精品解析：河北唐山市唐山一中2025-2026学年高一年级数学下学期期末质量检测

高一年级期末质量检测 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，分别验证充分性和必要性即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 而当时也满足，所以必要性不成立. 故选：A. 3. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则，， 则 故选：D. 4. 已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先使用正切的和差公式求出的值，再使用二倍角公式结合三角函数同角关系，齐次化，然后再上下同时除以将转化为，进而可根据的值求解. 【详解】由，解得， 所以. 故选：C. 6. 已知满足不等式，则函数的最大值与最小值之和是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，则等价于，然后化简函数，进而可求得最值. 【详解】设，则等价于， 解得，而， 当时，有最小值-1，当时，有最大值3， 所以最大值与最小值之和为2. 故选：B. 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再求出的解析式，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，进而求出最小值. 【详解】依题意，，将的图象向右平移个单位长度后 所得图象的函数解析式为，由函数的图象关于轴对称， 得，解得，而， 所以当时，取得最小值. 故选：A 8. 已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知，有解，即， 因为，所以， 那么 ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合指数函数性质逐项判断即得. 【详解】由不等式的可加性，得，故A正确； 由不等式的可乘性，得，故B正确； 当时，，故C错误； 当时，函数在上单调递减，此时，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 图象的相邻两条对称轴间的距离为 C. 在上的值域为 D. 将的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的范围求出的范围，结合余弦函数的单调性即可判断选项A；根据三角函数的对称性与周期性可判断选项B；根据的范围求出的范围，结合余弦函数的单调性即可求得函数的值域，进而判断选项C；根据三角函数的图象变换结合三角函数的诱导公式即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，；由，得，此时单调递增， 由，得，此时单调递减， 所以函数在上先增后减，故A错误； 对于B，因为函数的周期为，其图象的相邻两条对称轴间的距离为，故B正确； 对于C，当时，，当，即时，有最小值， 当，即时，有最大值1，故在上的值域为，故C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位后所得图象的函数解析式为 ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线是函数的一条对称轴 D. 若在区间上有10个零点，则所有零点之和为20 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由的图象关于直线对称即可得到是偶函数，令结合偶函数即可求的值，则有，得到的周期，则可求得的值；对于B，由题意得在上单调递增，且有，，进而可比较和的大小；对于C，由，结合偶函数，可得的对称点是，若要证明是函数的一条对称轴，结合奇偶性和对称性证明即可；对于D，设，则的零点就是与的图象的交点的横坐标，由奇偶性和周期性易得图象都关于对称，则有的零点也关于对称，进而可求零点之和. 【详解】对于A，因为的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称，即是偶函数，， ，令，则，解得， 由于，所以， 则有，可得，进而， 所以函数是周期为4的周期函数，故，故A正确， 对于B，对任意，当时，都有， 移项得到， 所以当， ，即时，， 所以在上单调递增， ， 由于在上单调递增，所以，即，故B错误， 对于C，，所以， 所以的图象关于点对称， 所以，设，则， 因为是偶函数，所以， 那么， 所以直线是函数的一条对称轴，故C正确， 对于D，，即， 设，则有的零点就是与的图象的交点的横坐标， 易得的图象关于对称， 因为是周期为4的偶函数，所以有， 则的图象也关于直线对称， 由在区间上有10个零点，得与的图象的交点两两关于直线对称， 不妨设这10个交点的横坐标分别为，且， 则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】由题知. 所以 故答案为：10. 13. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合一元二次函数求值域. 【详解】由， 令，则，所以， 当时，有最大值，当时，有最小值， 故的值域为. 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，__________. 【答案】 ①. ； ②. 1. 【解析】 【分析】对于第一空，先在平面直角坐标系中画出函数的大致图象，再令，得，因此有，再分析在的不同范围内所对应的的解的个数，即可得解； 对于第二空，由图可得，再根据对数运算，将其转化为，即可得解. 【详解】， 当时，在上为减函数，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数， 作出函数的图象如图所示： 设，当时，方程有3个解；当时，方程有4个解； 当时，方程有3个解；当时，方程有2个解； 当时，方程有1个解. 方程等价于， 要使关于的方程恰有6个不相等的实数根， 等价于方程有2个不同的根， 而当时，方程有2个解， 所以时，方程有4个解，所以，即得， 所以的取值范围是； 由图可知，，所以， 即， 得，即，即. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或. （1）当时，求： （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用交集定义计算求解； （2）根据已知转化为，再分，两种情况列式计算求解参数. 【小问1详解】 由题知或， 所以； 【小问2详解】 由题知， 若对任意的恒成立，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，即实数的取值范围是 16. （1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂、分数指数幂、对数运算性质及换底公式即可求解； （2）先利用诱导公式进行化简，结合的范围确定与的符号，再利用与的关系进行计算即可 【详解】（1）原式   . （2）， 因为，所以，又因为，故， 因此. ， 故. 17. 已知函数的部分图象如图所示，其中点. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由周期求，将点代入求，即可得解析式； （2）由对称性得到结合诱导公式，二倍角公式求即可. 【小问1详解】 因为在函数图象上且纵坐标互为相反数， 结合图象可知， 根据，解得. 将代入， 解得，因为，所以， 所以函数解析式为； 【小问2详解】 ，即在上有两个不相等的实数根， 当时，， 设， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，且，即 那么， 因为，所以， 所以， 所以. 18. 第25届冬季奥林匹克运动会，将于2026年2月6日至2月22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行.某商店计划出售该运动会吉祥物.假设该吉祥物的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元，）满足分段函数：已知每个吉祥物的进货成本为30元，商店每日需支付场地租金等固定成本600元.设该商店销售这款吉祥物的日利润为（单位：元）. （1）写出日利润（元）关于销售单价的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当销售单价为何值时，该商店的日利润最大？此时日利润是多少？ 【答案】（1） （2）55元或80元，日利润是650元 【解析】 【分析】（1）根据已知分段函数结合利润销售收入-成本列式求解； （2）应用二次函数值域及基本不等式计算求解最大值即可. 【小问1详解】 当时， 当时，； 所以 【小问2详解】 由（1）知，当时，. 当时，利润最大，此时利润是650元； 当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是650元. 所以当销售单价为55元或80元时，该商店的日利润最大，此时日利润是650元 19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”. （1）设函数，若偶函数为的“函数”，且满足，请求出此时的值； （2）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数， （i）求的解析式； （ii）设函数.若，且不等式对任意恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义写出，再根据是偶函数列出方程，即可得解； （2）（i）运用函数的定义，得到，再根据与的奇偶性列出方程，即可得解； （ii）由题可得，再运用换元法令，将其转化为，结合二次函数的性质与的范围确定复合函数的单调性，将转化为，再进行参变分离得，运用换元法与基本不等式，即可得解. 【小问1详解】 由题知，， 因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为对任意成立，所以， 又，解得； 【小问2详解】 （i）因为为的“函数”， 所以①，所以， 因为为奇函数，为偶函数，所以， 所以②， 联立①②，解得； （ii）， 令，且在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 因为， 所以对任意恒成立， 那么对任意恒成立， 所以， 令，则，所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，则，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期末质量检测 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知满足不等式，则函数的最大值与最小值之和是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 图象的相邻两条对称轴间的距离为 C. 在上的值域为 D. 将的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为 11. 已知定义在上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线是函数的一条对称轴 D. 若在区间上有10个零点，则所有零点之和为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________. 13. 函数的值域是__________. 14. 已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或. （1）当时，求： （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16. （1）求值：； （2）已知，求的值． 17. 已知函数的部分图象如图所示，其中点. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值. 18. 第25届冬季奥林匹克运动会，将于2026年2月6日至2月22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行.某商店计划出售该运动会吉祥物.假设该吉祥物的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元，）满足分段函数：已知每个吉祥物的进货成本为30元，商店每日需支付场地租金等固定成本600元.设该商店销售这款吉祥物的日利润为（单位：元）. （1）写出日利润（元）关于销售单价的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当销售单价为何值时，该商店的日利润最大？此时日利润是多少？ 19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”. （1）设函数，若偶函数为的“函数”，且满足，请求出此时的值； （2）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数， （i）求的解析式； （ii）设函数.若，且不等式对任意恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $