4.4.2 对数函数的图象和性质（第3课时，新课拓展）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数定义域和值域，通过“新课引入”“互动探究”衔接指数函数，搭建从基础属性到复合函数性质的学习支架，涵盖真数为一次、二次、分式、指数函数等类型及综合应用。 其亮点在于分类系统，结合“数学思维”的推理能力与“数学语言”的表达，通过换元法、单调性法等，如二次函数真数求值域转化为二次函数最值，培养学生逻辑思维，教师可直接用于分层教学，提升效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质（3） 4.4 对数函数 对数函数定义域和值域 学 习 目 标 1 2 定义域有两个角度：①函数自身定义域；②已知定义域求定义域； 值域有三个角度：①对数函数在外层；②对数函数在内层；对数函数与其他函数组合 知识讲解 互动探究 新课引入 对数函数是高一 数学函数板块的核心内容之一，其中定义域和值域作为对数函数的基础属性，是后续学习对数函数单调性、奇偶性、复合函数性质的重要前提。很多同学在处理对数相关的综合题时出错，往往根源就是对定义域和值域的规则掌握不牢。本专题将从基础规则出发，梳理常见考题类型，搭配方法指导、例题分析和针对性练习，帮你彻底攻克这一考点。 写在前面的话 3 目标一：定义域 定义域求解通用步骤 1. 定位函数中所有对数部分，令每一段对数的真数都大于0，列出对应的不等式。 2. 若函数中同时出现分式、二次根式、零次幂等结构，需要同步满足这些结构的有意义条件：分式分母不为0、二次根式被开方数非负、零次幂的底数不为0。 3. 求解所有不等式，取它们的交集，最终得到的x的取值范围就是函数的定义域。 1、对数的真数是一次函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1 求函数的定义域 解：真数大于 0, 定义域： 真数是一次函数，对应的不等式是一元一次不等式，属于基础型。 例 2 的定义域 解：底数、真数同时满足得 ，定义域 只要底数带自变量，底满足两个条件：大于 0，不等于 1，缺一不可。 6 举一反三 1. 解析：真数上含有变量，由其大于零得，x<4,故函数定义域为（- 2、函数 f的定义域是( ) 解析：真数上含有变量，由其大于零得，x>1,故函数定义域为 C 2、对数的真数是二次函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1求 的定义域 解：真数 解得 或 ,定义域：(-∞,-2)∪(4,+∞) 真数是二次函数，对应的不等式是一元二次不等式，有必要同学们先复习下二次不等式解法。 例 2 求y = log₄(-x² + 2x + 3)的定义域 解: -x² + 2x + 3 > 0 ⇒ x² - 2x - 3 < 0 (x - 3)(x + 1) < 0 ⇒ -1 < x < 3 定义域: (-1, 3) 二次不等式的二次项系数为负，一般转化为正，也可以结合抛物线解。 8 举一反三 1.y = log₂(x² - 4)，求定义域 解:真数x² - 4 > 0 (x - 2)(x + 2) > 0 ⇒ x < -2 或 x > 2 定义域: (-∞, -2) ∪ (2, +∞) 2、y = log₃(x² - 2x - 3)，求定义域 解: x² - 2x - 3 > 0 (x - 3)(x + 1) > 0 ⇒ x < -1 或 x > 3 定义域: (-∞, -1) ∪ (3, +∞)  举一反三 3. y = log0.5 (x2 - 6x + 8)，求定义域 解: x2 - 6x + 8 > 0 (x - 2)(x - 4) > 0 ⇒ x < 2 或 x > 4 定义域: (-∞, 2) ∪ (4, +∞) 4. y = log₅(x² + 2x + 5) 求定义域 解: x² + 2x + 5 > 0 Δ = 4 - 20 = -16 < 0, 二次项系数1 > 0, 抛物线恒在x轴上方, 不等式对全体实数成立。 定义域: R (全体实数) 3、对数的真数是分式函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例1 的定义域 解： 得或 定义域： 核心: ，要求: 分式大于 0 等价: 例 2 的定义域 解： 得 定义域： 出现负系数，最好化成正系数。 11 举一反三 1. 解： 得或 定义域： 2. 解： 穿根法：零点 得或 定义域：  4、对数真数含指数函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例1的定义域 真数大于 0 定义域： 解指数不等式，把常数写成同底指数形式，利用指数函数单调性； ，递增；，递减，不等号方向跟着变 例 2的定义域 解: 令 , ，得，即， 定义域： 换元时，千万记住，舍去负的解（例 4 中 直接舍去）。 13 举一反三 1. 的定义域 解: 定义域：  2. 解: 定义域： 5、对数嵌套在根式中 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1 的定义域 解: 单调递增，得 定义域： 核心规则：，要同时满足两个条件： ① 被开方数非负： ② 对数真数大于： 例 2 的定义域 解: 底数 ，对数单调递减： 定义域:   遇到减对数，不等号要反转，同时不要忘了定义域。 15 举一反三 1. 定义域 解: 得 定义域: 2. 解: 底数，单调递减: 定义域: 6、由定义域求定义域 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1若函数的定义域是，则函数的定义域为____。 解: 中，所以括号整体满足: 化为同底指数: 单调递增: 答案: 核心口诀: 中，括号内整体的取值范围和中的范围完全相同；最终求的是外面的范围；多个相加时取各个部分定义域的交集。 已知定义域，求定义域：令落在的定义域内，解不等式求； 已知定义域，求定义域：求的值域，就是的定义域。 17 6、由定义域求定义域 知识讲解 互动探究 新课引入 例2 已知函数 ，则函数 的定义域为（） A. B. C. D. 解: 第一步: 先求的括号内允许范围，即先求定义域: 真数 , 即： 里面方框必须满足 。 对于，方框是: 答案：D 18 举一反三 1.设 ，则 的定义域为。 解: 第一步，先求方框的取值范围： 得到 。 即: ，方框必须满足 。 现在表达式是两部分相加，两个括号要同时满足: ①解第一个不等式: ,①解第一个不等式： ②解第二个 ，分式不等式，分两段： 当: 当: 所以第二个不等式解： 或 。 联立 取交集: 答案: 目标二：值域 1、真数是一次函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1已知函数，则函数的最小值为（） A. B. C. D. 解答： 底数，在上单调递增，故单调递增。 当取最小值： 当取最大值。 最小值，选。 对数函数求值域（闭区间上） 核心方法：先判断对数函数单调性，再代入区间端点求最值；复合对数先求真数范围，再结合对数单调性求值域。 21 举一反三 ：已知函数，，则的值域是（） A. B. C. D. 解答： 底数，单调递减。 ，, 修正: 单调递减，最大，函数值最小；最小，函数值最大。 值域: ，选。 举一反三 2.求在上的最值。 解答: 先求真数， ， 得 底数，单调递增。 最小值：， ,   最小值: 最大值: 最小值，最大值。  举一反三 3.求函数的值域 解答: 令。 随增大而增大: 即。 底数函数单调递减。，底数，函数单调递减。 ， ， 越大，越小，故值域。   2、真数是二 次函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1函数的值域为______。 解: 令 ，。 外层函数，底数，在单调递减。 当，；，。 。 值域: 。 通用步骤: ①设真数，对二次式配方，求的取值范围（注意）； ②判断外层对数函数单调性； ③由范围结合单调性求值域 / 最值 25 2、真数是二 次函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例 2.函数的值域是______。 , 令。 二次函数对称轴:二次函数对称轴: 时， 时，；时， 。 单调递增，最大最大。 在上最大值。 二次函数若给闭区间，要把区间端点、对称轴都算一遍，确定的最值。 26 举一反三 1.函数的最大值是______ 解: 先求真数 二次函数开口向下，且，，即。 ，底数，单调递增，最大时最大。 答案:   举一反三 2.函数的值域为。 解: 令 。 外层，，单调递减。 ，；，。 。 值域: 举一反三 3.函数的值域是______。 解: 令 开口向下, , 故。 外层, , 单调递减。外层 ，，单调递减。 ， ， 。 值域： 3、真数含指数函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1.已知函数。 (1) 求函数的定义域; (2) 若，求的值域。 解: (1) 对数真数大于 0: 单调递增，所以。 定义域: 。 (2), 单调递增， 值域: 。 真数的指数型函数，一般是通过单调性获得其值域，再由外层对数函数的单调性运算出整个函数的值域，有时为了方便，可以设内层函数为u，上一个题型，内层函数是二次函数，常设为t. 30 3、真数含指数函数 知识讲解 互动探究 新课引入 例 2.设函数，且，。 (1) 求的值； (2) 当时，求的最大值。 解: (1) 代入条件:解: (1) 代入条件:, (2)，令。   在单调递增。 即时，。 最大值： 31 举一反三 1.函数的值域为______。 解: 先求定义域: , 恒成立, 故。 变形:,, 则 所以。在单调递增，。 值域: 。 4、对数函数嵌套在二次函数中 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1.求函数 在 上的最大值和最小值以及相应的的取值 解: 先化简: 令 。 ， 二次函数开口向上，对称轴 。 二次函数开口向上，对称轴 。 当 ，即 ，。 端点比较： ，； ，。 当 ，即 ，。 答案: 最小值，对应;最大值，对应。 33 4、对数函数嵌套在二次函数中 知识讲解 互动探究 新课引入 例 2.函数 的最小值为____。 解: 换底化简: 令 当取最小值 。 填空答案：  这类复合函数的特点是：外层是二次函数，内层是对数函数。用换元法把对数函数换成t,原函数转化成关于t变量的二次函数。换元时，要把新变量的范围求出来。 34 举一反三 1.函数 的最小值为____。 解: 令 对勾函数 导数 时 函数单调递减。 (即) 取得最小值: 填空答案: 举一反三 2.   (1) 当 时求该函数的值域; (2) 若函数 对于 恒成立，求的取值范围 解: ，令 。 (1) , 对称轴 ，开口向上。 ， 端点：，；，；最大值 。 值域：。  5、对数函数与其他函数组合 知识讲解 互动探究 新课引入 例 1.已知，求的最大值与最小值的和。 解: 令， ，是奇函数。 令，定义域，本题 也是奇函数。奇函数在闭区间上，若最大值为，则最小值为。 答案：  遇到求最大值与最小值之和，不用求最大值和最小值，而是判断这个函数的奇偶性。 37 5、对数函数与其他函数组合 知识讲解 互动探究 新课引入 例 2. 函数在区间上的最大值为____。 解: 、在单调递增；在单调递增。 三个增函数相加，在上单调递增。 最大值在右端点取得: 混合函数，不是每个函数各求各的最值，因为每个函数取得最大（小）值的时机不一定相同，主要是判断单调性，基本上是这几部分同增或同减。 38 举一反三 1.  ，求值域。 解: 在递增，在递增， 所以在上单调递增。 最小值，: 最大值，: 值域: 目标三：小结 学海拾贝 核心两类手段： 一、单调性法（直接分析，不换元） 基本原理 若函数在闭区间上单调递增： 取最小值，取最大值； 若函数在闭区间上单调递减： 取最大值，取最小值。 | 对指对混合函数： | ，利用增 + 增 = 增，减 + 减 = 减判断整体单调性。 ，递增；，递减 ，递增；，递减 学海拾贝 二、换元法（核心思想：复合函数降维） 基本原理 针对复合指对函数，形如：、。 换元：令（或），把原函数转化为熟悉的二次函数； 求新元的取值范围（关键！不能忽略）：由原函数的定义域，算出的闭区间； 在的取值范围内求二次函数最值； 回代（按需把还原为），得到原函数最值。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $