第1章 二次函数全章题型专练（14大题型）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以14类题型为框架，系统整合二次函数从基础性质到综合应用的解题方法，突出分类讨论、待定系数法等核心技巧，知识逻辑从概念到应用层层递进，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质与图象|题型1-2（含表格归纳）|定义+图象特征+系数符号判断|从定义到图象性质，建立a/b/c与抛物线特征的关联| |函数综合与变换|题型3-6（含平移规律）|函数图象辨析+平移法则+区间最值分类讨论|结合一次/反比例函数综合，通过变换深化图象认知| |核心技能与应用|题型7-14（含几何/实际问题）|待定系数法+临界点分析+建模思想|从解析式求解到几何综合、实物/营销建模，体现应用意识|

专题01 二次函数 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数的图象和性质的综合 题型02 二次函数的图象与各项系数的符号 题型03 二次函数与一次函数图象的综合问题 题型04 二次函数与反比例函数的图象综合问题 题型05 与二次函数最值有关的参数讨论问题 题型06 二次函数的图象平移问题 题型07 待定系数法求二次函数解析式 题型08 二次函数临界点问题 题型09自定义背景下的二次函数问题 题型10二次函数与几何的综合问题 题型11二次函数实物建模问题 题型12二次函数营销问题 题型13二次函数与特殊三角形的综合 题型14二次函数与特殊四边形的综合 ▌题型01 二次函数的图象和性质的综合 1. 二次函数的性质 (1)定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数 (2)图象：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，顶点坐标是(－，)，对称轴是直线x＝ (3)二次函数的最值和增减性问题 — 开口方向和最大(小)值 增减性 x＞－ x＝－ x<－ a＞0 开口向上，有最小值 y随x的增大而增大 y取到最小值 y随x的增大而减小 a＜0 开口向下，有最大值 y随x的增大而减小 y取到最大值 y随x的增大而增大 【典例1】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式1-3】（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． ▌题型02 二次函数的图象与各项系数的符号 系数与判别式 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b＝0 对称轴为 y轴  ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在 y轴右侧 c c＝0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 【典例1】二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①； ②； ③； ④当函数值时，自变量x的取值范围是． 其中正确结论的序号是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【变式1-1】二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①； ②； ③； ④当函数值时，自变量x的取值范围是． 其中正确结论的序号是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【变式1-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；若关于的方程有实数根，则． 其中正确的结论有______．（填写序号） 【变式1-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；若关于的方程有实数根，则． 其中正确的结论有______．（填写序号） ▌题型03 二次函数与一次函数图象的综合问题 【典例1】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C． D． 【变式1-1】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C．D． 【变式1-2】（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B．C．D． 【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知二次函数经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌题型04 二次函数与反比例函数的图象综合问题 【典例1】（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式1-3】（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B．C．D． ▌题型05 与二次函数最值有关的参数讨论问题 二次函数区间最值问题 1．根据题意画草图； 2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴为直线x＝t，在m≤x≤n范围内取最值． 分类讨论，以a＞0为例： (1)如图①，对称轴在区间的右侧，即m＜n＜t. 当x＝m时，y取最大值，当x＝n时，y取最小值 (2)对称轴在区间的中间，即m＜t＜n. ①如图②，若x＝m更接近对称轴，则当x＝n时，y取最大值，当x＝t时，y取最小值． ②如图③，若x＝n更接近对称轴，则当x＝m时，y取最大值，当x＝t时，y取最小值． (3)如图④，对称轴在区间的左侧，即t＜m＜n. 当x＝m时，y取最小值，当x＝n时，y取最大值． 3．轴动区间定 对于求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次项系数或一次项系数含参时的最值，比较函数图象对称轴与所给x的取值范围的大小，进行分类讨论，方法同上． 图① 图② 图③ 图④ 【典例1】（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【变式1-1】（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【变式1-2】（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【变式1-3】（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． ▌题型06 二次函数的图象平移问题 将抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)平移m(m＞0)个单位长度： ①向左平移，得y1＝a(x－h＋m)2＋k； ②向右平移，得y2＝a(x－h－m)2＋k； ③向上平移，得y3＝a(x－h)2＋k＋m； ④向下平移，得y4＝a(x－h)2＋k－m. 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，点在抛物线上，且在对称轴的右侧． (1)m的值为_______． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【变式1-1】（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（、为常数，），当时函数值有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（2026·上海闵行·一模）如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”．若将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点为“龙点”，则a的值为（   ） A． B． C． D． ▌题型07 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【变式1-1】二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【变式1-2】如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【变式1-3】（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． ▌题型08 二次函数临界点问题 【典例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表： 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______ (2)已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 【变式1-1】（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． (1)①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． (2)①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． (3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． ▌题型09 自定义背景下的二次函数问题 【典例1】【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【变式1-1】【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是__________． 【变式1-3】（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． ▌题型10 二次函数与几何的综合问题 【典例1】【问题提出】 （1）如图①，中，，，，矩形为的内接矩形（、、分别在、、上），，求矩形的面积． 【问题解决】 （2）如图②，某公园管委会想将一个五边形场地建造成儿童乐园，经测量知：，，，，，现准备建造一个矩形场地，摆放游乐设施，其中、分别在、上，边在上，求出矩形场地的最大面积． 【变式1-1】（2026九年级下·天津红桥·学业考试）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式1-2】如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为． (1)当点在边上时，用含的代数式表示的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与的函数解析式，并写出的取值范围． 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． (1)点的坐标是______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． ▌题型11 二次函数实物建模问题 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的高度A处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 n 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时球到起始点的水平距离是_____，表格中n值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后是否能落到对面球台上，请说明理由． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【变式1-3】（25-26八年级下·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． (1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ ▌题型12 二次函数营销问题 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1-1】（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【变式1-3】（25-26八年级下·福建福州·期末）【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． (1)任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． (2)任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 (3)任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． ▌题型13 二次函数与特殊三角形的综合 【典例1】（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，抛物线顶点D的坐标为，连接，，，，抛物线对称轴与相交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)若点P是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． ▌题型14 二次函数与特殊四边形的综合 【典例1】（25-26九年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，其横坐标为，直线交该抛物线的对称轴于点，点、关于点的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)写出点的坐标___________； (3)当点在第一象限时，四边形的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求的取值范围； (4)直接写出使得四边形成为轴对称图形时的值． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【变式1-2】（2026·吉林·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线． (1)_______，抛物线与轴的交点坐标为_______； (2)当，求的取值范围． (3)已知点在抛物线上，且点的横坐标为，为平面内一点． ①若点在抛物线上时，求的值； ②已知点与点关于点成中心对称，以，为邻边作．当抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，且抛物线与的边只有两个交点时，并且交点的纵坐标之差为时，直接写出的取值范围． 【变式1-3】（2026·辽宁盘锦·三模）如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； (3)如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数的图象和性质的综合 题型02 二次函数的图象与各项系数的符号 题型03 二次函数与一次函数图象的综合问题 题型04 二次函数与反比例函数的图象综合问题 题型05 与二次函数最值有关的参数讨论问题 题型06 二次函数的图象平移问题 题型07 待定系数法求二次函数解析式 题型08 二次函数临界点问题 题型09自定义背景下的二次函数问题 题型10二次函数与几何的综合问题 题型11二次函数实物建模问题 题型12二次函数营销问题 题型13二次函数与特殊三角形的综合 题型14二次函数与特殊四边形的综合 ▌题型01 二次函数的图象和性质的综合 1. 二次函数的性质 (1)定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数 (2)图象：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，顶点坐标是(－，)，对称轴是直线x＝ (3)二次函数的最值和增减性问题 — 开口方向和最大(小)值 增减性 x＞－ x＝－ x<－ a＞0 开口向上，有最小值 y随x的增大而增大 y取到最小值 y随x的增大而减小 a＜0 开口向下，有最大值 y随x的增大而减小 y取到最大值 y随x的增大而增大 【典例1】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 【变式1-3】（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． ▌题型02 二次函数的图象与各项系数的符号 系数与判别式 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b＝0 对称轴为 y轴  ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在 y轴右侧 c c＝0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 【典例1】二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①； ②； ③； ④当函数值时，自变量x的取值范围是． 其中正确结论的序号是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数图象得出的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ， 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为， 所以， 则， 即． 故②正确． 由上述过程可知， ， 即，故③错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为． 又因为抛物线的开口向上， 所以当时，函数图象在x轴下方，即． 所以当函数值时，自变量x的取值范围是． 故④正确． 故选：C． 【变式1-1】二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①； ②； ③； ④当函数值时，自变量x的取值范围是． 其中正确结论的序号是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数图象得出的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ， 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为， 所以， 则， 即． 故②正确． 由上述过程可知， ， 即，故③错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为． 又因为抛物线的开口向上， 所以当时，函数图象在x轴下方，即． 所以当函数值时，自变量x的取值范围是． 故④正确． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；若关于的方程有实数根，则． 其中正确的结论有______．（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，即可判断；由抛物线对称轴，又，则当时可判断；由抛物线过和两点，则，故，即可判断；由抛物线可得顶点坐标，再根据关于的方程有实数根可判断． 【详解】解：已知抛物线过和两点，则对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∵，则， 当时，，则， ∴，故结论正确； ∵抛物线对称轴，又， ∴当，，故结论正确； ∵抛物线过和两点， ∴， ∴两式相减解得， ∵， ∴，解得，故结论正确； 由抛物线可得顶点坐标， ∵关于的方程有实数根， ∴， ∵， ∴，故结论错误； 综上可知：正确， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；若关于的方程有实数根，则． 其中正确的结论有______．（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，即可判断；由抛物线对称轴，又，则当时可判断；由抛物线过和两点，则，故，即可判断；由抛物线可得顶点坐标，再根据关于的方程有实数根可判断． 【详解】解：已知抛物线过和两点，则对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∵，则， 当时，，则， ∴，故结论正确； ∵抛物线对称轴，又， ∴当，，故结论正确； ∵抛物线过和两点， ∴， ∴两式相减解得， ∵， ∴，解得，故结论正确； 由抛物线可得顶点坐标， ∵关于的方程有实数根， ∴， ∵， ∴，故结论错误； 综上可知：正确， 故答案为：． ▌题型03 二次函数与一次函数图象的综合问题 【典例1】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 【变式1-1】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【变式1-2】（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得． 【详解】解：由已知函数图象得，，，， ∴函数的图象开口向上，， 即其图象的对称轴直线在轴的左侧． ∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，． 故选B． 【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知二次函数经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一次函数图象和性质，熟练掌握两个函数图象的性质是解题的关键． 利用二次函数图象和一次函数图象性质即可解答此题． 【详解】解：根据二次函数图象的性质，二次函数经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）， 则， ， 则直线，随的增大而减小，且与轴交于负半轴， ∴直线不经过第一象限． 故选：A． ▌题型04 二次函数与反比例函数的图象综合问题 【典例1】（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象经过的象限可判断出的符号，则可确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴； ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于y轴的正半轴，对称轴在y轴左侧，且开口向下， ∴四个选项中只有B选项中的函数图象符合题意． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 【变式1-3】（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征． 先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项． 【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距， 当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限， ，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交． 综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确， 故选：A． ▌题型05 与二次函数最值有关的参数讨论问题 二次函数区间最值问题 1．根据题意画草图； 2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴为直线x＝t，在m≤x≤n范围内取最值． 分类讨论，以a＞0为例： (1)如图①，对称轴在区间的右侧，即m＜n＜t. 当x＝m时，y取最大值，当x＝n时，y取最小值 (2)对称轴在区间的中间，即m＜t＜n. ①如图②，若x＝m更接近对称轴，则当x＝n时，y取最大值，当x＝t时，y取最小值． ②如图③，若x＝n更接近对称轴，则当x＝m时，y取最大值，当x＝t时，y取最小值． (3)如图④，对称轴在区间的左侧，即t＜m＜n. 当x＝m时，y取最小值，当x＝n时，y取最大值． 3．轴动区间定 对于求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次项系数或一次项系数含参时的最值，比较函数图象对称轴与所给x的取值范围的大小，进行分类讨论，方法同上． 图① 图② 图③ 图④ 【典例1】（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 【变式1-1】（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 【变式1-2】（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）抛物线对称轴，代入，对称轴可得，； （2）由（1）得抛物线解析式为，代入得，故，，分三种情况讨论：①，②，③，分别分析各个情况的最大值最小值，代入条件求t的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，对称轴是直线，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上，， ∴， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴， ， 该抛物线的顶点坐标为， 分三种情况讨论： ①当，即时， 当时，函数值最大：， 当时，函数值最小：， ∵函数的最大值与最小值之差为，即， ∴，解得：，符合； ②当，即时， 函数最小值为顶点纵坐标， ， 最大值最大能在或时取得， 当时，，当时，， 最大值减最小值最大只能为，不可能等于6， 故t不可能取到； ③当时， 当时，函数值最大， 当，函数值最小， ∴，解得：，符合； 综上所述：或． 【变式1-3】（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）抛物线对称轴，代入，对称轴可得，； （2）由（1）得抛物线解析式为，代入得，故，，分三种情况讨论：①，②，③，分别分析各个情况的最大值最小值，代入条件求t的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，对称轴是直线，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上，， ∴， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴， ， 该抛物线的顶点坐标为， 分三种情况讨论： ①当，即时， 当时，函数值最大：， 当时，函数值最小：， ∵函数的最大值与最小值之差为，即， ∴，解得：，符合； ②当，即时， 函数最小值为顶点纵坐标， ， 最大值最大能在或时取得， 当时，，当时，， 最大值减最小值最大只能为，不可能等于6， 故t不可能取到； ③当时， 当时，函数值最大， 当，函数值最小， ∴，解得：，符合； 综上所述：或． ▌题型06 二次函数的图象平移问题 将抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)平移m(m＞0)个单位长度： ①向左平移，得y1＝a(x－h＋m)2＋k； ②向右平移，得y2＝a(x－h－m)2＋k； ③向上平移，得y3＝a(x－h)2＋k＋m； ④向下平移，得y4＝a(x－h)2＋k－m. 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，点在抛物线上，且在对称轴的右侧． (1)m的值为_______． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的平移、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入得到，解得，再根据点P在对称轴的右侧可得； （2）先求出平移后抛物线的顶点坐标为；再求出平移前抛物线的顶点坐标，然后确定平移方式，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得： ，解得：． 点P在对称轴的右侧， ， ． （2）解：平移后的抛物线的表达式为， 平移后的顶点的坐标为． 抛物线上， ∴平移前抛物线的顶点的坐标为， 胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 点移动的最短路程． 【变式1-1】（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（、为常数，），当时函数值有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据平移后过原点得到与的关系，再结合二次函数开口方向分情况讨论，利用时的最大值为求解． 【详解】∵二次函数向左平移个单位后经过原点， ∴平移后的解析式为， ∵图像过， ∴， ∴， ∴原函数可化为，对称轴为，且在这个范围内， 分两种情况讨论： （1） 当时，抛物线开口向上，区间内离对称轴越远函数值越大 ∵离对称轴最远 ∴代入得最大值为 ∵最大值为， ， ∴ （2） 当时，抛物线开口向下，顶点在区间内，最大值在顶点处取得 代入得， ∵最大值为， ， ∴ 综上，的值为或． 【变式1-2】（2026·上海闵行·一模）如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数自变量函数值的计算，根据抛物线，得对称轴为直线，设和的横坐标分别为，，所以，则，即与的横坐标和为，同理与的横坐标和为，与的横坐标和为，由此即可求解，掌握二次函数平移的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得：， ， ， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∵将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点； ， ∴将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， 同理，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，交轴于点， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∴这个点的横坐标之和， 故选： ． 【变式1-3】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”．若将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点为“龙点”，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，二次函数的顶点式，平面直角坐标系的新定义，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据题意将解析式化为顶点式，进而根据平移的性质得出抛物线的顶点坐标为，根据新定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点为“龙点”， ， 解得或， ， ． ▌题型07 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 【变式1-1】二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 【变式1-2】如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到当时，结合函数图象可得到当时，y的取值范围为． 【详解】（1）解：（1）把分别代入得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最小值， ∴时，y的取值范围为． 【变式1-3】（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得 ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为 ， 将点代入上式，得． ▌题型08 二次函数临界点问题 【典例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表： 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______ (2)已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当或时，线段与抛物线有交点 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把和代入二次函数进行求解即可； （2）令时，则有，则有抛物线与直线的交点坐标为和，然后可得或，进而求解即可． 【详解】（1）解：当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； （2）解：令时，则有， 解得：， ∴抛物线与直线的交点坐标为和， ∵线段与抛物线有交点， ∴点或需在线段上， ∵点，， ∴或， 解得：或； ∴当或时，线段与抛物线有交点． 【变式1-1】（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②存在，t的值为或． 【分析】（1）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （2）①根据题意得出方程有两个相等的实数根，即，进而得出，根据“二倍点”的定义得出“二倍点”的坐标为．代入得出，进而求得的值，代入解析式，即可求解； ②先化为顶点式，，分类讨论，①当，②当，③当时，根据二次函数的性质求得最小值，根据题意列出方程，即可求得的值． 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，无解 ③不符合题意； 综上所述，只有一个“二倍点”的是① （2）①抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即． ． ． 联立与，得，． “二倍点”的坐标为． 将代入，得． ． ， 解得． ． 二次函数的表达式为． ②存在，t的值为或． ． ①当，即时，在处y有最小值， ， 即， 解得（舍去），． ②当，即时，y的最小值为， 令，得（舍去）． ③当时，在处y有最小值， ， 解得，（舍去）． 综上所述，t的值为或． 【变式1-3】（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． (1)①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． (2)①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． (3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键． （1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解； （2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可； （3）结合图像，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过和两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式， ②， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为． （2）解： ①当时，，由对称性可得， 当时，， 解得，， ，， 设图象的解析式为， 将代入，得， ， ， 图象位于线段上方部分对应的函数关系式为， ∴图象的解析式为； ②对于，对称轴为，时，随增大而增大； 对于，对称轴为，时，随增大而增大， ∴随增大而增大时的取值范围是或． （3）解：如图，直线与图象有个交点时，有两种情况， 一种情况是直线过点，把代入，得，解得； 另一种情况是直线与相切， 联立方程，消去得，即， 令判别式，解得； 综上所述，或． ▌题型09 自定义背景下的二次函数问题 【典例1】【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】(1)①8；②2 (2)4 (3)5或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为， 故答案为： ②， ∵， ∴ ∴函数的“最优纵横值”为2 （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得： ∴ ∴ ∵最优纵横值为5， ∴ ∴ （3）解： 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 【变式1-1】【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】(1)①8；②2 (2)4 (3)5或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为， 故答案为： ②， ∵， ∴ ∴函数的“最优纵横值”为2 （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得： ∴ ∴ ∵最优纵横值为5， ∴ ∴ （3）解： 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次函数的图象与性质，将问题转化为图象交点问题是解题关键． 设是二次函数图象上的任意一点，将化为，问题转化为二次函数与直线在上只有一个交点，数形结合即可解答． 【详解】解：设是二次函数图象上的任意一点， 则由题可知方程在上只有一个解， 化为， 即二次函数与直线在上只有一个交点， 如图： 则或， ∴或， 故答案为：或． 【变式1-3】（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． ▌题型10 二次函数与几何的综合问题 【典例1】【问题提出】 （1）如图①，中，，，，矩形为的内接矩形（、、分别在、、上），，求矩形的面积． 【问题解决】 （2）如图②，某公园管委会想将一个五边形场地建造成儿童乐园，经测量知：，，，，，现准备建造一个矩形场地，摆放游乐设施，其中、分别在、上，边在上，求出矩形场地的最大面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可得，从而得出，由相似三角形的性质得出，求出，即可得解； （2）连接交于，交于，证明四边形为矩形，得出，，，证明为直角三角形，且，求出，，由矩形的性质可得，，证明四边形为矩形，得出，，设，则，，求出，从而可得，表示出矩形场地的面积为，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）∵矩形为的内接矩形（、、分别在、、上）， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （2）如图，连接交于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形场地的面积为， ∵， ∴当时，矩形场地的面积最大，为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、二次函数的应用、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式1-1】（2026九年级下·天津红桥·学业考试）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①（）②的取值范围为 【分析】（1）过点作于点，根据是等腰直角三角形，得到，得到点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标． （2）①先根据平移规律表示出平移后正方形各顶点的坐标，求出直线的解析式，结合重叠部分为五边形的图形特征，通过“正方形面积减去空白等腰直角三角形面积”的方法表示出重叠面积，并根据交点的位置范围确定的取值范围； ②根据平移过程中重叠部分的形状变化进行分段讨论，结合各段对应函数的增减性，分别求出给定区间内的最大值与最小值，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是, 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是； 故答案为：；； （2）解：正方形沿轴向右平移个单位后，顶点坐标为： ，，，， 直线：过、，解析式为； 直线：过、，斜率为，解析式为 ①是竖直线，与交于； 是水平线，与交于， 重叠部分为五边形时，在边上，在边上， 解得， 此时重叠面积正方形面积左上角的面积， 是等腰直角三角形，直角边长， ， 正方形面积为，因此： ； ②分三段分析函数单调性与最值： 当时，，开口向下，对称轴为，随增大而增大， 时，；时，； 当时，正方形右上角被切去等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 当时，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 的取值范围为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形在坐标系中的位置与平移，等腰直角三角形的性质、正方形的性质，分情况讨论确定重叠部分的面积． 【变式1-2】（2026·吉林·一模）如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为． (1)当点在边上时，用含的代数式表示的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，点落在边上 (3) 【分析】本题属于四边形动点问题，计算量较大，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，三角函数，解题的关键是利用分类讨论思想分别画出图形，利用三角函数进行求解． （1）根据题意得出，再由三角函数确定，，即可求解； （2）依据题意，当点落在上时，，得到，通过求解三角形得到，进而完成求解． （3）需要分三种情况讨论，①当点在上，点在矩形内部或者边上时，全部在矩形内部，求出，即可得到答案；②当点在上，点不在矩形边上时，重叠部分的面积即与面积之差，先求出的值，列出，求解三角形得到，进而得到的面积，最终完成求解；③当点在上，利用三角形的面积公式即可完成求解． 【详解】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵点在边上， ∴当点F与点D重合时，， ∴； （2）解：如图所示，当点落在上时， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵点运动速度为每秒个单位长度， ∴点落在边上时，运动了秒． 故当时，点落在边上． （3）解：因，故的最大值为， ①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部， 此时为直角三角形，，， ∵， ∴， ∴等边三角形的高为， ∴面积为， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ②当点在上，点不在矩形边上时， 此时，，， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴等边与矩形重叠部分的面积为， 当时，达到临界值，即时，， ，此时． ③当时，点在上，点不在矩形边上时， 此时，， ∴， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ∴与的函数解析式为 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． (1)点的坐标是______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何动点问题综合，涉及含角直角三角形的性质、二次函数性质、一元一次方程、勾股定理，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键． （1）根据含角直角三角形的三边关系得到、的长，即可得解； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）先确定的取值范围，然后分类讨论：当时；当时；根据三角形和梯形面积公式分别列式即可解答． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； 故答案为：； （2）解：当点和点重合时，则， 依题意得：，， 则，， ， 解得， 即当点与点重合时，； （3）解：当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动， ， 分两种情况讨论： 当时，如图， ， ， ； ②当时，如图，交于点， ， ， ， ， ； 综上所述，． ▌题型11 二次函数实物建模问题 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的高度A处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 n 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时球到起始点的水平距离是_____，表格中n值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后是否能落到对面球台上，请说明理由． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为 0 时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为 0 时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ， 故答案为：230；45． （2）解：设， 把代入中得， 解得：， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时， 则此时抛物线解析式为， 在中，当时， 解得：或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【答案】(1) (2)解：当时，， 解得或（舍去） ∵，且， ∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方； (3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）当时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可； （3）求出直线的解析式，设，则，得出的最大值，然后根据临界点求值进行判断． 【详解】（1）解：根据题意得，，抛物线顶点坐标为， 假设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：略； （3）解：设的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患， 当时，， 解得， ∵， ∴不存在遮挡不足问题 ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 【变式1-3】（25-26八年级下·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． (1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 【答案】(1)； (2) (3)能获得满分 【分析】（1）用x表示t，并代入y关于t的表达式中即可； （2）观察图象即可； （3）令，求得x的值，据此即可判断． 【详解】（1）解：当离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； 离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； （2）解：观察图象知，从下往上，离手角度分别为，显然，离手角度为时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； （3）解：令， 解得（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴以最佳离手角度投掷实心球时，能获得满分． ▌题型12 二次函数营销问题 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2) (3)定价56元，最大利润2112元 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数关系式，求一次函数关系式，求二次函数的最大值． （1）根据原来每天的销售量加上增加的个数可得关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量可得关系式； （3）将二次函数关系式配方得出顶点式，再结合二次函数图象的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，且； （2）解：， 所以函数关系式为； （3）解：， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112， 此时定价为. 所以当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润为2112元． 【变式1-1】（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1) 一次， (2) 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3) 45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1) 一次， (2) 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3) 45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 【变式1-3】（25-26八年级下·福建福州·期末）【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． (1)任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． (2)任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 (3)任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 【答案】(1)； (2)①这组数据的总误差为；②当时，这组数据的总误差取得最小值； (3)最优拟合模型利润更高． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先提取5组散点坐标：，，，，根据题意列式计算即可求解； ②利用二次函数的性质求解即可； （3）分小明模型和最优拟合模型两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将和代入，得： ，解得， ∴这条直线的解析式为； （2）解：①先提取5组散点坐标：，，，， ∵， ∴ ； ②∵， ∴开口向上， ∴最小值在时，取得最小值； （3）解：小明模型：，时， 预测备货量（杯）， 实际需求173杯， 备货170杯全部售出，利润（元）， 最优拟合模型：，， 代入， 得 ， 备货取整数176杯，实际需求173杯， 未售出（杯）， 则（元）， ， ∴最优拟合模型利润更高． ▌题型13 二次函数与特殊三角形的综合 【典例1】（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)√；√；×； (2) 不存在，理由如下： 由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得： ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； ∵， ∴在直线上， 联立 消去得， 即 ∴ ∴不在抛物线上，故不存在 (3)代数式的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可，再联立抛物线与直线，得出无交点，即可求解； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）略 （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【变式1-2】（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）把两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点与点关于对称轴对称，所以与抛物线对称轴的交点为，此时最小，即最小值等于线段长，求出直线与抛物线对称轴交点坐标即可； （3）分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①，②，设出点 P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；ii）当是以为底的等腰三角形时，点 P 在的垂直平分线上，，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由抛物线的对称性可知点与点关于抛物线的对称轴对称， 设与抛物线对称轴的交点为，连接，此时最小，即最小值，如图， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点与点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ． （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ， 设点的坐标为， ， ， 分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若，则，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为； ②若，则，解得， 所以点 P 的坐标为或； ii）当是以为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是或或或． 【变式1-3】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，抛物线顶点D的坐标为，连接，，，，抛物线对称轴与相交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)若点P是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2) 证明：由抛物线的表达式知，点B，C的坐标分别为，， 由点B，C，D的坐标得， ， ， ， ， 即为直角三角形， ， 在中， ， 即． (3)存在点P， BP的长为或＋1或． 【分析】(1)设抛物线的表达式为，把代入，即可求解； (2) 由勾股定理逆定理得为直角三角形，由正切函数得，，即可求解； (3) ①于点P，沿着边翻折得到，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ②当于点H时，与①同理可得，设，，即可求解； ③，当于点G时，作于点I，由勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点D的坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得： ， 解得， ， ∴抛物线的表达式为． （2）略 （3）解：存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形． 设抛物线的对称轴交x轴于点F，． ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ①如图1，于点P，沿着边翻折得到， ，， ， ， 即， 解得， ． ②当于点H时，如图2， 与①同理可得， ， 即， 解得，， 在中，设， 则， ， ， ， 解得：， ． ③如图3，当于点G时，作于点I， 由①②可知， ， ， 由翻折的性质可知， ． ， ． ，， ， ， 即， 解得． 综上所述，的长为或或． ▌题型14 二次函数与特殊四边形的综合 【典例1】（25-26九年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，其横坐标为，直线交该抛物线的对称轴于点，点、关于点的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)写出点的坐标___________； (3)当点在第一象限时，四边形的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求的取值范围； (4)直接写出使得四边形成为轴对称图形时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或1，， 【分析】（1）将点代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线，令，求出，令，求出，运用待定系数法求出直线的解析式为，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴为直线，从而得到点D的横坐标为，把代入函数，即可求出点D的坐标； （3）解：根据点关于点的对称点为点E，得到，可判断点E在抛物线的下方．设，其中，同理根据对称可得，根据四边形的边与抛物线共有两个交点，得到点Q在抛物线的上方，因此列出不等式，求解即可； （4）根据点、关于点的对称点分别为Q、E，可得四边形是平行四边形，因此四边形是菱形或矩形，据此分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（为常数）与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：对于抛物线， 令，则，解得，， ∴， 令，则， ∴． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵抛物线， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵直线交抛物线的对称轴于点， ∴点D的横坐标为， 把代入函数，得， ∴． （3）解：∵点关于点的对称点为点E， ∴点D是的中点， ∴， ∵对于抛物线，当时，， ∴点E在抛物线的下方． ∵点在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为， ∴设，其中， ∵点关于点的对称点为点Q， ∴， ∵四边形的边与抛物线共有两个交点， ∴点Q在抛物线的上方， ∵对于抛物线，当时，， ∴， 即， ∴或， ∵， ∴m的取值范围为． （4）解：∵点、关于点的对称点分别为Q、E， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是轴对称图形，则四边形是菱形或矩形． ①当四边形是菱形时，， 连接， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P在上， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点P的坐标为或， 即或． ②当四边形是矩形时， ∵，，， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴，，，． ∵当时，点P与点C重合，舍去． 综上所述，得四边形成为轴对称图形时的值为或1，，． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 【变式1-2】（2026·吉林·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线． (1)_______，抛物线与轴的交点坐标为_______； (2)当，求的取值范围． (3)已知点在抛物线上，且点的横坐标为，为平面内一点． ①若点在抛物线上时，求的值； ②已知点与点关于点成中心对称，以，为邻边作．当抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，且抛物线与的边只有两个交点时，并且交点的纵坐标之差为时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)① 或；② 或 【分析】（1）利用对称轴公式求出b的值，得到抛物线解析式，即可求解抛物线与y轴的交点； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）①将点代入求解即可；②先求出 ，则，当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点，然后分两种情况讨论求解． 【详解】（1）解 已知抛物线，对称轴为直线 对于抛物线，对称轴为， 这里，代入得 ， 解得 令，代入抛物线得， 因此抛物线与y轴交点坐标为； （2）解：抛物线解析式整理得，抛物线开口向上，对称轴 当时，在该范围内， ∴时y取得最小值 时，； 时， ∵， ∴y的最大值为 ∴y的取值范围是； （3）解：①若点在抛物线上，将坐标代入抛物线解析式得， 整理得， 解得或； ②设点， ∵N与M关于点成中心对称， ∴K是中点 由中点坐标公式得， 解得， 即 ∵点P在抛物线上，横坐标为m， ∴得， ∵平行四边形的x范围是 ∵抛物线开口向上，对称轴， ∴当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点， 平行四边形的顶点在抛物线上， 故抛物线与平行四边形的边有一个交点是点 ①当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ ， 解得； ②当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， 设直线， 则 解得 ∴直线 与抛物线联立可得， 解得， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ 解得，（舍去）， 综上：的取值范围是或． 【变式1-3】（2026·辽宁盘锦·三模）如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； (3)如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）把点，代入列方程计算即可； （2）设，根据Q在射线上，且，可得，再把代入解方程即可； （3）二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点，当时y随x的增大而减小，再根据，，，分情况讨论，分别画出以为对角线作矩形，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：设， ∵Q在射线上，且， ∴点横纵坐标分别乘以得到点横纵坐标，即， ∵点Q也在抛物线上， ∴， 整理得， 解得， 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴或； （3）解：设点P的横坐标为m，则，， ∵以为对角线作矩形，且轴， ∴，， 二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点， ∴当时y随x的增大而减小， 当时，以为对角线作矩形如图所示： ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴， 解得， 此时； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部没有点，不合题意； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，即； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标既有随x的增大而减小也有随x的增大而增大，都不合题意； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $