四川省成都市树德中学（光华校区）2026-2027学年高二上学期10月阶段'性测试数学试题

树德中学2025级高二10月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（　　　　　） A． B． C． D． 2．已知向量，且，那么（　　　　　） A．2 B． C． D．5 3．直线与间的距离是（　　　　　） A．1 B． C．2 D． 4．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（　　　　　） A． B． C． D． 5．直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（　　　　　） A． B． C． D． 6．在四面体中，平面，，．若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（　　　　　） A． B． C． D． 7．已知，在上的投影向量为，且，则（　　　　　） A． B． C． D． 8．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（　　　　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（　　　　　） A．方程与方程可表示同一直线 B．过点，且倾斜角为的直线方程为 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．过点的直线方程都可表示为 10．对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关．则（　　　　　） A．若，，线性相关，则，，可作为空间的一组基底 B．若，，，则，，线性相关 C．若，，，则，，线性无关 D．若，，线性无关，则，，线性无关 11．如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则（　　　　　） A．平面平面 B．当时， C．存在点使得直线与直线所成角为 D．二面角的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 13．对于任意，不等式恒成立，则最大值为 ． 14．如图，二面角的棱上有两点，，点，分别在半平面，内． 若，，二面角的余弦值为，则直线与夹角的余弦值为 ． 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知空间向量，满足，． （1）若与的夹角为，求； （2）若，求向量的坐标． 16．（15分）如图，在平行六面体中，，，，． （1）以，，为基底向量，表示向量，并求的长； （2）求证：． 17．（15分）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）直线经过点，点到的距离为2，求直线的一般方程； （2）求的面积． 18．（17分）如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． （1）求证：平面； （2）若，，平面平面． （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 19．（17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为．如图所示，在空间直角坐标系中，已知五点，，，，，为线段的中点． （1）求平面的点法式方程； （2）设直线与平面的交点为，求点到直线的距离； （3）过的平面交线段，于点，，求四棱锥体积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学2025级高二10月阶段性测试数学试题答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B A C D A D BD BCD ABD 二、填空题 12．0或 13．5 14． 三、解答题 15．【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为， 所以． 1分 因为，且与的夹角为， 所以， 3分 则， 5分 故． 7分 （2）因为，所以． 8分 当向量，同向时，，则； 10分 当向量，反向时，，则． 12分 综上，向量的坐标为或． 13分 16．【答案】（1）． 3分 因为，，，， 所以，， 所以 6分 所以． 7分 （2） 10分 ， 14分 所以，即， 15分 17．【答案】（1）或 （2）11 【详解】（1）依题意，点是直线与直线的交点， 由解得， 所以点的坐标是． 2分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 4分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，所以，解得． 6分 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． 7分 （2）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程：， 9分 即与联立，， 解得，的坐标为， 11分 所以 点到直线的距离为， 所以的面积为． 15分 18．【答案】（1）证明：因为四边形与四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，面，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； 4分 （2）连接，根据且，所以四边形是平行四边形， 则．所以是正三角形，则是菱形且， 取的中点，连接，则，设，则， ，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因此以为原点，，，为轴，轴，轴如图建系， 则，，，，， 5分 由与，可知，所以四边形为平行四边形， 则，，， 设平面的法向量，则，即， 取，得，，则， 7分 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 10分 （3）设， 11分 设平面的法向量，则，即， 取，得，， 则， 13分 设平面与平面所成角为， ， 15分 解得或（舍）， 16分 所以存在使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为． 17分 19．（1）由题，， 设平面的法向量为，则，即， 取，得，，则， 2分 又因为平面过点，所以平面的点法式方程为：． 4分 （2）因为为线段的中点，所以，，直线过点， 则直线的方程为，化简得， 6分 联立平面的点法式方程 得交点坐标为， 7分 ，， 所以到直线的距离为． 10分 （3），所以，且平面， 又因为平面平面，所以． 设，， 在三角形中，，，， 设，则， 所以，所以， 所以，则． 13分 又， 15分 又因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以，当点在处，在中点时，四棱锥体积取最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $