图所示．    (1)作出绕原点O逆时针方向旋转90°后的； (2)作出的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线． (3)请直接写出的外接圆圆心坐标为 ． 【答案】(1) 如图所示： (2) 即为的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线，如图所示： (3) 【知识点】画旋转图形、作已知线段的垂直平分线、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了旋转作图以及三角形的外接圆，涉及到旋转性质以及垂直平分线的性质． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、；然后依次连接、、，即可作答； （2）根据旋转性质，的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线是以点O为圆心，半径为的圆上的； （3）根据的外接圆的定义，即过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，所以分别作出线段和的垂直平分线，它们的交点点G即为的外接圆圆心，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：点即为的外接圆圆心，如图所示：    所以， 故的外接圆圆心坐标为． 59．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 圆心O如图． 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：略． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先化顶点式，开口方向、顶点、对称轴、最值一次看全 · 实际问题先确定自变量取值范围，最值不一定在顶点处取得 · 概率题先数清所有等可能结果，放回与不放回要分清 · 圆的计算题垂径定理配勾股定理，见到直径就想直角 · 弧长与扇形面积公式中的 n 是圆心角度数，不要与弧度制混淆 【作业1】．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意； B、时，是一次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【作业2】．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，发现正面朝上的频率稳定于，当他把一枚硬币抛掷次时，则下列正面朝上的次数与该试验结果比较符合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查频率与概率关系、由频率计算次数等知识，读懂题意，理解频率与概率关系是解决问题的关键． 根据频率估计概率，正面朝上的概率为，计算预期次数并比较选项即可得到答案． 【详解】解：∵正面朝上的频率稳定于，当他把一枚硬币抛掷次时， ∴ 预期正面朝上次数为， 比较四个选项，与比较接近， 故选：B． 【作业3】．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）在下列事件中，是随机事件的是（   ） A．今天嘉兴的最高气温为 B．在只装有黑球的箱子里摸到红球 C．篮球队员在罚球线上投篮得分 D．一个三角形的内角和是 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 本题考查了事件的分类，熟悉掌握事件的概念是解题的关键． 【详解】解：选项A：嘉兴最高气温不可能达到，为不可能事件，故选项错误； 选项B：只装黑球的箱子不可能摸出红球，为不可能事件，故选项错误； 选项C：罚球投篮可能得分也可能不得分，具有不确定性，为随机事件，故选项正确； 选项D：三角形内角和恒为，为必然事件，故选项错误． 故选：C． 【作业4】．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【作业5】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 【作业6】．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长、圆周角定理 【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式、圆周角定理，由等边三角形的性质结合圆周角定理得出，再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， 故选：C． 【作业7】．（25-26七年级下·山东淄博·期末）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是_______________．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】不可能事件 【知识点】事件的分类 【详解】解：煮熟的鸭子已经不具备飞行能力，该事件一定不会发生，符合不可能事件的定义，因此该事件是不可能事件． 【作业8】．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 【答案】敏敏 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解： 是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 【作业9】．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查的是弧长的计算，设扇形的圆心角为，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【作业10】．（22-23九年级上·广东广州·阶段检测）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________． 【答案】/ 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频率，根据频率公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为， 故答案为：． 【作业12】．（23-24九年级上·江西上饶·阶段检测）抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一般地对于二次函数的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 故答案为：． 【作业13】．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）如图，正八边形中，连接，那么的度数为______°． 【答案】45 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了求正多边形性质，等腰三角形的性质等知识，掌握正多边形的性质是关键；设正八边形的中心为O，连接，则；由正多边形的性质得，由得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设正八边形的中心为O， 如图，连接，则； ； 又， ，， ； 故答案为：45． 【作业14】．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．    【答案】10 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 【作业15】．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 【作业16】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 【作业17】．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 【作业18】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 【作业19】．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 【作业20】．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）根据事件发生的可能性不同对下列事件进行判断，并在括号内填写“必然事件”、“不可能事件”或“不确定事件”： (1)在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．( ) (2)从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．( ) (3)余姚明年五一节当天的最高气温是．( ) (4)三角形的内角和为．( ) (5)购买一张彩票刚好中奖．( ) (6)一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．( ) (7)手可摘星辰．( ) (8)三点确定一个圆．( ) 【答案】(1)必然事件 (2)不可能事件 (3)不确定事件 (4)必然事件 (5)不确定事件 (6)必然事件 (7)不可能事件 (8)不确定事件 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐一判断即可． 【详解】（1）在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．（必然事件 ） （2）从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．（不可能事件） （3）余姚明年五一节当天的最高气温是．（不确定事件） （4）三角形的内角和为．（必然事件 ） （5）购买一张彩票刚好中奖．（不确定事件） （6）一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．（必然事件 ） （7）手可摘星辰．（不可能事件） （8）三点确定一个圆．（不确定事件） 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $