精品解析：湖南省部分校联考2026-2027学年高一上学期10月素质评价数学试题

湖南省部分校联考2026-2027学年高一上学期10月素质评价 数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若存在实数满足，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 且 8. 某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，均为实数，则“”是“”的充分不必要条件 B. “关于的不等式的解集为”的充要条件是“” C. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是“” D. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“” 11. 已知集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则实数的取值范围是 C. 若，则实数的取值范围是或 D. 若，则实数的取值范围是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“，”为真命题，则实数的取值范围是__________. 13. 若集合，，若，则实数的取值的集合是__________. 14. 已知正数，满足（是常数且），若的最小值为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，其中. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）若，，证明：； （2）判断与的大小关系，并证明你的结论. 17. 某助农企业通过直播带货销售一种特色农产品礼盒.已知该项目的年固定成本（设备、场地等）为100万元.每销售（）千箱礼盒，需投入的变动成本（采购、物流等）为万元.根据市场定价，每箱礼盒的售价为500元.假设礼盒能全部售出. （1）求该企业的年利润（万元）关于年销售量（千箱）的函数解析式，并求年销售量为多少时，年利润最大；（利润=销售收入-固定成本-变动成本） （2）求每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量，并求出每箱礼盒的最低平均成本.（平均成本=(固定成本+变动成本)÷销量） 18. 已知正实数，满足. （1）求的最大值； （2）若不等式对任意满足条件的，都成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在实数满足，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合. （1）若集合，直接写出集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且，求集合中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省部分校联考2026-2027学年高一上学期10月素质评价 数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，” 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得，则， 又，所以． 3. 已知，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知， 则，即的取值范围为. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于集合， 因为，所以，所以符合集合中的元素特征， 所以集合中的元素都是集合中的元素， 所以， 所以. 5. 若存在实数满足，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数结合二次函数的单调性求最值即可. 【详解】存在实数满足，使得不等式成立， 等价于，其中， 令，，当时，，所以． 6. 已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程与自然数集写出集合，由子集的计算方法得到答案. 【详解】解方程，即，即， ， 所以集合的个数. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况解不等式即可. 【详解】对于不等式， 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 综上，不等式的解集是或 8. 某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】作出文氏图，由集合容斥原理可得． 【详解】设仅只使用过类工具的职场人士的人数为， 由图可得： ，解得， 所以类和类工具都使用过的人数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】A选项，当时，，A选项正确； B选项，当，时，则，B选项错； C选项，当，时，则，此时，C选项错误； D选项，当，时，则，则，所以，即，D选项正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，均为实数，则“”是“”的充分不必要条件 B. “关于的不等式的解集为”的充要条件是“” C. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是“” D. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，若，，满足，但，即充分性不成立； 若，，满足，但，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B，由不等式的二次项系数为， 则其解集为的充要条件是， 所以“关于的不等式的解集为”的充要条件是“”， 故 B正确； 对于C，对，都有，即，解得， 若，即，可推出，即充分性成立； 若，推不出，即必要性不成立； 所以“”是命题“，”的充分不必要条件，故 C正确； 对于D，若命题“，”为真命题， 即，解得，或， 若，满足，但，即充分性不成立； 若，或，可推出，即必要性成立， 所以“”是命题“，”为真命题的必要不充分条件，故D正确． 11. 已知集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则实数的取值范围是 C. 若，则实数的取值范围是或 D. 若，则实数的取值范围是或 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项A，由题意得，解得，即， 由，化简得，解得， 即， 当时，，则，所以选项A正确； 对于选项B，即，可得，解得，所以选项B正确； 对于选项C，当时，可得或，解得或，所以选项C正确； 对于选项D， 可知当或， 当时，可得或，解得或，所以选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“，”为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】“，”为真命题， 即，不等式恒成立， 即， 当，单调递增， 所以当时，取最小值为1， 所以. 13. 若集合，，若，则实数的取值的集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，，由可得，然后分和两种情况求出集合，再根据包含关系可得的值，进而得到所求的集合． 【详解】由题意得，． ∵， ∴． ①当时，，满足题意； ②当时，． 由可得或， 解得或． 综上，由实数组成的集合． 故答案为： 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，解题的关键是根据参数的取值进行分类讨论求出集合，然后再根据包含关系求解，属于基础题． 14. 已知正数，满足（是常数且），若的最小值为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，则，利用基本不等式求最小值即可解得的值. 【详解】由得. 因为，所以，则. 所以.当且仅当时等号成立. 因为的最小值为，所以. 令，则，解得或(舍去). 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，其中. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出不等式的解再求集合的交集运算； （2）由充分不必要条件转化为集合间的关系求解． 【小问1详解】 由，得，解得． 所以． 当时，不等式，即， 解得． 所以． 所以． 【小问2详解】 由，得，即． 因为，所以． 所以，此时． 由是的充分不必要条件，得为的真子集． 所以解得． 当时，，此时，不是的真子集，不符合题意； 当时，且，此时是的真子集成立． 所以实数的取值范围是． 16. （1）若，，证明：； （2）判断与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）①． 因为，，所以，，且，故①式整体大于或等于0． 故． （2）． 证明：因为，， 所以要证，只需证． 两边平方，得，展开，得， 则原不等式等价于． 上式两边平方，得，该不等式成立， 故成立． 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 17. 某助农企业通过直播带货销售一种特色农产品礼盒.已知该项目的年固定成本（设备、场地等）为100万元.每销售（）千箱礼盒，需投入的变动成本（采购、物流等）为万元.根据市场定价，每箱礼盒的售价为500元.假设礼盒能全部售出. （1）求该企业的年利润（万元）关于年销售量（千箱）的函数解析式，并求年销售量为多少时，年利润最大；（利润=销售收入-固定成本-变动成本） （2）求每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量，并求出每箱礼盒的最低平均成本.（平均成本=(固定成本+变动成本)÷销量） 【答案】（1），2万箱 （2）1万箱，300元 【解析】 【详解】（1）由题意可知，每千箱礼盒的售价为50万元， 所以． 因为，， 所以当时，取得最大值300． 故所求的函数解析式为，， 当年销售量为2万箱时，年利润最大． （2）设每千箱礼盒的平均成本为万元． 根据题意，得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量是1万箱． 每千箱礼盒的平均成本最低为（万元）， 所以每箱礼盒的最低平均成本为（元）． 18. 已知正实数，满足. （1）求的最大值； （2）若不等式对任意满足条件的，都成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在实数满足，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，求解的最大值； （2）先求出代数式的最小值，根据不等式恒成立转化为一元二次不等式，解一元二次不等式得到实数的取值范围； （3）先把用表示，确定的取值区间，将不等式看作关于的二次函数，结合二次函数在给定区间存在解的条件，列不等式求解的取值范围. 【小问1详解】 由基本不等式，得，当且仅当时等号成立． 所以， 即的最大值为. 【小问2详解】 因为，所以． 因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值为． 由题意知，，即， 解得． 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以． 由（1）知，， 所以，即． 令，则． 因为，所以． 所以函数在处取得最小值，且． 根据题意得，即，即． 解得或． 结合，得． 所以的取值范围是. 19. 已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合. （1）若集合，直接写出集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且，求集合中元素个数的最大值. 【答案】（1）， （2）由题意知，中的最小元素为，即对于任意，都有． 中包含的相邻元素的差：，． 根据条件可知，，． 由，得，所以． 由，得，所以． 综上所述，得证． （3）1013 【解析】 【分析】（1）直接枚举求解即可； （2）利用，分析出，从而求证； （3）利用（2）中分析得出的结论，写出的表达式从而分析求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设集合的元素个数为，将中元素从小到大排列为，，…，． 由（2）中的分析可知，（），所以． 所以． 因为，所以且． 所以，解得． 因为为整数，所以的最大值为1013． 验证存在性：取（即1到2025的所有奇数），此时． 因为奇数与奇数的和、差都是偶数，所以，． 显然中元素除了0以外，都在中，即． 故集合中元素个数的最大值为1013． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $