第2章·随机事件的概率·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第2章·随机事件的概率·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确判断三类事件并比较事件发生可能性的大小 · 理解概率的意义，掌握等可能事件的概率公式P(A)=，能进行简单的概率计算 · 掌握列举法、列表法与画树状图法求等可能事件的概率，能有条理地列举所有等可能结果 · 理解频率与概率的关系，会用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，并由概率估计总体数量 · 能判断游戏的公平性，运用概率知识解决转盘、摸球、比赛等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.事件的分类与可能性大小 必然事件：在一定条件下一定发生的事件；不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，两者统称确定事件 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件发生的可能性有大小之分 可能性越大的事件概率越接近1，可能性越小的事件概率越接近0 判断事件类型要紧扣「在一定条件下」，可结合成语、生活实例还原事件是否一定发生 概念辨析例题：「守株待兔」「拔苗助长」「水涨船高」「刻舟求剑」四个成语所描述的事件中，属于必然事件的是____ 答案：水涨船高 解析：水涨船高一定发生，是必然事件；守株待兔可能发生也可能不发生，是随机事件；拔苗助长、刻舟求剑一定不会成功，是不可能事件。 ☆ 2.概率的意义与等可能事件 概率：事件A发生的可能性大小的数值，记作P(A)，0≤P(A)≤1 必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，随机事件满足0<P(A)<1 等可能事件：一次试验中各种结果出现的可能性大小相等；若共有n种等可能结果，事件A包含m种，则P(A)= 公式中m是事件A包含的结果数，n是所有等可能结果的总数，且0≤m≤n 概念辨析例题：一个不透明袋子中有3个红球和5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，求摸到红球的概率 答案： 解析：袋中共有8个球即8种等可能结果，其中摸到红球有3种，所以P(摸到红球)=。 ☆ 3.列举法、列表法与树状图法 列举法：一步试验直接列举所有等可能结果，再用P(A)=计算 列表法：两步试验时用表格横竖列出所有等可能结果，做到清晰、不重不漏 树状图法：两步及以上试验时画树状图，自上而下逐层分叉列举所有结果 求概率前先确认每种结果等可能，再数准事件A包含的结果数m与总数n 概念辨析例题：同时抛掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：画树状图列举所有等可能结果：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)共4种，两枚都正面朝上只有1种，所以P=。 ☆ 4.用频率估计概率 频率：在n次重复试验中事件A发生m次，则该事件发生的频率为 大量重复试验时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率 试验次数越多，频率越接近概率；可由频率估计概率，再用概率估计总体中某类的数量 频率不等于概率：频率随试验变化，概率是客观定值；折线统计图趋于平缓时对应的纵轴值即估计概率 概念辨析例题：某射击运动员在相同条件下射击，随着射击次数增加，射中9环以上的频率稳定在0.9附近，估计他射击一次射中9环以上的概率 答案：约0.9 解析：大量重复试验中频率稳定在0.9附近，由频率估计概率可知他射击一次射中9环以上的概率约为0.9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 必然事件/不可能事件 一定发生/一定不发生 统称确定事件，P=1或0 随机事件 可能发生也可能不发生 满足0<P(A)<1 概率 等可能时P(A)= 0≤P(A)≤1 列表法 两步试验列表列举 结果要做到不重不漏 树状图法 多步试验画树状图列举 末端分支数即总数n 频率估计概率 频率稳定值即概率 试验次数要足够大 游戏公平性 双方获胜概率相等 概率不等则不公平 ⚠️ 核心考点 【考点1】事件的分类（第1-9题） · 紧扣定义判断：一定发生是必然事件，一定不发生是不可能事件，可能发生也可能不发生是随机事件 · 必然事件与不可能事件都是确定事件，二者合起来与随机事件相对 · 结合成语、生活实例判断时，要还原成「在一定条件下」是否一定发生 · 可能性大小比较：总情况相同时，包含结果数越多的事件可能性越大 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．一个三角形三个内角的和小于 C．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 D．在标准大气压下，温度达到，纯水会沸腾 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（     ） A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 5．（2022·贵州贵阳·模拟预测）小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ①若a，b，c都是实数，则； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在地球上看到太阳从西方升起； ④直线过定点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出一个球为白球． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 9．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 【考点2】概率的意义与可能性大小（第10-13题） · 概率是事件发生可能性大小的数值，范围是0≤P(A)≤1 · 必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件在0到1之间 · 判断说法正误时注意：概率99%不等于一定发生，频率不等于概率 · 可能性大小与球的数量、区域面积直接相关，数量多、面积大的可能性大 10．（24-25九年级下·浙江温州·期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的是（   ） A．朝上一面的点数小于3 B．朝上一面的点数是2的倍数 C．朝上一面的点数大于5 D．朝上一面的点数是3的倍数 11．（2024·河北石家庄·一模）一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（    ） A．摸到白球的可能性最大 B．摸到红球和黄球的可能性相同 C．摸到白球的可能性为 D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个布袋中放着个红球和个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取个球，取出黑球与取出红球的概率分别是多少？ 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 【考点3】用频率估计概率（第14-30题） · 大量重复试验时频率稳定在某个常数附近，用这个稳定值估计概率 · 试验次数越多频率越接近概率，单次或少量试验的频率不能直接当作概率 · 由频率折线图判断：折线趋于平缓时对应的纵轴值即估计概率 · 已知概率求数量：用概率乘总数估计某类数量，或列方程求未知数量 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（    ） A．7 B．3 C．10 D．65 15．（24-25九年级上·山西临汾·阶段检测）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段检测）不透明的袋子中装有个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 18．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 19．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在左右，则袋中小球的个数为______________． 20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 21．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是________ 抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 22．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为__________． 23．（23-24九年级上·全国·单元测试）小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为________． 24．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______．（精确到） 25．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 26．（23-24九年级上·浙江金华·期中）为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表： 射门次数n（次） 10 50 100 200 500 800 1000 射中次数m（次） 7 37 75 142 365 576 720 射中频率 (1)请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到）． (2)已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率． 27．（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 28．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 29．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 30．（2022·陕西西安·模拟预测）一个不透明的口袋内装有蓝球和红球共6个，它们除颜色外完全相同，小明想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验． (1)下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（m） 100 200 400 500 600 1500 取出红色球的次数（n） 32 68 134 166 200 499 取出红色球的频率（） 由表格中的信息可得：口袋中有_______个红球； (2)从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率． 【考点4】等可能事件与列举法求概率（第31-41题） · 先确认每种结果等可能，再数总数n和事件A包含的结果数m · 直接列举法适合一步试验，按顺序列举避免遗漏 · 概率公式P(A)=，结果要约成最简分数 · 摸球、抽卡片问题要区分「放回」与「不放回」对总数n的影响 31．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 33．（2022·浙江杭州·二模）如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（     ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级上·河北保定·期中）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏___________（填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是___________． 35．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 36．（22-23八年级下·四川达州·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为4，8，9的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 37．（23-24八年级下·上海·单元测试）在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是________． 38．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 39．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表： 摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450 “和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150 “和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值． 40．（2026·甘肃天水·中考真题）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A．酚酞    B．氢氧化钠溶液（碱性）    C．盐酸溶液（酸性）    D．蒸馏水（中性） (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． (2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 【考点5】树状图法求概率与游戏公平性（第42-49题） · 两步或两步以上试验用列表法或画树状图法，列举要不重不漏 · 树状图从上到下逐层分叉，末端分支总数即所有等可能结果数n · 游戏公平性：分别计算双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平 · 判断出游戏不公平后，能通过修改规则使双方获胜概率相等 42．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 43．（2026·安徽·中考真题）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 44．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 45．（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 46．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 47．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 48．（2022·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 49．（2024·甘肃陇南·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【考点6】几何概率与概率的综合应用（第50-52题） · 几何概率：事件A的概率等于A所占区域面积与总区域面积之比 · 不规则图形面积：用向区域内投点的频率估计面积占比，再求面积 · 转盘问题：把转盘等分成若干扇形，指针落在某区域的概率等于该扇形面积占比 · 综合题先判断模型（古典概型、几何概型或频率估计），再选对应方法求解 50．（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 51．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 💯 课后巩固 复习建议 · 事件分类紧扣定义，必然事件与不可能事件是确定事件，随机事件可能发生也可能不发生 · 概率公式P(A)=要先确认等可能，数准m与n再代入计算 · 两步试验用列表法，多步试验画树状图，列举结果要不重不漏 · 用频率估计概率需要大量重复试验，频率的稳定值才是概率 · 游戏公平性看双方概率是否相等，转盘摸球问题注意等可能与放回条件 【作业1】．（25-26九年级上·浙江·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．蜡烛在真空中燃烧 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．班里的三名同学，他们的生日是同一天 D．经过红绿灯路口，遇到绿灯 【作业2】．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【作业3】．（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【作业5】．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 【作业7】．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图为某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验结果统计图，某位顾客购进这种玉米种子千克，那么能发芽的种子质量大约为______ 千克．    【作业8】．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 ___灯．（填“红、绿、黄”） 【作业9】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）． 【作业10】．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【作业11】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【作业12】．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【作业13】．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 【作业14】．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【作业15】．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 【作业16】．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 【作业17】．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【作业18】．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·随机事件的概率·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确判断三类事件并比较事件发生可能性的大小 · 理解概率的意义，掌握等可能事件的概率公式P(A)=，能进行简单的概率计算 · 掌握列举法、列表法与画树状图法求等可能事件的概率，能有条理地列举所有等可能结果 · 理解频率与概率的关系，会用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，并由概率估计总体数量 · 能判断游戏的公平性，运用概率知识解决转盘、摸球、比赛等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.事件的分类与可能性大小 必然事件：在一定条件下一定发生的事件；不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，两者统称确定事件 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件发生的可能性有大小之分 可能性越大的事件概率越接近1，可能性越小的事件概率越接近0 判断事件类型要紧扣「在一定条件下」，可结合成语、生活实例还原事件是否一定发生 概念辨析例题：「守株待兔」「拔苗助长」「水涨船高」「刻舟求剑」四个成语所描述的事件中，属于必然事件的是____ 答案：水涨船高 解析：水涨船高一定发生，是必然事件；守株待兔可能发生也可能不发生，是随机事件；拔苗助长、刻舟求剑一定不会成功，是不可能事件。 ☆ 2.概率的意义与等可能事件 概率：事件A发生的可能性大小的数值，记作P(A)，0≤P(A)≤1 必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，随机事件满足0<P(A)<1 等可能事件：一次试验中各种结果出现的可能性大小相等；若共有n种等可能结果，事件A包含m种，则P(A)= 公式中m是事件A包含的结果数，n是所有等可能结果的总数，且0≤m≤n 概念辨析例题：一个不透明袋子中有3个红球和5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，求摸到红球的概率 答案： 解析：袋中共有8个球即8种等可能结果，其中摸到红球有3种，所以P(摸到红球)=。 ☆ 3.列举法、列表法与树状图法 列举法：一步试验直接列举所有等可能结果，再用P(A)=计算 列表法：两步试验时用表格横竖列出所有等可能结果，做到清晰、不重不漏 树状图法：两步及以上试验时画树状图，自上而下逐层分叉列举所有结果 求概率前先确认每种结果等可能，再数准事件A包含的结果数m与总数n 概念辨析例题：同时抛掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：画树状图列举所有等可能结果：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)共4种，两枚都正面朝上只有1种，所以P=。 ☆ 4.用频率估计概率 频率：在n次重复试验中事件A发生m次，则该事件发生的频率为 大量重复试验时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率 试验次数越多，频率越接近概率；可由频率估计概率，再用概率估计总体中某类的数量 频率不等于概率：频率随试验变化，概率是客观定值；折线统计图趋于平缓时对应的纵轴值即估计概率 概念辨析例题：某射击运动员在相同条件下射击，随着射击次数增加，射中9环以上的频率稳定在0.9附近，估计他射击一次射中9环以上的概率 答案：约0.9 解析：大量重复试验中频率稳定在0.9附近，由频率估计概率可知他射击一次射中9环以上的概率约为0.9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 必然事件/不可能事件 一定发生/一定不发生 统称确定事件，P=1或0 随机事件 可能发生也可能不发生 满足0<P(A)<1 概率 等可能时P(A)= 0≤P(A)≤1 列表法 两步试验列表列举 结果要做到不重不漏 树状图法 多步试验画树状图列举 末端分支数即总数n 频率估计概率 频率稳定值即概率 试验次数要足够大 游戏公平性 双方获胜概率相等 概率不等则不公平 ⚠️ 核心考点 【考点1】事件的分类（第1-9题） · 紧扣定义判断：一定发生是必然事件，一定不发生是不可能事件，可能发生也可能不发生是随机事件 · 必然事件与不可能事件都是确定事件，二者合起来与随机事件相对 · 结合成语、生活实例判断时，要还原成「在一定条件下」是否一定发生 · 可能性大小比较：总情况相同时，包含结果数越多的事件可能性越大 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．一个三角形三个内角的和小于 C．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 D．在标准大气压下，温度达到，纯水会沸腾 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，需结合各选项事件的性质进行判断． 【详解】解：A选项：抛掷硬币正面向上是随机事件，可能出现反面向上的情况，不是必然事件； B选项，根据三角形内角和定理，三角形内角和为，故三个内角和小于是不可能事件； C选项，现实中马的奔跑速度无法达到70米/秒，该事件是不可能事件； D选项，在标准大气压下，温度达到时纯水一定会沸腾，属于必然事件． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（     ） A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 【答案】D 【知识点】概率的意义理解、事件的分类 【分析】本题考查了对概率意义的理解，合格率表示在大量抽样中合格品的概率为，但每次抽样结果具有随机性，不能保证绝对数量，依此判断每个选项的说法选出正确的选项即可． 【详解】解：A项：购买100个吹风机，合格数不一定恰好99个．合格率是统计结果，实际数量可能波动，故A错误； B项：购买1000个吹风机，不合格数不一定为10个，虽然，但实际可能存在偏差，故B错误； C项：购买10个吹风机，每个均有的不合格概率，可能存在至少1个不合格，故C错误； D项：购买1个吹风机时，仍有的概率不合格，符合概率的基本意义，故D正确． 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解即可得． 【详解】解：“守株待兔”可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故选：A． 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 【知识点】概率的意义理解、事件的分类、判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【详解】解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 5．（2022·贵州贵阳·模拟预测）小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 【详解】解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 【答案】(1) 这种说法不正确，理由：因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； (2)说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； (3)不对 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； （3）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）略 （2）解：小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； （3）解：小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，因为红球数、黄球数及白球数不相等时，他们的可能性就不一样． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ①若a，b，c都是实数，则； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在地球上看到太阳从西方升起； ④直线过定点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出一个球为白球． 【答案】②③是不可能事件；①④是必然事件；⑤⑥是随机事件 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、事件的分类 【分析】本题主要考查不可能事件、必然事件、随机事件的定义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义可判断它们分别属于哪一类别，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】①若a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c是必然事件； ②没有空气，动物也能生存下去是不可能事件； ③在地球上看到太阳从西方升起是不可能事件； ④直线过定点是必然事件； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0是随机事件； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球是随机事件； 所以②③是不可能事件；①④是必然事件；⑤⑥是随机事件． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 【答案】(1) 不同意， 理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝上”或“正面期下”， 所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件， 故不同意； (2) 不同意， 理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现的结果的影响 故不同意， 所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件， 故不同意． 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，解题的关键是： （1）根据随机事件、必然事件的定义判断即可； （2）根据随机事件、不可能事件的定义判断即可 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) 不正确，理由如下： 小莲同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的， 这种判断不正确， 因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； (2) 错误，理由如下; 小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对， 因为只知道不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，且红球数、黄球数及白球数不可能相等，那么他们的可能性就不一样． 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）略 （2）略 【考点2】概率的意义与可能性大小（第10-13题） · 概率是事件发生可能性大小的数值，范围是0≤P(A)≤1 · 必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件在0到1之间 · 判断说法正误时注意：概率99%不等于一定发生，频率不等于概率 · 可能性大小与球的数量、区域面积直接相关，数量多、面积大的可能性大 10．（24-25九年级下·浙江温州·期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的是（   ） A．朝上一面的点数小于3 B．朝上一面的点数是2的倍数 C．朝上一面的点数大于5 D．朝上一面的点数是3的倍数 【答案】B 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了可能性的大小，概率的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【详解】解：A、朝上一面的点数小于3的可能性的大小是， B、朝上一面的点数是2的倍数的可能性的大小是， C、朝上一面的点数大于5的可能性为， D、朝上一面的点数是3的倍数的可能性是， 那么可能性最大的是B 故选：B． 11．（2024·河北石家庄·一模）一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（    ） A．摸到白球的可能性最大 B．摸到红球和黄球的可能性相同 C．摸到白球的可能性为 D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为 【答案】D 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了事件可能性大小以及简单概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题关键．根据可能性等于所求情况数与总情况数之比、简单概率计算公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 因为盒子里白球数量最多，所以摸到白球的可能性最大，该选项说法正确，不符合题意； B. 因为盒子里红球和黄球数量相同，摸到红球和黄球的可能性相同，该选项说法正确，不符合题意； C. 因为盒子里共装有10个白球，5个红球，5个黄球，所以摸到白球的可能性为，该选项说法正确，不符合题意； D. 摸到白球的可能性为，摸到红球、黄球的可能性均为，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个布袋中放着个红球和个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取个球，取出黑球与取出红球的概率分别是多少？ 【答案】取出黑球的概率为；取出红球的概率为 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，代入计算即可． 【详解】解：取出黑球的概率为； 取出红球的概率为． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 【答案】(1)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． (2)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． (3)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 【知识点】概率的意义理解、根据概率公式计算概率 【分析】（1）（2）（3）先确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，再利用概率公式求概率，然后根据概率的意义即可解答． 【详解】（1）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中7的结果数为1， ∴掷得“7”的概率是，这个数值表示：投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． （2）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中不是7的结果数为7， ∴掷得的数不是“7”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． （3）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中小于或等于“6”的结果数为6， ∴掷得的数小于或等于“6”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 【考点3】用频率估计概率（第14-30题） · 大量重复试验时频率稳定在某个常数附近，用这个稳定值估计概率 · 试验次数越多频率越接近概率，单次或少量试验的频率不能直接当作概率 · 由频率折线图判断：折线趋于平缓时对应的纵轴值即估计概率 · 已知概率求数量：用概率乘总数估计某类数量，或列方程求未知数量 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（    ） A．7 B．3 C．10 D．65 【答案】C 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，进而利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，，解得， 故可以推算出m约为10． 故选：C． 15．（24-25九年级上·山西临汾·阶段检测）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何概率、由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，频率稳定在，再利用频率估计出概率，结合几何概率可知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，进而即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为：， 不规则图案的面积大约为． 故选：B． 16．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段检测）不透明的袋子中装有个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据“大量反复试验下频率稳定值即概率”设未知数列方程求解，根据白球的频率得到相应的等量关系是解本题的关键． 【详解】设袋子中的白球有个，根据题意得： ， ， 经检验，是分式方程的解， 即袋子中白球有个． 故选：C． 17．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 18．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 19．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在左右，则袋中小球的个数为______________． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用黄球的个数除以摸到黄球频率即可得出球的总个数． 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，口袋中黄球有个， 袋中小球的个数为（个）． 故答案为：． 20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是________ 抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估算概率，掌握利用频数估算概率的意义是解题的关键． 根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为__________． 【答案】22.4 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 23．（23-24九年级上·全国·单元测试）小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为________． 【答案】 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，解题的关键是得到这张纸与圆的面积比；根据题干的数据计算出石子落在圆内的频数与落在纸上的频数的比值即可解答． 【详解】解：这张破纸面积大约为（）， 故答案为：． 24．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______．（精确到） 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率．观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率． 【详解】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以估计该麦种的发芽概率为， 故答案为：． 25．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 【答案】 【知识点】由频率估计概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据红球的次数除以试验总次数即可得到答案． 【详解】解：由题意知，红球的概率为：， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·浙江金华·期中）为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表： 射门次数n（次） 10 50 100 200 500 800 1000 射中次数m（次） 7 37 75 142 365 576 720 射中频率 (1)请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到）． (2)已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】由频率估计概率、根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解决问题的关键在于学会估算概率，熟记概率公式． （1）根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率； （2）先根据比例关系求出1000次射门中左脚射门次数，再用240除以左脚射门次数即可求解． 【详解】（1）解：据上表，估计该足球小将射中球门的概率为； 故答案为：； （2）． 答：左脚射中概率为． 27．（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 【答案】(1)； (2) 频率折线统计图，如图所示： (3) (4)6；14 【知识点】根据数据描述求频率、由频率估计概率、折线统计图、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率， （1）利用频率频数摸球次数计算数据即可； （2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可； （3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可； （4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：略； （3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为； （4）解：估计盒子里有红球（个）， 白球有：（个）． 28．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【答案】(1)0.60 (2)白球3个，黑球2个 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了频率估计概率，已知概率求数量，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率． （2）根据口袋中白色的球的概率即可求出口袋中白球有多少只，即可求出黑球的数量． 【详解】（1）解：根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近． 故答案为： （2）解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60， ∴摸到白球的概率是0.60； ∴口袋中白球是：（个）， 黑球是（个）． 29．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 30．（2022·陕西西安·模拟预测）一个不透明的口袋内装有蓝球和红球共6个，它们除颜色外完全相同，小明想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验． (1)下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（m） 100 200 400 500 600 1500 取出红色球的次数（n） 32 68 134 166 200 499 取出红色球的频率（） 由表格中的信息可得：口袋中有_______个红球； (2)从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率、已知概率求数量 【分析】（1）根据试验，估计取出红色球的频率约为，利用频率估计概率，求解即可； （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 【详解】（1）解：根据实验，估计取出红色球的频率约为， 故取出红色球的概率约为， 故口袋中有（个）红球； （2）解：根据题意，得有2个红球，4个蓝球，设红球分别表示为，；4个蓝球分别表示为，，，，画树状图如下： 一共有30种等可能性，两个球的颜色能配成紫色的有16种等可能性， 故两个球的颜色能配成紫色的概率是． 【考点4】等可能事件与列举法求概率（第31-41题） · 先确认每种结果等可能，再数总数n和事件A包含的结果数m · 直接列举法适合一步试验，按顺序列举避免遗漏 · 概率公式P(A)=，结果要约成最简分数 · 摸球、抽卡片问题要区分「放回」与「不放回」对总数n的影响 31．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】改变条件使事件发生的可能性相同、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 32．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、列举法求概率 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 33．（2022·浙江杭州·二模）如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： B盘A盘 黑 蓝 红 蓝 （蓝，黑） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，黑） （红，蓝） （红，红） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的情况有种， 故两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为． 34．（23-24九年级上·河北保定·期中）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏___________（填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是___________． 【答案】 公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】此题考查游戏的公平性，列表法或树状图法求概率，解题的关键是：列举出所有情况，找到符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 小 明 小 亮 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果， 其中，小明胜的情况有3种，小亮胜的情况有3种， （小明胜）（小亮胜）， ∴此游戏公平， 其中，两人一起做同样手势的有3种， ∴两人一起做同样手势的概率为， 故答案为：公平，． 35．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 【答案】/ 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张， ∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是． 故答案为：． 36．（22-23八年级下·四川达州·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为4，8，9的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数的比值．先根据题意列出表格，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 4 8 9 4 8 12 13 8 12 16 17 9 13 17 18 共有9种情况，和为奇数有4种情况，和为偶数有5种情况， ∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是 所以这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 37．（23-24八年级下·上海·单元测试）在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是________． 【答案】 【知识点】列举法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 38．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【知识点】列举法求概率 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 39．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表： 摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450 “和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150 “和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值． 【答案】(1) (2) 假设x的值可以取8，列表如下： 乙       甲 4 5 6 8 4 × 9 10 12 5 9 × 11 13 6 10 11 × 14 8 12 13 14 × 当，摸出的这两个小球上数字之和为11的概率为， 如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，x的值不可以取8； 乙       甲 4 5 6 x 4 × 9 10 5 9 × 11 6 10 11 × x × 由上表可知一共有12种等可能结果，要想数字之和为11的概率是，就要出现4次数字之和为11的结果， x的值可以为7． 【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率的应用，运用列表法或树状图求概率即可． 【详解】（1）由表中数据可得，出现“和为10”的频率稳定在左右，所以估计出现“和为10”的概率是； （2）略 40．（2026·甘肃天水·中考真题）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A．酚酞    B．氢氧化钠溶液（碱性）    C．盐酸溶液（酸性）    D．蒸馏水（中性） (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． (2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 【答案】； 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】根据题意先列出树状图，再依据树状图求概率． 【详解】解：衬衫与长裤的搭配情况如图所示： 由树状图可知，衬衫与长裤的搭配共有8种机会均等的情况，其中白色衬衫配蓝色长裤只有1种情况，红色衬衫配蓝色长裤与黑色衬衫配蓝色长裤分别各有1种情况，记“小明最喜欢的搭配”为事件，“小明不喜欢的搭配”为事件， ， ． 【考点5】树状图法求概率与游戏公平性（第42-49题） · 两步或两步以上试验用列表法或画树状图法，列举要不重不漏 · 树状图从上到下逐层分叉，末端分支总数即所有等可能结果数n · 游戏公平性：分别计算双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平 · 判断出游戏不公平后，能通过修改规则使双方获胜概率相等 42．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】概率在比赛中的应用、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 43．（2026·安徽·中考真题）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【知识点】概率在比赛中的应用、列举法求概率 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 44．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与这个两位数能被整除的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意画树状图得： 由图可知，共有种等可能的结果，这个两位数能被整除的有种情况， ∴这个两位数能被整除的概率是：． 45．（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先画出树状图，然后求出概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为． 46．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先用列表法得出甲、乙选择运动项目所有等可能的结果总数，再找出两人恰好都选择花样跳绳的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， A B C A B C 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有1种， 根据概率公式可得：． 47．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 48．（2022·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 49．（2024·甘肃陇南·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下：    由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； （2）略 【考点6】几何概率与概率的综合应用（第50-52题） · 几何概率：事件A的概率等于A所占区域面积与总区域面积之比 · 不规则图形面积：用向区域内投点的频率估计面积占比，再求面积 · 转盘问题：把转盘等分成若干扇形，指针落在某区域的概率等于该扇形面积占比 · 综合题先判断模型（古典概型、几何概型或频率估计），再选对应方法求解 50．（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【知识点】几何概率、用七巧板拼图形 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 51．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2) 小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）略 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 【答案】(1) 约为（或） (2) 约为（或） 【知识点】概率的意义理解、概率在转盘抽奖中的应用、根据概率公式计算概率 【分析】（1）利用对立事件，先求全部不中奖的概率，再用减去该概率求解； （2）明确“10次才第一次中奖”为前次未中奖、第次中奖，计算求解． 【详解】（1）解：∵单次抽奖活动中奖率为， ∴ 单次抽奖活动不中奖率为， ∴抽奖次，都不中奖的概率为， ∵至少有一次中奖与次全部不中奖互为对立事件， ∴至少有一次中奖的概率为； （2）解： ∵“抽奖次才第一次中奖”即前次均不中奖，第次中奖， ∴该事件的概率为． 💯 课后巩固 复习建议 · 事件分类紧扣定义，必然事件与不可能事件是确定事件，随机事件可能发生也可能不发生 · 概率公式P(A)=要先确认等可能，数准m与n再代入计算 · 两步试验用列表法，多步试验画树状图，列举结果要不重不漏 · 用频率估计概率需要大量重复试验，频率的稳定值才是概率 · 游戏公平性看双方概率是否相等，转盘摸球问题注意等可能与放回条件 【作业1】．（25-26九年级上·浙江·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．蜡烛在真空中燃烧 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．班里的三名同学，他们的生日是同一天 D．经过红绿灯路口，遇到绿灯 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查不可能事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、蜡烛燃烧需要氧气，真空中没有氧气，则A蜡烛在真空中燃烧是不可能事件； 选项B、射击运动员射击一次可能命中靶心，则B是随机事件； 选项C、三名同学生日相同可能发生，则C是随机事件； 选项D、经过红绿灯路口可能遇到绿灯，则D是随机事件； 故选：A． 【作业2】．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【作业3】．（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何概率 【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可． 【详解】解：A、此选项中石子落在阴影部分可能性为； B、此选项中石子落在阴影部分可能性为； C、此选项中石子落在阴影部分可能性为； D、此选项中石子落在阴影部分可能性为； 所以石子落在阴影部分可能性最大的是B选项所示图形， 【作业4】．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率、折线统计图、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 【作业5】．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 【作业6】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 【答案】4 【知识点】游戏的公平性、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 【详解】解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 【作业7】．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图为某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验结果统计图，某位顾客购进这种玉米种子千克，那么能发芽的种子质量大约为______ 千克．    【答案】8.8 【知识点】由频率估计概率 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验后，可以发现玉米种子发芽的频率稳定在左右． 【详解】解：大量重复试验后，可以发现玉米种子发芽的频率稳定在左右， 千克种子中能发芽的种子的质量是： 千克， 故答案为：． 【作业8】．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 ___灯．（填“红、绿、黄”） 【答案】黄 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查的知识点是可能性的大小，根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵遇到红灯的概率＝＝； 遇到绿灯的概率＝＝； 遇到黄灯的概率＝＝， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 【作业9】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【知识点】游戏的公平性、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 求出概率比较，即可得出结论． 【详解】解：1、2、3、4、5、6这六个数字，偶数的有2，4，6；合数有4，6， 所以小胖获胜的概率为，小明获胜的概率为， 因为小胖和小明获胜的概率不同， 所以个游戏规则不公平， 故答案为：不公平． 【作业10】．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【答案】 49 90 【知识点】求众数、由样本所占百分比估计总体的数量、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 【作业11】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【答案】126 【知识点】概率的其他应用 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 【作业12】．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知概率求数量 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 【作业13】．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了概率，重复试验次数越多，其频率越能估计概率，求出射击1000次时的频率即可，解题的关键在于明确频率估计概率时要在重复试验次数尽可能多的情况下． 【详解】解：根据题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为： ， ∴用频率估计概率为：， 故答案为：． 【作业14】．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】根据图形平移的性质可得出涂色部分为八个正方形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，将中间涂色部分向右平移即可发现涂色部分共为八个正方形，游戏板总共有十六个正方形， ∴光点落在涂色部分的概率是． 【作业15】．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 【答案】(1)0.8 (2)128枪 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从图中获取准确的信息． （1）由图可确定频率，根据频率与概率的关系确定概率即可； （2）根据估计他正中靶心的枪数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，该运动员正中靶心的频率在0.8附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.8， 故答案为：0.8； （2）解：由题意知，， ∴估计他正中靶心的枪数为128枪． 【作业16】．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 【答案】17个 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求数量，根据摸到白球的频率稳定在0.15附近，得到摸到白球的概率为0.15，设袋子中红球的个数为个，利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中红球的个数为个， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋子中红球的个数为17个． 【作业17】．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： 由（1）中树状图可得， 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字都为奇数的情况有4种，取出的两张卡片上的数字都为偶数的情况有1种， ∴取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率为，即甲胜的概率为； 取出的两张卡片上的数字都为偶数的概率为，即乙胜的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）画树状图列举出所有可能的情况和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况，然后利用概率公式求解； （2）分别求出甲胜的概率和乙胜的概率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况有4种， ∴取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为； （2）略 【作业18】．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【知识点】利用概率计算随机事件发生的平均次数 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $