精品解析：河北石家庄市第二十四中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

河北石家庄市第24中学2025-2026学年度高一年级第一学期数学学科期末考试试题 一、单选题 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合补集运算即可求解. 【详解】，又， 所以， 故选：B 2. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 3. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，故函数的零点所在的区间为. 而, 故选：A. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再运用平方关系求出进而得到最后运用两角和的正切公式可求出的值. 【详解】依题意 故选：C 5. 先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象变换法则可得变换后的图象是函数的图象，根据诱导公式一可得. 【详解】将曲线上各点的横坐标变为原来的，得函数的图象. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以. 故选：D. 6. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 易知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 8. 把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中冷却系数是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却．水杯先在开盖状态下放置min，随后加上盖子继续放置min，此时水温降至40℃．已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01．若，则的值约为（ ）（参考数据：） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出开盖冷却分钟后的水温，加盖继续冷却分钟后的水温为，将代入，计算求解即可. 【详解】，初始温度℃，空气的温度是℃， 开盖状态下水杯中水的冷却系数为，加盖状态下水杯中水的冷却系数为， ，最终温度℃， 开盖冷却分钟后，水温为， 加盖继续冷却分钟后，水温为， 将代入得到， 即，即， 两边取自然对数，得， 即，将代入得， 解得. 故选：B. 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. C. 经过4小时，时针转了 D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项． 【详解】选项A，在第三象限，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角， 每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确； 选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为， 则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确． 故选：BCD 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例检验选项A；结合对数函数单调性检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合基本不等式检验选项D. 【详解】当，时，，A显然错误； 因为，所以，B正确； 因为函数在单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，C错误； 若，则， 当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确． 故选：BD . 11. 下列结论不正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数（且）的图象必过定点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的最小值为5 【答案】CD 【解析】 【分析】对于选项A，根据正切函数的周期公式即可求解； 对于选项B，根据对数函数的图象性质即可求解； 对于选项C，根据对数函数的定义域，可得的定义域为，而不是定义域的子集，所以C错误； 对于选项D，根据三角函数的平方关系，结合基本不等式，即可判断D选项错误. 【详解】对于A选项，根据正切函数的周期，故A正确； 对于B选项，令，解得，则， 所以函数（且）的图象必过定点，故B正确； 对于C选项，由，得，解得， 即函数的定义域为，而不是定义域的子集， 所以函数的单调递增区间不会是，故C错误； 对于D选项，函数 ，当且仅当，即时取得， 但根据三角函数的图象性质，可知，所以， 所以函数的最小值不会是5，故D错误. 故选：CD 三、填空题 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出满足的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知有意义，需满足， 解得，即函数的定义域是， 故答案为： 13. 已知函数，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，令，则，利用二次函数性质求解最大值即可. 【详解】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 故答案为： 14. 设，函数 给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当存在最大值时，； ③存在,，使得； ④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________ 【答案】②④ 【解析】 【分析】作出函数的图象，由图象可得单调性，判断①，根据图象可分析出最大值存在的条件，判断②，利用极限点间距离判断③，由直线与函数的图象有两个交点求解后判断④． 【详解】作出函数的图象，如图，可见函数在上是减函数，若，则，①错误； 在时，没有最大值，在时，有最大值， 因此有最大值，则，，②正确； 由题意知点在图象中间一段抛物线上，点在右下曲线上，取，，则，③错； 若存在两个不同的x，使得，则直线与的图象有两个交点，因此，解得，④正确． 故答案为：②④． 四、解答题 15. 已知集合． （1）若，求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入，再由交集、并集以及补集的运算可得结果， （2）根据题意可知集合是集合的真子集，限定不等式关系解不等式可得结果. 【小问1详解】 若,可得， ，， 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，或， 解得或，因此， 所以实数的取值范围为. 16. 已知，且． （1）求的值； （2）若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角基本关系式求解； （2）根据三角函数定义求出，，再利用和差角公式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则． 【小问2详解】 角终边过点，则． ，． 所以，． ． 17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1） （2）当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为4. 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 18. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像先求出周期即可得，由和即可求出和； （2）令即可求出函数的对称轴方程，令，即可求出函数的对称中心的横坐标，纵坐标为0； （3）函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质得解出即可. 【小问1详解】 由图可知函数的周期为，有，又由，可得， 又由图可知，有，有，又由.有，可得. 又由图可知，有，可得. 故函数的解析式为； 【小问2详解】 令，可得， 可得函数的图象的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数的图象的对称中心的坐标为； 【小问3详解】 当时，，有. 若函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质可知，可得 故实数的取值范围为. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①函数在区间上单调递增，证明如下 ： ，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， ②[0，1]. 【解析】 【分析】（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心； （2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； ②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的； 所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是. 【小问2详解】 当时，. ①函数在区间上单调递增，证明略； ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北石家庄市第24中学2025-2026学年度高一年级第一学期数学学科期末考试试题 一、单选题 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 7. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中冷却系数是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却．水杯先在开盖状态下放置min，随后加上盖子继续放置min，此时水温降至40℃．已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01．若，则的值约为（ ）（参考数据：） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. C. 经过4小时，时针转了 D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 下列结论不正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数（且）的图象必过定点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的最小值为5 三、填空题 12. 函数的定义域是______． 13. 已知函数，则的最大值是______． 14. 设，函数 给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当存在最大值时，； ③存在,，使得； ④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________ 四、解答题 15. 已知集合． （1）若，求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，求的值． 17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 18. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $