3.3 拓展—— 对勾函数与飘带函数性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对勾函数与飘带函数 人教A版2019数学 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 函数的基本性质 函数的单调性与最大值 奇偶性 幂函数 幂函数 函数的应用（一） 函数的应用 本章知识框图 函数的概念 函数的表示法 对勾函数与飘带函数 03 01 02 通过对新函数的构造、分析、理解、总结，培养学生的探索精神，提高实践能力，积累活动经验，提升学生发现问题与提出问题、分析问题与解决问题的能力. 能够理解函数的图象与性质，并能够利用性质解决一些问题。结合类比，特殊到一般的方法探究函数图象与性质. 课时教学目标 通过类比幂函数的学习，经历对函的“背景→概念→图象→性质→应用”的完整学习 过程，进一步体会研究一类函数的思路、方法。 环节一 新课导入 初中我们学习的一次函数、二次函数可以看成是由幂函数与常数经过加、减、乘、除运算构造出来的，不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构造出新的函数。上节课我们学习了幂函数，本节课我们一起尝试用幂函数构造一些新函数 环节一 新课导入 问题1：我们知道，函数，都是幂函数，这两个函数加、减、乘、 除可以得到哪些函数？ ， ， 乘 除 幂函数 加 减 对勾函数 飘带函数 本节课我们一起探究对勾函数与飘带函数的性质 环节二 新课探究 问题2：对于这两类新函数，以为例，你认为可以从哪几个方面研究它？ 追问：类比幂函数性质的研究路径，你认为可以按照怎样的路径来研究这个函数？ 应该研究函数的：定义域，解析式结构，值域，图象，单调性，奇偶性等性质 新函数 函数图象 函数性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 其他性质 描点法 环节二 新课探究 问题3：观察函数的解析式结构，你能获得哪些性质？ 函数的定义域为，关于原点对称 故函数为奇函数 只需研究的情况 环节二 新课探究 问题4：结合以上探究的性质，请你作出函数的图象？ 环节二 新课探究 追问：请你结合自己所画图象并结合解析式，你还能得到其他性质吗？ 当 时，函数 单调递减； 当 时，函数 单调递增. 当 时，函数 单调递减； 当 时，函数 单调递增. 环节二 新课探究 问题5：以上，我们从几何角度发现了函数的单调性，但“形缺数时难入微”， 我们如何从代数角度论证单调性呢？ 时，由基本不等式得时取得最小值2， 时，由奇函数对称性即可得到. 环节二 新课探究 问题6：结合你所画的图象，它还有什么变化趋势？你能利用，的图 象变化趋势说明的变化趋势吗？ 对勾函数 环节二 新课探究 当 时， 函数 单调递减； 当 时， 函数 单调递增. 奇函数 无最值 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 函数图象 渐近线 ( 轴)和 函数 环节二 新课探究 问题7：一般地，由正比例函数与反比例函数相加构成的函数 + 是否也具有上述类似的性质呢？ 结合正比例函数与反比例函数，只需讨论以下四类情况： 下面借助几何画板研究的情况 环节二 新课探究 探究函数 环节二 新课探究 由几何画板的数学实验可以得到，当时，函数图象依然是对勾形状，请同学们完成表格： 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 函数图象 当 时， 函数 单调递减； 当 时 函数 单调递增； 奇函数 无最值 渐近线 ( 轴)和 环节二 新课探究 问题8：请同学们课后利用几何画板软件继续探究函数+ 其他三种情况下的性质，并结合本节课的方法给出代数视角的论证. 以下，我们给出函数情况下的函数图象与性质 环节二 新课探究 解析式 图象 定义域 值域 渐近线 奇偶性 单调性 对勾函数的图象与性质 y=ax x=0 奇函数 环节二 新课探究 解析式 图象 定义域 值域 渐近线 奇偶性 单调性 飘带函数的图象与性质 y=ax x=0 奇函数 环节三 应用新知 例1 环节三 应用新知 例1 环节三 应用新知 例1 环节三 应用新知 例1 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 例2 环节三 应用新知 例2 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节五 归纳小结 解析式 图象 定义域 值域 渐近线 奇偶性 单调性 y=ax x=0 奇函数 对勾函数的图象与性质 环节五 归纳小结 解析式 图象 定义域 值域 渐近线 奇偶性 单调性 飘带函数的图象与性质 y=ax x=0 奇函数 环节六 作业布置 巩固作业：完成下发练习 感谢聆听 证明：设 且 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∵ 且 ，∴ ， ， ∴ ， 即 ，函数 单调递减；同理函数在 单调递增 在 ,上是增函数 在 , 上是减函数 在 ,上是减函数 在 , 上是增函数 在 , 上是增函数 在 , 上是减函数 1.因函数 的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”． (1)证明对勾函数具有性质：在 上是减函数，在 上是增函数． (2)已知 ， ，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数 和函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 证明：设 是任意两个实数，且任取，则 若 ，则 ， ，即 ， ，所以 所以 ，即 ，所以 在 上是减函数， 若 ，则 ， ，即 ， ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 在 上是增函数， 所以对勾函数具有性质：在 上是减函数，在 上是增函数； (2) ， 令 ，因为 ，所以 ，则 ， 由对勾函数的性质，可得 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以 ， ， ， 综上可得， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，值域为 ． （3）由（2）知 时，若存在，使得 成立， 只需 ，在 上有解即可，即 最小值， 令 ， 在 上是减函数，在 上是增函数，所以 最小值 ， 所以 ，即实数 的取值范围为 ． 1、已知对勾函数 ，，二次函数 ，设 的最大值为 ， 若 ， ，求实数 的取值范围 解：由题意 ，当时， ，则 ， 由 ， ，得 ， 恒成立， 由对勾函数性质知，当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 则 ，要使 在 恒成立，则 则 ，解得 .故实数 的取值范围是 . 1、已知函数 ，是否存在实数，使得 在 上的值域是 ？ 若存在，求出所有 的值；若不存在，说明理由． 不存在. 假设存在实数 ，使得在 上的值域是 ，易知 ， 因为 定义域为 ，区间 是连续区间，故 符号相同． 当 时，由 得 在 单调递增， 于是 ，即 ，故有 ，得 ，这与 矛盾，故无解； 同理，当 时，又因为 是奇函数，由对称性可知 在 单调递增， 于是 ，得 ，解得 ，这与 矛盾，故无解； 综上所述，不存在符合要求的实数 ． 1、 ，，则 的值域为 ． 【解析】由题意得， ． 令 ，则 ，则 可化为 ． ∵函数 ， 在 上均为增函数，∴ 在 上为增函数， ∴当 ，即 时， ，当 ，即 时， ， ∴ 的值域为 ． 【解析】当 时，，此时A满足； 当 时，当 时， 为增函数；当 时， ， 其中 为对勾函数的一部分，此时D满足； 当 时，当 时， 为对勾函数的一部分； 当 时， 为减函数，此时B满足； 2、函数 的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【解析】令 ，定义域为， ，得 ，且 在 ， ， 单调递增， 所以函数图象如下：则 的图象如下： 3、已知函数 ，， ，用 表示 ， 中的较大者，记为 ，若 的最小值为1，则实数 的值为（   ） A．0 B． C． D． 当 ，则， 在同一坐标系中作出 的图象，如下： 则 的图象如下： ， 显然最小值为2，不合题意； 3、已知函数 ，， ，用 表示 ， 中的较大者，记为 ，若 的最小值为1，则实数 的值为（   ） A．0 B． C． D． 当 ，则，在同一坐标系中作出 的图象，如下：画出 的图象如下： 显然函数在 点取得最小值，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 3、已知函数 ，， ，用 表示 ， 中的较大者，记为 ，若 的最小值为1，则实数 的值为（   ） A．0 B． C． D． 当 ，则，在同一坐标系中作出 的图象，如下：画出 的图象如下： 显然函数在 点取得最小值，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 综上， ． 3、已知函数 ，， ，用 表示 ， 中的较大者，记为 ，若 的最小值为1，则实数 的值为（   ） A．0 B． C． D． 在 ,上是增函数 在 , 上是减函数 在 ,上是减函数 在 , 上是增函数 在 , 上是增函数 在 , 上是减函数 $