6.2.2直线上向量的坐标及其运算（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 6.2向量基本定理与向量的坐标 学 习 目 标 1 2 理解直线上向量坐标的定义：给定直线与直线上单位向量e，直线上任一向量，存在唯一实数x，使=xe，x就是的坐标；能区分点的坐标与向量的坐标。 掌握直线上向量坐标运算法则：若坐标，b坐标，则a+b坐标，-b坐标，λ坐标λ。 掌握数轴上向量坐标公式：=-；两点距离公式|AB|=| |、中点坐标公式。 重点：直线上向量坐标定义、坐标运 难点：区分点坐标与向量坐标，理解= 复习回顾 上一节学习了共线向量基本定理：如果向量e≠0，则向量与e共线⟺存在唯一实数x，使得=xe。 问题：我们熟悉数轴，数轴上每个点对应一个实数。数轴上的向量能不能也用一个实数来表示？ 举例：数轴上A(1),B(3)，单位向量e向右，和e同向，=2e；若C(-2)，=-2e。 提问：这个实数2、-2，能不能称为向量的坐标？ 课题：直线上向量的坐标及其运算。 目标一：直线上向量的坐标 直线上向量的坐标的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 定义解读 (1)如果直线上向量的坐标为 x,则 ||=|xe|=|x||e|=|x|。 (2)当 x>0 时, 的方向与 e 的方向相同;当 x=0 时, 是零向量;当 x<0 时, 的方向与 e 的方向相反。 (3)直线上向量的坐标还可以从数轴的角度来理解:如果数轴上一点 A 对应的数为 x(记为 A(x),也称点 A 的坐标为 x),那么向量对应的坐标为 x;反之,这一结论也成立。 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e，由共线向量基本定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 ，一定存在唯一的实数 x，使得 ，此时，x 称为向量 的坐标。 5 直线上向量的运算与坐标的关系 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 假设直线上两个向量 的坐标分别为 ，即 。当 时，有 ，由 是单位向量可知 ；反之，结论也成立。这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等。 (2) 假设直线上两个向量 的坐标分别为 ，即 。因为 ，所以 的坐标是 ，这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。 类似地，可以得出，如果 是两个实数，那么 的坐标为 ， 的坐标为 。 6 直线上向量的运算与坐标的关系 知识讲解 互动探究 新课引入 (3) 数轴上向量的坐标：在数轴上，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ，即数轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。 7 数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式 知识讲解 互动探究 新课引入 设 是数轴上两点，则 设 ， 是数轴上两点， 为坐标原点，则 ，， 因此 ，所以 8 数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式 知识讲解 互动探究 新课引入 假设 M(x) 是线段 AB 的中点,则 x 设 ， 是数轴上两点， 为坐标原点， 是线段 的中点，则 又因为 ，因此 9 对点体验 已知数轴上四点 的坐标分别是 。 (1) 若 ，求 的值； (2) 若 ，求 的值； (3) 若 ，求证：。 答 (1) ，，。 (2) ，， 即 或 ， 或 。 (3) ， 而 ， ， 。 又 ， 。 对点体验 已知数轴上三点 的坐标分别是 ，求 的坐标和长度。 解 利用 ， 求解。 答 ， ； ， ； ， 。 点评 注意区别数轴上向量的坐标公式与两点间的距离公式的不同。 对点体验 已知数轴上 两点的坐标分别为 ，根据下列各题中的已知条件，求点 的坐标 ： (1) ，； (2) ，。 答 (1) 因为 ， 所以 。 (2) 因为 ， 所以 或 。 目标二：典型例题 题型一 直线上向量的坐标运算 例1 已知直线上向量 的坐标分别为 ,求下列向量的坐标. (1) ; (2) . 典例分析 牛刀小试 分析 利用直线上向量坐标运算的法则解决. 解 (1) 的坐标为 . (2) 的坐标为 . 反思感悟 直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题,解题时要特别注意符号,以防出错. 题型一 直线上向量的坐标运算 例2 若 是直线 上的一个单位向量,向量 是这条直线上的向量,则 |+2b| . 典例分析 牛刀小试 答案 解析 由题意,向量 的坐标分别为 ,所以 的坐标为 , 故 |+2b|. 题型一 直线上向量的坐标运算 例3 已知直线上向量 的坐标为 ， 的坐标为 ，求下列向量的坐标： (1) ； (2) ； (3) 。 典例分析 牛刀小试 解： (1) 的坐标为 ； (2) 的坐标为 ； (3) 的坐标为 。 题型二 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 例4 已知 是数轴上的点,,且 的坐标为 .求: (1) 点 的坐标; (2) 线段 的中点 的坐标. 典例分析 牛刀小试 解 (1) 由题意知, 的坐标为 ,又 ,且 的坐标为 ,所以 的坐标为 ,即 . (2) 由(1)知 ,所以中点 的坐标为 ,即 . 分析 利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解. 反思感悟 要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式,并清楚它们之间的区别. 题型二 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 例5 已知 是数轴上的点,,求 与 的距离及线段 的中点坐标. 典例分析 牛刀小试 解 因为 ,所以 的坐标为 ,故 ,线段 的中点坐标为 . 目标三：针对训练 举一反三 1. 已知直线上向量 ， 的坐标分别为 ，则下列向量与 同向的是() A. B. C. D. 解析： 由题意， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ，都与 反向， 的坐标为 ，与 同向。 举一反三 2. 已知数轴上点 的坐标为 ， 的坐标为 ，则点 的坐标是() A. B. C. D. 解析： 因为 ， 的坐标为 ，所以 ，解得 。故选 D。 举一反三 3. (多选) 数轴上点 ，， 的坐标分别为 ，则下列结论正确的是() A. 的坐标是 B. C. 的坐标是 D. 解析： 的坐标为 ，故 C 不正确。A，B，D 均正确。 4.已知数轴上 两点的坐标分别为 ，则 ( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 。 举一反三 5、已知直线上向量 的坐标分别为 ，则下列向量与 同向的是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由题意， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ，都与 反向， 的坐标为 ，与 同向。 6、设数轴上 的坐标分别是 ，则 的中点 的坐标是 。 答案 解析 因为 ，所以 的中点 的坐标为 。 目标四：小结 学海拾贝 核心概念：给定直线l和单位向量e，对l上任意向量，有唯一x满足a=xe，x是向量的坐标；|x|是向量模，x的正负代表与e同向/反向。 向量坐标公式：数轴两点A(x_A),B(x_B)，的坐标=（终点减起点）。 坐标运算：和、差、数乘，直接对坐标做实数运算： a+b⇒ 学海拾贝 两个常用结论： 两点距离：|AB|=| | 中点：中点坐标x 思想升华：一维直线上，向量→实数，实现几何代数化；本节课是后面平面向量坐标的基础，一维学好，二维坐标就顺理成章。 易错点提醒：点的坐标是描述点位置；向量坐标描述向量，坐标是终点减起点，不是起点减终点。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $