精品解析：辽宁沈阳铁路实验中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年度上学期高一年级第一次月考 数学 满分：150 时间：150分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 使得“”成立的一个充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为实数，若集合，，且，则的值可以是（ ） A. 6 B. 2 C. D. 0 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 的最小值为 C. 若实数，满足，则的取值范围是 D. 若，，，则的最小值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，则的取值范围是________． 13. ，，，则的大小关系是_________． 14. 若，，且满足，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若时，求，； （2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （3）若．求实数a的取值范围． 16. 设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题与命题q一真一假，求实数m的取值范围． （3）设命题p为真时m的取值集合为A，命题q为真时m的取值集合为B．若“”是“”的充分不必要条件，其中集合，求实数a的取值范围． 17. 解关于的不等式或求值. （1）； （2）已知，解不等式； （3），求. 18. （1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高一年级第一次月考 数学 满分：150 时间：150分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 又，. 2. 使得“”成立的一个充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出每个选项中的不等式，根据集合包含关系可找出使得“”成立的一个充分而不必要条件. 【详解】对于A选项，解不等式，得或，则“”是“”成立的既不充分也不必要条件； 对于B选项，解不等式，得，则“”是“”成立的必要不充分条件； 对于C选项，解不等式，即，解得或，则“” 是“”成立的既不充分也不必要条件； 对于D选项，解不等式，得，则“” 是“”成立充分不必要条件. 故选D. 【点睛】本题考查充分不必要条件的寻找，一般转化为集合的包含关系来寻找，考查推理能力，属于中等题. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 4. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：函数，则，解得且，所以函数的定义域是，故A错误. 选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故B错误. 选项C：函数，因为，所以，解得，所以函数的值域为，故C错误. 选项D：由题意可知，定义在上的函数满足①， 用替换得，②， 对于①两边分别乘以2得③， 然后②+③得，所以，故D正确. 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式可得， 通过否定命题的定义可知，的否定为. 7. 设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表达式单调性确定最大值的取值，再利用约束条件将最小值问题转化为基本不等式求最值，最终计算差值即可.  【详解】表达式中，为关于的减函数，为关于的增函数， 结合约束，当、时表达式取最大值： ，满足约束条件，成立. 对固定的，由得，当且仅当时取等号. 又，当且仅当即时，等号成立. 因为，此时，满足约束，故. 所以，. 8. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解可得对应方程的根，从而得到参数的关系，故可得正确的选项. 【详解】当时，则且的解为， 故，故， 所以，，，而， ，故AB错误； 当时，则且的解为， 故，故， 所以，，，故C错误， 当时，的解为， 故或，无论哪一种情况，都有， 综上，D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为实数，若集合，，且，则的值可以是（ ） A. 6 B. 2 C. D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，可知，又因为空集是任何集合的子集，所以分和两种情况，从而求出参数. 【详解】由题可知：， 因为，所以， 当时，，满足，故成立， 当时，， 因为，所以或， 解得：或， 综上可知：或或. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据完全平方公式和立方差公式，结合的条件判断代数式符号后依次计算验证即可. 【详解】已知，， 对于A，对平方得，由于，故，故A正确； 对于B，对平方得，由于，故，即，因此，故B错误； 对于C，由完全平方公式得，故C正确； 对于D，由于且，所以， 由立方差公式得，故D错误. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 的最小值为 C. 若实数，满足，则的取值范围是 D. 若，，，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B，通过换元，利用函数的单调性，即可求解；对C，令，将问题转化成方程有解，即可求解；对D，根据条件可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以A正确， 对于B，因为，令， 易知在区间上单调递增，所以当时，， 所以的最小值为，故B错误， 对于C，令，则，又，所以， 整理得到，由，得到， 解得，所以的取值范围是，故C正确， 对于D，由，得到，又，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，求出，，再利用不等式性质求出的取值范围. 【详解】设， 则， 即，解得：， 所以. 又因为，，且， 所以， 即. 13. ，，，则的大小关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】易得，，， ，所以， ，所以， 则. 14. 若，，且满足，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，，且，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，，， 即有， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若时，求，； （2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （3）若．求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用并集的概念求解； （2）根据题意得到是的真子集，再利用小范围能推大范围求解； （3）分类讨论，注意等号的取舍. 【小问1详解】 若，则，所以，. 【小问2详解】 由题可知，是的真子集，所以，且不能同时取等号， 解得：，即：. 【小问3详解】 因为，所以， 若，则，解得：； 若，则，此时有，无解； 综上所述，若．则实数a的取值范围是. 16. 设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题与命题q一真一假，求实数m的取值范围． （3）设命题p为真时m的取值集合为A，命题q为真时m的取值集合为B．若“”是“”的充分不必要条件，其中集合，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先分别求解命题、为真时实数的取值范围，再结合逻辑命题真假规则、充分不必要条件与集合真子集的对应关系依次解答三个小题。 【小问1详解】 命题为真的条件： 对任意，恒成立， 函数在上单调递增，最小值为， 因此只需，整理得，因式分解为， 解得. 因此，当为真命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题为真的条件： 存在，使得成立， 函数开口向上，对称轴为， 在上单调递减，最小值为， 因此只需，解得. 命题、一真一假，分两类讨论： ① 真假：，即 ② 假真：，即 综上所述：. 【小问3详解】 由(1)(2)得，，故， “”是“”的充分不必要条件，等价于 ，其中， 因此需满足，即实数的取值范围为. 17. 解关于的不等式或求值. （1）； （2）已知，解不等式； （3），求. 【答案】（1）或 （2） 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得出所求不等式解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合分式不等式或二次不等式可得出所求不等式的解集； （3）由已知等式可得出、与的等量关系，即可得出的值. 【小问1详解】 原不等式化为，即，可得， 解得或， 所以原不等式解集为或. 【小问2详解】 原不等式化为， ①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式化为，即， 当时，原不等式等价于，显然，解得； 当时，原不等式等价于，而，解得或. 所以当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由，解得， 所以. 18. （1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】 （1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集 为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解 集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将原不等式整理为标准二次不等式，分二次项系数为和不为两种情况，结合恒成立条件求的取值范围； （2）对不等式左边因式分解，根据的不同取值比较对应方程两根大小，分类求解不等式解集； （3）代入整理方程，利用韦达定理将所求代数式转化为关于参数的函数，结合正根条件确定的范围，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意对任意恒成立，整理得恒成立： ① 当时，不等式为，恒成立，符合条件； ② 当时，需满足，解得. 综上，实数的取值范围. 【小问2详解】 不等式因式分解得，分类讨论： ① 当时，，解集为； ② 当时，不等式化为，解得，解集为； ③当时，，解集为； ④当时，不等式化为，解集为； ⑤当时，，解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，原方程整理为， 设两根为，由韦达定理得，， 因方程有两个正实根，恒成立， 故只需满足，即，解得. 所求代数式变形为 ， 代入韦达定理结果得， 令（），则，代入得， 由基本不等式得，当且仅当即（舍去）时等号成立， 此时满足，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $