四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)　2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

川大附中高2026级高一上期9月月考数学解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 2．设命题，使得，则为（    ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 【答案】A 3. 下列五个关系式：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B，①④⑤正确 4．下列命题为真命题的（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 5．已知一个直角三角形的斜边长为6，则其面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 设两直角边长为，则，当且仅当时取等。 6．已知关于的不等式的解集为，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和2，且，故A错误； 对于B，由韦达定理得，解得， 所以，（故-1满足不等式）故B错误； 对于C，由，得，因为，所以，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 即，解得解集为.故D正确. 7．若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为1， 因为有解，所以，解得， 8. 已知，则下列选项中使得“关于的不等式的解集恰有3个整数”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，因式分解得：， 因为，所以不等式的解集为， 又因为解集恰有3个整数，所以， 解得，故成立的一个充分不必要条件是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，恒成立，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式恒成立，分、讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，则，解得. 综上所述，． 10．若，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】A利用基本不等式；B 根据以及A选项判断；C利用1的妙用；D令，将问题转化为求的最值，再结合1的妙用可求. 【详解】由题意可得，， 则，则，等号成立时，，故A正确； ，等号成立时，， 故B正确； ， 等号成立时，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11．设集合若对任意，都有，则称为对称集，同时规定空集为对称集。设集合 ，若对任意，都有，且对任意，都有，则称集合与相互对称，那么下列命题中正确的是（ ） A. 集合是对称集 B. 集合与相互对称 C. 若集合与相互对称且为对称集，则 D.“集合和均为对称集”是“与相互对称”的充要条件 【答案】BC 【详解】选项A：将不等式移项通分：， 两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且， 解得，所以集合为. 选项B，所以第一个集合为 又 所以第二个集合为 显然：当时， -当 时，，因此两个集合相互对称。 故 B 正确。 选项 C，已知集合 与 相互对称，且 是对称集。任取 。由于 是对称集，所以. 又因为 与 相互对称，故.于是 .同理可得， 所以， 故 C 正确。 选项D，若 与 相互对称，则 和 B 都是对称集；但反过来不成立。 例如取 此时 两者都是对称集。但是 与 不相互对称。因此该条件不是充分条件。故 D 错误。 综上，正确选项为 BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．满足集合⫋的集合的个数是 【答案】7 【详解】由集合子集的定义可得：因为，所以且； 因为，所以的可能情况有： ， 故满足条件的的个数为7. 13．若，则的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 14．若对任意，使得成立，则实数的取值范围是________________ 【答案】 【详解】对任意，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，而，故， 则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）集合， (1)当，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为， 则；. （2）若，所以是的子集， 当时，由，可得； 当时， ，解得， 综上，实数的取值范围为． 16．（本小题15分）如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3200 m3，深为2 m. (1)若水池的长比宽至少多60 m，求水池的宽的最大值； (2)若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元， 那么怎样设计水池的长和宽能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【详解】（1）设水池的长、宽分别为，则，且， 由题意得，即， 所以，因为， 所以，即， 即，解得， 又，所以， 所以水池的宽的最大值为20. （2）设水池总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，将水池的地面设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为元. 17．（本小题15分）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由得， 将代入对应方程得： ， 化简得，解得或， 当时，，此时，符合条件； 当时，， 此时，不符合条件，舍去； 综上，； （2）由p是q的必要不充分条件，得， ① 当时， ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根， 若，符合条件； 若，当，，符合条件； 当方程有两个不等根时， 无解。 综上，实数的取值范围是或. 18．（本小题17分）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【详解】（1）， ，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为2； （2）， ，，由基本不等式得，故， 所以，解得，负值舍去， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. （3），，，故， 由得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 19. （本小题17分）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)设该函数在和处的函数值分别为 (i) 设，该函数在处的函数值为, 证明：. (ii) 若对于任意都有证明： 【详解】（1）由题，即， ①当时，，解得，所以不等式的解集为， 当时，或； ②当时，即时，不等式的解集为； ③当时，即时，不等式的解集为或； ④当时，即时，不等式的解集为； ⑤当时，，不等式的解集为，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. (2) (i) 由题意， 且 于是 因为 ，所以故 . （ii）因为对任意 , 都有0≤, 所以 , , 所以 , 由（i）可知：所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中高一上学期9月月考 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题是，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．设命题，使得，则为（    ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 3. 下列五个关系式：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列命题为真命题的（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知一个直角三角形的斜边长为6，则其面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 6．已知关于的不等式的解集为，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 7．若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8. 已知，则下列选项中使得“关于的不等式的解集恰有3个整数”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9．若，恒成立，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．0 10．若，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 11．设集合若对任意，都有，则称为对称集，同时规定空集为对称集。设集合 ，若对任意，都有，且对任意，都有，则称集合与相互对称，那么下列命题中正确的是（ ） A. 集合是对称集 B. 集合与相互对称 C. 若集合与相互对称且为对称集，则 D.“集合和均为对称集”是“与相互对称”的充要条件 第 卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分,请将答案填写在答题卡上。 12．满足集合⫋的集合的个数是 13．若，则的取值范围是 ． 14．若对任意，使得成立，则实数的取值范围是________________ 四、解答题：本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）集合， (1)当，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 16．（本小题15分）如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3200 m3，深为2 m. (1)若水池的长比宽至少多60 m，求水池的宽的最大值； (2)若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元， 那么怎样设计水池的长和宽能使总造价最低? 最低总造价是多少? 17．（本小题15分）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（本小题17分）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 19. （本小题17分）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)设该函数在和处的函数值分别为 (i) 设，该函数在处的函数值为, 证明：. (ii) 若对于任意都有证明： 高一数学 第 2 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $