精品解析：辽宁省沈阳市回民中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式化为整式不等式求解即可. 【详解】原不等式可化为，即，解得． 故选：C． 3. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 4. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于，所以， 因此，故， ，故，A正确， 对于B，当时，此时不满足，B错误， 对于C，由于，，因此，故C错误， 对于D,由于，故，因此，D错误， 5. 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化问题为在上有解，求出的取值范围，进而结合充分不必要条件的定义判断即可求解. 【详解】依题意，：，真命题， 所以在上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意； 当时，若在上有解，则，解得， 综上所述，， 所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. 任意非零实数，，都有 D. 函数的最小值为2 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用特殊值判断即可；对于B，当即可判断；对于C，令，即可判断；对于D，由基本不等式即可判断. 【详解】解：对于A，当时，，显然， 所以，都有成立为假命题. 对于B，显然当时，成立，故为真命题. 对于C，当时，则，故不成立，为假命题. 对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题. 故选：B. 7. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 8. 关于的不等式的解集为，且，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得出与为方程的两个根，根据韦达定理得出，，即可由，化简代入，即可解出的值，再根据不等式的运算验证即可得出答案. 【详解】不等式的解集为， 与为方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， 则，即，解得， ，， 当时，，即， ，则，满足条件， 当时，，即， ，则，不满足条件， 综上，， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件 B. 若x，y，，则是的充分不必要条件 C. 若a，b，，则关于x的不等式恒成立的充要条件是 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，B，C，D四个选项，根据相关知识逐个判断是否正确即可. 【详解】对于A，令，方程有一个正根和一个负根，则，解得， 所以是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，故A正确； 对于B，当时，当，则， 若成立，则，则，所以， 所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，若，则恒成立，故C错误； 对于D，命题“，”的否定是“，”，故D正确． 故选：ABD. 10. 下列各小题中正确的有（　　） A. 方程的解集为 B. 已知集合，且，则的值为或1 C. 若，且点在一次函数的图像上，则的最小值为 D. 若正实数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，根据根式及绝对值的性质求解方程的解集；选项B，根据集合的并集运算可得，分类讨论求解的值；选项C，由条件得，结合1的妙用，利用基本不等式求解的最小值；选项D，通过变形得，利用不等式的性质求解． 【详解】选项A，因为，要使，则且， 即且，不可能成立，所以方程无解，故A错误； 选项B，集合， 因为，所以， 当时，，满足， 当时，， 因为，所以或，解得或． 综上，的值为0或1或，故B错误； 选项C，因为点在一次函数的图像上， 所以，即． 又因为，所以， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为，故C正确； 选项D，正实数满足，可得， 则， 因为，所以，可得， 则，所以，则， 所以，即，故D正确． 故选：CD． 11. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值是 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据基本不等式即可判断A；结合即可判断B；由题知，，进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C；根据，结合基本不等式求解即可判断D. 【详解】解：对于A选项，因为，，，所以，，当且仅当时等号成立，故A选项正确； 对于B选项，由不等式得，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B选项正确； 对于C选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，此时与矛盾，故取不到最小值，故C选项错误； 对于D选项，由题知，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知（为实数）．若的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义求解． 【详解】由题意是的充分不必要条件，所以． 故答案为：． 13. 规定记号“”表示一种运算，定义（，为正实数）．若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义将不等式转化为，即可求解. 【详解】由可得，故，即，故，解得. 14. 已知不等式的解集，若对不等式成立，则实数的最大值为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，代入所求不等式，利用二次函数根的分布列不等式即可得实数的最大值. 【详解】解：不等式的解集，则方程的两根为，且，所以，解得， 所以不等式为，对不等式恒成立，则①，解得， 或②，无解. 综上，，所以实数的最大值为. 故答案为：5. 四、大题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由交集的结果求的值； （2）由补集运算求，再根据集合的包含关系列不等式求的取值范围． 【详解】由已知得：，． （1）∵， ∴，可得． （2）或，又， ∴或，即或． ∴的取值范围是或． 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求、的值，并求解不等式的解集； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），，解集为或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出、的值，进而求解不等式； （2）根据基本不等式求出的最小值，结合不等式恒成立可得出关于的不等式，即可求出的范围． 【小问1详解】 由题意知，和是的两个根，且， 所以，解得， 将，代入可得，即， 解得或． 故不等式的解集为或. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立，所以的最小值为． 又恒成立，故恒成立，即，解得． 所以的取值范围为． 17. 如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30m，AD=20m.记三角形花园APQ的面积为S. （1）当DQ的长度是多少时，S最小?并求S的最小值； （2）要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内? 【答案】（1）米，有最小，且为 （2） 【解析】 【分析】（1）由于得出，从而，用表示，利用三角形的面积公式表示出面积；再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得； （2）由不超过，建立不等式，从而可求长的取值范围． 【小问1详解】 解：设，可得，因为，所以，所以，即， 即， 则 当且仅当，即，等号成立． 此时米，有最小，且为，即米，有最小，且为； 【小问2详解】 解：由，即，所以且， 解得或， 由，可得或， 即有的范围是． 18. 已知函数，． （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）先把原不等式整理成一个标准的二次不等式，然后分情况讨论系数为0和不为0的情况，确保这个不等式对所有实数都成立，从而确定的取值范围． （2）先把不等式左边因式分解，再根据系数的不同取值，比较两个根的大小，从而确定不等式的解集． （3）先通过换元把含绝对值的方程转化为普通二次方程，再根据原方程要有四个不同实根的要求，转化为这个二次方程必须有两个不相等的正根，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 综上可得，的取值范围是. 【小问2详解】 由题，即， 当时，，所以不等式的解集为； 当时，由，得或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 由题可知关于的方程有四个不同实根， 令，则关于的方程有两个不同正根， 则，可得. 故实数的取值范围是． 19. 法国数学家佛郎索瓦•韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程． 例如：，，那么和是方程的两根． 请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】（1） （2）157 （3）24 【解析】 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）设 ，，可将看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由以及，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【小问1详解】 已知  和  满足  和 ，且 。 将方程变形为： 因此， 和  是二次方程  的两个根. ， 由韦达定理得： ， . 【小问2详解】 已知实数  满足： 设 ，，则： ， . 解方程组：，  和  是方程  的根，解方程得： 或， ， 若 ，，则是方程的二实根，此方程有实根， 因此 ； 若 ，，则是方程的二实根，而此方程无实根， 所以的值为157. 【小问3详解】 由韦达定理得：， ， . 此式需为整数，因  为整数， 为整数，故  需为整数. ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 故， 解得：   或 ， 又 ，所以，又 需为整数， 所以27 的正因数：1，3，9，27， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 4. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在，使得 D. 存在，使得 5. 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. 任意非零实数，，都有 D. 函数的最小值为2 7. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集为，且，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件 B. 若x，y，，则是的充分不必要条件 C. 若a，b，，则关于x的不等式恒成立的充要条件是 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 下列各小题中正确的有（　　） A. 方程的解集为 B. 已知集合，且，则的值为或1 C. 若，且点在一次函数的图像上，则的最小值为 D. 若正实数满足，则 11. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值是 D. 的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知（为实数）．若的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 13. 规定记号“”表示一种运算，定义（，为正实数）．若，则的取值范围为______． 14. 已知不等式的解集，若对不等式成立，则实数的最大值为______________． 四、大题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求、的值，并求解不等式的解集； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 17. 如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30m，AD=20m.记三角形花园APQ的面积为S. （1）当DQ的长度是多少时，S最小?并求S的最小值； （2）要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内? 18. 已知函数，． （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19. 法国数学家佛郎索瓦•韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程． 例如：，，那么和是方程的两根． 请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $