专题02二次函数的性质期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题02二次函数的性质期中复习讲义 知识点01.二次函数的定义与解析式 1.定义 一般地，形如y = ax² + bx + c (其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数，叫做二次函数。 自变量：x 因变量：y 最高次数：自变量 x 的最高次数是 2。 2.解析式的三种形式 3.解题步骤（通用流程） 设：根据已知条件，选择合适的解析式形式设出函数； 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组）； 解：解方程（组），求出未知系数 a,b,c（或 a,h,k、a,x1,x2）； 回代：将求出的系数代回所设解析式，整理成一般式或要求的形式。 知识点02.二次函数的核心性质 1.二次函数的增减性 （1）当 a>0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈下降趋势，在对称轴右侧部分呈上升趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 （2）当 a<0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈上升趋势，在对称轴右侧部分呈下降趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 2.二次函数最值 （1）当 a>0时：抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数有最小值 。 （2）当a<0 时：抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数有最大值。 知识点03：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 【补充】 （1）若两条抛物线的形状与开口方向相同，则它们的二次项系数 a 必相同； （2）由 a 的符号与对称轴x = -的位置共同确定b的符号。 知识点04：三种特殊简化形式的性质对比（基础模型） 模型 1：y=ax2(h=0,k=0) 对称轴：直线 x=0（y 轴）；顶点 (0,0) a>0：x=0 时 y最小=0；x<0减，x>0 增 a<0：x=0 时 y最大=0；x<0增，x>0减 模型 2：y=ax2+k(h=0) 对称轴：直线 x=0；顶点 (0,k) 仅顶点上下移动，增减区间不变，最值变为 k。 模型 3：y=a(x-h)2(k=0) 对称轴：直线 x=h；顶点 (h,0) 顶点左右平移，最值为 0，增减分界变为 x=h。 知识点05：抛物线对称性拓展性质 1.对称点坐标规律 若抛物线上两点纵坐标相等，则两点关于对称轴对称； 若点 A(x1,y0)、B(x2,y0) 在抛物线上，则对称轴： x= 2.点到对称轴距离与函数值大小关系 a>0：点到对称轴越远，函数值越大； a<0：点到对称轴越远，函数值越小； 用途：不用代入计算，快速比较多个点的函数值大小。 知识点06：比较抛物线上点的函数值大小三种方法 1.代入求值法：把横坐标代入解析式算出 y 再比较（计算量大）； 2.对称轴距离法（最优）：计算各点横坐标与 h 的距离，结合 a 正负判断； 3.草图法：画出简易抛物线，标出各点直观比较。 1、记错抛物线对称轴的表达式 易错提醒：对于y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴是直线x=-，不可遗漏负号；对称轴是一条直线，不能只写一个数字。 2、混淆开口方向与增减性的对应关系 易错提醒：a>0，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大；a<0，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小；增减性的分界是对称轴。 3、不加区分直接认定顶点为最大值点 易错提醒：a>0时，顶点处取得函数最小值；a<0时，顶点处取得函数最大值，必须依据a的符号做判断。 4、脱离对称轴直接判断函数增减性 易错提醒：不能单纯依靠自变量增大去判定y的变化；先要确定自变量所在区间相对于对称轴的位置，再结合开口方向判断增减规律。 5、误用“左同右异”忽略适用条件 易错提醒：“左同右异”用来判断a、b的符号关系：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴为y轴，则b=0；该规律的前提是a≠0。 6、误将常数c当作顶点纵坐标 易错提醒：常数项c是抛物线与y轴交点的纵坐标，不是顶点纵坐标；顶点纵坐标需要用公式进行计算。 7、比较函数值大小未参考到对称轴的距离 易错提醒：比较抛物线上两点的函数值，先求出两点到对称轴的水平距离；a>0，距离对称轴越远，函数值越大；a<0，距离对称轴越远，函数值越小。 8、限定自变量区间默认顶点取到最值 易错提醒：只有对称轴落在给定的自变量取值区间内部，顶点处才可取得最值；若对称轴不在该区间，则最值出现在区间的端点位置。 题型 考察方向 难度 题型一 y=ax2+bx+c的最值 ★★ 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型六 待定系数法求二次函数解析式 ★★ 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 y=ax2+bx+c的最值 1．抛物线的最大值是______． 【答案】4 【分析】先明确二次函数的一般形式与最值的关系，因为该二次函数二次项系数为负，所以抛物线开口向下，顶点处取得最大值．可选择配方法将函数解析式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标即为最大值；也可选择顶点纵坐标公式，代入对应系数计算得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴开口向下， ∴当时，y有最大值4． 2．二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 3．已知二次函数，当时y有最小值，则m的值为（     ） A． B． C．4 D．4或 【答案】C 【分析】由二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定范围内找到最小值对应点，代入求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数为，， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵ ，且在该区间内， ∴ 当时，取得最小值 由题意得 解得． 4．已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标_______； （2）当时，y有最小值，则实数m的值_______． 【答案】 【分析】（1）将二次函数整理为含和不含的两部分，令含的项系数为0，即可求出定点坐标； （2）二次函数开口向上，根据对称轴在区间的不同位置分三种情况讨论，计算最小值并求解符合条件的． 【详解】解：（1）整理二次函数得 令， 解得， 将代入得，结果与无关， 因此二次函数恒过定点； （2）∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： 当，即时，函数在上y随x的增大而增大，最小值在处取得，此时，不符合题意，舍去； 当，即时，最小值在对称轴处取得，代入得， 令， 整理得， 解得， ，，均不在范围内，舍去； 当，即时，函数在上y随x的增大而减小，最小值在处取得，代入得， 令， 解得，满足，符合题意． 综上，． 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 5．二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第___象限． 【答案】二/2 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴ 则一次函数经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键． 6．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 7．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及图象与轴的交点位置，结合图象特征逐一判断即可求解． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点位置不同（一个在正半轴一个在负半轴），故、错误； 对于选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右下降，则，矛盾，故错误； 对于选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右上升，则，且与轴交于正半轴，则，符合图象特征． 题型三 反比例函数、二次函数图象综合判断 8．已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把代入，求出的值，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 把，代入，得； 故选B． 9．如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　)    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象和性质；根据二次函数（）的图象可得，从而得到，，进而得到一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限，即可求解． 【详解】解：根据二次函数（）的图象得： ， ∴，， ∴一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限． 故选：A 10．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数 的开口方向、对称轴位置确定 、 的符号，进而判断 的符号，结合反比例函数 的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵，∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵，∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵，∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵，∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意． 题型四 两个二次函数图象综合判断 11．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可. 【详解】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键. 12．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 13．如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取，代入三个函数表达式得：三个函数值分别为， 由图象可知：直线与三个函数图象的交点纵坐标从上到下依次为， 故 题型五 根据二次函数的图象判断式子符号 14．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）    A． B． C． D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴． ∴，故A正确，A选项符合题意； 由图像可知对称轴，， ∴，故B错误，B选项不符合题意； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故C错误，C选项不符合题意； 由图象可知，时，只有一个解，， ∴有两个相等的实数根，故D错误，D选项不符合题意； 故选∶A． 15．已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④．其中正确结论是______（写序号）． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可得，，的符号及与的关系，函数图象与轴有两个交点，由图象可得时，时函数取最大值，逐一分析判断各结论即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交点在轴上方， ，． ，故结论①错误； 抛物线与轴有2个交点， ，即，故结论②错误； 由图象可知，对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等． 当时，， 又， ． ， ，故结论③正确； 当时，可有， 当时函数值为， 又时函数取最大值， ，即． 又， ，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有③④． 故答案为：③④． 16．已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 题型六 待定系数法求二次函数解析式 17．若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象开口向下可知，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：把原点代入抛物线解析式，得， 解得， ∵函数开口向上，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键． 18．已知抛物线的顶点坐标为，且图象过点，则此抛物线的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设此抛物线的解析式为，然后把代入求出即可，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为， ∴设此抛物线的解析式为， ∵图象过点， ∴，解得：， ∴此抛物线的解析式为 故答案为： 19．如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于，两点，若，抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，得到，，然后根据二次函数的对称性求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵，点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 将代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为． 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 20．已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标；根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； 抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴图象的顶点坐标为． 故选：A． 21．如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________． 【答案】 【分析】由二次函数图象经过点，对称轴为直线，可以求得其关于对称轴对称点的坐标，即可解答． 【详解】解：∵二次函数图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数图象经过点， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 22．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 23．用描点法画二次函数（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 … y … m 0 4 … 从表中信息可得m值为（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是利用二次函数图象的对称性质确定对称轴，进而求解的值． 先根据表格中值相同的点确定二次函数的对称轴，再根据对称轴的对称性找到与对称的点，从而求出的值． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴对称轴为直线， ∵点与点关于对称轴对称，且时， ∴时，即． 故选：A． 24．已知点，点是二次函数图像上的两个点，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：依题意得：对称轴， 故和关于对称轴对称， 故． 故答案为：． 25．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用表格中函数值相等的两点求出抛物线对称轴，再结合二次函数性质判断各选项． 【详解】解：由和时， 得二次函数对称轴为直线； ∵时，时， ∴ 抛物线开口向下，选项不符合题意； ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随增大而增大，时随增大而减小， ∴选项不符合题意； ∵ 对称轴为直线，时， ∴ 顶点坐标为，选项不符合题意； ∵与关于直线对称， ∴ 对应函数值相等，即，选项符合题意． 题型九 利用二次函数对称性求最短路径 26．如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 27．中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作，交的延长线于点，根据题意可得，设，则，，由可得，进而得到，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 28．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先求出抛物线表达式为，及对称轴为直线，连接，当点三点共线时，最小，求出直线表达式为，进而求出结论． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， 解得：， ， ∴此抛物线对称轴为直线， 连接， ∵点在抛物线的对称轴上， ， ， ∴当三点共线时，最小， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ， 设直线表达式为，把，代入， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 解答题 1．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)若，求抛物线的表达式； (2)若二次函数的最大值为6，求a的值； (3)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于，B两点， ， ． ， ． ， ∴抛物线开口向下， ． 将，代入中， 得，解得． ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，二次函数有最大值， 即， ． ∵抛物线过点， 将代入中，得， 即， ，即； （3）解：由（1）知抛物线的对称轴为直线，， 关于对称轴对称的点的坐标为． 当点P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大， 由，得； 当点P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小， 由，得． 综上所述，的取值范围为或． 2．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值： (3)当时，函数的最大值为32． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据抛物线对称性列方程计算即可； （3）①分情况讨论：若时，则当时，的最大值为0，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值； ②求出点和点之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，求出，，由或可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是； （2）解：∵抛物线的对称轴为，，是该抛物线上的两个点，且， ∴， 解得； （3）解：①∵由（1）知该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的最大值为32，则，解得； 当时，抛物线开口向下，，则当时，的最大值为0，这与的最大值为32相矛盾，故不符合题意． 综上，的值为2； ②由①知该抛物线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴的最小值为0． ∵，两点在对称轴两侧， ∴， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为2， ∴点M和点N之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2， 当时，得，解得，， 即抛物线上纵坐标为2的点为和， 当时，则，解得， 当时，则，得，解得， 综上，t的取值范围是． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 4．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数的性质期中复习讲义 知识点01.二次函数的定义与解析式 1.定义 一般地，形如y = ax² + bx + c (其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数，叫做二次函数。 自变量：x 因变量：y 最高次数：自变量 x 的最高次数是 2。 2.解析式的三种形式 3.解题步骤（通用流程） 设：根据已知条件，选择合适的解析式形式设出函数； 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组）； 解：解方程（组），求出未知系数 a,b,c（或 a,h,k、a,x1,x2）； 回代：将求出的系数代回所设解析式，整理成一般式或要求的形式。 知识点02.二次函数的核心性质 1.二次函数的增减性 （1）当 a>0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈下降趋势，在对称轴右侧部分呈上升趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 （2）当 a<0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈上升趋势，在对称轴右侧部分呈下降趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 2.二次函数最值 （1）当 a>0时：抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数有最小值 。 （2）当a<0 时：抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数有最大值。 知识点03：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 【补充】 （1）若两条抛物线的形状与开口方向相同，则它们的二次项系数 a 必相同； （2）由 a 的符号与对称轴x = -的位置共同确定b的符号。 知识点04：三种特殊简化形式的性质对比（基础模型） 模型 1：y=ax2(h=0,k=0) 对称轴：直线 x=0（y 轴）；顶点 (0,0) a>0：x=0 时 y最小=0；x<0减，x>0 增 a<0：x=0 时 y最大=0；x<0增，x>0减 模型 2：y=ax2+k(h=0) 对称轴：直线 x=0；顶点 (0,k) 仅顶点上下移动，增减区间不变，最值变为 k。 模型 3：y=a(x-h)2(k=0) 对称轴：直线 x=h；顶点 (h,0) 顶点左右平移，最值为 0，增减分界变为 x=h。 知识点05：抛物线对称性拓展性质 1.对称点坐标规律 若抛物线上两点纵坐标相等，则两点关于对称轴对称； 若点 A(x1,y0)、B(x2,y0) 在抛物线上，则对称轴： x= 2.点到对称轴距离与函数值大小关系 a>0：点到对称轴越远，函数值越大； a<0：点到对称轴越远，函数值越小； 用途：不用代入计算，快速比较多个点的函数值大小。 知识点06：比较抛物线上点的函数值大小三种方法 1.代入求值法：把横坐标代入解析式算出 y 再比较（计算量大）； 2.对称轴距离法（最优）：计算各点横坐标与 h 的距离，结合 a 正负判断； 3.草图法：画出简易抛物线，标出各点直观比较。 1、记错抛物线对称轴的表达式 易错提醒：对于y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴是直线x=-，不可遗漏负号；对称轴是一条直线，不能只写一个数字。 2、混淆开口方向与增减性的对应关系 易错提醒：a>0，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大；a<0，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小；增减性的分界是对称轴。 3、不加区分直接认定顶点为最大值点 易错提醒：a>0时，顶点处取得函数最小值；a<0时，顶点处取得函数最大值，必须依据a的符号做判断。 4、脱离对称轴直接判断函数增减性 易错提醒：不能单纯依靠自变量增大去判定y的变化；先要确定自变量所在区间相对于对称轴的位置，再结合开口方向判断增减规律。 5、误用“左同右异”忽略适用条件 易错提醒：“左同右异”用来判断a、b的符号关系：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴为y轴，则b=0；该规律的前提是a≠0。 6、误将常数c当作顶点纵坐标 易错提醒：常数项c是抛物线与y轴交点的纵坐标，不是顶点纵坐标；顶点纵坐标需要用公式进行计算。 7、比较函数值大小未参考到对称轴的距离 易错提醒：比较抛物线上两点的函数值，先求出两点到对称轴的水平距离；a>0，距离对称轴越远，函数值越大；a<0，距离对称轴越远，函数值越小。 8、限定自变量区间默认顶点取到最值 易错提醒：只有对称轴落在给定的自变量取值区间内部，顶点处才可取得最值；若对称轴不在该区间，则最值出现在区间的端点位置。 题型 考察方向 难度 题型一 y=ax2+bx+c的最值 ★★ 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型六 待定系数法求二次函数解析式 ★★ 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 y=ax2+bx+c的最值 1．抛物线的最大值是______． 2．二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知二次函数，当时y有最小值，则m的值为（     ） A． B． C．4 D．4或 4．已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标_______； （2）当时，y有最小值，则实数m的值_______． 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 5．二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第___象限． 6．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B．C．D． 7．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（     ） A． B． C． D． 题型三 反比例函数、二次函数图象综合判断 8．已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 9．如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　)    A．   B．   C．   D．   10．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型四 两个二次函数图象综合判断 11．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 13．如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型五 根据二次函数的图象判断式子符号 14．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）    A． B． C． D．有两个不相等的实数根 15．已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④．其中正确结论是______（写序号）． 16．已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 题型六 待定系数法求二次函数解析式 17．若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（   ）    A． B． C． D． 18．已知抛物线的顶点坐标为，且图象过点，则此抛物线的解析式为_____． 19．如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于，两点，若，抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 20．已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 21．如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________． 22．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 23．用描点法画二次函数（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 … y … m 0 4 … 从表中信息可得m值为（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．1 24．已知点，点是二次函数图像上的两个点，则与的大小关系是______． 25．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 题型九 利用二次函数对称性求最短路径 26．如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________．    27．中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 28．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 解答题 1．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)若，求抛物线的表达式； (2)若二次函数的最大值为6，求a的值； (3)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 2．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值： (3)当时，函数的最大值为32． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 4．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $