第三章 一元一次不等式（复习讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学单元复习讲义以思维导图为核心构建一元一次不等式知识体系，将不等式定义、基本性质、解法及应用等知识点分块梳理，通过对比表格呈现不等式与等式性质的异同，用数轴图示直观展示解集，重点标注性质3中不等号变向、不等式组解集确定等重难点，形成逻辑清晰的知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，如“糖水不等式”拓展通过作差法、几何法证明培养推理意识与模型观念，题型涵盖基础求解、含参问题到几何综合，配要点速测和难点精练，帮助不同层次学生掌握方法，支持自主复习，为教师实施精准教学提供有效资源。

第三章 一元一次不等式 复习要点 1.理解不等式的意义，会用“<”“≤”“>”“≥”“≠”等不等号表示数量之间的不等关系，掌握不等式的解与解集，并能在数轴上表示 x<a、x≥a、b<x<a 等解集。 2.掌握不等式的基本性质：传递性 a<b,b<c⇒a<c；不等式两边都加上（或减去）同一个数，不等式仍成立；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等式仍成立；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号方向，即 a>b,c<0⇒ac<bc。 3.掌握一元一次不等式的定义与解法，能类比解一元一次方程，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意当系数为负数时不等号方向要改变，并会在数轴上表示解集。 4.掌握一元一次不等式组的定义与解法，会分别求出各个不等式的解集，并借助数轴确定它们的公共部分，掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的四种解集情况。 5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，体会建模、转化和数形结合思想；了解“糖水不等式”及其作差、作商等证明方法。 复习重难点 重点：不等式的基本性质，特别是两边乘（或除以）同一个负数时不等号方向必须改变；一元一次不等式（组）的解法及在数轴上表示解集；根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组）解决实际应用问题。 难点：不等式基本性质3中负号变向的准确运用；确定一元一次不等式组解集的公共部分，特别是无解和边界情况的判断；从实际问题中抽象出不等关系并建立模型，正确理解“至少”“至多”“不超过”“不低于”等关键词；含字母参数的不等式（组）中参数取值范围的讨论。 知识点 认识不等式 1.不等式的定义：像 v≤80,t≥6000,3x>5,p<q+2,x≠3这样，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称 。 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大。 (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“ ” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“ ” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“ ” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“ ” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“ ” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 2.列不等式 根据数量关系列不等式时，需抓住关键词（如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“非负数”、“正数”等）转化为对应的不等号。 3.不等式的解与解集在数轴上的表示 ①x<a：表示小于 a 的全体实数，在数轴上对应点 A左边的所有点，不包括点A（用 表示）。 ②x≥a：表示大于或等于 a 的全体实数，在数轴上对应点 A 右边的所有点，包括点A（用 表示）。 ③b<x<a(b<a)：表示大于 b 而小于 a 的全体实数，在数轴上表示两点之间，两端均为空心圆圈。 要点归纳： （1）不等式是用不等号连接而成的数学式子，常见不等号有“≠、<、>、≤、≥”五种，其中“≤”表示“ ”，“≥”表示“ ”。 （2）列不等式时，要抓住“大于、小于、不大于、不小于、非负数、正数”等关键词，准确转化为对应的不等号。 （3）在数轴上表示解集时，要注意“空心圆圈”表示不包含端点，“实心圆点”表示包含端点；x<a、x≥a、b<x<a的表示方法各不相同。 要点速测 1．“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 2．以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 知识点 不等式的基本性质 1.不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式两边加(或减) (或 )，不等号的方向 。 用式子表示：如果a＞b，那么 。 （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以) 数，不等号的方向 。 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么 (或)。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以) ，不等号的方向 。 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么 (或)。 （4）互逆性: 若a＞b，则b＜a；若a＜b，则b＞a。 （5）传递性: 若a＞b，b＞c，则 。 【注】在不等式两边都乘以0，不等式变为等式。 2.与等式基本性质的异同 （1）相同点：都有传递性（等式为 a=b,b=c⇒a=c）；两边加（减）同一个数或整式，结果仍相等（或不等）。 （2）不同点：等式两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等；而不等式两边乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向。 要点归纳： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变，即a>b，则a±c>b±c。 （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，即a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c。 （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，即a>b，c<0，则ac<bc，a/c<b/c。 （4）不等式还具有互逆性和传递性：a>b则b<a；a>b，b>c则a>c。注意不等式两边不能同乘0，否则变为等式。 要点速测 3．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 一元一次不等式及其解法 1．基本概念 （1）一元一次不等式：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元一次不等式。 （2）最简形式：形如、、、的式子叫一元一次不等式的最简形式，其中 。 （3）不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做 ，通常有无数个。 （4）不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集。一般解集是一个 ，其中每一个值都是不等式的解。当然不等式也可能无解，此时它的解集为空集。 2．一元一次不等式的解法 （1）解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项（化成最简形式）； ⑤系数化为1（化成或的形式）。 注意：当 a<0时，不等式中的不等号必须 。这是与解一元一次方程的不同之处。 （2）在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 3.一元一次不等式的应用 应用一元一次不等式解决实际问题的一般过程： ①审题：分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系。 ②设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 x）。 ③列不等式：根据不等关系列出不等式。 ④解不等式：求出未知数的取值范围。 ⑤检验：检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案。 要点归纳： （1）一元一次不等式只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式；其最简形式为ax<b、ax>b、ax≥b、ax≤b（a≠0）。 （2）解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；当系数化为1时，若两边同除以负数，不等号 必须改变。 （3）在数轴上表示解集时，大于向 画，小于向左画；包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。 （4）列一元一次不等式解决实际问题的一般过程：审题、设元、列不等式、解不等式、检验并作答。 要点速测 4．下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．解不等式：． 6．商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______． 知识点 一元一次不等式组的概念和解法 1．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2．一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。当没有公共部分时，不等式无解。 3．解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出这个不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为这个不等式组的解集。 4．在数轴上表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的不等式组（设 b<a），可归纳为以下的4种类型： 不等式 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉中间找） 无解 （大大小小无处找） 要点归纳： （1）解一元一次不等式组的一般步骤：先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分；若没有公共部分，则不等式组 。 （2）由两个一元一次不等式组成的不等式组（设b<a）的解集可归纳为四种类型：同大取大（x>a）、同小取小（x<b）、大小交叉中间找（b<x<a）、大大小小无解。 （3）在数轴上确定公共部分时，要注意端点的空心与实心，避免遗漏或错误包含边界。 要点速测 7．解不等式组：． 8．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 知识点 拓展探究：糖水不等式 1.情境与定义：若 ，则 。这个不等式趣称为“糖水不等式”。 2.证明方法 （1）作差法:，由，得，所以。 （2）作商法:，由，得，则，所以，从而得证。 （3）构造长方形法（几何法）: 要点归纳： （1）若a>b>0，c>0，则，这个不等式称为“糖水不等式”，它反映了“加糖后糖水更甜”的生活经验。 （2）证明糖水不等式可用作差法：作差后判断 ；也可用作商法：作商后与 比较大小。 （3）还可以构造长方形，利用面积关系进行几何证明，体现数形结合思想。 （4）使用糖水不等式时要注意条件 ， ，不可随意套用。 要点速测 9．准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象．设原来的糖水总质量是，其中含有糖，则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为．现再加入糖，则糖水的浓度为． (1)生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜，可以得到不等式_____； (2)请通过分式的运算证明这个不等式成立． 题型1 不等式的定义与基本性质辨析 ▌例1-1 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ▌例1-2 （26-27八年级上·广东湛江·开学考试）若，则下列不等式不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 不等式的定义与基本性质辨析 1.不等式必须用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接；等式、整式都不是不等式。 2.不等式两边加（减）同一个数或整式，不等号方向不变；乘（除）同一个正数，方向不变；乘（除）同一个负数，方向改变。 3.由 a＞b 不能直接推出 a²＞b²，如 a=1，b=-2；涉及 c² 时要注意 c 是否为 0，且 c² 不能作分母。 4.判断“不一定成立”时，可举反例快速排除。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 题型2 根据数量关系列不等式 ▌例2-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． ▌例2-2 （25-26八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“x的2倍减去3是负数”列不等式为_______． 解题要点 根据数量关系列不等式 1.抓住关键词：“不超过”用 ≤，“不低于/至少”用 ≥，“是负数”用 ＜0，“非负”用 ≥0。 2.先表示相关量，再根据不等关系列式；如答对 x 题，答错(20-x)题，总分为 10x-5(20-x)。 3.注意隐含条件，如题数、人数、长度等应为非负整数或正数；列完后检查不等号方向是否与题意一致。 ▌迁移练2-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______． 题型3 解一元一次不等式（组）及其数轴表示 ▌例3-1 （25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）解不等式，并把解在数轴上表示出来． ▌例3-2 （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式（组） (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 解题要点 解一元一次不等式（组）及其数轴表示 1.解一元一次不等式一般按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的顺序进行。 2.系数化为 1 时，若两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变。 3.数轴表示：＞、＜用空心圆圈，≥、≤用实心圆点；大于向右画，小于向左画。 4.解不等式组取公共部分，可记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”。 ▌迁移练3-1（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列不等式（组）． (1)； (2)． ▌迁移练3-2（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型4 求一元一次不等式的整数解与最值 ▌例4-1 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）不等式的非负整数解的个数有______个； ▌例4-2 （24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 解题要点 求一元一次不等式的整数解与最值 1.先准确解出不等式的解集，再在解集内筛选整数解。 2.注意区分“非负整数解”“正整数解”“自然数解”等要求，避免多找或漏找。 3.已知整数解个数求参数时，要结合数轴确定端点范围，注意端点能否取到。 4.实际问题中求“至多/至少”时，结果要取符合实际意义的整数。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▌迁移练4-2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 题型5 解∣x∣≥a 型的不等式 ▌例5-1 不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 ▌例5-2 先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 解题要点 解∣x∣≥a 型的不等式 1.基本结论：|x|＜a（a＞0）的解集为 -a＜x＜a；|x|＞a（a＞0）的解集为 x＜-a 或 x＞a。 2.对于 |x-b|＜a、|x-b|＞a，可转化为关于 x-b 的不等式，再解出 x。 3.含两个或以上绝对值时，先找零点，按零点分段讨论，分别去绝对值后求解。 4.最后要把各段结果与分段条件取公共部分（交集），再合并；注意端点是否满足原不等式。 ▌迁移练5-1解不等式： ▌迁移练5-2解关于x的不等式：． 题型6 由不等式（组）的解集求参数 ▌例6-1 （25-26八年级上·山西太原·阶段检测）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． ▌例6-2 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题要点 由不等式（组）的解集求参数 1.先分别解出不等式组中每个不等式的解集，再用参数表示含参不等式的解集。 2.根据已知解集、整数解个数或数轴表示，列出关于参数的不等式（组）。 3.“有且只有 n 个整数解”时，先确定具体整数解，再卡住左右边界；注意实心、空心对应的端点取舍。 4.求参数范围时，要检查端点值代入后是否仍满足题意，避免扩大或缩小范围。 ▌迁移练6-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． ▌迁移练6-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型7 不等式（组）与方程（组）的综合 ▌例7-1 若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌例7-2 若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 解题要点 不等式（组）与方程（组）的综合 1.先解方程组，把方程组的解用参数表示出来。 2.根据解满足的条件（如 x＞0、y＜0、x 为非正数等）列出不等式组，求参数范围。 3.若再结合含参不等式解集求参数，要注意不等式两边同除以负数时变号，并由此判断系数的正负。 4.最后综合所有条件取公共部分，并按要求取整数参数。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 ▌迁移练7-2（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 题型8 一元一次不等式（组）的实际应用 ▌例8-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． ▌例8-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末）近期，“浙”和“浙超”赛事席卷全省，关注度持续升温，掀起了全民健身的新热潮．某村为开展“村”和“村超”活动，计划购买篮球和足球共30个，篮球和足球的单价分别为90元和65元． (1)设购买篮球个，总费用为元，求关于的函数表达式． (2)若购买篮球的数量不少于足球数量的两倍，且总费用不超过2600元．问：应该怎样购买篮球和足球的数量，使得总费用最省？并求出最省费用． 解题要点 一元一次不等式（组）的实际应用 1.审题找出不等关系，设未知数，把“不超过、不低于、至少、至多”等转化为不等式。 2.根据题意列不等式（组），注意单位统一和实际意义，如件数、人数取整数。 3.求最省方案时，可结合一次函数的增减性，在允许范围内取端点值；也可通过枚举比较。 4.作答时要写清购买方案、最大值或最小值，并注意“费用最省”“至多”等限制。 ▌迁移练8-1（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． ▌迁移练8-1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 题型9 不等式（组）与几何图形综合 ▌例9-1 一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． ▌例9-2 （25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 解题要点 不等式（组）与几何图形综合 1.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；若最长边为 a，则 a＜周长的一半。 2.靠墙围栏问题：注意墙长对边长的限制，用总长表示各边，列不等式（组）求范围。 3.数轴动点问题：先表示运动时间 t 后的点坐标，再表示两点距离，根据距离条件列不等式。 4.动点问题常需分类讨论（如追上前后、到终点前后），最后取各段符合条件的取值范围。 ▌迁移练9-1用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． ▌迁移练9-2（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 难点一 含参不等式（组）的参数取值范围 当不等式或不等式组中含有字母参数时，解集会随参数变化而变化，常需结合数轴进行逆向分析。此类问题综合了不等式解法、数轴表示和端点取舍，是考试中的高频难点，容易在分类讨论和等号取舍上失分。 方法总结： ①先解不含参不等式，得到确定解集；再解含参不等式，用参数表示解集。 ②根据不等式组的解集、有解/无解、整数解个数等条件，画出数轴，将含参解集与确定解集比较。 ③列关于参数的不等式（组）时，注意端点是否包含，结合“实心点/空心点”检验。 易错提醒： ①系数化为1时，若含参系数的正负未知，必须分类讨论，不能直接除。 ②端点取舍易错：如“有且只有3个整数解”时，边界值能否取到要单独验证。 ③由解集求参数时，容易把不等号方向写反或忽略等号。 难点精练 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 5．（2026·四川眉山·中考真题）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若、、是的三边，且、满足关系式，是不等式组的最大整数解，判断的形状． 难点二 不等式（组）的整数解与最值逆向问题 已知整数解个数、非负整数解、最值条件反求参数，需要把解集与数轴上的整数点一一对应。此类问题对边界卡位要求高，是不等式中的逆向思维难点，容易多解或漏解。 方法总结： ①先解不等式（组），在数轴上表示解集。 ②根据“非负整数解”“正整数解”“至多/至少”等条件，从解集中筛选。 ③逆向求参数时，先确定整数解的具体值，再卡边界列不等式。 易错提醒： ①非负整数解包含0，正整数解不包含0。 ②求“至多”“至少”时，结果要结合实际意义取整数。 ③边界点是否满足原不等式要检验，避免多解或漏解。 难点精练 1．（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 2．（2026·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有______个． 3．（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 4．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，数轴上表示的是一个一元一次不等式的解集．若该不等式有3个负整数解，则a的取值范围是___________． 难点三 不等式（组）与方程（组）的综合 不等式与方程（组）交汇时，通常先解方程组，再把方程组的解代入不等式条件中求参数范围。此类问题计算量大，条件叠加多，容易在取交集和不等式变号处出错。 方法总结： ①先解方程组，把方程组的解用参数表示出来。 ②根据解满足的不等式条件，列出不等式（组）求参数范围。 ③若再结合含参不等式解集，注意同除负数时变号，并由此判断系数正负。 易错提醒： ①方程组的解要准确，代入不等式时不要漏项。 ②多个条件取交集，不要取并集。 ③整数参数最后要检验是否满足所有条件。 难点精练 1．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 4．阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 5．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 难点四 绝对值不等式与数轴分类讨论（拓展） 绝对值不等式需要根据零点分段去绝对值，再解相应不等式（组），最后取并集。此类问题分类讨论要求高，数轴与解集对应关系复杂，容易遗漏情况或混淆交集、并集。 方法总结： ①基本结论：∣x∣<a(a>0)的解集为−a<x<a；∣x∣>a(a>0)的解集为x<−a或 x>a。 ②对于∣x−b∣<a、∣x−b∣>a，可转化为关于 x−b的不等式再解。 ③含两个或以上绝对值时，先找零点，按零点分段讨论，分别去绝对值后求解。 易错提醒： ①忘记讨论 a≤0的情况。 ②分段讨论后，各段结果要与分段条件取交集，再合并。 ③端点是否满足原不等式要检验。 难点精练 1．新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．例如，求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义 ∵， ∴的解集为． ∵， ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ． (2)解不等式：； 3．（25-26八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 4．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 5．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 基础达标 一、单选题 1．（2026·浙江金华·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2026·浙江杭州·二模）若，则下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 4．（2026·山西长治·三模）如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（     ） 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，            第二步 移项，得，              第三步 合并同类项，得，                  第四步 A．第一步的依据是不等式的基本性质一 B．第二步的依据是不等式的基本性质二 C．第三步的依据是不等式的基本性质一 D．第四步的依据是不等式的基本性质三 5．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·浙江台州·二模）若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 7．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若不等式组无解，则实数的取值范围是________． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 10．（2026·陕西西安·三模）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 能力进阶 三、解答题 11．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解． 12．已知． (1)比较大小：______（填“”“”“”或“”）； (2)求证：． 13．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）解不等式，并把它的解表示在数轴上． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得． 即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）定价的范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 复习要点 1.理解不等式的意义，会用“<”“≤”“>”“≥”“≠”等不等号表示数量之间的不等关系，掌握不等式的解与解集，并能在数轴上表示 x<a、x≥a、b<x<a 等解集。 2.掌握不等式的基本性质：传递性 a<b,b<c⇒a<c；不等式两边都加上（或减去）同一个数，不等式仍成立；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等式仍成立；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号方向，即 a>b,c<0⇒ac<bc。 3.掌握一元一次不等式的定义与解法，能类比解一元一次方程，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意当系数为负数时不等号方向要改变，并会在数轴上表示解集。 4.掌握一元一次不等式组的定义与解法，会分别求出各个不等式的解集，并借助数轴确定它们的公共部分，掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的四种解集情况。 5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，体会建模、转化和数形结合思想；了解“糖水不等式”及其作差、作商等证明方法。 复习重难点 重点：不等式的基本性质，特别是两边乘（或除以）同一个负数时不等号方向必须改变；一元一次不等式（组）的解法及在数轴上表示解集；根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组）解决实际应用问题。 难点：不等式基本性质3中负号变向的准确运用；确定一元一次不等式组解集的公共部分，特别是无解和边界情况的判断；从实际问题中抽象出不等关系并建立模型，正确理解“至少”“至多”“不超过”“不低于”等关键词；含字母参数的不等式（组）中参数取值范围的讨论。 知识点 认识不等式 1.不等式的定义：像 v≤80,t≥6000,3x>5,p<q+2,x≠3这样，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大。 (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 2.列不等式 根据数量关系列不等式时，需抓住关键词（如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“非负数”、“正数”等）转化为对应的不等号。 3.不等式的解与解集在数轴上的表示 ①x<a：表示小于 a 的全体实数，在数轴上对应点 A左边的所有点，不包括点A（用空心圆圈表示）。 ②x≥a：表示大于或等于 a 的全体实数，在数轴上对应点 A 右边的所有点，包括点A（用实心圆点表示）。 ③b<x<a(b<a)：表示大于 b 而小于 a 的全体实数，在数轴上表示两点之间，两端均为空心圆圈。 要点归纳： （1）不等式是用不等号连接而成的数学式子，常见不等号有“≠、<、>、≤、≥”五种，其中“≤”表示“不大于”，“≥”表示“不小于”。 （2）列不等式时，要抓住“大于、小于、不大于、不小于、非负数、正数”等关键词，准确转化为对应的不等号。 （3）在数轴上表示解集时，要注意“空心圆圈”表示不包含端点，“实心圆点”表示包含端点；x<a、x≥a、b<x<a的表示方法各不相同。 要点速测 1．“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 2．以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 不等式的解为所有小于的数， 又∵ ， ∴ 是该不等式的解． 知识点 不等式的基本性质 1.不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c。 （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)。 （4）互逆性: 若a＞b，则b＜a；若a＜b，则b＞a。 （5）传递性: 若a＞b，b＞c，则a＞c。 【注】在不等式两边都乘以0，不等式变为等式。 2.与等式基本性质的异同 （1）相同点：都有传递性（等式为 a=b,b=c⇒a=c）；两边加（减）同一个数或整式，结果仍相等（或不等）。 （2）不同点：等式两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等；而不等式两边乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向。 要点归纳： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变，即a>b，则a±c>b±c。 （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，即a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c。 （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，即a>b，c<0，则ac<bc，a/c<b/c。 （4）不等式还具有互逆性和传递性：a>b则b<a；a>b，b>c则a>c。注意不等式两边不能同乘0，否则变为等式。 要点速测 3．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴，A选项正确． ，B选项错误． ，C选项错误． ，D选项错误． 知识点 一元一次不等式及其解法 1．基本概念 （1）一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 （2）最简形式：形如、、、的式子叫一元一次不等式的最简形式，其中。 （3）不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，通常有无数个。 （4）不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集。一般解集是一个范围，其中每一个值都是不等式的解。当然不等式也可能无解，此时它的解集为空集。 2．一元一次不等式的解法 （1）解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项（化成最简形式）； ⑤系数化为1（化成或的形式）。 注意：当 a<0时，不等式中的不等号必须改变方向。这是与解一元一次方程的不同之处。 （2）在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 3.一元一次不等式的应用 应用一元一次不等式解决实际问题的一般过程： ①审题：分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系。 ②设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 x）。 ③列不等式：根据不等关系列出不等式。 ④解不等式：求出未知数的取值范围。 ⑤检验：检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案。 要点归纳： （1）一元一次不等式只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式；其最简形式为ax<b、ax>b、ax≥b、ax≤b（a≠0）。 （2）解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；当系数化为1时，若两边同除以负数，不等号方向必须改变。 （3）在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画；包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。 （4）列一元一次不等式解决实际问题的一般过程：审题、设元、列不等式、解不等式、检验并作答。 要点速测 4．下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定边界，定方向，在数轴上表示出不等式组的解集即可. 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示解集如图： 5．解不等式：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、合并同类项，系数化为，即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 6．商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______． 【答案】 【分析】先统一单位，计算出每罐茶叶的售价，再根据总销售额的关系，结合“不低于”的含义列出不等式． 【详解】解：统一单位，13万元元， ∵ 每罐茶叶进价为200元，在进价基础上提价售卖， ∴ 每罐茶叶的售价为元， ∵ 售出数量为罐，要求总销售额不低于130000元，“不低于”表示大于等于，总销售额每罐售价售出数量， ∴ 可列不等式为． 知识点 一元一次不等式组的概念和解法 1．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2．一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。当没有公共部分时，不等式无解。 3．解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出这个不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为这个不等式组的解集。 4．在数轴上表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的不等式组（设 b<a），可归纳为以下的4种类型： 不等式 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉中间找） 无解 （大大小小无处找） 要点归纳： （1）解一元一次不等式组的一般步骤：先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分；若没有公共部分，则不等式组无解。 （2）由两个一元一次不等式组成的不等式组（设b<a）的解集可归纳为四种类型：同大取大（x>a）、同小取小（x<b）、大小交叉中间找（b<x<a）、大大小小无解。 （3）在数轴上确定公共部分时，要注意端点的空心与实心，避免遗漏或错误包含边界。 要点速测 7．解不等式组：． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则即可得出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：． 8．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 ， 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如图所示： 知识点 拓展探究：糖水不等式 1.情境与定义：若 ，则 。这个不等式趣称为“糖水不等式”。 2.证明方法 （1）作差法:，由，得，所以。 （2）作商法:，由，得，则，所以，从而得证。 （3）构造长方形法（几何法）: 要点归纳： （1）若a>b>0，c>0，则，这个不等式称为“糖水不等式”，它反映了“加糖后糖水更甜”的生活经验。 （2）证明糖水不等式可用作差法：作差后判断符号；也可用作商法：作商后与1比较大小。 （3）还可以构造长方形，利用面积关系进行几何证明，体现数形结合思想。 （4）使用糖水不等式时要注意条件a>b>0，c>0，不可随意套用。 要点速测 9．准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象．设原来的糖水总质量是，其中含有糖，则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为．现再加入糖，则糖水的浓度为． (1)生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜，可以得到不等式_____； (2)请通过分式的运算证明这个不等式成立． 【答案】(1)； (2)证明：， ∵，， ∴，，， ∴， 即， ∴，不等式得证． 【分析】（1）根据糖水更甜说明加入糖后浓度更大，直接写出不等式即可； （2）利用作差比较法，计算两个分式的差，结合已知条件判断差的符号，即可证明不等式成立． 【详解】（1）解：由添加糖后糖水更甜，浓度更大，可知； （2）略． 题型1 不等式的定义与基本性质辨析 ▌例1-1 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】用不等号连接，表示不等关系的式子叫做不等式，据此逐一判断即可． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用不等号连接，是不等式； ∴不等式有①③④，共有个． ▌例1-2 （26-27八年级上·广东湛江·开学考试）若，则下列不等式不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，均成立， 取，，满足， 此时，，即， ∴不一定成立． 解题要点 不等式的定义与基本性质辨析 1.不等式必须用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接；等式、整式都不是不等式。 2.不等式两边加（减）同一个数或整式，不等号方向不变；乘（除）同一个正数，方向不变；乘（除）同一个负数，方向改变。 3.由 a＞b 不能直接推出 a²＞b²，如 a=1，b=-2；涉及 c² 时要注意 c 是否为 0，且 c² 不能作分母。 4.判断“不一定成立”时，可举反例快速排除。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断各个式子即可． 【详解】解：①，用表示不等关系，是不等式； ②，用表示不等关系，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④，是整式，没有不等关系，不是不等式； ⑤，用表示不等关系，是不等式； ⑥ ，用表示不等关系，是不等式； 因此是不等式的序号为①②⑤⑥． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵ ，∴，∴，故此选项错误，不符合题意； C、∵，当时，，∴；当时，；∴，故此选项正确，符合题意； D、当时，分母无意义，故此选项错误，不符合题意．故选：C． 题型2 根据数量关系列不等式 ▌例2-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出不等式． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了得剩余时间内平整的土地为： ，根据题意得，． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， ∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了， ∴剩余时间内平整的土地为： 根据题意得，， 故选：C． ▌例2-2 （25-26八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“x的2倍减去3是负数”列不等式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式．先表示出x的2倍减去3的结果，再把这个结果用小于号与0连接起来即可得到答案． 【详解】解：x的2倍减去3是负数，可列出不等式． 故答案为：． 解题要点 根据数量关系列不等式 1.抓住关键词：“不超过”用 ≤，“不低于/至少”用 ≥，“是负数”用 ＜0，“非负”用 ≥0。 2.先表示相关量，再根据不等关系列式；如答对 x 题，答错(20-x)题，总分为 10x-5(20-x)。 3.注意隐含条件，如题数、人数、长度等应为非负整数或正数；列完后检查不等号方向是否与题意一致。 ▌迁移练2-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式，找出题目的不等关系是解题的关键．根据题意，获奖条件是得分不低于150分，即总得分 ，总得分由答对得分减去扣分计算，据此列不等式即可． 【详解】设答对x道题，则答错或不答题数为道。 总得分 ， ∵ 得分不低于150分， 故选：A． ▌迁移练2-2（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∵角内部最多只能构造5根等长的钢条， ∴最多只能取到点， ∵存在点， ∴， 解得：， ∵最多只能取到点， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是：． 故答案是：． 题型3 解一元一次不等式（组）及其数轴表示 ▌例3-1 （25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）解不等式，并把解在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示为： ． 【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，并在数轴上表示出解集． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ▌例3-2 （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式（组） (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2) ， 在数轴上表示如下： ． 【分析】本题考查了一元一次不等式及不等式组的解法，关键是熟练应用运算方法进行计算； （1）根据解不等式的方法计算即可； （2）分别解出两个不等式的解集，并求其公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， 解①得：； 解②得：； ∴不等式组的解集为：． 解题要点 解一元一次不等式（组）及其数轴表示 1.解一元一次不等式一般按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的顺序进行。 2.系数化为 1 时，若两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变。 3.数轴表示：＞、＜用空心圆圈，≥、≤用实心圆点；大于向右画，小于向左画。 4.解不等式组取公共部分，可记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”。 ▌迁移练3-1（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列不等式（组）． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ， 综上，． ▌迁移练3-2（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】； 表示在数轴上为： 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： 题型4 求一元一次不等式的整数解与最值 ▌例4-1 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）不等式的非负整数解的个数有______个； 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解：， ， ， ， ， 非负整数解为，，，共3个．故答案为：3． ▌例4-2 （24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6．故选：A． 解题要点 求一元一次不等式的整数解与最值 1.先准确解出不等式的解集，再在解集内筛选整数解。 2.注意区分“非负整数解”“正整数解”“自然数解”等要求，避免多找或漏找。 3.已知整数解个数求参数时，要结合数轴确定端点范围，注意端点能否取到。 4.实际问题中求“至多/至少”时，结果要取符合实际意义的整数。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ．故选：B． ▌迁移练4-2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 题型5 解∣x∣≥a 型的不等式 ▌例5-1 不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是，故选：C． ▌例5-2 先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 解题要点 解∣x∣≥a 型的不等式 1.基本结论：|x|＜a（a＞0）的解集为 -a＜x＜a；|x|＞a（a＞0）的解集为 x＜-a 或 x＞a。 2.对于 |x-b|＜a、|x-b|＞a，可转化为关于 x-b 的不等式，再解出 x。 3.含两个或以上绝对值时，先找零点，按零点分段讨论，分别去绝对值后求解。 4.最后要把各段结果与分段条件取公共部分（交集），再合并；注意端点是否满足原不等式。 ▌迁移练5-1解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． ▌迁移练5-2解关于x的不等式：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 当时，原不等式化为， 解得：，此时； 综上所述，原不等式的解集为或． 题型6 由不等式（组）的解集求参数 ▌例6-1 （25-26八年级上·山西太原·阶段检测）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵有且只有两个整数解， ∴整数解为和； ∴； ∴；故选：B． ▌例6-2 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 解题要点 由不等式（组）的解集求参数 1.先分别解出不等式组中每个不等式的解集，再用参数表示含参不等式的解集。 2.根据已知解集、整数解个数或数轴表示，列出关于参数的不等式（组）。 3.“有且只有 n 个整数解”时，先确定具体整数解，再卡住左右边界；注意实心、空心对应的端点取舍。 4.求参数范围时，要检查端点值代入后是否仍满足题意，避免扩大或缩小范围。 ▌迁移练6-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：．故答案为：． ▌迁移练6-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可． 【详解】解：∵定义， ∴第一个不等式转化为：， 化简得：， 即， ， 第二个不等式转化为：， 化简得：， ， ， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为，0，1，2， ， 不等式两边同乘7得： 解得：．故选：B． 题型7 不等式（组）与方程（组）的综合 ▌例7-1 若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键． 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． ▌例7-2 若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴，故选：A． 解题要点 不等式（组）与方程（组）的综合 1.先解方程组，把方程组的解用参数表示出来。 2.根据解满足的条件（如 x＞0、y＜0、x 为非正数等）列出不等式组，求参数范围。 3.若再结合含参不等式解集求参数，要注意不等式两边同除以负数时变号，并由此判断系数的正负。 4.最后综合所有条件取公共部分，并按要求取整数参数。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1，故选：C． ▌迁移练7-2（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 题型8 一元一次不等式（组）的实际应用 ▌例8-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【答案】33 【分析】考查一元一次不等式解决实际问题，设B产品的件数为件，根据生产两种产品所需原料总量不超过现有原料量列一元一次不等式，求解后结合实际取整数即可得到B产品的最大件数． 【详解】设生产B产品件，则生产A产品件， 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， ， 系数化为1，得， 因为为产品件数，需取非负整数，所以的最大值为33． ▌例8-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末）近期，“浙”和“浙超”赛事席卷全省，关注度持续升温，掀起了全民健身的新热潮．某村为开展“村”和“村超”活动，计划购买篮球和足球共30个，篮球和足球的单价分别为90元和65元． (1)设购买篮球个，总费用为元，求关于的函数表达式． (2)若购买篮球的数量不少于足球数量的两倍，且总费用不超过2600元．问：应该怎样购买篮球和足球的数量，使得总费用最省？并求出最省费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)购买篮球个，足球个时总费用最省，最省费用为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据总费用的构成，结合篮球和足球的数量关系列出函数表达式，同时确定自变量的实际取值范围（2）根据题目中的两个限制条件列出不等式组，确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求出总费用的最小值及对应的购买方案 【详解】（1）解：已知购买篮球个，则购买足球个， 总费用， 化简得， 由实际意义得，，即，且为整数， 所以关于的函数表达式为（，且为整数）． （2）解：根据题意列不等式组： ， 解得，且为整数， 在中，，所以随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时足球数量为（个）， 最小费用（元）， 答：购买篮球20个，足球10个时总费用最省，最省费用为2450元． 解题要点 一元一次不等式（组）的实际应用 1.审题找出不等关系，设未知数，把“不超过、不低于、至少、至多”等转化为不等式。 2.根据题意列不等式（组），注意单位统一和实际意义，如件数、人数取整数。 3.求最省方案时，可结合一次函数的增减性，在允许范围内取端点值；也可通过枚举比较。 4.作答时要写清购买方案、最大值或最小值，并注意“费用最省”“至多”等限制。 ▌迁移练8-1（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 ▌迁移练8-1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】(1)， (2)证明：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度； （2）二者作差后，可得出，结合，进而可证出加糖后确实变甜了； （3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； （2）略 （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 题型9 不等式（组）与几何图形综合 ▌例9-1 一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形三边长是、、，由三角形三边关系定理得到，则，得到，即可得到答案．解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边．也考查了一元一次不等式的应用． 【详解】解：设三角形三边长是、、， ∴， ∵三角形周长是， ∴， ∴， ∴三角形的最长的边有可能是．故选：A． ▌例9-2 （25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米 (2)米和米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，不等式的应用， （1）设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米，再根据“总面积为平方米”得到关于的一元二次方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； （2）根据题意列出方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； 正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 解题要点 不等式（组）与几何图形综合 1.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；若最长边为 a，则 a＜周长的一半。 2.靠墙围栏问题：注意墙长对边长的限制，用总长表示各边，列不等式（组）求范围。 3.数轴动点问题：先表示运动时间 t 后的点坐标，再表示两点距离，根据距离条件列不等式。 4.动点问题常需分类讨论（如追上前后、到终点前后），最后取各段符合条件的取值范围。 ▌迁移练9-1用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：，故选：D ▌迁移练9-2（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)机器人变成彩色的总时长为8秒 【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得；（2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∴，故答案为：，． （2）解：∵，，且点在点的右侧， ∴点只能在点的右侧，位置如图所示： ∴， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数是． （3）解：∵点表示的数分别为， ∴， 由题意得：点从点运动到点所需时间为秒， ∴当时，点在上，点在点处，此时，即， ∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 令，解得． ①当时，点在点的左侧，未追上点， ∴， ∵， ∴，解得， ∴此时； ②当时，点与点重合，，符合题意； ③当时，点在点的右侧，超过点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色， ∴机器人变成彩色的总时长为（秒）， 答：机器人变成彩色的总时长为8秒． 难点一 含参不等式（组）的参数取值范围 当不等式或不等式组中含有字母参数时，解集会随参数变化而变化，常需结合数轴进行逆向分析。此类问题综合了不等式解法、数轴表示和端点取舍，是考试中的高频难点，容易在分类讨论和等号取舍上失分。 方法总结： ①先解不含参不等式，得到确定解集；再解含参不等式，用参数表示解集。 ②根据不等式组的解集、有解/无解、整数解个数等条件，画出数轴，将含参解集与确定解集比较。 ③列关于参数的不等式（组）时，注意端点是否包含，结合“实心点/空心点”检验。 易错提醒： ①系数化为1时，若含参系数的正负未知，必须分类讨论，不能直接除。 ②端点取舍易错：如“有且只有3个整数解”时，边界值能否取到要单独验证。 ③由解集求参数时，容易把不等号方向写反或忽略等号。 难点精练 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【详解】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 5．（2026·四川眉山·中考真题）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 【答案】 ， 【分析】先解不等式组得到的范围，再解分式方程，结合解为正数且不为增根确定的最终范围，即可得到符合条件的整数． 【详解】解：， 解不等式①得：， 不等式组无解， ， 整理分式方程 ， 得， 两边同乘 得：， 解得： ， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得： 且， 综上可得，，且， ∴符合条件的所有整数的值为，1． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若、、是的三边，且、满足关系式，是不等式组的最大整数解，判断的形状． 【答案】是钝角三角形 【分析】根据非负数的性质可得a，b的值，通过解不等式组确定c的值，进而即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为3，即， ∴， ∵， ∴， ∴是钝角三角形． 难点二 不等式（组）的整数解与最值逆向问题 已知整数解个数、非负整数解、最值条件反求参数，需要把解集与数轴上的整数点一一对应。此类问题对边界卡位要求高，是不等式中的逆向思维难点，容易多解或漏解。 方法总结： ①先解不等式（组），在数轴上表示解集。 ②根据“非负整数解”“正整数解”“至多/至少”等条件，从解集中筛选。 ③逆向求参数时，先确定整数解的具体值，再卡边界列不等式。 易错提醒： ①非负整数解包含0，正整数解不包含0。 ②求“至多”“至少”时，结果要结合实际意义取整数。 ③边界点是否满足原不等式要检验，避免多解或漏解。 难点精练 1．（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 2．（2026·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有______个． 【答案】3 【分析】先分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 由①得， ， 解得：， 由②得不等式两边同乘，得， ， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，，，共个． 3．（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 4．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，数轴上表示的是一个一元一次不等式的解集．若该不等式有3个负整数解，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据数轴可得，再由不等式有三个负整数解得到这三个负整数解是，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可得，， 该不等式恰有三个负整数解，这三个负整数解是， ∴． 5．（2026·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 整数解为，0，1，2． 难点三 不等式（组）与方程（组）的综合 不等式与方程（组）交汇时，通常先解方程组，再把方程组的解代入不等式条件中求参数范围。此类问题计算量大，条件叠加多，容易在取交集和不等式变号处出错。 方法总结： ①先解方程组，把方程组的解用参数表示出来。 ②根据解满足的不等式条件，列出不等式（组）求参数范围。 ③若再结合含参不等式解集，注意同除负数时变号，并由此判断系数正负。 易错提醒： ①方程组的解要准确，代入不等式时不要漏项。 ②多个条件取交集，不要取并集。 ③整数参数最后要检验是否满足所有条件。 难点精练 1．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】先解不等式组，根据恰有3个整数解确定m的取值范围，再解方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数m，最后计算所有符合条件的m的和． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， ∴； 得，解得， 由④得， ∵原方程组有整数解， ∴只需要保证x为整数，即可保证原方程组有整数解， ∴是整数， 又∵m为整数， ∴或或， 解得（舍去）或或或（舍去）或（舍去）或， ∴所有符合条件的整数的和为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】(1) ·(2) 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【详解】（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； （2）整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得，其中整数为． 4．阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）先求得方程的解，再计算不等式或不等式组的解，根据定义判定解答即可． （2）根据方程组得，根据定义，得，解不等式求a的取值范围即可； （3）解方程组得 不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【详解】（1）解： 解得； ①解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ②解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ③解不等式组，得，不是不等式组的解，不符合题意； 故答案为：①②． （2）解：根据方程组得， 根据定义，得， 解得． （3）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 由，得， 解得， 又x，y均为正数， 故， 解得， 故b的取值范围是． 5．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 难点四 绝对值不等式与数轴分类讨论（拓展） 绝对值不等式需要根据零点分段去绝对值，再解相应不等式（组），最后取并集。此类问题分类讨论要求高，数轴与解集对应关系复杂，容易遗漏情况或混淆交集、并集。 方法总结： ①基本结论：∣x∣<a(a>0)的解集为−a<x<a；∣x∣>a(a>0)的解集为x<−a或 x>a。 ②对于∣x−b∣<a、∣x−b∣>a，可转化为关于 x−b的不等式再解。 ③含两个或以上绝对值时，先找零点，按零点分段讨论，分别去绝对值后求解。 易错提醒： ①忘记讨论 a≤0的情况。 ②分段讨论后，各段结果要与分段条件取交集，再合并。 ③端点是否满足原不等式要检验。 难点精练 1．新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 【答案】 (1)③ (2)② 【分析】本题主要考查有理数的运算、绝对值、不等式等： （1）①；②当时，，当且时，；③． （2）①；②，分两种情况讨论；③． 【详解】（1）①，不满足“右分配律”． ②当时，，不满足“右分配律”；当且时，，不满足“右分配律”，同理可得，其他的情况，均不满足“右分配律”． ③，满足“右分配律”． 故答案为：③ （2）①，当时，． ②． 当时，． 当时，． ∴为任意有理数时，． ③． 当或，． 故答案为：② 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．例如，求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义 ∵， ∴的解集为． ∵， ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ． (2)解不等式：； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照题意利用数轴求解即可； （2）设，则原不等式可变形为，再仿照题意利用数轴求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】（1） 解：∵， ∴的解集为或； （2）解：设，则原不等式可变形为 ∵， ∴不等式的解集为， ∴， 解得． 3．（25-26八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）仿照题干的解法解得即可； （2）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可； （3）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可． 【详解】（1）解：令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于4， ∴的解集为或； 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于3， ∴的解集为； （2）解：， ∴， 令， ∴， 解得：或1； 画出数轴如下：    点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数到的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数到的绝对值小于4， ∴的解集为； （3）解：， ∴， ∴， 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于15， ∴的解集为或， 即的解集为或． 4．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 5．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 基础达标 一、单选题 1．（2026·浙江金华·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再结合“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解题． 熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： ． 2．下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义，判断给出的每个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用等号连接，是等式，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 因此不等式共有3个． 3．（2026·浙江杭州·二模）若，则下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知， 对已知不等式两边同时乘，根据不等式性质，不等式两边乘负数，不等号方向改变，可得：，整理得，因此D正确． 对其他选项逐一判断： A选项：移项原不等式得，与A中矛盾，A错误， B选项：举反例，取，，满足，即，但，不满足，B错误， C选项：举反例，取，，满足，即，但，不满足，C错误． 4．（2026·山西长治·三模）如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（     ） 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，            第二步 移项，得，              第三步 合并同类项，得，                  第四步 A．第一步的依据是不等式的基本性质一 B．第二步的依据是不等式的基本性质二 C．第三步的依据是不等式的基本性质一 D．第四步的依据是不等式的基本性质三 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式各步骤的依据，需结合不等式的基本性质逐一判断选项． 【详解】解：先明确不等式的基本性质： 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变； 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 逐一判断： ∵ 第一步去分母，给不等式两边同乘6，依据是不等式的基本性质2， ∴A错误； ∵ 第二步去括号，依据是去括号法则（乘法分配律），不是不等式的基本性质， ∴B错误． ∵ 第三步移项，本质是给不等式两边同时减去相同的项，依据是不等式的基本性质1， ∴C正确； ∵ 第四步合并同类项，依据是合并同类项法则，不是不等式的基本性质3， ∴D错误． 5．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 二、填空题 6．（2026·浙江台州·二模）若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：已知不等式组的解集为， ∴， 即． 7．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据的周长用表示出和的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：设，由可得， 又∵的周长为， ∴． 则，解得：， 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 解第三个不等式得， 综上得，， 即． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若不等式组无解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可． 【详解】解：， ： 解得， ： 解得， ∵不等式组无解， ∴ 解得， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【详解】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 10．（2026·陕西西安·三模）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 【答案】 【分析】根据电梯额定限载量得到总重量的不等关系，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据题意，列不等式得， 解不等式得， 为正整数， 的最大值为，即两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运28箱货物． 能力进阶 三、解答题 11．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解． 【答案】方程的解为或． 【分析】先根据一元一次不等式的定义得到，求得，则可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵（为定值）是关一元一次不等式， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 12．已知． (1)比较大小：______（填“”“”“”或“”）； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵ ； ∵， ∴，， ∴， ∴． 【分析】本题考查分式减法，完全平方公式的应用，不等式的性质： （1）利用完全平方公式可得，即可得出结论； （2）利用分式减法法则求出，再根据题意得到，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 13．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）解不等式，并把它的解表示在数轴上． 【答案】 ，将该不等式的解表示在数轴上，如下图所示： 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识，首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后将该不等式的解表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 【答案】(1)， (2) 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：由（2）得，，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴； 【分析】（1）糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，据此可得第一空的答案；根据糖水变淡可知糖水的浓度变低，据此可得第二空的答案； （2）可求出，再证明即可证明结论； （3）由（2）可得，，，则可证明，根据，，，可证明． 【详解】（1）解：如果加入克水，糖水的浓度变为， 由糖水变淡可得不等式； （2）略 （3）略 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得． 即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）定价的范围． 【答案】(1) (2)一套桌椅定价应在不少于280元，不超过340元范围内 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程的解，解题的关键是理解并掌握题干中给定的解题方法． （1）根据题干中给定的方法进行求解即可． （2）设一张桌子的售价为x元，一把椅子的售价为y元，仿照例题，可得出，，，进一步得到，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：由，得：， ， ，解得， ， ， 而， ； （2）解：设一张桌子售价为x元，一把椅子售价为y元， 由题意得：①，， 由①得，解得， ， 而， ， 答：一套桌椅定价应在不少于280元，不超过340元范围内． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $