专题11比例线段定理与相似三角形初步认识期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题11比例线段定理与相似三角形初步认识期中复习讲义 知识点 01 比例的相关概念 1.比例式：如果四个实数a,b,c,d满足 =，那么称这四个数成比例。 a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项。 2.比例中项：若=，即b2=ac，则称b是a,c的比例中项。 ⚠️注意：线段的比例中项一定是正数；数字的比例中项有正负两个。 知识点 02 比例的基本性质与常用变形 已知=(b0,d0) 知识点 03 比例线段定义 四条线段a、b、c、d，如果=，就称这四条线段成比例线段，简称比例线段。 ⚠️关键：顺序不能随意调换；单位必须统一。 知识点04：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点05:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点06：相似三角形对应线段成比例 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 1、忽略四条线段成比例的顺序性 易错提醒：四条线段成比例是有序关系。a:b=c:d与a:d=b:c代表不同的等量关系式，随意调换顺序，会造成列式错误。 2、混淆数与线段的比例中项取值 易错提醒：若b是实数a、c的比例中项，则b2=ac，b可取正负值；若是线段的比例中项，只能取正数，必须舍去负值。 3、记错黄金比的准确表达式 易错提醒：黄金比为，近似值0.618；不要和混淆。 4、平行线分线段选错对应线段 易错提醒：三条平行线截两条直线，仅可选用被截出来的对应线段列比例式，非对应线段不能建立比例等式。 5、误认为平行线截得线段一定相等 易错提醒：平行线分线段得到的是成比例关系，并非必然相等；只有平行线之间的距离全部相等，截得的线段才相等。 6、无平行条件套用A型、X型比例结论 易错提醒：A型、X型图形推导线段成比例的必要条件是存在平行线；缺少平行条件，不能直接使用该比例结论。 7、描述相似三角形缺少对应关系 易错提醒：判定相似三角形，必须是对应角相等、对应边成比例；仅有角相等、边成比例，而没有对应关系，不能判定相似。 8、书写相似符号时顶点不对应 易错提醒：使用“∽”符号时，各个顶点必须依照对应位置书写；顶点顺序一经固定，不可随意调换。 9、忽视相似比具备方向性 易错提醒： ABC与 DEF的相似比，是 ABC边长∶ DEF边长；反过来的相似比是它的倒数，顺序不可颠倒。 10、仅凭视觉形状相近判定相似 易错提醒：不能依靠肉眼观察形状接近去判定相似，必须严格满足对应角相等、对应边成比例两个条件。 题型 考察方向 难度 题型一 比例线段 ★ 题型二 比例的性质 ★★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型七 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 比例线段 1．如果线段是、的比例中项，且，则___________． 2．如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 3．如图，舞台的长为，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______．（保留根号） 4．如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 题型二 比例的性质 5．已知 则 的值是________ 6．若，则的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 7．已知且，则________． 8．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 成比例线段 9．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．4， 3， 8，6 B．1， 2， 3， 5 C．3， 4， 5， 6 D．2， 3， 6， 8 10．如图，若是与的比例中项，，求___________ 11．如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ） A． B． C． D． 12．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 题型四 黄金分割 13．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 14．如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 15．矩形的长与宽分别为、，且下列数据能构成黄金矩形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 题型五 由平行判断成比例的线段 17．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如： ____， ____． 18．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为____________． 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 20．如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 21．如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是_______． 22．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 23．如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 题型七 证明三角形的对应线段成比例 24．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 26．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 解答题 1．已知线段，延长到点，使，求，，的值． 2．已知分别表示三条线段的长，且满足． (1)求的值； (2)已知线段为的三条边，若的周长为36，求各边的长度． 3．解答 (1)根据图示求线段比：； (2)试找出图中两组成比例的线段； (3)试找出线段的黄金分割点E．（，精确到） 4．如图，在中，，，，，求的长． 5．如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11比例线段定理与相似三角形初步认识期中复习讲义 知识点 01 比例的相关概念 1.比例式：如果四个实数a,b,c,d满足 =，那么称这四个数成比例。 a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项。 2.比例中项：若=，即b2=ac，则称b是a,c的比例中项。 ⚠️注意：线段的比例中项一定是正数；数字的比例中项有正负两个。 知识点 02 比例的基本性质与常用变形 已知=(b0,d0) 知识点 03 比例线段定义 四条线段a、b、c、d，如果=，就称这四条线段成比例线段，简称比例线段。 ⚠️关键：顺序不能随意调换；单位必须统一。 知识点04：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点05:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点06：相似三角形对应线段成比例 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 1、忽略四条线段成比例的顺序性 易错提醒：四条线段成比例是有序关系。a:b=c:d与a:d=b:c代表不同的等量关系式，随意调换顺序，会造成列式错误。 2、混淆数与线段的比例中项取值 易错提醒：若b是实数a、c的比例中项，则b2=ac，b可取正负值；若是线段的比例中项，只能取正数，必须舍去负值。 3、记错黄金比的准确表达式 易错提醒：黄金比为，近似值0.618；不要和混淆。 4、平行线分线段选错对应线段 易错提醒：三条平行线截两条直线，仅可选用被截出来的对应线段列比例式，非对应线段不能建立比例等式。 5、误认为平行线截得线段一定相等 易错提醒：平行线分线段得到的是成比例关系，并非必然相等；只有平行线之间的距离全部相等，截得的线段才相等。 6、无平行条件套用A型、X型比例结论 易错提醒：A型、X型图形推导线段成比例的必要条件是存在平行线；缺少平行条件，不能直接使用该比例结论。 7、描述相似三角形缺少对应关系 易错提醒：判定相似三角形，必须是对应角相等、对应边成比例；仅有角相等、边成比例，而没有对应关系，不能判定相似。 8、书写相似符号时顶点不对应 易错提醒：使用“∽”符号时，各个顶点必须依照对应位置书写；顶点顺序一经固定，不可随意调换。 9、忽视相似比具备方向性 易错提醒： ABC与 DEF的相似比，是 ABC边长∶ DEF边长；反过来的相似比是它的倒数，顺序不可颠倒。 10、仅凭视觉形状相近判定相似 易错提醒：不能依靠肉眼观察形状接近去判定相似，必须严格满足对应角相等、对应边成比例两个条件。 题型 考察方向 难度 题型一 比例线段 ★ 题型二 比例的性质 ★★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型七 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 比例线段 1．如果线段是、的比例中项，且，则___________． 【答案】4 【详解】根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到的值． 【解答】解：是、的比例中项， ， 又， ， 解得． 又为线段的长度， 舍去； 即． 2．如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，舞台的长为，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______．（保留根号） 【答案】 【详解】解：点C是线段上靠近点A的黄金分割点，， ， ． 则主持人与点A的距离为． 4．如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】若能推出，即可证明 ，得到同位角相等，进而推出 ． 【详解】解：A 由可得，结合，得，不能推出 ，A错误； B 仅知道和，无法保证三角形相似，不能推出 ，B错误； C ，，又，， ， ， ， ，C正确； D ，，又，，不能推出 ，D错误； 题型二 比例的性质 5．已知 则 的值是________ 【答案】/ 【分析】已知的值，可将所求分式分子分母同除以，转化为只含的式子，代入计算即可． 【详解】解： ，且， 将的分子分母同时除以，得：， 代入得：原式． 6．若，则的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】设比例系数k，将用含k的式子表示，代入化简求值． 【详解】解：设， 则，， 代入得． 7．已知且，则________． 【答案】2 【分析】由已知比例关系可得，，，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 8．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可，解题的关键是掌握比例的性质和等式的基本性质． 【详解】解：由可设， 则，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 则不一定等于，故C错误，不符合题意； 则，故D错误，不符合题意； 故选：A． 题型三 成比例线段 9．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．4， 3， 8，6 B．1， 2， 3， 5 C．3， 4， 5， 6 D．2， 3， 6， 8 【答案】A 【分析】将每组线段排序后，通过比较首尾线段乘积与中间两线段乘积是否相等，判断是否成比例． 【详解】解：A、 排序为3，4，6，8，，成比例，符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，不成比例，不符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 10．如图，若是与的比例中项，，求___________ 【答案】/ 【分析】由，求得，是与的比例中项，解一元二次方程即可求得， 【详解】∵， ∴， ∵是与的比例中项， ∴，即， 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了比例中项和公式法解一元二次方程，熟练掌握比例中项是解决问题的关键 11．如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【详解】解：、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项正确． 故选． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 12．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 题型四 黄金分割 13．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 14．如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义及给出的比例式，可知为线段的较长部分，利用黄金比进行计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点，且满足， 为较长线段，即， ， ． 15．矩形的长与宽分别为、，且下列数据能构成黄金矩形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据黄金矩形的定义，黄金矩形的宽与长的比值为，题目已规定长为，宽为，只需计算各选项的，匹配比值即可得到答案． 【详解】解：∵黄金矩形的宽与长的比值为，本题中长为，宽为， ∴需满足. A 、，得，错误，不符合题意； B 、，得，错误，不符合题意； C 、，得，错误，不符合题意； D 、，得，符合黄金矩形定义，正确，符合题意． 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故选：A． 题型五 由平行判断成比例的线段 17．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如： ____， ____． 【答案】 【解析】略 18．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定． 【详解】解：如图， 若使线段，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项D、B可判定； ＝，即＝，故选项C可判定； 而由不能判断，故A选项答案错误． 故选：A． 19．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为____________． 【答案】3 【分析】作 轴于, 轴于, 则, 得到 ，利用反比例函数系数k的几何意义得到设A点坐标为 即可得到点坐标为利用,得到 ，于是可计算出 的值． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则 设点坐标为， ∵， ， ， ， ∴点坐标为 ， ， ， ， 即， ， 解得， 故答案为:． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征, 由得到关于的方程是解题的关键． 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 20．如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 21．如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是_______． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵直线分别交直线，于点，，，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 22．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 23．如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】设，则，，根据平行线分线段成比例可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得：，即的长为． 题型七 证明三角形的对应线段成比例 24．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 25．如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 【答案】 【分析】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时可以转化为，三点共线取到最小值． 【详解】解：如图，延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小， ， ，， ， ， 为公共边， ， ， ， 当三点共线时取到最小值， ， ， 即,解得：， 又， ， 即， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解． 26．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 解答题 1．已知线段，延长到点，使，求，，的值． 【答案】，， 【分析】根据题意，画出图形，结合图形进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵， 故． ∴， ，． 2．已知分别表示三条线段的长，且满足． (1)求的值； (2)已知线段为的三条边，若的周长为36，求各边的长度． 【答案】(1) (2)各边的长度分别为 【分析】（1）设，则，代入求值即可； （2）的周长为36，由（1）可得，解方程得到后即可求出答案． 【详解】（1）解：设， 则， ． （2）解：的周长为36， ∴由（1）可得， 解得， 各边的长度分别为． 3．解答 (1)根据图示求线段比：； (2)试找出图中两组成比例的线段； (3)试找出线段的黄金分割点E．（，精确到） 【答案】(1) (2)线段成比例；线段成比例；线段成比例 (3)从点C向点B方向量取约处的点E即为线段的黄金分割点， 【分析】（1）根据线段长度求出线段的比即可； （2）根据线段长度计算得出成比例的线段即可； （3）根据黄金分割点定义计算黄金分割点的位置即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ∴线段成比例； ， ∴线段成比例； ， ∴线段成比例； （3）解：，线段的黄金分割点E，， ， ∴从点C向点B方向量取约处的点E即为线段的黄金分割点，． 4．如图，在中，，，，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的长为． 5．如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明：， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $