专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数与科学记数法，能对有理数进行分类 · 掌握有理数加减乘除与乘方的运算法则，能进行含乘方的混合运算并运用运算律 · 理解平方根、立方根、无理数与实数的概念，能进行实数的分类、估算与运算 · 掌握代数式、单项式、多项式与同类项的概念，能进行整式加减与化简求值 · 会用代数式表示实际问题中的数量关系，能探索数字与图形中的规律 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 正负数：具有相反意义的量可用正、负数表示，0既不是正数也不是负数 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线，数轴上的点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值：数轴上表示a的点到原点的距离，|a|≥0 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数；科学记数法：a×10n（1≤|a|<10） 有理数分类：按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） 概念辨析例题：把下列各数填入相应的集合：3，-，0，2.5，-7，，其中属于正分数的是____ 答案： 解析：正分数是大于0的分数，为正分数；-是负分数，0既不是正数也不是负数，2.5是正分数形式的小数也可填。 ☆ 2.有理数的运算 加法法则：同号相加取相同符号并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大加数的符号并用较大绝对值减较小绝对值 减法：减去一个数等于加上它的相反数；乘法：两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘 除法：除以一个数等于乘这个数的倒数；乘方：n个相同因数a相乘记作an 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律；混合运算先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-22+(-3)2×(-1)-(-4)÷2 答案：-11 解析：-22表示2的平方的相反数为-4；(-3)2=9，9×(-1)=-9；(-4)÷2=-2，减去-2等于加2；所以-4-9+2=-11。 ☆ 3.实数（平方根与立方根） 平方根：若x2=a（a≥0），则x是a的平方根，正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根记作，≥0；=a 立方根：若x3=a，则x是a的立方根，任何数都有且只有一个立方根，负数立方根为负数 无理数：无限不循环小数，如、π；有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应 实数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；估算常用夹逼法找相邻整数 概念辨析例题：一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数 答案：这个正数是9 解析：正数的两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(-3)2=9。 ☆ 4.代数式与整式 代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子；单项式：数与字母的积，单独一个数或字母也是单项式 单项式的系数与次数：系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和；多项式是几个单项式的和，其次数取最高次项的次数 同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项；合并同类项：系数相加，字母与指数不变 整式加减：先去括号（括号前是负号时括号内各项要变号），再合并同类项；化简求值要先化简再代入 概念辨析例题：化简：2(x2-3x+1)-(x2-4x) 答案：x2-2x+2 解析：先去括号：2x2-6x+2-x2+4x；再合并同类项：(2x2-x2)+(-6x+4x)+2=x2-2x+2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数 相反数/绝对值 -a与a互为相反数；|a|≥0 相反数只是符号不同，绝对值是距离 科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n等于整数位数减1 有理数运算 先乘方、再乘除、后加减 有括号先算括号内 平方根/立方根 (=a；立方根唯一 负数无平方根但有立方根 无理数 无限不循环小数 如、π 同类项 字母相同且指数相同 合并时系数相加指数不变 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与表示（第1-12题） · 判断相反数、倒数抓住定义：只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数 · 数轴三要素是原点、正方向、单位长度，缺一不可 · 科学记数法写成a×10n的形式，注意1≤|a|<10 · 有理数分类先看定义再看符号，0既不是正数也不是负数 1．（2026九年级下·浙江·专题练习）2026年1月，“中国卫星互联网星座”项目已完成第一阶段部署．该阶段共发射了168颗低轨通信卫星，平均每颗卫星的造价约为12000000元，数12000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）2025年财政部已下达消费品以旧换新资金81000000000元．其中数据81000000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江金华·二模）国家统计局2025年4月16日发布数据，今年一季度，我国国内生产总值突破31870000000000元，将数31870000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如果盈利50元记作元，那么亏损40元记作（   ）． A．元 B．元 C．元 D．元 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 7．（2024·甘肃武威·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）现有如下三个数：，用这三个数，列一个算式，要求包含两种不同的运算，并且计算结果是有理数，可列算式____． 9．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 11．（23-24七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 12．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【考点2】绝对值与数轴综合（第13-19题） · 绝对值是数轴上的距离，恒非负；|a-b|表示数轴上a、b两点之间的距离 · 化简多重符号：偶数个负号得正，奇数个负号得负 · 比较大小：正数大于0大于负数；数轴上右边的数总比左边的大；两个负数比较，绝对值大的反而小 · 数轴与绝对值综合：先判断点在原点哪一侧，确定式子的正负后再化简 13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知数在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 15．（25-26六年级上·四川成都·期末）比较大小：_____， _____ ．（填、或） 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 17．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在数轴上表示数，，，及它们的相反数，并用“”号把它们连接起来． 18．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）已知下列各数：，， (1)画出数轴，并在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 19．（25-26七年级上·浙江·单元复习）已知a、b表示两个不同的有数轴上的位置如图所示： (1)若，且，试确定a、b的数值； (2)在（1）的条件，若，求c的值； (3)若数x在数a、b之间的任意一数．化简：． 【考点3】有理数的加减乘除运算（第20-31题） · 加减法：先确定符号，再确定绝对值运算（同号相加、异号相减） · 减法统一为加法：减去一个数等于加上它的相反数 · 乘法、除法：先定符号（同号得正、异号得负）再算绝对值；除法转化为乘法 · 数轴动点问题：右移加、左移减，用算式表示位置的变化 20．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中：①；②；③；④；⑤；正确的是（    ）    A．①②⑤ B．③④ C．①③⑤ D．②④ 21．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（   ） A． B． C． D． 22．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）一个点从数轴上的所表示的点开始，先向右移动5个单位，再向左移动4个单位，这时该点表示的数是（     ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级上·浙江·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C．1 D．9 24．（2024·浙江台州·模拟预测）计算的结果为（    ） A．6 B．5 C． D． 25．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为_____． 26．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）把算式写成省略加号和的形式是______． 27．（第02讲 有理数的减法（5类题型）-【帮课堂】2023-2024学年七年级数学上册同步学与练（浙教版））计算：_________． 28．（22-23七年级下·浙江宁波·开学考试）〔x〕表示取x的整数部分，比如，若，则( ) 29．（25-26六年级上·全国·单元复习）计算： 30．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段检测）列式并计算： (1)已知5与一个数的差为，求这个数． (2)已知一个数与的积是，求这个数． 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点4】有理数的混合运算（第32-38题） · 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 · 乘法分配律a(b+c)=ab+ac要正用、逆用灵活 · 程序流程图问题：把输入值代入流程逐步计算，注意每一步的符号 · 区分(-2)2与-22：前者是4，后者是-4 32．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知，其中a，b，c均为正整数，则的值为____________． 33．（23-24七年级上·北京西城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 _________． 34．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 36．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（23-24七年级上·江西吉安·期中）计算： (1) (2)； 38．（24-25七年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点5】平方根与立方根（第39-45题） · 平方根成对出现且互为相反数，算术平方根是非负的那一个，表示算术平方根 · 负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0 · 立方根对一切数都有意义，负数的立方根为负数 · 已知平方根求原数：把平方根平方；利用的非负性可求字母的值 39．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）下列说法：①；②，③是的平方根；④的算术平方根是；⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（23-24七年级下·吉林·期末）计算______． 41．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）若，则的值为__________． 42．（24-25七年级下·重庆大足·阶段检测）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有______个． 43．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时，_______． 44．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 45．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 【考点6】无理数与实数分类（第46-50题） · 无理数是无限不循环小数：开方开不尽的数（如）、π、有特定规律的数（0.1010010001…） · 实数分类：按定义分有理数和无理数；按符号分正实数、0、负实数 · 估算无理数用夹逼法找相邻整数，如2<<3 · 实数大小比较与有理数法则一致，可借助数轴判断 46．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 47．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 48．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 49．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 50．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 【考点7】代数式与整式（第51-60题） · 单项式次数是所有字母的指数之和，系数不含字母；多项式次数取最高次项的次数 · 判断同类项：字母相同且相同字母的指数相同，与系数和顺序无关 · 合并同类项：系数相加，字母部分不变；去括号时括号前为负要变号 · 化简求值：先化简再代入；用代数式表示实际意义要合理 51．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知一个代数式是三次四项式，这个代数式可以是（    ） A． B． C． D． 52．（25-26七年级上·浙江金华·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．的系数是 B．a是单项式 C．的常数项是2 D．是二次三项式 53．（23-24七年级上·河南郑州·期末）某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是______． 54．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若 与 是同类项，它们相加的结果是_____． 55．（2025·天津·中考真题）计算的结果为____________． 56．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则代数式__________． 57．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“a的平方的相反数”用代数式表示是_______． 58．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知：与的和仍是单项式，则_______． 59．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）按照如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的结果是___________． 60．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：_______． 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数概念题先看定义，数轴三要素、相反数、倒数不能混淆 · 混合运算严格按先乘方、再乘除、后加减的顺序，灵活运用运算律 · 平方根有正负两个，算术平方根非负，负数无平方根但有立方根 · 整式化简先去括号再合并同类项，求值先化简后代入 · 规律探索题先找不变的量，再找随序号n变化的部分 【作业1】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值是（    ） A． B．7 C．5 D． 【作业2】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）绝对值小于的整数有（    ）个 A．3 B．4 C．6 D．7 【作业3】．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若在粮谷计算中，益实一斗（增加斗）记为斗，那么损实七斗（减少斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【作业4】．（25-26七年级上·江西南昌·期中）下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【作业5】．（2025·浙江杭州·二模）下列实数中，属于无理数的是 （    ） A． B．0.4 C．0 D． 【作业6】．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业7】．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）对代数式“ ”，请你结合生活实际，给出“”一个合理解释：_________________． 【作业8】．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是_______cm． 【作业9】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）合并同类项：_____． 【作业10】．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是________． 【作业11】．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）写一个比大的数______． 【作业12】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 【作业13】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图1是由两块瓷砖铺设而成，需要在、、、、处共填入的美缝剂．如果地面按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入______的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了的美缝剂，则该走廊的面积是______． 【作业14】．（24-25七年级上·全国·单元测试）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：_____． 【作业15】．（23-24七年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【作业16】．（23-24七年级上·浙江台州·期中）先化简，再求值：已知，求的值 【作业17】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【作业18】．（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【作业19】．（23-24七年级上·广西玉林·阶段检测）已知与互为相反数，求的值． 【作业20】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）小温与小周在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片，小温请小周按要求抽出卡片，完成下列各问题：    (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，请列式计算出最大值． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，请列式计算出最大值． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数与科学记数法，能对有理数进行分类 · 掌握有理数加减乘除与乘方的运算法则，能进行含乘方的混合运算并运用运算律 · 理解平方根、立方根、无理数与实数的概念，能进行实数的分类、估算与运算 · 掌握代数式、单项式、多项式与同类项的概念，能进行整式加减与化简求值 · 会用代数式表示实际问题中的数量关系，能探索数字与图形中的规律 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 正负数：具有相反意义的量可用正、负数表示，0既不是正数也不是负数 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线，数轴上的点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值：数轴上表示a的点到原点的距离，|a|≥0 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数；科学记数法：a×10n（1≤|a|<10） 有理数分类：按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） 概念辨析例题：把下列各数填入相应的集合：3，-，0，2.5，-7，，其中属于正分数的是____ 答案： 解析：正分数是大于0的分数，为正分数；-是负分数，0既不是正数也不是负数，2.5是正分数形式的小数也可填。 ☆ 2.有理数的运算 加法法则：同号相加取相同符号并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大加数的符号并用较大绝对值减较小绝对值 减法：减去一个数等于加上它的相反数；乘法：两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘 除法：除以一个数等于乘这个数的倒数；乘方：n个相同因数a相乘记作an 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律；混合运算先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-22+(-3)2×(-1)-(-4)÷2 答案：-11 解析：-22表示2的平方的相反数为-4；(-3)2=9，9×(-1)=-9；(-4)÷2=-2，减去-2等于加2；所以-4-9+2=-11。 ☆ 3.实数（平方根与立方根） 平方根：若x2=a（a≥0），则x是a的平方根，正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根记作，≥0；=a 立方根：若x3=a，则x是a的立方根，任何数都有且只有一个立方根，负数立方根为负数 无理数：无限不循环小数，如、π；有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应 实数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；估算常用夹逼法找相邻整数 概念辨析例题：一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数 答案：这个正数是9 解析：正数的两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(-3)2=9。 ☆ 4.代数式与整式 代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子；单项式：数与字母的积，单独一个数或字母也是单项式 单项式的系数与次数：系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和；多项式是几个单项式的和，其次数取最高次项的次数 同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项；合并同类项：系数相加，字母与指数不变 整式加减：先去括号（括号前是负号时括号内各项要变号），再合并同类项；化简求值要先化简再代入 概念辨析例题：化简：2(x2-3x+1)-(x2-4x) 答案：x2-2x+2 解析：先去括号：2x2-6x+2-x2+4x；再合并同类项：(2x2-x2)+(-6x+4x)+2=x2-2x+2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数 相反数/绝对值 -a与a互为相反数；|a|≥0 相反数只是符号不同，绝对值是距离 科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n等于整数位数减1 有理数运算 先乘方、再乘除、后加减 有括号先算括号内 平方根/立方根 (=a；立方根唯一 负数无平方根但有立方根 无理数 无限不循环小数 如、π 同类项 字母相同且指数相同 合并时系数相加指数不变 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与表示（第1-12题） · 判断相反数、倒数抓住定义：只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数 · 数轴三要素是原点、正方向、单位长度，缺一不可 · 科学记数法写成a×10n的形式，注意1≤|a|<10 · 有理数分类先看定义再看符号，0既不是正数也不是负数 1．（2026九年级下·浙江·专题练习）2026年1月，“中国卫星互联网星座”项目已完成第一阶段部署．该阶段共发射了168颗低轨通信卫星，平均每颗卫星的造价约为12000000元，数12000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：. 2．（2025·浙江·二模）2025年财政部已下达消费品以旧换新资金81000000000元．其中数据81000000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：A． 3．（2025·浙江金华·二模）国家统计局2025年4月16日发布数据，今年一季度，我国国内生产总值突破31870000000000元，将数31870000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：31870000000000用科学记数法表示为． 故选：C． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如果盈利50元记作元，那么亏损40元记作（   ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了相反意义的量．根据盈利和亏损是相反意义的量，盈利记为正数，则亏损记为负数，即可求解． 【详解】解：∵盈利50元记作元， ∴亏损40元记作元． 故选B． 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 7．（2024·甘肃武威·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）现有如下三个数：，用这三个数，列一个算式，要求包含两种不同的运算，并且计算结果是有理数，可列算式____． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数的混合运算，掌握相关知识点是解题的关键． 通过加法使部分运算结果为0，再乘以无理数，从而得到有理数结果． 【详解】解：通过加法使部分运算结果为0，再乘以无理数，从而得到有理数结果， 即算式为． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】 画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】略 11．（23-24七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【答案】 ， 260 ，0 ， ； ， ， ， 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数\负有理数的定义解答即可． 【详解】解∶ 整数集合：{， 260 ，0 ， ，…}； 负有理数集合：{， ， ， ，…} 12．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【答案】 【知识点】相反数的定义、有理数的乘方运算、倒数 【分析】根据相反数和倒数的定义求出，再根据非负数的性质求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了非负数的性质、乘方运算、相反数和倒数的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【考点2】绝对值与数轴综合（第13-19题） · 绝对值是数轴上的距离，恒非负；|a-b|表示数轴上a、b两点之间的距离 · 化简多重符号：偶数个负号得正，奇数个负号得负 · 比较大小：正数大于0大于负数；数轴上右边的数总比左边的大；两个负数比较，绝对值大的反而小 · 数轴与绝对值综合：先判断点在原点哪一侧，确定式子的正负后再化简 13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知数在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查数轴，有理数的大小比较法则，绝对值等知识，解题的关键是判断出出数轴上数的大小关系和数的绝对值的大小关系． 首先判断出，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质、有理数加减运算法则和乘法法则，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：，， ①∵，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，故②错误； ③，故③正确； ④∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴其中正确结论序号是①③④， 故选：C． 14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：． 15．（25-26六年级上·四川成都·期末）比较大小：_____， _____ ．（填、或） 【答案】 【知识点】化简多重符号、有理数大小比较、求一个数的绝对值 【详解】解：比较与， ，， 因为，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 所以； 比较与， ，， 将与通分，，， 因为，根据正数比较大小，数值大的数更大， 所以． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 17．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在数轴上表示数，，，及它们的相反数，并用“”号把它们连接起来． 【答案】 数轴上表示如下： ． 【知识点】相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，相反数，利用有理数的大小比较，数轴知识，相反数的定义解答即可，解题的关键是掌握有理数的大小比较，数轴知识，相反数的定义． 【详解】解：，，，的相反数分别是，，，， ∴． 18．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）已知下列各数：，， (1)画出数轴，并在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1) 如图：   ； (2) 【知识点】化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，在数轴上表示有理数，关键是正确确定表示各数的点的位置． （1）先化简，再在数轴上确定表示各数的点的位置，然后在数轴上表示即可； （2）右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：，， （2）解：由（1）得：； 19．（25-26七年级上·浙江·单元复习）已知a、b表示两个不同的有数轴上的位置如图所示： (1)若，且，试确定a、b的数值； (2)在（1）的条件，若，求c的值； (3)若数x在数a、b之间的任意一数．化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的绝对值、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值的应用，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． （1）根据数轴得出，根据已知求出，即可求出b值； （2）根据即可求出c； （3）根据x的位置去掉绝对值符号，约分即可． 【详解】（1）解：从数轴可知：， ∵，且 ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴； （3）∵数x在数a、b之间的任意一数，， ∴，， ∴． 【考点3】有理数的加减乘除运算（第20-31题） · 加减法：先确定符号，再确定绝对值运算（同号相加、异号相减） · 减法统一为加法：减去一个数等于加上它的相反数 · 乘法、除法：先定符号（同号得正、异号得负）再算绝对值；除法转化为乘法 · 数轴动点问题：右移加、左移减，用算式表示位置的变化 20．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中：①；②；③；④；⑤；正确的是（    ）    A．①②⑤ B．③④ C．①③⑤ D．②④ 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴比较有理数的大小及有理数的加减法法则，有理数的乘法法则，熟练掌握根据数轴判断式子的正负是解题关键． 【详解】解：由图可知，，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∵， ∴，故⑤正确； 综上分析，①③⑤正确． 故选：C． 21．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解题意，正确的列式是解题的关键；根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可． 【详解】解：6个小棍正放表示，8个小棍斜放表示， 因此图2可列的算式为， 故选：B． 22．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）一个点从数轴上的所表示的点开始，先向右移动5个单位，再向左移动4个单位，这时该点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】先将点先右平移得出点表示的数，再向左平移，并根据有理数的加减法法则计算可得答案． 【详解】解：一个点从数轴上的所表示的点开始，先向右移动5个单位，可得点表示的数为，再向左平移4个单位，可得点表示的数为． 23．（23-24七年级上·浙江·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，注意计算的准确性即可． 【详解】解：， 故选：A 24．（2024·浙江台州·模拟预测）计算的结果为（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选D． 25．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为_____． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】根据公式直接列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了新定义的计算，有理数加减法计算法则，正确理解新定义公式列得算式是解题的关键． 26．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）把算式写成省略加号和的形式是______． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．先把减法转化为加法，然后把括号和括号前面的加号省去即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．（第02讲 有理数的减法（5类题型）-【帮课堂】2023-2024学年七年级数学上册同步学与练（浙教版））计算：_________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】先把带分数化为假分数，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法、带分数与假分数的互化等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 28．（22-23七年级下·浙江宁波·开学考试）〔x〕表示取x的整数部分，比如，若，则( ) 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查小数的运算，先将三个数分别求出结果，然后再进行计算，即可求得这三个数的和是多少，依此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：. 29．（25-26六年级上·全国·单元复习）计算： 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据有理数的乘法运算进行计算即可． 【详解】解： ． 30．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段检测）列式并计算： (1)已知5与一个数的差为，求这个数． (2)已知一个数与的积是，求这个数． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法和有理数的减法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出式子再进行计算即可； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) (5)0 (6) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键； （1）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （2）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （3）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （4）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （5）根据0除以任何一个非零的数等于0即可； （6）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答；； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【考点4】有理数的混合运算（第32-38题） · 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 · 乘法分配律a(b+c)=ab+ac要正用、逆用灵活 · 程序流程图问题：把输入值代入流程逐步计算，注意每一步的符号 · 区分(-2)2与-22：前者是4，后者是-4 32．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知，其中a，b，c均为正整数，则的值为____________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据得到，据此求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 33．（23-24七年级上·北京西城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 _________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的程序计算，根据运算程序将代入计算即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，，即输出； 故答案为：． 34．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减运算，进行计算即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解； （4）先计算乘方，然后乘除，最后加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 35．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算、乘法分配律及有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，灵活运用乘法分配律简化计算． （1）同号两数相加，取相同符号并求和的绝对值； （2）有理数减法转化为加法计算； （3）利用乘法分配律将括号内的数分别与相乘再计算； （4）先算乘法，再算加法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 36．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）利用有理数的乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 37．（23-24七年级上·江西吉安·期中）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． （1）先把除法改成乘法，再按照乘法分配律计算即可； （2）按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 38．（24-25七年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)52 (3)19 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （3）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点5】平方根与立方根（第39-45题） · 平方根成对出现且互为相反数，算术平方根是非负的那一个，表示算术平方根 · 负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0 · 立方根对一切数都有意义，负数的立方根为负数 · 已知平方根求原数：把平方根平方；利用的非负性可求字母的值 39．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）下列说法：①；②，③是的平方根；④的算术平方根是；⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． 【详解】解：①.，则①不正确； ②，因此②不正确； ③是的一个平方根，因此③不正确； ④，则的算术平方根是，因此④正确； ⑤，负数没有平方根，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有④， 故选：A． 40．（23-24七年级下·吉林·期末）计算______． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】先根据算术平方根的定义及立方根的定义可知的算术平方根是，的立方根是，再根据有理数的加法运算法则解答即可．本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，有理数的加法运算法则，理解算术平方根的定义，立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：． 41．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）若，则的值为__________． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查偶次方和算术平方根的非负性，掌握非负数的性质：非负数的和等于0，每个非负数为0是解题的关键． 直接利用非负数的性质求出，的值，再代入计算即可中． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 则． 故答案为：． 42．（24-25七年级下·重庆大足·阶段检测）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有______个． 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判断即可． 【详解】解：、、0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）是无理数，共有3个， 、，是有理数， 故答案为：3． 43．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时，_______． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【详解】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 44．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、有理数的加减混合运算、实数的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序与方法，并能进行正确地计算． （1）运用有理数加减运算法则进行求解； （2）先计算绝对值、乘方和除法，再计算加减． 【详解】（1）解∶ ； （2）解： ． 45．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 【答案】(1) (2)11或5 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义以及算术平方根的性质解决此题． （2）根据平方根的定义以及性质解决此题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是c的立方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根与c的差为或． 【考点6】无理数与实数分类（第46-50题） · 无理数是无限不循环小数：开方开不尽的数（如）、π、有特定规律的数（0.1010010001…） · 实数分类：按定义分有理数和无理数；按符号分正实数、0、负实数 · 估算无理数用夹逼法找相邻整数，如2<<3 · 实数大小比较与有理数法则一致，可借助数轴判断 46．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．根据得到的值，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， . 故答案为：B. 47．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】对于非负数，如果，那么，据此判断两个绝对值的大小关系，根据两个负数比较大小的规则，结合绝对值的大小关系，得出两个负数的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 48．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 49．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 【答案】③⑤；②④；①⑥ 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类（整数、负分数、无理数），解题的关键是明确各类数的定义，逐一分析每个数的类型． 先分别判断每个实数的类型，再按整数、负分数、无理数的类别归类． 【详解】解：先分析每个实数： ①：是无限不循环小数，属于无理数；②：是负分数； ③：是整数；④：可化为负分数，属于负分数； ⑤0：是整数；⑥是无理数，故是无限不循环小数，属于无理数． 因此：整数：③⑤；负分数：②④；无理数：①⑥． 50．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 【答案】无理数家族：，，2.101101110…； 整数：，0， 分数：． 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，根据实数分为无理数和有理数，有理数分为整数和分数，进行作答即可。 【详解】解：， 无理数家族：，，2.101101110…； 有理数家族：，0，； 整数：，0， 分数：． 【考点7】代数式与整式（第51-60题） · 单项式次数是所有字母的指数之和，系数不含字母；多项式次数取最高次项的次数 · 判断同类项：字母相同且相同字母的指数相同，与系数和顺序无关 · 合并同类项：系数相加，字母部分不变；去括号时括号前为负要变号 · 化简求值：先化简再代入；用代数式表示实际意义要合理 51．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知一个代数式是三次四项式，这个代数式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的概念，根据多项式的概念即可得出答案，掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、是二次四项式，故选项不符合题意； B、是三次三项式，故选项不符合题意； C、是四次四项式，故选项不符合题意； D、是三次四项式，故选项符合题意； 故选：D． 52．（25-26七年级上·浙江金华·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．的系数是 B．a是单项式 C．的常数项是2 D．是二次三项式 【答案】C 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据单项式和多项式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的系数是，说法正确，故本选项不符合题意； B、是单项式，说法正确，故本选项不符合题意； C、的常数项是，说法错误，故本选项符合题意； D、是二次三项式，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 53．（23-24七年级上·河南郑州·期末）某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是______． 【答案】打八折后再让利20元 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解实际问题间的数量关系，并能列式表示．根据实际售价表达式进行求解． 【详解】解：当商品的原价元时，元出售表示是打八折后再让利20元， 该网店对该商品促销的方法是打八折后再让利20元， 故答案为：打八折后再让利20元． 54．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若 与 是同类项，它们相加的结果是_____． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项定义．根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出和的值，然后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意得：， 则两个式子是：和，则． 故答案为：． 55．（2025·天津·中考真题）计算的结果为____________． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 56．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则代数式__________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是整体代入．由，可得，将所求式子化简为，再整体代入即可． 【详解】解： ， ， ； 故答案为：． 57．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“a的平方的相反数”用代数式表示是_______． 【答案】 【知识点】相反数的定义、列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，先表示a的平方再取相反数即可． 【详解】解：“a的平方的相反数”用代数式表示是； 故答案为： 58．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知：与的和仍是单项式，则_______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，由题意可知与是同类项，然后分别求出m与n的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 59．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）按照如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的结果是___________． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】此题考查了代数式的求值．根据程序代入进行计算即可． 【详解】解：当输入的值为时，则，返回继续运算；，输出结果． 故答案为： 60．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：_______． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据a、b、c在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，，， ∴ ． 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数概念题先看定义，数轴三要素、相反数、倒数不能混淆 · 混合运算严格按先乘方、再乘除、后加减的顺序，灵活运用运算律 · 平方根有正负两个，算术平方根非负，负数无平方根但有立方根 · 整式化简先去括号再合并同类项，求值先化简后代入 · 规律探索题先找不变的量，再找随序号n变化的部分 【作业1】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值是（    ） A． B．7 C．5 D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 【作业2】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）绝对值小于的整数有（    ）个 A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是绝对值是含义，有理数的大小比较，绝对值小于的整数在与之间，从而可得答案. 【详解】解：绝对值小于的整数有，，，，共7个， 故选：D. 【作业3】．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若在粮谷计算中，益实一斗（增加斗）记为斗，那么损实七斗（减少斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，具有相反意义的量，根据正负数的意义，增加记为“”，减少记为“”，因此减少斗应记为斗，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵益实一斗（增加斗）记为斗， ∴损实七斗（减少斗）记为斗， 故选：． 【作业4】．（25-26七年级上·江西南昌·期中）下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，解决本题的关键是熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项：字母均为a，且指数均为1，是同类项； B选项：字母相同但c的指数不同，b的指数不同，不是同类项； C选项：所含字母不同，不是同类项； D选项：字母相同但m的指数不同，n的指数不同，不是同类项． 故选：A． 【作业5】．（2025·浙江杭州·二模）下列实数中，属于无理数的是 （    ） A． B．0.4 C．0 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是指无限不循环小数．根据无理数的定义判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是开方不尽的数，无法表示为分数，属于无理数． 选项B：0.4是有限小数，可写为，属于有理数． 选项C：0是整数，属于有理数． 选项D：是整数，属于有理数． 故选：A． 【作业6】．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，由数轴可知，，且，据此逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，A选项结论错误； ，B选项结论错误； ，C选项结论错误； ，D选项结论正确； 故选：D． 【作业7】．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）对代数式“ ”，请你结合生活实际，给出“”一个合理解释：_________________． 【答案】每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠，则实际售价为元（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式的意义，解题的关键是掌握代数式表达的实际意义．根据代数式的意义进行解答即可． 【详解】解：每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠，则实际售价为元． 故答案为：每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠，则实际售价为元（答案不唯一）． 【作业8】．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是_______cm． 【答案】4 【知识点】立方根的实际应用 【分析】此题主要考查了立方根的应用，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是，则 由题意得， 解得． 答：截去的每个小正方体的棱长是． 故答案为：4． 【作业9】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）合并同类项：_____． 【答案】/ 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则， 根据合并同类项法则计算即可，合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：． 故答案为：． 【作业10】．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是________． 【答案】25 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，已知平方根求这个数；根据题意得，求得a，从而得到正数的两个平方根，即可求得这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， 即这个正数的平方根为； 而，即这个正数为25； 故答案为：25． 【作业11】．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）写一个比大的数______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较，解题的关键是熟练掌握实数比较大小，根据实数的大小比较即可求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：（答案不唯一）． 【作业12】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 【答案】 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”进行求解即可． 【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是， ∴点表示的数为； 故答案为：． 【作业13】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图1是由两块瓷砖铺设而成，需要在、、、、处共填入的美缝剂．如果地面按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入______的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了的美缝剂，则该走廊的面积是______． 【答案】 13.2 14.4 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，根据题意即可得当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂，当铺设n块瓷砖时，需填入美缝剂，再令得n的值，即可得走廊的长，进而可得走廊的面积． 【详解】解：按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂， 观察图形的变化，可知第一块瓷砖需要美缝剂，每增加一块瓷砖，需要美缝剂， 所以当铺设n块瓷砖时，需填入美缝剂， 当，得， 则该走廊的长为， 所以该走廊的面积是， 故答案为：13.2，14.4． 【作业14】．（24-25七年级上·全国·单元测试）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：_____． 【答案】2025 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据规律解答即可． 本题考查了数的规律计算，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解： 故． 故答案为：． 【作业15】．（23-24七年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】去括号、合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 【作业16】．（23-24七年级上·浙江台州·期中）先化简，再求值：已知，求的值 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【作业17】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、有理数四则混合运算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，掌握立方根，平方根，有理数乘方的计算，实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，平方根的值，在根据实数的加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，最后再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【作业18】．（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【答案】(1)， (2)±4 (3)2 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟知三者的定义是解题的关键； （1）根据立方根的定义可求出a，根据算术平方根的定义求出b即可； （2）根据平方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； （3）根据立方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得， 因为的算术平方根是5， 所以，即， 解得． （2）解：的平方根是； （3）解：的立方根是． 【作业19】．（23-24七年级上·广西玉林·阶段检测）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】相反数的应用、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】根据相反数的性质，绝对值的非负性求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是掌握互为相反数的两数之和为零，以及绝对值的非负性． 【作业20】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）小温与小周在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片，小温请小周按要求抽出卡片，完成下列各问题：    (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，请列式计算出最大值． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，请列式计算出最大值． 【答案】(1)11； (2)14． 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数减法法则和有理数乘法的计算，熟练掌握有理数减法法则和乘法法则是解答本题的关键． （1）根据两数相减，用最大的数减去最小的数差最大，找出并计算即可； （2）根据两数相乘，同号得正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；． 【详解】（1）解：抽取卡片上的数字分别为4和这2张， 2张卡片上数字差的最大值为； （2）解：抽取卡片上的数字分别为和这2张， 2张卡片上数字积的最大值为； 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $