专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（第1～3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第1~3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握全等三角形的性质与判定（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），能综合运用证明线段和角相等 · 理解等腰（等边）三角形的性质与判定，会用三线合一解决计算与证明并进行分类讨论 · 掌握勾股定理及其逆定理，能解决折叠、网格、弦图与实际测量类问题 · 理解角平分线与线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能完成相关尺规作图 · 掌握一元一次不等式（组）的解法，能在数轴上表示解集并解决方案设计类实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，周长与面积相等，对应中线、高、角平分线也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形专用 HL（斜边和一条直角边对应相等） 找对应元素：公共边、公共角、对顶角是隐含对应；「边边角」不能判定三角形全等 辅助线：遇中线可倍长中线，遇角平分线向两边作垂线，证线段和差可用截长补短 概念辨析例题：已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF 答案：△ABC≌△DEF（SAS） 解析：由AB∥DE得∠B=∠DEF；由BE=CF得BE+EC=CF+EC，即BC=EF；又AB=DE，故△ABC≌△DEF（SAS）。 ☆ 2.等腰（等边）三角形 性质：等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 判定：等角对等边；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 分类讨论：已知两边求周长、已知一角求其余角时，要分腰与底、顶角与底角讨论，并检验三边关系 等边三角形三边相等、三个角都是60°，是特殊的等腰三角形 概念辨析例题：等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为____ 答案：17 解析：若腰为3，则三边为3、3、7，3+3<7不能构成三角形；故腰只能为7，周长=7+7+3=17。 ☆ 3.直角三角形与勾股定理 性质：直角三角形两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对直角边等于斜边的一半 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 折叠与网格：折叠前后对应边、对应角相等；网格中用勾股定理求边长并判断直角 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为____ 答案： 解析：斜边c==10；由面积法×6×8=×10×h，得h=。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；判定反之成立 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），三条角平分线交于一点（内心） 尺规作图：作已知角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线，须保留作图痕迹 概念辨析例题：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离为____ 答案：3 解析：CD=BC-BD=3；由角平分线性质，点D到AB的距离等于CD=3。 ☆ 5.一元一次不等式（组） 不等式性质：两边同加（减）同一个数方向不变；同乘（除）正数方向不变，同乘（除）负数方向改变 解一元一次不等式：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解集在数轴上表示 不等式组：先分别解各不等式，再取公共部分（同大取大、同小取小、大小小大中间找） 实际应用：抓「至少、不超过、不少于」等关键词列不等式，并求整数解方案 概念辨析例题：解不等式组：2x-1>x+1，x+8<4x-1，并把解集在数轴上表示出来 答案：x>3 解析：解2x-1>x+1得x>2；解x+8<4x-1得x>3；同大取大，公共解集为x>3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等判定 SAS/ASA/AAS/SSS；直角三角形HL 「边边角」不能判定全等 全等性质 对应边、对应角分别相等 对应中线、高、角平分线也相等 等腰三角形 等边对等角；三线合一 分顶角底角、腰底讨论并检验三边关系 勾股定理 a2+b2=c2 仅适用于直角三角形；逆定理判直角 斜边中线 斜边上的中线=斜边一半 常与30°角所对直角边性质联用 角平分线 线上点到两边距离相等 性质用于求距离，判定用于定位 垂直平分线 线上点到两端点距离相等 常转化为等腰三角形；作图留痕迹 不等式组 解集取各不等式公共部分 乘除负数时不等号方向改变 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的判定与性质综合（第1-10题） · 判定先找齐三组对应条件：至少一组边相等，再选SAS、ASA、AAS或SSS，直角三角形优先考虑HL · 证线段或角相等，先证它们所在的两个三角形全等，公共边、公共角、对顶角是隐含对应元素 · 题干出现平行时，由平行线性质先得到一组角相等，为全等提供角的条件 · 遇中线考虑倍长中线构造全等，遇角平分线向两边作垂线段转化条件 · 多步证明把结论拆成小目标：先证一对全等得到中间边（角）相等，再证下一对全等 1．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，，，，，则的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，即得，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵点在第一象限角平分线上，， ∴， ∴， 解得：， 则点的坐标为， ∵， ， ∵， ， 由点的坐标知，， ∴， ， ． 故选：C． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（    ） A．与互余 B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和直角三角形的性质． 根据互余关系即可证明，，再根据证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∴，故A正确； 在和中，， ∴，故C正确； 无法得出，故D错误； 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】/24厘米 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为______． 【答案】 【知识点】等边对等角、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键，过点C作交延长线于点M，先证明，再证明，求出及即可求出结论． 【详解】解：过点C作交延长线于点M， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的面积为， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，根据等边对等角，求出，折叠性质，得到，证明，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（2024·浙江温州·三模）如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，点是对角线上一点． (1)求证：． (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：平分， ， ，， ； (2)15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，由勾股定理得出，由等腰三角形的性质得出，，最后再由计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ， ， ，平分， ，， ． 8．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：．    【答案】 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ． 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】先证明，再证明，最后证明全等即可． 本题考查了平行线的性质，等式性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 10．（2025·江苏镇江·二模）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                     在和中， ， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）略 【考点2】等腰（等边）三角形的性质与分类讨论（第11-23题） · 等边对等角、等角对等边是等腰三角形最常用的边角转化依据 · 三线合一：见等腰三角形，顶角平分线、底边中线、底边高三者知一推二 · 分类讨论：已知边求周长、已知角求角度时，分腰与底、顶角与底角两种情况，并检验三边关系 · 等边三角形三边相等、三角均为60°，常与SAS全等结合证明线段相等 · 折叠问题中折痕是对应点连线的垂直平分线，折叠前后对应边、对应角不变 11．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解： 为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作 交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到①正确；根据题意，无法得到，得到②错误，根据等腰三角形的性质，可得，，故从而得到的周长，得到③正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断④正确，即可求解． 【详解】解： 平分，平分， ，， ， ，， ，， 和是等腰三角形；故①符合题意； ，，故②不符合题意； 又 ，， 的周长为；故③符合题意； ， ， ， ；故④符合题意； 故选项①③④正确，符合题意，②错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，根据相关知识点，分别求出各选项中的角度，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的值不变； 故选B． 14．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、三线合一、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（2024·山东济宁·二模）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形和折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再分情况讨论：（1）当点在射线的下方时，①，②和③；（2）当点在射线的上方时，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，． （1）当点在射线的下方时， ①如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； （2）如图，当点在射线的上方时， ∴， ∴此时要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，E，D分别是，上的点，，，且，则________________． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理． 在上取一点G，使，连接，证明，得到，过点C作于点K，根据“三线合一”得到，从而求得，根据勾股定理在中，求出，进而在中，求得，从而，得解． 【详解】解：在上取一点G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过点C作于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要涉及直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．先用勾股定理求出的长度．然后通过角度关系和等腰三角形的判定与性质推出，，再根据得到．从而得出的长度，进而在中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：， ． ，， ． ， ， ∴， ∴， ，则． ， ． ． ． ． ， ． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段检测）若是边上的高，，则___________． 【答案】7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 依题意有以下两种情况： ①当点D在上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得； ②当点D在的延长线上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得， 综上所述即可得出答案． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当点D在上时，如图1所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得： ， ； ②当点D在的延长线上时，如图2所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 综上所述：或 故答案为：17或 19．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 【答案】(1)， (2) (3)腰长为7.5 【知识点】三角形三边关系的应用、求自变量的值或函数值、求一元一次不等式的解集、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了列函数关系式、等腰三角形的定义、三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）代入到（1）中的函数表达式，即可求解； （3）代入到（1）中的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：代入到，则， ∴底边的长为4； （3）解：代入，得， 解得， ∴腰长为7.5． 21．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断： 如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：______． (2)性质探究： 如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，均在外，连结、，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． (3)拓展应用： 如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，点，，在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2) 依然成立，理由如下： 和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可得出答案； （2）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可完成证明； （3）通过已知条件，证明，得出，在等腰中，由为的高，得为的中点，即，根据，即可完成证明． 【详解】（1）解：和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，， ，， ， ， ； 在等腰中，， 为的中点， ， ， ． 22．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”和“图形的轴对称”等内容后，小敏做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小敏完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】填空：的度数为________； 【拓展探究】做完该题后，小敏又进行了如下思考： 在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，其他条件不变． （1）是否仍成立？ （2）的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并说明理由． 【答案】[解决问题]60º； [拓展探究]（1）仍成立． 理由如下：是等边三角形， ，， ， 又， ． （2）的度数仍为定值． 理由如下：由（1）知，， ， 而，，， ． 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，进行证明求解． （1）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证，可得，由外角性质可求解． 【详解】[解决问题] 是等边三角形， ，， ，，， ，， 又， ， ； 故答案为：； [拓展探究]略 23．（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先证，推出，进而证明，根据等角对等边，可得； （2）根据，，可得点O，A在的垂直平分线上，由此可证直线垂直平分． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 【考点3】直角三角形与勾股定理（第24-33题） · 勾股定理只用于直角三角形：a2+b2=c2，已知两边求第三边先分清直角边与斜边 · 用逆定理判断直角：验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方 · 折叠问题抓住折叠前后对应边相等，设未知数把条件集中到同一个直角三角形中 · 网格（格点）图中数格子求线段长度，再用勾股定理逆定理判断垂直或等腰 · 斜边上的中线等于斜边的一半、面积法求斜边上的高是两个高频结论 24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和等边三角形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可求，，，从而可得出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 25．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点作交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，得到，，设的长为，在中，，，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是长方形，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设的长为，则，，， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：B． 26．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列哪个选项不能判断是直角三角形 （   ） A． B．三个内角的度数之比是 C． D．三角形的三条边之比是 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】解：A.由可得，即，则是直角三角形； B.设三个内角读数为，，，则，解得，最大角为，则不是直角三角形； C.设，，，则，解得，最大角为，则是直角三角形； D.设三条边是，则，则是直角三角形； 故选：B． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则． 根据勾股定理，得． 在中，． 故选：A． 28．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·四川成都·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 【答案】/ 【知识点】求点到坐标轴的距离、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形．在直角中利用勾股定理即可求得的长，则、的横坐标可以求得，则点的纵坐标就是点的纵坐标，由此得出点的坐标；设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，从而求得的纵坐标． 【详解】解：在直角中，， 则，即、的横坐标是， 则点坐标为； 设，则， 在直角中，， ， 则， 解得：． 故的坐标是． 30．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为________． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，由长方形的性质得，，，由折叠得，，求得，则，由，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有一个边长为的正方形，其中点、表示的数分别为、，以为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点左边于点，则表示的数为____________．    【答案】/ 【知识点】用数轴上的点表示有理数、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了数轴上的数字表示，勾股定理等知识点，熟悉掌握勾股定理的运算是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，得到的长，即可表示点． 【详解】解：∵为正方形，边长为， ∴，， ∴在中，， ∵点所在的数为：， ∴点所在的数为：， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 【答案】(1) 如图1，等腰△即为所求（答案不唯一）． (2) 如图2，△即为所求（答案不唯一）． 【知识点】格点作图题、勾股定理与网格问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的性质画图即可，由图可得，即△是等腰三角形． （2）利用网格按照题意画图即可，由图可得可得，得出． 【详解】（1） 略 （2） 略 33．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，三点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图1中，画出的垂直平分线； (3)在图2中，在边上找出点，使． 【答案】(1) 如图，根据网格的特点，点即为所求： (2) 即为所求； (3) 点即为所求； 【知识点】线段垂直平分线的性质、画轴对称图形、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查无刻度网格作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质， （1）利用网格特征作出的中点即可； （2）根据线段的垂直平分线的定义作出图形即可； （3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求； 【详解】（1）解：由作图可知：， 则：， 即点即为所求； （2）如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求； 由作图可知：垂直平分，且为的中点， 则：垂直平分； （3）构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求； 【考点4】角平分线、线段垂直平分线与尺规作图（第34-40题） · 角平分线性质：向两边作垂线段得距离相等，可直接用于求线段长 · 线段垂直平分线性质：线上点到两端距离相等，常转化为等腰三角形 · 判定定理与性质定理互逆：证点在平分线（或中垂线）上用判定，已知位置用性质 · 尺规作图题要求保留作图痕迹、标注字母，叙述作法按步骤写清 · 三角形中角平分线、中垂线的交点到相应点的距离相等是常用隐含条件 34．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 是的平分线， ， 在中，． 35．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 __________ ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作于点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作于点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 36．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，是射线上一定点，是射线上的动点，交于点．，．在点的运动过程中，当时，______度．（用含的代数式表示） 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，分两种情况，即点在上方和点在下方两种，熟练掌握以上内容并进行推理是解题关键． 【详解】解：当点在上方时，设交于点， ，，平分， ，． ， ． ， ， ， ， ． 当点在下方时，如图所示， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 37．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的高，的两条角平分线、相交于点，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形高线可得，利用三角形的内角和定理可求解的度数； （2）由三角形的内角和可求解的度数，再根据角平分线的定义可求出和的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）解：是的高线， ， ，， ． 是的角平分线，， ． ； （2）解：，，， ， ，分别平分，，，相交于点， ，， ， ． 38．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) (3) 证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ．， 平分． 【知识点】角平分线的判定定理、等边对等角、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）利用即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，则，结合全等三角形的性质及角的和差求解即可； （3）过点作于点，根据三角形面积求出，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，请用尺规作图法，在上找一点D，使点D到的距离等于．（不要求写作法，标注字母，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点D即为所求． 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】以点为圆心，任意长为半径画弧，与、分别交于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与的交点即为点． 【详解】略 40．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若 是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质． （1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可； （2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵是的高， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【考点5】平行线、折叠与三角形角度计算（第41-47题） · 平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；判定与性质互逆使用 · 三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角之和，是角度计算的两个基本依据 · 折叠问题：折痕两侧对应角相等，结合平行线性质建立角的方程 · 命题先找题设与结论，判断假命题只需举一个反例 · 条件多时用设元法，把未知角用同一字母表示再列方程求解 41．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：， 设，则， ， 四边形沿折叠形成四边形， ， ， 四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 解得， 即的度数为． 故选：A． 42．（24-25七年级上·江苏常州·期末）将一块含角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，先求出，过B作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，根据角的和差以及对顶角的性质求出，结合三角形内角和定理求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， 过B作， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 43．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）如图①，已知长方形纸带，点E、F分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 44．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸带沿折叠，点A、B的对应点分别为，，线段交线段于点P．若，则的度数为________． 【答案】/50度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】过点作，由折叠得，，然后根据平行线的性质得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作 ∵ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ 由折叠得， ∴ ∵， ∴ ∴． 45．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【知识点】写出命题的题设与结论、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 46．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ___________． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查三角形的折叠问题．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 47．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简______ 【答案】 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 【考点6】一元一次不等式（组）与实际应用（第48-52题） · 解不等式严格按步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1；乘除负数时不等号变向 · 数轴表示解集：含等号用实心点，不含等号用空心圈，方向与解集一致 · 不等式组先分别求解再取公共部分，口诀「同大取大、同小取小、大小小大中间找」 · 方案设计题抓「至少、不超过、不足」列不等式，结合整数解列举所有可行方案 · 求参数范围时由解集情况反推字母取值，注意端点能否取到 48．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）当三个非负实数x，y，z满足关系式与时，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值、三元一次方程组的定义及解、求不等式组的解集 【分析】本题考查函数最值问题，涉及三元一次方程组，一元一次不等式组，非负数等知识点．解题的关键是用表示出和．根据关系式与求出和与的关系式，又因，，均为非负实数，求出的取值范围，于是可以求出的最大值． 【详解】解：∵， 解得：， ∴ ， 又∵，，均为非负实数， ∴， 解得：， 当时，有最大值为：． ∴的最大值为． 故选：C． 49．（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________． 【答案】7或或3 【知识点】分式化简求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、不等式的定义 【分析】本题考查分式的化简，不等式的应用，一元一次方程． 先根据分式的性质化简分式为，然后根据题意得到且为整数，得到关于x的方程，进而求解即可． 【详解】解： ∵x为整数，且分式的值为正整数， ∴且为整数， 即且为整数， ∴或， 解得或或3． 故答案为：7或或3． 50．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 ______题才有机会进入邀请赛． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，利用得分答对题目数留空题目数，结合得分不少于分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对题才有机会进入邀请赛， 根据题意得：， 解得：， ∴至少需要答对题才有机会进入邀请赛， 故答案为：． 51．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知点的坐标满足方程组，点P在第三象限． (1)请用含a的代表式表示x； (2)请求出a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式组，根据点所在象限，求参数的范围． （1）直接解方程组即可； （2）求出方程组的解，根据第三象限点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）（2）， 得：， ， ∵点在第三象限， ∴， 解得：． 52．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1) 填表如下： 车型 车辆数辆 载客量人 租金元 型客车 型客车 (2)至少租型客车5辆 (3)有两个方案，分别为：方案一：A车5辆B车9辆；方案二：A车6辆B车8辆 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、列代数式 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据所给信息可以填表得解； （2）依据题意，由总载客量需满足师生总数698人，则，结合为车辆数（整数），从而可以判断得解； （3）依据题意，由总租金元，则，故；又结合（2）中，，且为整数，可得或6，进而可以判断得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，总载客量需满足师生总数698人， ． ． ． 为车辆数（整数）， 最小取5． 至少需租用型客车5辆． （3）解：由题意，总租金元， ． ． 又结合（2）中，，且为整数， 或6． 共有2种租车方案：租用型客车5辆，型客车辆；租用型客车6辆，型客车辆． 💯 课后巩固 复习建议 · 全等证明先锁定要证的两个三角形，按判定定理把条件补齐再规范书写 · 等腰三角形遇边、角条件先想分类讨论，并检验三边关系能否构成三角形 · 勾股定理必须先确认直角，折叠与网格题都靠设未知数集中条件 · 角平分线与中垂线性质定理直接产生距离相等，可省去全等证明 · 解不等式组先求各解再取公共部分，实际应用题答清方案并检验 【作业1】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、对顶角相等、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及对顶角、平行线的性质、垂线的性质，三角形全等的条件等知识点，根据相关知识点判断命题的真假即可． 【详解】解： ①对顶角相等，是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，而非垂直，故是假命题； ③两边和一角对应相等，若角不是夹角，则三角形不一定全等（如情况），故是假命题； ④同位角相等需两直线平行，未说明前提，故是假命题； ∴ 假命题有②、③、④，共3个． 故选C． 【作业2】．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）已知如图中的周长为20，点是与的角平分线的交点，于点，若，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 【作业3】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查求不等式组中参数的范围，根据题意，列出关于参数a的不等式组，是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为3, 4, 5， ∴， 解得， 故选：A． 【作业4】．（2024·湖南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由不等式①得，， 由不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：C． 【作业5】．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、三角形三边关系等知识点，确定第三边的范围是解本题的关键． 根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，再表示在数轴上即可． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为，即，表示在数轴上为： ． 故选C． 【作业6】．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）如图，将一张两边平行的纸条折叠一下，若，则_______． 【答案】70 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】画出折叠前的图形，利用折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，推出，最后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得， ∵纸条的两边平行， ∴， ∴， ∵纸条的两边平行， ∴， ∵， ∴． 【作业7】．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 【答案】4 【知识点】二元一次方程的解、求一元一次不等式的整数解 【分析】先将方程的解代入原方程，得到，根据非负整数的定义确定的所有可能取值，再计算对应的，比较得到最小值． 【详解】解：将代入得：， 整理得， ∵为非负整数， ∴，， 解得， ∵为非负整数， ∴的可能取值为． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． ， ∴的最小值为． 【作业8】．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了高斯函数的概念及其性质，解题的关键在于准确理解高斯函数的定义．根据高斯函数的定义，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：①，正确； ②取反例验证： 当时，，，和为； 当时，，，和为； 当时，，，和为． 因此结论②不总成立，错误． ③若，则， 解得，即，正确． 综上所述，①③正确， 故答案为：①③． 【作业9】．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 _____尺． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设尺，则尺，尺，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图， 设尺，则尺，尺， 则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴该问题中门宽为尺， 故答案为：． 【作业10】．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是______． 【答案】9 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明三角形全等． 证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【作业11】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过______秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【答案】70 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设运动时间为t秒，根据题意可得，解得，当时，此时第一次两动点相距100米，当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，据此可得答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，， 解得， 当时，此时第一次两动点相距100米，此时甲、乙位置如图所示， 当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米， ∴此时两动点都在上， ∴经过70秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 故答案为：70． 【作业12】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点D是边的中点，若，，则________． 【答案】8 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握这两个知识点是关键．由点D为直角三角形斜边中点，得；由勾股定理即可求得． 【详解】解：，点D是边的中点，， ． ，， ． 故答案为：8． 【作业13】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，点、、分别为、、的中点．若，则________． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出△、△、△，△的面积，然后表示出△的面积，再表示出△的面积，即可得解，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用． 【详解】解：如图，连接， 点、分别为、的中点， ， ， ， ， 是的中点， ， ． ， ． 故答案为：4． 【作业14】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）解下列不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式（组）的一般步骤； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1即可得解． （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 【作业15】．（2024·山东青岛·一模）已知：，，．求作：点P，使，且点P在边AC上． 【答案】 点P即为所求． 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图画垂线、三角形内角和定理等知识点，理解题意、灵活运用尺规作图画垂线是解题的关键． 如图：过B作,垂足为 P，然后根据三角形内角和定理可知，然后根据角的和差可得，据此即可解答． 【详解】解：如图：过B作,垂足为 P， ∵， ∴， ∴,则点P即为所求． 【作业16】．（24-25七年级下·上海闵行·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 数轴表示如下所示： 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 【作业17】．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】 解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】略 【作业18】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）温州永嘉某校八（12）班委会决定在秋游结束后给全班n位同学每人购买一件印有合影的T恤衫或一本影集作为纪念品．已知每件T恤衫比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤衫和5本影集． (1)求每件T恤衫和每本影集的价格分别为多少元？ (2)当时，若总的购买资金不超过1465元，则最多可购买T恤衫多少件？ (3)若购买T恤衫和影集资金恰好是1465元，则该班有 人．（请直接写出答案） 【答案】(1)每件T恤衫35元，每本影集26元 (2)最多买18件T恤衫 (3)47或56 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设每件T恤衫x元，每本影集y元，根据“每件T恤衫比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤衫和5本影集”方程组求解即可； （2）设可购买T恤衫m件，根据“总的购买资金不超过1465元”列不等式求解即可； （3）设可购买T恤衫m件，根据“购买T恤衫和影集资金恰好是1465元”列方程，然后根据m、n都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设每件T恤衫x元，每本影集y元， 根据题意得， 解得， 答：每件T恤衫35元，每本影集26元； （2）解：设可购买T恤衫m件， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数m为18， 答：最多买18件T恤衫； （3）解：根据题意，得， 化简得， ∴， ∴整数解为或， ∴该班有47或56人． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第1~3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握全等三角形的性质与判定（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），能综合运用证明线段和角相等 · 理解等腰（等边）三角形的性质与判定，会用三线合一解决计算与证明并进行分类讨论 · 掌握勾股定理及其逆定理，能解决折叠、网格、弦图与实际测量类问题 · 理解角平分线与线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能完成相关尺规作图 · 掌握一元一次不等式（组）的解法，能在数轴上表示解集并解决方案设计类实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，周长与面积相等，对应中线、高、角平分线也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形专用 HL（斜边和一条直角边对应相等） 找对应元素：公共边、公共角、对顶角是隐含对应；「边边角」不能判定三角形全等 辅助线：遇中线可倍长中线，遇角平分线向两边作垂线，证线段和差可用截长补短 概念辨析例题：已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF 答案：△ABC≌△DEF（SAS） 解析：由AB∥DE得∠B=∠DEF；由BE=CF得BE+EC=CF+EC，即BC=EF；又AB=DE，故△ABC≌△DEF（SAS）。 ☆ 2.等腰（等边）三角形 性质：等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 判定：等角对等边；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 分类讨论：已知两边求周长、已知一角求其余角时，要分腰与底、顶角与底角讨论，并检验三边关系 等边三角形三边相等、三个角都是60°，是特殊的等腰三角形 概念辨析例题：等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为____ 答案：17 解析：若腰为3，则三边为3、3、7，3+3<7不能构成三角形；故腰只能为7，周长=7+7+3=17。 ☆ 3.直角三角形与勾股定理 性质：直角三角形两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对直角边等于斜边的一半 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 折叠与网格：折叠前后对应边、对应角相等；网格中用勾股定理求边长并判断直角 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为____ 答案： 解析：斜边c==10；由面积法×6×8=×10×h，得h=。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；判定反之成立 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），三条角平分线交于一点（内心） 尺规作图：作已知角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线，须保留作图痕迹 概念辨析例题：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离为____ 答案：3 解析：CD=BC-BD=3；由角平分线性质，点D到AB的距离等于CD=3。 ☆ 5.一元一次不等式（组） 不等式性质：两边同加（减）同一个数方向不变；同乘（除）正数方向不变，同乘（除）负数方向改变 解一元一次不等式：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解集在数轴上表示 不等式组：先分别解各不等式，再取公共部分（同大取大、同小取小、大小小大中间找） 实际应用：抓「至少、不超过、不少于」等关键词列不等式，并求整数解方案 概念辨析例题：解不等式组：2x-1>x+1，x+8<4x-1，并把解集在数轴上表示出来 答案：x>3 解析：解2x-1>x+1得x>2；解x+8<4x-1得x>3；同大取大，公共解集为x>3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等判定 SAS/ASA/AAS/SSS；直角三角形HL 「边边角」不能判定全等 全等性质 对应边、对应角分别相等 对应中线、高、角平分线也相等 等腰三角形 等边对等角；三线合一 分顶角底角、腰底讨论并检验三边关系 勾股定理 a2+b2=c2 仅适用于直角三角形；逆定理判直角 斜边中线 斜边上的中线=斜边一半 常与30°角所对直角边性质联用 角平分线 线上点到两边距离相等 性质用于求距离，判定用于定位 垂直平分线 线上点到两端点距离相等 常转化为等腰三角形；作图留痕迹 不等式组 解集取各不等式公共部分 乘除负数时不等号方向改变 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的判定与性质综合（第1-10题） · 判定先找齐三组对应条件：至少一组边相等，再选SAS、ASA、AAS或SSS，直角三角形优先考虑HL · 证线段或角相等，先证它们所在的两个三角形全等，公共边、公共角、对顶角是隐含对应元素 · 题干出现平行时，由平行线性质先得到一组角相等，为全等提供角的条件 · 遇中线考虑倍长中线构造全等，遇角平分线向两边作垂线段转化条件 · 多步证明把结论拆成小目标：先证一对全等得到中间边（角）相等，再证下一对全等 1．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，，，，，则的长度等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（    ） A．与互余 B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为______． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则__________． 7．（2024·浙江温州·三模）如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，点是对角线上一点． (1)求证：． (2)若，，，求四边形的面积． 8．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：．    10．（2025·江苏镇江·二模）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【考点2】等腰（等边）三角形的性质与分类讨论（第11-23题） · 等边对等角、等角对等边是等腰三角形最常用的边角转化依据 · 三线合一：见等腰三角形，顶角平分线、底边中线、底边高三者知一推二 · 分类讨论：已知边求周长、已知角求角度时，分腰与底、顶角与底角两种情况，并检验三边关系 · 等边三角形三边相等、三角均为60°，常与SAS全等结合证明线段相等 · 折叠问题中折痕是对应点连线的垂直平分线，折叠前后对应边、对应角不变 11．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作 交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 15．（2024·山东济宁·二模）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为______． 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，E，D分别是，上的点，，，且，则________________． 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为___________． 18．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段检测）若是边上的高，，则___________． 19．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为________． 20．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 21．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断： 如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：______． (2)性质探究： 如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，均在外，连结、，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． (3)拓展应用： 如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，点，，在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 22．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”和“图形的轴对称”等内容后，小敏做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小敏完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】填空：的度数为________； 【拓展探究】做完该题后，小敏又进行了如下思考： 在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，其他条件不变． （1）是否仍成立？ （2）的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并说明理由． 23．（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 【考点3】直角三角形与勾股定理（第24-33题） · 勾股定理只用于直角三角形：a2+b2=c2，已知两边求第三边先分清直角边与斜边 · 用逆定理判断直角：验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方 · 折叠问题抓住折叠前后对应边相等，设未知数把条件集中到同一个直角三角形中 · 网格（格点）图中数格子求线段长度，再用勾股定理逆定理判断垂直或等腰 · 斜边上的中线等于斜边的一半、面积法求斜边上的高是两个高频结论 24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点作交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 26．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列哪个选项不能判断是直角三角形 （   ） A． B．三个内角的度数之比是 C． D．三角形的三条边之比是 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 29．（25-26八年级上·四川成都·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 30．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为________． 31．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有一个边长为的正方形，其中点、表示的数分别为、，以为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点左边于点，则表示的数为____________．    32．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 33．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，三点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图1中，画出的垂直平分线； (3)在图2中，在边上找出点，使． 【考点4】角平分线、线段垂直平分线与尺规作图（第34-40题） · 角平分线性质：向两边作垂线段得距离相等，可直接用于求线段长 · 线段垂直平分线性质：线上点到两端距离相等，常转化为等腰三角形 · 判定定理与性质定理互逆：证点在平分线（或中垂线）上用判定，已知位置用性质 · 尺规作图题要求保留作图痕迹、标注字母，叙述作法按步骤写清 · 三角形中角平分线、中垂线的交点到相应点的距离相等是常用隐含条件 34．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 __________ ． 36．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，是射线上一定点，是射线上的动点，交于点．，．在点的运动过程中，当时，______度．（用含的代数式表示） 37．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的高，的两条角平分线、相交于点，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 38．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 39．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，请用尺规作图法，在上找一点D，使点D到的距离等于．（不要求写作法，标注字母，保留作图痕迹） 40．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若 是角平分线，求的度数． 【考点5】平行线、折叠与三角形角度计算（第41-47题） · 平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；判定与性质互逆使用 · 三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角之和，是角度计算的两个基本依据 · 折叠问题：折痕两侧对应角相等，结合平行线性质建立角的方程 · 命题先找题设与结论，判断假命题只需举一个反例 · 条件多时用设元法，把未知角用同一字母表示再列方程求解 41．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·江苏常州·期末）将一块含角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）如图①，已知长方形纸带，点E、F分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸带沿折叠，点A、B的对应点分别为，，线段交线段于点P．若，则的度数为________． 45．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 46．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ___________． 47．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简______ 【考点6】一元一次不等式（组）与实际应用（第48-52题） · 解不等式严格按步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1；乘除负数时不等号变向 · 数轴表示解集：含等号用实心点，不含等号用空心圈，方向与解集一致 · 不等式组先分别求解再取公共部分，口诀「同大取大、同小取小、大小小大中间找」 · 方案设计题抓「至少、不超过、不足」列不等式，结合整数解列举所有可行方案 · 求参数范围时由解集情况反推字母取值，注意端点能否取到 48．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）当三个非负实数x，y，z满足关系式与时，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 49．（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________． 50．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 ______题才有机会进入邀请赛． 51．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知点的坐标满足方程组，点P在第三象限． (1)请用含a的代表式表示x； (2)请求出a的取值范围． 52．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 💯 课后巩固 复习建议 · 全等证明先锁定要证的两个三角形，按判定定理把条件补齐再规范书写 · 等腰三角形遇边、角条件先想分类讨论，并检验三边关系能否构成三角形 · 勾股定理必须先确认直角，折叠与网格题都靠设未知数集中条件 · 角平分线与中垂线性质定理直接产生距离相等，可省去全等证明 · 解不等式组先求各解再取公共部分，实际应用题答清方案并检验 【作业1】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业2】．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）已知如图中的周长为20，点是与的角平分线的交点，于点，若，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【作业3】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（2024·湖南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）如图，将一张两边平行的纸条折叠一下，若，则_______． 【作业7】．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 【作业8】．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）． 【作业9】．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 _____尺． 【作业10】．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是______． 【作业11】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过______秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【作业12】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点D是边的中点，若，，则________． 【作业13】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，点、、分别为、、的中点．若，则________． 【作业14】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）解下列不等式（组）： (1)； (2) 【作业15】．（2024·山东青岛·一模）已知：，，．求作：点P，使，且点P在边AC上． 【作业16】．（24-25七年级下·上海闵行·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【作业17】．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【作业18】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）温州永嘉某校八（12）班委会决定在秋游结束后给全班n位同学每人购买一件印有合影的T恤衫或一本影集作为纪念品．已知每件T恤衫比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤衫和5本影集． (1)求每件T恤衫和每本影集的价格分别为多少元？ (2)当时，若总的购买资金不超过1465元，则最多可购买T恤衫多少件？ (3)若购买T恤衫和影集资金恰好是1465元，则该班有 人．（请直接写出答案） 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $