6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示、运算及共线条件，通过课前自主落实基础概念，课堂题型研究迁移应用，构建从定义理解到综合运用的学习支架，衔接向量正交分解与坐标运算的知识脉络。 其亮点在于梯度进阶式设计，以“微点助解”“思维建模”培养数学思维，结合帆船风速等实际情境题发展数学语言表达能力，帮助学生深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

6.2.3 平面向量的坐标及其运算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.　 2.能用坐标表示平面向量共线的条件.　 CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.平面向量的坐标 (1)向量的垂直 平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相_____，我们就称向量a与b垂直，记作______.规定零向量与任意向量都_____. 垂直 a⊥b 垂直 (2)向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为_________；在正交基底下向量的分解称为向量的__________. (3)向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a=xe1+ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a=(x，y). 正交基底 正交分解 |微|点|助|解| 求平面向量坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量e1，e2表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 2.平面向量的坐标运算及常用公式 (1)平面上向量的运算与坐标的关系 向量的加、减法 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=_________________，a-b=______________，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 实数与向量的积 若a=(x，y)，λ∈R，则λa=_________，即数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 (x1+x2，y1+y2) (x1-x2，y1-y2) (λx，λy) 向量的数乘、加、减混合运算 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb =(ux1±vx2，uy1±vy2) 向量的模 若a=(x，y)，则|a|= 续表 (2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB=||= ______________________，线段AB的中点坐标为________________. 3.向量平行的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b⇔__________. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的始点、终点无关. (　　) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. (　　) (3)点的坐标与向量的坐标相同. (　　) (4)已知a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2=a2b1. (　　) √ × × √ 2.如图，{e1，e2}为正交基底，则向量2a+b的坐标为 (　　) A.(3，4) B.(2，4) C.(3，4)或(4，3) D.(4，2)或(2，4) 解析：∵ a=e1+e2，∴2a=2e1+e2.又b=e1+3e2， ∴2a+b=(2e1+e2)+(e1+3e2)=3e1+4e2. ∴2a+b在基底{e1，e2}下的坐标为(3，4). √ 3.若a=(2，1)，b=(1，0)，则3a-2b的坐标是 (　　) A.(5，3) B.(4，3) C.(8，3) D.(0，-1) 解析：3a-2b=3(2，1)-2(1，0)=(4，3). √ 4.已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则|b|等于 (　　) A. B.2 C. D.2 解析：b=(3，2)-2a=(3，2)-(2，4)=(1，-2)，故|b|==. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　平面向量的坐标 [例1]　如图，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. 解：由题图可知a=+=2i+3j， ∴a=(2，3). 同理可得b=-2i+3j=(-2，3)， c=-2i-3j=(-2，-3)， d=2i-3j=(2，-3). |思|维|建|模| 求平面向量坐标的一般方法 (1)数形结合法：根据正交分解，求向量在x轴、y轴上的坐标分量. (2)平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标. 针对训练 1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||=4，∠xOA=60°，求向量的坐标. 解：设点A(x，y)，则x=||cos 60°=4cos 60°=2，y=||sin 60°=4sin 60°=6， 即A(2，6).所以=(2，6). 题型(二)　平面向量的运算与坐标的关系 [例2]　已知点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，设=a，=b，=c. (1)求3a+b-3c； 解：由题得，a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8). 3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42). (2)求满足a=mb+nc的实数m，n的值. 解：因为a=mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)=(5，-5)， 所以解得 所以满足a=mb+nc的实数m，n的值为m=-1，n=-1. |思|维|建|模| 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用向量和、差及数乘向量的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行. 针对训练 2.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|2a-b|= (　　) A. B.2 C. D.5 解析：∵a=(2，3)，b=(3，2)，∴2a-b=(1，4). ∴|2a-b|==. √ 3.已知向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标及模. 解：a+b=(-1，2)+(3，-5)=(2，-3)，|a+b|==. a-b=(-1，2)-(3，-5)=(-4，7)，|a-b|==. 3a=3(-1，2)=(-3，6)， |3a|==3. 2a+3b=2(-1，2)+3(3，-5) =(-2，4)+(9，-15)=(7，-11)， |2a+3b|==. 题型(三)　向量平行的坐标表示 [例3]　(1)已知a=(1，0)，b=(2，1)，若=2a+3b，=a+mb，且A，B，C三点共线，求m的值. 解：=2(1，0)+3(2，1)=(8，3)， =(1，0)+m(2，1)=(2m+1，m). ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴8m-3(2m+1)=0，∴m=. (2)已知A，B，C三点的坐标分别为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，= =，求证：∥. 解：证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知=(2，2)，=(-2，3)，=(4，-1)， ∴====. ∴(x1，y1)-(-1，0)=，(x2，y2)-(3，-1)=. ∴(x1，y1)=，(x2，y2)=. ∴=(x2，y2)-(x1，y1)=. ∵4×-(-1)×=0，∴∥. |思|维|建|模| 向量共线的判定方法 (1)利用共线向量基本定理，b∥a(a≠0)推出b=λa(λ有唯一实数). (2)利用向量共线的坐标表达式x2y1=x1y2直接求解. 针对训练 4.已知a=(2，0)，b=(2，1). (1)当k为何值时，ka+b与a-2b共线； 解：∵a=(2，0)，b=(2，1)， ∴ka+b=(2k+2，1)，a-2b=(-2，-2). 又ka+b与a-2b共线， ∴-2(2k+2)-1×(-2)=0，即k=-. (2)若=a+3b，=a-mb，且A，B，C三点共线，求m的值. 解：∵=a+3b=(8，3)， =a-mb=(2-2m，-m)， 又A，B，C三点共线， ∴-8m-3(2-2m)=0，即m=-3. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知平面向量a=(1，1)，b=(1，-1)，则向量a-b=(　　) A.(-2，1) B.(2，-1) C.(-1，0) D.(-1，2) √ 15 解析：因为a=(1，1)，b=(1，-1)，则a=b=， 所以a-b=(-1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知向量a=(-4，3)，a+3b=(5，-3)，则b= (　　) A.(-3，2) B.(3，-2) C.(3，0) D.(9，6) √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：设b=(m，n)， 因为a=(-4，3)，所以a+3b=(-4，3)+3(m，n)=(-4+3m，3+3n). 又a+3b=(5，-3)，所以解得故b=(3，-2). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(-2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的是 (　　) A.与平行 B.+= C.+= D.=-2 √ 15 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：因为点A(2，1)，B(0，2)，C(-2，1)，O(0，0)， 所以=(2，-1)，=(-2，1). 又2×1-(-1)×(-2)=0，所以与平行，A正确. 因为+=≠，所以B不正确. 因为+=(0，2)=，所以C正确. 因为=(-4，0)，-2=(0，2)-(4，2)=(-4，0)，所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知向量a=(-1，2)，b=(1，m)，且a∥b，那么m= (　　) A.-5 B.-4 C.-2 D.0 √ 15 解析：因为a=(-1，2)，b=(1，m)，且a∥b，所以-m=1×2，解得m=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设O(0，0)，A(0，3)，B(6，0)，=-2，则||=(　　) A. B.2 C.2 D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设P(x，y)，则=(x-6，y)，=(x，y-3). 因为=-2，所以(x-6，y)=-2(x，y-3). 所以解得即P(2，2). 所以=(2，2). 所以||==2.故选B. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和.其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反，表中给出了部分风力等级、风速大小与名称的对应关系，已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s)，则其风速等级是 (　　) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 级别 名称 风速 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：∵视风风速a=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，船速b=(3，3)-(2，0) =(1，3)， ∴真风风速n=a+b=(-3，-1)+(1，3)=(-2，2)，真风风速大小|n|=2 ≈2.828，∴风速等级是轻风. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，c=ka+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么 (　　) A.k=1且c与d同向 　B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 　D.k=-1且c与d反向 15 解析：若k=1，则c=a+b=(1，1)，d=a-b=(1，-1)，显然c与d不平行，排除A、B.若k=-1，则c=-a+b=(-1，1)，d=a-b=-(-1，1)，即c∥d且c与d反向. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知向量a=(m，2m+3)，b=(1，4m+1)，则“m=-”是“a与b共线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 15 解析：若a与b共线，则m(4m+1)-(2m+3)=0，解得m=-或m=1， 所以“m=-”是“a与b共线”的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知O为坐标原点，且A(1，m)，B(4，4-m)，若O，A，B三点共线，则实数m=_____.  15 解析：因为O，A，B三点共线， 所以∥.又=(1，m)，=(4，4-m)， 所以4-m=4m，解得m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知向量a=(1，2)，b=(-2，y)，若a∥b，则|2a-b|=_____.  15 解析：由题意可得1×y=2×(-2)，解得y=-4.所以b=(-2，-4). 所以2a-b=2(1，2)-(-2，-4)=(4，8). 所以|2a-b|==4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)设向量a，b满足|a|=2，b=(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为___________.  15 解析：因为b=(2，1)，且a与b的方向相反，所以设a=(2λ，λ)(λ<0). 因为|a|=2，所以4λ2+λ2=20，解得λ2=4，λ=-2.所以a=(-4，-2). (-4，-2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知a=(-2，3)，b∥a，b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为______________.  15 解析：由b∥a，可设b=λa=(-2λ，3λ). 设B(x，y)，则=(x-1，y-2)=b. ∴⇒ 又B点在坐标轴上，则1-2λ=0或3λ+2=0. ∴B或. 或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知a=(2，1)，b=(3，-4)，当λ为何值时，λa-b与a+2b平行?平行时，它们是同向还是反向? 15 解：λa-b=λ(2，1)-(3，-4)=(2λ-3，λ+4)， a+2b=(2，1)+2(3，-4)=(8，-7). ∵(λa-b)∥(a+2b)，∴8(λ+4)+7(2λ-3)=0，解得λ=-. ∴-a-b==，即λa-b=-(a+2b). 故当λ=-时，λa-b与a+2b平行，平行时它们反向. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2). (1)求线段BD的中点M的坐标；(5分) 15 解：设点B的坐标为(x1，y1). ∵=(4，3)，A(-1，-2)， ∴(x1+1，y1+2)=(4，3). ∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴B(3，1).同理可得D(-4，-3). 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2==-，y2==-1， ∴点M的坐标为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若点P(2，y)满足=λ(λ∈R)，求y与λ的值.(5分) 15 解：由(1)得=(3，1)-(2，y)=(1，1-y)， =(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4). 又=λ， ∴(1，1-y)=λ(-7，-4)，则解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2). (1)若++=0，求的坐标；(4分) 解：设点P的坐标为(x，y)，因为++=0， 又++=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y)， 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)，故=(2，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若=m+n(m，n∈R)，且点P在函数y=x+1的图象上，求m-n的值.(6分) 解：设点P的坐标为(x0，y0)， 因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， 所以=(2，3)-(1，1)=(1，2)，=(3，2)-(1，1)=(2，1). 因为=m+n，所以(x0，y0)=m(1，2)+n(2，1)=(m+2n，2m+n). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以两式相减得m-n=y0-x0. 又因为点P在函数y=x+1的图象上， 所以y0-x0=1.所以m-n=1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $